安徽省马鞍山二中2018学年高二上学期第一次月考数学试卷理科 含解析

安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年度第一学期期末素质测试高二年级理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题¬p为()A. 某班至多有一个男生爱踢足球B. 某班至少有一个男生不爱踢足球C. 某班所有的男生都不爱踢足球D. 某班所有的女生都爱踢足球【答案】B【解析】解：命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，考察四个命题，(3)“某班至少有一个男生不爱踢足球”是所研究命题的否定．故选：B．命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，书写其否定时不光要否定结论还要改变量词，由此规律易得其否定．本题考查命题的否定，要注意研究命题的类型，根据其形式是全称命题得出其否定是一个特称命题是解题的关键．2.若向量a⃗=(1,0，z)与向量b⃗ =(2,1，2)的夹角的余弦值为23，则z等于()A. 0B. 1C. −1D. 2【答案】A【解析】解：∵向量a⃗=(1,0，z)与向量b⃗ =(2,1，2)的夹角的余弦值为23，∴cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=√1+z2⋅√4+1+4=23，解得z=0．故选：A．利用空间向量夹角余弦公式直接求解．本题考查实数值的求法，考查空间向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.以双曲线x24−y212=−1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A. x216+y212=1 B. x212+y216=1 C. x216+y24=1 D. x24+y216=1【答案】D【解析】解：双曲线x24−y212=−1的顶点为(0,−2√3)和(0,2√3)，焦点为(0,−4)和(0,4)．∴椭圆的焦点坐标是为(0,−2√3)和(0,2√3)，顶点为(0,−4)和(0,4)．∴椭圆方程为x 24+y 216=1．故选：D ．先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程． 本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．4. a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +(a −1)y =a −7平行且不重合的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】C【解析】解：当a =3时，两直线分别为：3x +2y +9=0，3x +2y +4=0， ∴两直线斜率相等，则平行且不重合． 若两直线平行且不重合，则a3=2a−1≠3a−7−a∴a =3综上所述，a =3是两直线平行且不重合的充要条件． 故选：C ．两个方面分析本题，分别当a =3时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求a 的范围． 本题以直线为载体，考查四种条件.判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式．5. 平面内一点M 到两定点F 1(0,−5)，F 2(0,5)的距离之和为10，则M 的轨迹是( )A. 椭圆B. 圆C. 直线D. 线段【答案】D【解析】解：根据题意，两定点F 1(0,−5)，F 2(0,5)则|F 1F 2|=10， 而动点M 到两定点F 1(0,−5)和F 2(0,5)的距离之和为10， 则M 的轨迹为线段F 1F 2， 故选：D ．根据题意，由定点F 1和F 2的坐标可得|F 1F 2|的长，结合椭圆的定义分析可得M 的轨迹为线段F 1F 2，即可得答案． 本题考查曲线的轨迹方程，注意结合椭圆的定义进行分析．6. 如图：在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ，则下列向量中与BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( ) A. −12a ⃗ +12b ⃗ +c B. 12a⃗ +12b ⃗ +c C. −12a⃗ −12b ⃗ +c D. 12a −12b +c【答案】A【解析】解：∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =c +12(−a ⃗ +b ⃗ )=−12a ⃗ +12b ⃗ +c 故选：A ．利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决．7. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点，如果x 1+x 2=6，那么|AB|=( )A. 6B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】解：由题意，p =2，故抛物线的准线方程是x =−1， ∵抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点 ∴|AB|=x 1+x 2+2， 又x 1+x 2=6∴∴|AB|=x 1+x 2+2=8 故选：B ．抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点，故|AB|=x 1+x 2+2，由此易得弦长值． 本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．8. 已知菱形ABCD 边长为1，∠DAB =60∘，将这个菱形沿AC 折成600的二面角，则B ，D 两点的距离为( )A. √32B. 12 C. 32 D. 34【答案】B【解析】解：菱形ABCD 边长为1，∠DAB =60∘，将这个菱形沿AC 折成600的二面角，取AC 中点O ，连结DO ，BO ，BD ， 则AO =BO =12AB =12， DO ⊥AC ，BO ⊥AC ，∴∠DOB 是将这个菱形沿AC 折成600的二面角的平面角， ∴∠DOB =60∘，∴B ，D 两点的距离为BD =12．故选：B．取AC中点O，连结DO，BO，BD，则AO=BO=12AB=12，DO⊥AC，BO⊥AC，∠DOB是将这个菱形沿AC折成600的二面角的平面角，由此能求出B，D两点的距离．本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9.试在抛物线y2=−4x上求一点P，使其到焦点F的距离与到A(−2,1)的距离之和最小，则该点坐标为()A. (−14,1) B. (14,1) C. (−2,−2√2) D. (−2,2√2)【答案】A【解析】解：∵y2=−4x∴p=2，焦点坐标为(−1,0)依题意可知当A、P及P到准线的垂足Q三点共线时，距离之和最小如图，故P的纵坐标为1，然后代入抛物线方程求得x=−14，则该点坐标为：(−14,1)．故选：A．先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P，A和焦点三点共线且点P在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．本题主要考查了抛物线的定义，充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性，运用了转化思想和数形结合思想．10.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，如果AB=BC=1，AA1=2，那么A到直线A1C的距离为()A. 2√63B. 3√62C. 2√33D. √63【答案】C【解析】解：由题意可得：连接A1C，AC，过A作AE⊥A1C，如图所示：根据长方体得性质可得：A1A⊥平面ABCD．因为AB=BC=1，AA1=2，所以AC=√2，A1C=√6，根据等面积可得：AE=A1A⋅ACA1C =2√33．故选：C．由题意可得：连接A1C，AC，过A作AE⊥A1C，根据长方体得性质可得：A1C⊥平面ABCD，即可得到AC=√2，A1C=√6，再根据等面积可得答案．本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．11. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱线长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =√22，则下列结论中错误的是( )A. AC ⊥BEB. EF//平面ABCDC. 三棱锥A −BEF 的体积为定值D. 异面直线AE ，BF 所成的角为定值【答案】D【解析】解：∵在正方体中，AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面B 1D 1DB ，BE ⊂平面B 1D 1DB ，∴AC ⊥BE ，故A 正确；∵平面ABCD//平面A 1B 1C 1D 1，EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴EF//平面ABCD ，故B 正确； ∵EF =√22，∴△BEF 的面积为定值12×EF ×1=√24，又AC ⊥平面BDD 1B 1，∴AO 为棱锥A −BEF的高，∴三棱锥A −BEF 的体积为定值，故C 正确；∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E 与D 1重合时sinα=12，α=30∘；当F 与B 1重合时tanα=√22，∴异面直线AE 、BF 所成的角不是定值，故D 错误；故选：D ．