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圆锥的侧面展开图问题解决圆锥问题的关键是明确圆锥的侧面展开图各元素与圆锥各元素的关系——圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面圆的周长．问题往往涉及圆锥的母线长、圆锥的高以及底面半径之间的关系，勾股定理那么是架起三元素间的桥梁．如图1，设圆锥的底面半径为r ，母线AB 的长为l ，高为h ，那么r 2+h 2=l 2，圆锥的侧面展开图是扇形ACD ，该扇形的半径为l ，设扇形ACD 的圆心角是θ，那么扇形的弧CD 的长=2πr =180lθπ，圆锥的侧面积为S 侧=12×2πr ×l =πrl ．一、计算圆锥的侧面积例1 〔邵阳〕如图2所示的圆锥主视图是一个等边三角形，边长为2，那么这外圆锥的侧面积为______〔结果保存π〕．分析：依题意，圆锥主视图是一个等边三角形，所以圆锥的母线长为2，底面半径为1，可以直接代入公式求得．解：依题意，r=1，l =2，所以S 侧=π×1×2=2π． 二、求圆锥的母线长例2 〔桂林〕圆锥的侧面积为8πcm 2, 侧面展开图的圆心角为45°，那么该圆锥的母线长为〔 〕．〔A 〕64cm 〔B 〕8cm 〔C 〕22cm 〔D 〕24cm 分析：圆锥的侧面积即其侧面展开图扇形的面积，由扇形的面积公式可求出圆锥的母线长〔侧面展开图扇形的半径即为圆锥的母线长〕．解：由2360n l S π=扇形，即2360n l π＝8π，解得l ＝8〔cm 〕．故应选〔B 〕． 三、计算圆锥的底面半径例3 〔日照〕将直径为60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面〔不浪费材料，不计接缝处的材料损耗〕，那么每个圆锥容器的底面半径为〔 〕．〔A 〕10cm 〔B 〕30cm 〔C 〕40cm 〔D 〕300cm分析：依题意，将直径为60cm 的圆形铁皮分割成三个大小相等的扇形，这三个扇形即三个相同的圆锥容器的侧面展开图．根据“侧面展开图扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长〞可求每个圆锥容器的底面半径．解：直径为60cm 的圆形铁皮的周长为60πcm ，故将该铁皮分割成三个大小相等的扇形的弧长为20πcm ．图1图2设圆锥的底面半径为r ，那么2πr ＝20π，解得r ＝10． 故应选〔A 〕． 四、计算圆锥的高例4 〔鸡西〕如图3，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，扇形的半径为5cm ，弧长是6πcm ，那么围成的圆锥的高度是 cm ．分析：借助图1分析，知在r 2+h 2=l 2中，欲求h ，需知道r ，l ，显然这里l ＝5 cm ，故只需再求出r ．解：设圆锥的底面半径为r ， 那么2πr ＝6π，解得r ＝3．所以h 2=l 2－ r 2＝52－32，所以h ＝4〔cm 〕． 五、计算侧面展开图中扇形圆心角的度数例5 〔成都〕假设一个圆锥的底面圆的周长是4πcm ，母线长是6cm ，那么该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是〔 〕．〔A 〕40° 〔B 〕80° 〔C 〕120° 〔D 〕150°分析：设圆锥展开图的圆心角为n °，根据弧长公式可求出侧面展开图扇形的弧长为180n lπ，再根据“侧面展开图扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长〞列方程可解． 解：设圆锥展开图的圆心角为n °，那么4π=6180n π． 解得n ＝120．所以选〔C 〕． 六、最短路径问题例6 〔青岛〕如图4是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF 长为10cm ．母线OE 〔OF 〕长为10cm ．在母线OF 上的点A 处有一块爆米花残渣，且FA ＝2cm ，一只蚂蚁从杯口的点E 处沿圆锥外表爬行到A 点．那么此蚂蚁爬行的最短距离为 cm ．分析：由于小蚂蚁只能在圆锥侧面上爬行，所以我们可考虑把圆锥侧面展开，将问题转化为平面图形解决.将圆锥沿母线OE 剪开，如图7所示的展开图，根据“两点之间线段最短〞，知EA 即为最短路径．解：设圆锥侧面展开后扇形的圆心角为n °，因为底面的周长等于展开后扇形的弧长，所以180n OE π⋅＝π E F ，即10180n π⋅＝10π，解得n °＝180°． 此圆锥的侧面展开图为扇形〔如图5〕，在Rt △AEO 中， OA ＝OF －AF ＝8〔cm 〕，OBA图35cm图5Ａ ＦＥＯ图4。
巧记口诀确定正方体表面展开图6个相连的正方形组成的平面图形，经折叠能否围城正方体问题，是近年来中考常考题型。
同学们在学习这一知识时常感到无从下手，现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来，供大家参考：正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。
十四条边布周围，十一类图记分明：四方成线两相卫，六种图形巧组合；跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。
对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”。
现将口诀的内涵解释如下：将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形，需剪7刀，故平面展开图中周围有14条边长共有十一种展开图：一、四方成线两相卫，六种图形巧组合（1）（2）（3）（4）（5）（6）以上六种展开图可归结为四方连线，即上下两侧，共六种情况。