利用证线面垂直，可证AC ⊥BE ；判断A 正确；根据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而判断B 正确； 根据三棱锥的底面面积与EF 的位置无关，高也与EF 的位置无关，可判断C 正确； 例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小，根据大小不同判断D 错误．本题考查了异面直线所成的角及求法，考查了线面垂直、面面平行的性质，考查了学生的空间想象能力及作图分析能力．12. 若直线y =kx +2与双曲线x 2−y 2=6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A. (−√153,√153)B. (0,√153)C. (−√153,0)D. (−√153,−1)【答案】D【解析】解：渐近线方程为y =±x ，由{x 2−y 2=6y=kx+2消去y ，整理得(k 2−1)x 2+4kx +10=0 设(k 2−1)x 2+4kx +10=0的两根为x 1，x 2，∵直线y =kx +2与双曲线x 2−y 2=6的右支交于不同的两点， ∴{x 1+x 2=−4kk 2−1>0x 1x 2=10k 2−1>0，∴k <−1，∴{△=(4k)2−40(k 2−1)>0k<−1⇒−√153<k <−1 故选：D ．根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去y ，利用判别式大于0和k <−1联立求得k 的范围．本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系.考查了函数思想的应用，圆锥曲线与不等式知识的综合．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(1,1，0)，b ⃗ =(−1,0，2)，且k a ⃗ +b ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 垂直，则k 的值为______． 【答案】75【解析】解：∵a ⃗ =(1,1，0)，b ⃗ =(−1,0，2)， ∴k a ⃗ +b ⃗ =k(1,1，0)+(−1，0，2)=(k −1，k ，2)2a ⃗ −b ⃗ =2(1,1，0)−(−1，0，2)=(3，2，−2)， ∵k a ⃗ +b ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 垂直， ∴3(k −1)+2k −4=0， ∴k =75， 故答案为：75根据所给的两个向量的坐标，写出k a ⃗ +b ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 的坐标，根据两个向量垂直，写出两个向量的数量积等于0，解出关于k 的方程，得到结果．本题考查两个向量垂直的充要条件，考查利用方程思想解决向量问题，这种题目的运算量不大，若出现是一个送分题目．14. 已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236+y 29=1所截得的线段的中点，则l 的方程是______．【答案】x +2y −8=0【解析】解：设直线l 与椭圆交于P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)， 将P 1、P 2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l 斜率 k =y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)=−x 1+x 224⋅y 1+y 22=−44×2=−12． 由点斜式可得l 的方程为x +2y −8=0．设直线l 与椭圆交于P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，由“点差法”可求出直线l 的斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x24(y 1+y 2)=−x 1+x 224⋅y 1+y 22=−44×2=−12.再由由点斜式可得l 的方程．本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”．15. 如图所示，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是正方体ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是C 1C 的中点，设GF 、C 1F 与AB 所成的角分别为α、β，则α+β等于______．【答案】π2【解析】解：以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B(0,2，0)，A(2,2，0)，G(0,0，1)，F(1,1，0)，C 1(0,0，2)，E(2,1，1)， 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，GF ⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，−1)， ∴cos(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,GF ⃗⃗⃗⃗ )=1√3,cos(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=√2√3∴cosα=1√3.cosβ=√63， ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=√63×√63+√33×√33=1，又0<α+β<π，∴α+β=π2． 故答案是π2．本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，求出直线的GF 、C 1E 与AB 的方向向量，利用夹角公式求线线角的余弦值即可．本题考查用空间向量为工具解决空间几何问题，本题的关键是求出异面直线所成的角的余弦值后，利用两角和的正弦求解．16. 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点，已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，且BF ⃗⃗⃗⃗ 与FA ⃗⃗⃗⃗ 同向，则双曲线的离心率______． 【答案】√52【解析】解：设双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1,c 2=a 2+b 2由BF ⃗⃗⃗⃗ ，FA ⃗⃗⃗⃗ 同向， ∴渐近线的倾斜角为(0,π4)， ∴渐近线斜率为：k 1=ba <1∴b 2a 2=c 2−a 2a 2=e 2−1<1，∴1<e 2<2∴|AB|2=(|OB|−|OA|)(|OB|+|OA|)=(|OB|−|OA|)2|AB|，∴|AB|=2(|OB|−|OA|)∴{|OB|−|OA|=12|AB|OA|+|OB|=2|AB ∴|OA|=34|AB|∴|OA|2=916|AB|2可得：|AB||OA|=43，而在直角三角形OAB 中，注意到三角形OAF 也为直角三角形，即tan∠AOB =4而由对称性可知：OA的斜率为k=tan(π2−12∠AOB)∴2k1−k2=43，∴2k2+3k−2=0，∴k=12(k=−2舍去)；∴ba =12∴b2a2=c2−a2a2=14，∴e2=54∴e=√52故答案为√52．由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据|AB||OA|=43，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：∀x∈R，x2+x−m≥0，命题q：实数m满足：方程x2m−1+y24−m=1表示双曲线．(Ⅰ)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(Ⅱ)若命题“p或q”为假命题，求实数m的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)∵∀x∈R，x2+x−m≥0恒成立，∴△=1+4m≤0，解得m≤−14，∴实数m的取值范围是(−∞,−14]；(Ⅱ)∵“p或q”为假命题，∴p，q均为假命题，当q为真命题时，则(m−1)(4−m)<0，解得m>4或m<1．∴q为假命题时，1≤m≤4．由(1)知，p为假命题时m>−14．从而{m>−141≤m≤4，即1≤m≤4．∴实数m的取值范围为1≤m≤4．【解析】(Ⅰ)∀x∈R，x2+x−m≥0恒成立，可得△=1+4m≤0，从而求得m的范围；(Ⅱ)由“p或q”为假命题，可得p，q均为假命题，求出当q为真命题时m的范围，再由交集与补集的运算求解．本题考查复合命题的真假判断，考查恒成立问题的求解方法，考查双曲线的方程，是基础题．18.如图所示，F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1，(a>b>0)的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点(1,32)到焦点F1，F2两点的距离之和为4．(1)求椭圆C的方程和焦点坐标；(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积．【答案】解：(1)由题设知：2a =4，即a =2， 将点(1,32)代入椭圆方程得122+(32)2b 2=1，得b 2=3∴c 2=a 2−b 2=4−3=1， 故椭圆方程为x 24+y 23=1，焦点F 1、F 2的坐标分别为(−1,0)和(1,0)． (2)由(1)知A(−2,0), B(0,√3)， ∴k PQ =k AB =√32，∴PQ 所在直线方程为y =√32(x −1)，由{y =√32(x −1)x 24+y 23=1得 8y 2+4√3y −9=0设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，则y 1+y 2=−√32, y 1⋅y 2=−98，∴|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√34+4×98=√212， ∴S △F 1PQ =12|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|=12×2×√212=√212． 