二、跃马失蹄四分开（1）（2）（3）（4）以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基本图形（如图），另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”。
三、两两错开一阶梯 这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯”。
四、对面相隔不相连这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。
如果出现三个相连，则1号面与3号面是对面，中间隔了一个2号面，并且是对面的一定不相连。
五、识图巧排“7”、“凹”、“田”（1） （2） （3）这里介绍的是一种排除法。
如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为图中1号面与3号面是对面，3号面又与5号面是对面，出现矛盾。
如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一顶点处不可能出现四个面的。
如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。
现举例说明：例1．（海口市实验区）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（ ）解析：本题可用“识图巧排 ‘7’、‘田’、‘凹’”来解决。
巧记口诀确定正方体表面展开图
6个相连的正方形组成的平面图形，经折叠能否围城正方体问题，是近年来中考常考题型。
同学们在学习这一知识时常感到无从下手，现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来，供大家参考：
正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。
十四条边布周围，十一类图记分明：
四方成线两相卫，六种图形巧组合；
跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。
对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”。
现将口诀的内涵解释如下：将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形，需剪7刀，故平面展开图中周围有14条边长共有十一种展开图：
一、四方成线两相卫，六种图形巧组合
（1）（2）（3）（4）
（5）（6）
以上六种展开图可归结为四方连线，即
上下两侧，共六种情况。
二、跃马失蹄四分开
（1）（2）（3）（4）
以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基
本图形（如图），另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小
方块中
的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”。
三、两两错开一阶梯 这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯”。
四、对面相隔不相连
这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。
如果出现三个相
连，则1号面与3号面是对面，中间隔了一个2号面，并且是对面的一定不相连。
五、识图巧排“7”、“凹”、“田”
（1） （2） （3）
这里介绍的是一种排除法。
如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是
正方体展开图的，因为图中1号面与3号面是对面，3号面又与5号面是对面，出现矛盾。
如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一
顶点处不可能出现四个面的。
如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果
把该图形折叠起来将有两个面重合。
现举例说明：
例1．（海口市实验区）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（ ）
解析：本题可用“识图巧排 ‘7’、‘田’、‘凹’”来解决。
A 、D 都有“凹”形结构，B 有“田”形结构，故应选C
例2．（扬州）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，
他先用5个大小一样的正方形制成如右图所示的拼接图形
(实线部分)，经折叠后发现还少一个面，请你在右图中的拼
接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能
成为一个封闭的正方体盒子.
(注：①只需添加一个符合要求的正方形；②添加的正方形用阴影表示.)
解析：本题可用“跃马失蹄四分开”来解决。
图中具备了三二
相连的结构，故本题有四种答案，即小方块的位置有图中所示的四
种情况之一。
试一试：
1．（浙江金华）下列图形中，不是立方体表面展开图的是（ ）
2．（镇江）如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（ ）
3．（海南）如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在A 、B 、C 内的三个数依次是（
）．
（正方体纸盒）
（A ）
（B ） （C ） （D ）
（A）0，－2，1 （B）0，1，－2
（C）1，0，－2 （D）－2，0，1
4．（济南中考题）在正方体的表面上画有如图（1）中所示的粗线，图（2）是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图（1）中剩余两个面中的粗线画入图（2）中，画法正确的是（如果没有把握，还可以动手试一试）。