【解析】(1)由椭圆定义可得a =2，将点(1,32)代入椭圆方程求得b 2=3，从而得到c =1，写出椭圆方程和焦点坐标； (2)由条件求出直线PQ 的方程，联立椭圆方程，消去x ，得到y 的二次方程，运用韦达定理，可求|y 1−y 2|， 再由面积公式12|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|计算即得．本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立消去一个未知数，运用韦达定理求解的方法，考查运算能力，属于中档题．19. 如图，已知三棱锥O −ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA =1，OB =OC =2，E 是OC 的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；(2)求直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值．【答案】解：(1)以O 为原点，OB 、OC 、OA 分别为X 、Y 、Z 轴建立空间直角坐标系．则有A(0,0，1)、B(2,0，0)、C(0,2，0)、E(0,1，0)…(3分) ∴EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,0)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−1)∴COS <<EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >>=√5⋅ √5=−25 …(5分) 所以异面直线BE 与AC 所成角的余弦为25…(6分) (2)设平面ABC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z) 则n 1⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 知n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −z =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −z =0取n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2)，…(8分) 则sin <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1⃗⃗⃗⃗ >=√3030…(10分) 故BE 和平面ABC 的所成角的正弦值为√3030…(12分)【解析】根据题中的条件可建立以O 为原点，OB 、OC 、OA 分别为X 、Y 、Z 轴的空间直角坐标系然后利用空间向量进行求解：(1)根据建立的空间直角坐标系求出EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 然后再利用向量的夹角公式cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |求出cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >然后根据cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >≥0则异面直线BE 与AC 所成角即为<EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >，若cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ ><0则异面直线BE 与AC 所成角即为π−<EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >进而可求出异面直线BE 与AC 所成角的余弦值． (2)由(1)求出EB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面ABC 的一个法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 然后再利用向量的夹角公式cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |求出cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ >再根据若cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ >≥0则直线BE 和平面ABC 的所成角为π2−<EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ >，若cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ ><0则直线BE 和平面ABC 的所成角为<EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ >−π2然后再根据诱导公式和cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ >的值即可求出直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值．本题主要考察了空间中异面直线所成的角和直线与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难.解题的关键是首先正确的建立空间直角坐标系然后可将异面直线所成的角转化为所对应的向量的夹角或其补角而对于利用向量法求线面角关键是正确求解平面的一个法向量！20. 已知直线y =x −m 与抛物线y 2=2x 相交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，O 为坐标原点．(1)当m =2时，证明：OA ⊥OB(2)若y 1y 2=−2m ，是否存在实数m ，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：(1)m =2时，联立{y 2=2x y=x−2得x 2−6x +4=0，则x 1+x 2=6，x 1x 2=4，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1−2)(x 2−2)=2x 1x 2−2(x 1+x 2+4=2×4−2×6+4=0, ∴OA ⊥OB ．(2)假设存在m 使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1， 则x 1x 2+y 1y 2=y 122⋅y 222+y 1y 2=(−2m)24−2m =m 2−2m =−1，解得m =1．故存在m =1符合题意．【解析】(1)问题转化为证明OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，联立直线与抛物线，根据韦达定理和向量数量积可证； (2)假设存在m ，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1⇔x 1x 2+y 1y 2=−1⇔y 122⋅y 222+y 1y 2=−1，代入y 1y 2=−2m 即可．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题． 21. 如图，已知四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC =60∘，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．(Ⅰ)证明：AE ⊥PD ；(Ⅱ)若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为√62，求二面角E −AF −C 的余弦值．【答案】证明：(Ⅰ)证明：由四边形ABCD 为菱形，∠ABC =60∘，可得△ABC 为正三角形．因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ．又BC//AD ，因此AE ⊥AD ．因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AE ．而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA ∩AD =A ，所以AE ⊥平面PAD.又PD ⊂平面PAD ，所以AE ⊥PD ．解：(Ⅱ)设AB =2，H 为PD 上任意一点，连接AH ，EH ．由(Ⅰ)知AE ⊥平面PAD ，则∠EHA 为EH 与平面PAD 所成的角．在Rt △EAH 中，AE =√3，所以当AH 最短时，∠EHA 最大，即当AH ⊥PD 时，∠EHA 最大．此时tan∠EHA =AE AH =√3AH =√62， 因此AH =√2.又AD =2，所以∠ADH =45∘，所以PA =2．因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS ⊥AF 于S ，连接ES ，则∠ESO 为二面角E −AF −C 的平面角，在Rt △AOE 中，EO =AE ⋅sin30∘=√32，AO =AE ⋅cos30∘=32， 又F 是PC 的中点，在Rt △ASO 中，SO =AO ⋅sin45∘=3√24， 又SE =√EO 2+SO 2=√34+98=√304，在Rt △ESO 中，cos∠ESO =SO SE =3√24√304=√155， 即所求二面角的余弦值为√155． 【解析】(1)要证明AE ⊥PD ，我们可能证明AE ⊥面PAD ，由已知易得AE ⊥PA ，我们只要能证明AE ⊥AD 即可，由于底面ABCD 为菱形，故我们可以转化为证明AE ⊥BC ，由已知易我们不难得到结论．(2)由EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为√62，我们分析后可得PA 的值，由(1)的结论，我们进而可以证明平面PAC ⊥平面ABCD ，则过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS ⊥AF 于S ，连接ES ，则∠ESO 为二面角E −AF −C 的平面角，然后我们解三角形ASO ，即可求出二面角E −AF −C 的余弦值．求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角.此题是利用二面角的平面角的定义作出∠ESO 为二面角E −AF −C 的平面角，通过解∠AOC 所在的三角形求得∠ESO.其解题过程为：作∠ESO →证∠ESO 是二面角的平面角→计算∠ESO ，简记为“作、证、算”．22. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于√32，它的一个顶点恰好在抛物线x 2=8y 的准线上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P(2,√3)，Q(2,−√3)在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.当A ，B 运动时，满足∠APQ =∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．【答案】解：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)， ∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2=8y 的准线y =−2上，∴−b =−2，解得b =2．又c a =√32，a 2=b 2+c 2， ∴a =4，c =2√3，可得椭圆C 的标准方程为x 216+y 24=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∵∠APQ =∠BPQ ，则PA ，PB 的斜率互为相互数，可设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为−k ，直线PA 的方程为：y −√3=k(x −2)，联立{y −√3=k(x −2)x 2+4y 2=16， 化为(1+4k 2)x 2+8k(√3−2k)x +4(√3−2k)2−16=0， ∴x 1+2=8k(2k−√3)1+4k 2，同理可得：x 2+2=−8k(−2k−√3)1+4k 2=8k(2k+√3)1+4k 2， ∴x 1+x 2=16k 2−41+4k 2，x 1−x 2=−16√3k 1+4k 2，k AB=y1−y2x1−x2=k(x1+x2)−4kx1−x2=√36．∴直线AB的斜率为定值√36．【解析】(1)设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线y=−2上，可得−b=−2，解得b.又ca =√32，a2=b2+c2，联立解得即可．(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由∠APQ=∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为−k，直线PA的方程为：y−√3=k(x−2)，与椭圆的方程联立化为(1+4k2)x2+8k(√3−2k)x+4(√3−2k)2−16=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

马鞍山市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是（ ）A ．“∀a ∈R ，函数y=π”是减函数B ．“∀a ∈R ，函数y=π”不是增函数C ．“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数D ．“∃a ∈R ，函数y=π”是减函数2． 点A 是椭圆上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 是△AF 1F 2的内心．若，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．3． 已知点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2，则|PF|=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4． “24x ππ-<≤”是“tan 1x ≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性. 5． 有一学校高中部有学生2000人，其中高一学生800人，高二学生600人，高三学生600人，现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） A ．15，10，25 B ．20，15，15 C ．10，10，30D ．10，20，206． 下列说法正确的是（ ） A ．类比推理是由特殊到一般的推理 B ．演绎推理是特殊到一般的推理 C ．归纳推理是个别到一般的推理 D ．合情推理可以作为证明的步骤7． 在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．x=1 B ．x= C ．x=﹣1D ．x=﹣8． 设集合A={x|2x ≤4}，集合B={x|y=lg （x ﹣1）}，则A ∩B 等于（ ） A ．（1，2） B ．[1，2]C ．[1，2）D ．（1，2]9． 用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ） A ．a ，b 都能被5整除 B ．a ，b 都不能被5整除 C ．a ，b 不能被5整除 D ．a ，b 有1个不能被5整除10．已知奇函数()f x 是[1,1]-上的增函数，且1(3)()(0)3f t f t f +->，则t 的取值范围是（ ） A 、1163t t ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭ B 、2433t t ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ C 、16t t ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭ D 、2133t t ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭11．双曲线：的渐近线方程和离心率分别是（ ）A ．B ．C ．D ．12．执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝10，则输出的i ＝（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．如图所示是y=f （x ）的导函数的图象，有下列四个命题： ①f （x ）在（﹣3，1）上是增函数； ②x=﹣1是f （x ）的极小值点；③f （x ）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数； ④x=2是f （x ）的极小值点．其中真命题为 （填写所有真命题的序号）．14．如果实数,x y 满足等式()2223x y -+=，那么yx的最大值是 ． 15．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝k 1＋k 2·2n （k 1，k 2为常数），且a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________． 16．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是 ．17．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等 于__________.18．S n =++…+= ．三、解答题19．如图所示，已知+=1（a ＞＞0）点A （1，）是离心率为的椭圆C ：上的一点，斜率为的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求△ABD 面积的最大值；（Ⅲ）设直线AB 、AD 的斜率分别为k 1，k 2，试问：是否存在实数λ，使得k 1+λk 2=0成立？若存在，求出λ的值；否则说明理由．20．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示；（1）求ω，φ；（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称点为（，0），求θ的最小值．（3）对任意的x∈[，]时，方程f（x）=m有两个不等根，求m的取值范围．21．巳知二次函数f（x）=ax2+bx+c和g（x）=ax2+bx+c•lnx（abc≠0）．（Ⅰ）证明：当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；（Ⅱ）在同一函数图象上取任意两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点C（x0，y0），记直线AB的斜率为k若f（x）满足k=f′（x0），则称其为“K函数”．判断函数f（x）=ax2+bx+c与g（x）=ax2+bx+c•lnx 是否为“K函数”？并证明你的结论．22．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°．（1）求∠BDA的大小（2）求BC的长．23．设函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值．24．某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x年后游艇的盈利为y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？马鞍山市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】C【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是：“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数． 故选：C ．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2． 【答案】B【解析】解：设△AF 1F 2的内切圆半径为r ，则S △IAF1=|AF 1|r ，S △IAF2=|AF 2|r ，S △IF1F2=|F 1F 2|r ，∵，∴|AF 1|r=2×|F 1F 2|r ﹣|AF 2|r ，整理，得|AF1|+|AF 2|=2|F 1F 2|．∴a=2，∴椭圆的离心率e===．故选：B ．3． 【答案】B【解析】解：抛物线y 2=4x 的准线方程为：x=﹣1， ∵P 到焦点F 的距离等于P 到准线的距离，P 的横坐标是2，∴|PF|=2+1=3． 故选：B ．【点评】本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题．4． 【答案】A【解析】因为tan y x =在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，且24x ππ-<≤，所以tan tan 4x π≤，即tan 1x ≤.反之，当tan 1x ≤时，24k x k πππ-<≤+π（k Z ∈），不能保证24x ππ-<≤，所以“24x ππ-<≤”是“tan 1x ≤”的充分不必要条件，故选A. 5． 【答案】B【解析】解：每个个体被抽到的概率等于=，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为800×=20，600×=15，600×=15，故选B．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．6．【答案】C【解析】解：因为归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；合情推理的结论不一定正确，不可以作为证明的步骤，故选C．【点评】本题考查合情推理与演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．7．【答案】C【解析】解：由题意可得抛物线y2=2px（p＞0）开口向右，焦点坐标（，0），准线方程x=﹣，由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5，即4﹣（﹣）=5，解之可得p=2故抛物线的准线方程为x=﹣1．故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题．8．【答案】D【解析】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．9．【答案】B【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故应选B．【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．10．【答案】A【解析】考点：函数的性质。

2018-2018学年安徽省马鞍山二中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．如图所示，下列符号表示错误的是（）A．l∈αB．P∉l C．l⊊αD．P∈α2．用一个平面去截四棱锥，不可能得到（）A．棱锥 B．棱柱 C．棱台 D．四面体3．水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形4．下列四个命题中错误的是（）A．若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面5．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y﹣2）2=1 C．（x+2）2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣1）2+（y+2）2=16．如图所示，平面α∩平面β=l，点A、B∈α，点C∈β，AB∩l=R，设过A、B、C三点的平面为γ，则β∩γ是（）A．直线AC B．直线BC C．直线CR D．以上均不正确7．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）A．B．C．D．8．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（）A．A1B1=2，AB=3，B1C1=3，BC=4B．A1B l=1，AB=2，B l C l=1.5，BC=3，A1C1=2，AC=3C．A l B l=1，AB=2，B1C l=1.5，BC=3，A l C l=2，AC=4D．AB=A1B1，BC=B1C1，CA=C1A19．将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．110．已知P，Q，R是圆x2+y2﹣2x﹣8=0上不同三点，它们到直线l：x+y+7=0的距离分别为x1，x2，x3，若x1，x2，x3成等差数列，则公差的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．411．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体最少需要的小正方体的块数是（）A．8 B．7 C．6 D．512．若直线ax+y﹣a+1=0（a∈R）与圆x2+y2=4交于A、B两点（其中O为坐标原点），则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（4&#215;5=20分）13．如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′的关系为．14．由y=|x|与圆x2+y2=4所围成的图形面积为．15．已知实数x，y满足x2+y2=1，则的取值范围是．16．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是．三、解答题17．一木块如图所示，点P在平面V AC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？18．已知圆心（2，﹣3），一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，求这个圆的方程．19．已知直线x﹣y+1=0与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+m=0交于A，B两点；（1）求线段AB的垂直平分线的方程；（2）若|AB|=2，求m的值；（3）在（2）的条件下，求过点P（4，4）的圆C的切线方程．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=4，∠ABC=90°．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S；（2）求异面直线A1B与AC所成角的余弦值．21．如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱．（1）用x表示此圆柱的侧面积表达式；（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．22．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M、N 两点．（1）求k的取值范围；（2）若•=12，其中O为坐标原点，求|MN|．2018-2018学年安徽省马鞍山二中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．如图所示，下列符号表示错误的是（）A．l∈αB．P∉l C．l⊊αD．P∈α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间点，线，平面之间的位置关系进行判断即可．【解答】解：A．直线l在平面内，用符号表示为l⊊α，∴A错误．B．点P不在直线l上，用符号表示为P∉l，∴B正确．C．直线l在平面内，用符号表示为l⊊α，∴C正确．D．点P在平面内，用符号表示为P∈α，∴D正确．故选：A．2．用一个平面去截四棱锥，不可能得到（）A．棱锥 B．棱柱 C．棱台 D．四面体【考点】棱锥的结构特征．【分析】根据棱柱的定义进行判断．【解答】解：∵棱柱的上下底面是相同的，∴用一个平面去截四棱锥，不可能得到棱柱．故选：B．3．水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形【考点】平面图形的直观图．【分析】由图形和A′O′=通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边BC=B'C'，AO⊥BC，且AO=，故三角形为正三角形．【解答】解：由图形知，在原△ABC中，AO⊥BC，∵A′O′=∴AO=∵B′O′=C′O′=1∴BC=2∴AB=AC=2∴△ABC为正三角形．故选A4．下列四个命题中错误的是（）A．若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面【考点】平面的基本性质及推论；异面直线的判定．【分析】根据公理2以及推论判断A和B，由线线位置关系的定义判断C，利用线面垂直的性质定理和异面直线的定义判断D．【解答】解：A、由两条直线平行确定一个平面判断正确，故A不对；B、根据三棱锥的四个顶点知，任意三点都不共线，故B不对；C、若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行，故C对；D、根据线面垂直的性质定理知，这两条直线平行，即不可能，故D不对．故选C．5．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y﹣2）2=1 C．（x+2）2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣1）2+（y+2）2=1【考点】圆的标准方程．【分析】根据平面直角坐标系内点P关于直线y=x对称的点对称点P'的坐标公式，可得圆心坐标，即可得出圆的方程．【解答】解：∵点P（x，y）关于直线y=x对称的点为P'（y，x），∴（1，2）关于直线y=x对称的点为（2，1），∴圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．故选：A．6．如图所示，平面α∩平面β=l，点A、B∈α，点C∈β，AB∩l=R，设过A、B、C三点的平面为γ，则β∩γ是（）A．直线AC B．直线BC C．直线CR D．以上均不正确【考点】平面的基本性质及推论．【分析】根据平面的基本性质中公理二，只须找出这两个平面的公共点即可．【解答】解：由题意知，∵AB∩l=R，平面α∩平面β=l，∴R∈l，l⊂β，∴R∈γ．又A、B、C三点的平面为γ，即C∈γ．∴C，R是平面β和γ的公共点，∴β∩γ=CR．故选：C．7．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案．【解答】解：由主视图和俯视图可知切去的棱锥为D﹣AD1C，棱CD1在左侧面的投影为BA1，故选B．8．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（）A．A1B1=2，AB=3，B1C1=3，BC=4B．A1B l=1，AB=2，B l C l=1.5，BC=3，A1C1=2，AC=3C．A l B l=1，AB=2，B1C l=1.5，BC=3，A l C l=2，AC=4D．AB=A1B1，BC=B1C1，CA=C1A1【考点】棱台的结构特征．【分析】推断满足下面四个条件的几何体能否成为三棱台，从两个底面上对应边的比值是否相等，比值相等是组成棱台的必要条件，但这个条件不成立，一定不是棱台．【解答】解：根据棱台是由棱锥截成的，A、，故A不正确；B、，故B不正确；C、，故C正确，D、满足这个条件的是一个三棱柱，不是三棱台，故选C．9．将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．1【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥底面半径对于侧面展开图的弧长关系分别计算三个圆锥底面半径．【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，故选：D．10．已知P，Q，R是圆x2+y2﹣2x﹣8=0上不同三点，它们到直线l：x+y+7=0的距离分别为x1，x2，x3，若x1，x2，x3成等差数列，则公差的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系，继而得出圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，则距离最值的差的一半为最大公差．【解答】解：圆的圆心为（1，0），半径r=3，圆心到直线l的距离d===4，所以直线l与圆相离．∴圆上的点到直线l的距离的最小值为d﹣r=1，最大值为d+r=7．∴当x1=1，x3=7时，等差数列的公差取得最大值=3．故选C．11．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体最少需要的小正方体的块数是（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】结合三视图，画出几何体的直观图，即可判断搭成该几何体最少需要的小正方体的块数．【解答】解：由题意可知，三视图复原几何体是下层四个小正方体，上层两个正方体，如图，搭成该几何体最少需要的小正方体的块数：7．故选B．12．若直线ax+y﹣a+1=0（a∈R）与圆x2+y2=4交于A、B两点（其中O为坐标原点），则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算．【分析】由题意得直线恒过定点C（1，﹣1），圆x2+y2=4圆心为（0，0）半径为2，=4﹣2×2×cos＜＞，可得当AB⊥OC时，式子取最小值，数形结合联立方程组解点的坐标可得的最小值．【解答】解：直线ax+y﹣a+1=0可化为y+1=﹣a（x﹣1），恒过定点C（1，﹣1），圆x2+y2=4圆心为（0，0）半径为2，∴==•（﹣）==4﹣2×2×cos＜＞，当AB⊥OC时，＜，＞最小，cos＜，＞取最大值，此时•=4﹣4cos＜，＞取最小值，此时OC的斜率为﹣1，由垂直关系可得﹣a=1，解得a=﹣1，故此时直线方程为y+1=x﹣1，即y=x﹣2，联立，解得，或，∴＜，＞取最小值，cos＜＞取最大值0，此时•=4﹣4cos＜，＞取最小值4．故选：D．二、填空题（4&#215;5=20分）13．如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′的关系为相等或互补．【考点】平行公理．【分析】根据直线平行的性质判断∠AOB和∠A′O′B′的关系即可．【解答】解：若∠AOB和∠A′O′B′的在同一平面内，则根据两直线平行，内错角相等，可得：∠AOB=∠A'MB=∠A'O'B'，∠COB=∠O'MB，则∠A'MB+∠O'MB=180°，既有：∠COB+∠A′O′B′=180°，即∠AOB和∠A′O′B′的关系为相等或互补．若∠AOB和∠A′O′B′的不在同一平面内，则根据平行直线的性质可知，结论同样成立．故答案为：相等或互补．14．由y=|x|与圆x2+y2=4所围成的图形面积为π．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】根据题意可得y=|x|与圆x2+y2=4所围成的图形的面积是圆的面积的，计算求得结果．【解答】解：y=|x|与圆x2+y2=4所围成的图形的面积是圆的面积的，即×π×22=π，故答案为：π．15．已知实数x，y满足x2+y2=1，则的取值范围是[，+∞）．．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子形式可以联想成在单位圆上动点P与定点A构成的斜率，进而求解．【解答】解：由题意作出如下图形：令k=，则k可看作圆x2+y2=1上的动点P到定点A（﹣1，﹣2）的连线的斜率而相切时的斜率，由于此时直线与圆相切，设直线方程为：y+2=k（x+1），化为直线一般式为：kx﹣y+k﹣2=0，利用直线与圆相切建立关于k的方程为：=1，∴k=而由题意及点P所在的位置图可以知道斜率k临界下时斜率为，而由于点A的横坐标与单位圆在x轴的交点横坐标一样，此时过点A与单位圆相切的直线的倾斜角为90°，所以斜率无最大值．综合可得，的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．16．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是③④．【考点】棱柱的结构特征．【分析】将展开图复原为几何体，如图，根据正方体的几何牲，分别四个命题的真假，容易判断选项的正误，求出结果．【解答】解：展开图复原的正方体如图，不难看出：①BM与ED平行；错误的，是异面直线；②CN与BE是异面直线，错误；是平行线；③CN与BM成60°；正确；④DM与BN是异面直线．正确判断正确的答案为③④故答案为：③④三、解答题17．一木块如图所示，点P在平面V AC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？【考点】棱锥的结构特征．【分析】利用线面平行的判定定理去确定．【解答】解：过平面V AC内一点P作直线DE∥AC，交V A于D，交VC于E；过平面VBA内一点D作直线DF∥VB，交AB于F，则DE，DF所确定的截面为所求．18．已知圆心（2，﹣3），一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，求这个圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】根据题意求出圆的半径r，即可写出圆的方程．【解答】解：设直径的两个端点分别A（a，0）、B（0，b），圆心C为点（2，﹣3），由中点坐标公式得，=2，=﹣3；解得a=4，b=﹣6，所以半径r=AB==，所以圆的方程是：（x﹣2）2+（y+3）2=13．19．已知直线x﹣y+1=0与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+m=0交于A，B两点；（1）求线段AB的垂直平分线的方程；（2）若|AB|=2，求m的值；（3）在（2）的条件下，求过点P（4，4）的圆C的切线方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由题意，线段AB的垂直平分线经过圆的圆心（2，1），斜率为﹣1，可得线段AB的垂直平分线的方程．（2）利用|AB|=2，求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而可求m的值．（3）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，线段AB的垂直平分线经过圆的圆心（2，1），斜率为﹣1，∴方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0；（2）圆x2+y2﹣4x﹣2y+m=0可化为（x﹣2）2+（y﹣1）2=﹣m+5，∵|AB|=2，∴圆心到直线的距离为，∵圆心到直线的距离为d==，∴，∴m=1（3）由题意，知点P（4，4）不在圆上．①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣4=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+4=0．由圆心到切线的距离等于半径，得=2，解得k=，所以所求切线的方程为5x﹣12y+28=0②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为x=4综上，所求切线的方程为x=4或5x﹣12y+28=0．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=4，∠ABC=90°．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S；（2）求异面直线A1B与AC所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（1）由已知求出BC=2，=2，由此能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．（2）连结BC1，由AC∥A1C1，得∠BA1C1是异面直线A1B与AC所成的角（或其补角），由此利用余弦定理能求出异面直线A1B与AC所成角的余弦值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵AB=2，AC=4，∠ABC=90°，∴BC=2，=2，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S=2S△ABC +S侧=4+（2+2+4）×4=24+12．（2）连结BC1，∵AC∥A1C1，∴∠BA1C1是异面直线A1B与AC所成的角（或其补角），在△A1BC1中，，BC1=2，A1C1=4，由余弦定理，得cos∠BA1C1==．∴异面直线A1B与AC所成角的余弦值为．21．如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱．（1）用x表示此圆柱的侧面积表达式；（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】（1）设圆柱的底面半径为r，根据相似比求出r与x的关系，代入侧面积公式即可；（2）利用二次函数的性质求出侧面积最大时x的值，代入体积公式即可．【解答】解：（1）设圆柱的半径为r，则，∴r=2﹣x，0＜x＜2．∴S圆柱侧=2πrx=2π（2﹣x）x=﹣2πx2+4πx．（0＜x＜2）．（2），∴当x=1时，S取最大值2π，圆柱侧此时，r=1，所以．22．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M、N 两点．（1）求k的取值范围；（2）若•=12，其中O为坐标原点，求|MN|．【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．【解答】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．故由=1，解得：k1=，k2=．故当＜k＜，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点．（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，可得（1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0，∴x1+x2=，x1•x2=，∴y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=•k2+k•+1=，由•=x1•x2+y1•y2==12，解得k=1，故直线l的方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2．2018年12月25日。

安徽高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若，，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．2.等差数列中，已知公差，且，则的值为（）A．170B．150C．145D．1203.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则（）A．B．C．D．4.设，，，则数列（）A．是等差数列，但不是等比数列B．是等比数列，但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既非等差数列又非等比数列5.三角形的两边之差为2，夹角的余弦值为，该三角形的面积是14，那么这两边分别为（）A．3,5B．4,6C．6,8D．5,76.函数的最小值是（）A．B．C．D．7.若均为单位向量，且，则的最小值为（）A．B．1C．D．8.下列说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”B．命题“若，则”的逆否命题为假命题C．命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”D．中，是的充要条件9.若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．10.已知非零向量满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．11.，，若，则的值是（）A．-3B．-5C．3D．512.等差数列中，是一个与无关的常数，则该常数的可能值的集合为（）A．B．C．D．二、填空题1.若不等式的解集，则__________．2.已知，，则的最小值是__________．3.已知满足，若是递增数列，则实数的取值范围是__________．4.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为________．三、解答题1.已知集合，，.（1）求，；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.2.解关于的不等式：，.3.已知（1）最小正周期及对称轴方程；（2）已知锐角的内角的对边分别为，且, ，求边上的高的最大值．4.已知满足.（1）求取到最值时的最优解；（2）求的取值范围；（3）若恒成立，求的取值范围.5.已知数列满足，，数列且是等差数列.（1）求数列的通项公式； （2）若数列中位于中的项的个数记为，求数列的前项和.6.数列的前项和记为，，点在直线上，其中.（1）若数列是等比数列，求实数的值；（2）设各项均不为0的数列中，所有满足的整数的个数称为这个数列的“积异号数”，令（），在（1）的条件下，求数列的“积异号数”.安徽高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.若，，则下列不等式成立的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】成立【考点】不等式性质2.等差数列中，已知公差，且，则的值为（ ） A ．170B ．150C ．145D ．120【答案】C【解析】∵数列{a n }是公差为的等差数列，∴数列{a n }中奇数项构成公差为1的等差数列，又∵a 1+a 3+…+a 97+a 99=60，∴50+×1=60,,=145故选C3.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则,故选B4.设，，，则数列（）A．是等差数列，但不是等比数列B．是等比数列，但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既非等差数列又非等比数列【答案】A【解析】因为，，，根据对数定义得：，，；而b-a=,c-b=, 所以b-a=c-b，数列a、b、c为等差数列．而, 所以数列a、b、c不为等比数列．故选A5.三角形的两边之差为2，夹角的余弦值为，该三角形的面积是14，那么这两边分别为（）A．3,5B．4,6C．6,8D．5,7【答案】D【解析】三角形的两边a-c=2，cosB=，该三角形的面积是14，∵0＜B＜π，∴sinB＝,又14=ac,所以ac=35,∴这个三角形的此两边长分别是5和7．故选D．6.函数的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,当且仅当即x=时取等号故选C7.若均为单位向量，且，则的最小值为（）A．B．1C．D．【答案】A【解析】则当与同向时最大，最小，此时=，所以=-1，所以的最小值为，故选A点睛：本题考查平面向量数量积的性质及其运算律，考查向量模的求解，考查学生分析问题解决问题的能力，求出，表示出，由表达式可判断当与同向时，最小.8.下列说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”B．命题“若，则”的逆否命题为假命题C．命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”D．中，是的充要条件【答案】D【解析】命题“若，则”的否命题为：“若，则”故A错；命题“若，则”的逆否命题与原命题同真假，原命题为真命题，故B错；C. 命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”故C错；D.中，是的充要条件，根据正弦定理可得故D对；故选D9.若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，又单调递减，所以，选A.10.已知非零向量满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】非零向量满足，则由平行四边形法则可得，，令所以的取值范围是故选D点睛: 本题考查平面向量的运用，考查向量的运算的几何意义，考查运用基本不等式求最值，考查运算能力，非零向量满足，则由平行四边形法则可得，，令,则利用重要不等式可求解.11.，，若，则的值是（）A．-3B．-5C．3D．5【答案】A10=m，【解析】，，若，∴设lglog3则lglg3=-lglog 310=-m ．∵f （lglog 310）=5，，∴="5," ∴,∴f （lglg3）=f （-m ）==-4+1=-3故答案为A12.等差数列中，是一个与无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意可得：因为数列{a n }是等差数列，所以设数列{a n }的通项公式为：a n =a 1+（n-1）d ，则a 2n =a 1+（2n-1）d ，所以=，因为是一个与无关的常数，所以a 1-d=0或d=0，所以可能是， 故选A点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，以及熟练掌握分式的性质，先根据等差数列的通项公式计算出a n =a 1+（n-1）d 与a 2n =a 1+（2n-1）d ，进而表达出，再结合题中的条件以及分式的特征可得答案．二、填空题1.若不等式的解集，则__________．【答案】-10 【解析】不等式的解集，是的两根，根据韦达定理得，解得 所以故答案为-10. 2.已知，，则的最小值是__________．【答案】【解析】,当且仅当即b-1=2a,又，所以a=,b=时取等.故答案为.3.已知满足，若是递增数列，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】,是递增数列,所以>0,所以，所以<n+2,所以<3 故答案为点睛：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，利用是递增数列，则恒成立，采用变量分离即得解.4.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为________．【答案】【解析】∵函数的值域为，∴只有一个根，即则，不等式的解集为，即为解集为，则的两个根为，，∴，解得，故答案为：．【考点】一元二次不等式的应用．【方法点晴】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．根据函数的值域求出与的关系即，然后根据不等式的解集可得的两个根为，，最后利用根与系数的关系即建立等式，解之即可．三、解答题1.已知集合，，.（1）求，；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】试题分析:（1）解分式不等式，二次不等式得出集合A，B，进行交并补的运算.(2)是的充分不必要条件，,考虑，两种情况.试题解析:（1）,,（2）由（1）知，是的充分不必要条件，,①当时，满足,此时，解得；②当时，要使,当且仅当解得．综上所述，实数的取值范围为．2.解关于的不等式：，.【答案】当时，不等式解集；当时，不等式的解集；当时，不等式的解集；当时，不等式的解集；【解析】解含参的二次不等式要进行讨论，不等式解集的端点是对应方程的根，所以对进行讨论，，，，还要注意到二次函数开口的方向，分，.试题解析：由题意可知，（1）当时，，不等式无解；（2）当时，不等式的解是；（3）当时，不等式的解是；（4）当时，不等式的解是；综上所述：当时，不等式解集；当时，不等式的解集；当时，不等式的解集；当时，不等式的解集；3.已知（1）最小正周期及对称轴方程；（2）已知锐角的内角的对边分别为，且, ，求边上的高的最大值．【答案】（1）（2）【解析】（1）先利用辅助角公式把化成形式,再求周期及增区间；（2）先利用已知条件得,再利用余弦定理及基本不等式得,最后由面积公式求得边上的高的最大值试题解析：（1）,由所以单调增区间是6分（2）由得由余弦定理得设边上的高为,由三角形等面积法知,即的最大值为． 12分【考点】1.三角变换；2.余弦定理及面积公式；3.基本不等式.4.已知满足.（1）求取到最值时的最优解；（2）求的取值范围；（3）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）C（3,2）和B（2,4）（2）（3）【解析】（1）画出可行域，找出直线交点坐标，移动目标函数，找到最优解（2）目标函数表示（x,y）与（2，-1）间斜率；（3）由于直线恒过定点（0,3）时，恒成立.试题解析：（1）由图可知：直线与直线交点A（1,1）；直线与直线交点B（2,4）；直线与直线交点C（3,2）；目标函数在C（3,2）点取到最小值，B（2,4）点取到最大值取到最值时的最优解是C（3,2）和B（2,4）（2）目标函数，由图可知：.（3）由于直线恒过定点（0,3）时，恒成立,或由题意可知， .5.已知数列满足，，数列且是等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列中位于中的项的个数记为，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1），，可得，是等差数列得，从而得的通项公式（2）数列中位于中的项的个数记为，则，所以，即分组求和得出数列的前项和.试题解析：（1）由题意可知；，是等差数列，，.（2）由题意可知,,,,,6.数列的前项和记为，，点在直线上，其中.（1）若数列是等比数列，求实数的值；（2）设各项均不为0的数列中，所有满足的整数的个数称为这个数列的“积异号数”，令（），在（1）的条件下，求数列的“积异号数”.【答案】（1）（2）1【解析】（1）由题意知，可得），相减得，所以，当时是等比数列，要使时是等比数列，则只需=3，得出t（2）由（1）得，∴,作差可得数列递增，由，得当时，，即得解.试题解析：（1）由题意，当时，有两式相减，得即，所以，当时是等比数列，要使时是等比数列，则只需从而得出（2）由（1）得，等比数列的首项为，公比，∴∴∵，，∴∵，∴数列递增.由，得当时，.∴数列的“积异号数”为1.点睛：本题考查数列与的关系，注意当,注意检验n=1时，,是否符合上式，第（2）问时信息给予题，写出通项，研究的单调性，得出数列递增.由，即得解.。

安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年度第一学期期末素质测试高二年级理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题某班所有的男生都爱踢足球，则命题为A. 某班至多有一个男生爱踢足球B. 某班至少有一个男生不爱踢足球C. 某班所有的男生都不爱踢足球D. 某班所有的女生都爱踢足球【答案】B【解析】【分析】命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，书写其否定时不光要否定结论还要改变量词，由此规律易得其否定．【详解】命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，考察四个命题，“某班至少有一个男生不爱踢足球”是所研究命题的否定．故选：B．【点睛】本题考查命题的否定，要注意研究命题的类型，根据其形式是全称命题得出其否定是一个特称命题是解题的关键．2.若向量与向量的夹角的余弦值为，则A. 0B. 1C.D. 2【答案】A【解析】【分析】利用空间向量夹角余弦公式直接求解．【详解】向量0，与向量1，的夹角的余弦值为，，解得．故选：A．【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由知，所以，，双曲线焦点为，顶点为，因此椭圆的顶点是，焦点是，所以，椭圆的标准方程为，故选B．考点：1．双曲线的简单几何性质；2．椭圆的的标准方程．【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的定义及简单几何性质，椭圆的标准方程，属于中档题．解决问题时首先分析出双曲线的焦点坐标、顶点坐标，然后得到椭圆的的焦点和顶点，写出长半轴和半焦距的长，再根据椭圆的简单几何性质求出椭圆的半长轴的长，利用焦点坐标分析出椭圆的方程形式，写出所求椭圆．4.是直线和直线平行且不重合的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】C【解析】试题分析：先判断当a=3成立是否能推出两条直线平行；再判断当两条直线平行时，一定有a=3成立，利用充要条件的定义得到结论．解：当a=3时，两条直线的方程分别是3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，此时两条直线平行成立反之，当两条直线平行时，有但即a=3或a=﹣2，a=﹣2时，两条直线都为x﹣y+3=0，重合，舍去∴a=3所以“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a﹣1）y﹣a+7=0平行”的充要条件．故选：C．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定．5.平面内一点到两定点，的距离之和为10，则的轨迹是A. 椭圆B. 圆C. 直线D. 线段【答案】D【解析】【分析】根据题意，由定点和的坐标可得的长，结合椭圆的定义分析可得M的轨迹为线段，即可得答案．【详解】根据题意，两定点，则，而动点M到两定点和的距离之和为10，则M的轨迹为线段，故选：D．【点睛】本题考查曲线的轨迹方程，注意结合椭圆的定义进行分析．6.如图：在平行六面体中，为与的交点若，，，则下列向量中与相等的向量是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】连接,由平行四边形法则得到，再得到.【详解】连接,因为M是中点，所以.故答案为：B【点睛】本题主要考察平面向量的加法、减法和平行四边形法则，意在考察学生对这些知识的理解能力和掌握水平.7.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么A. 6B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的性质直接求解，即焦点弦长为．【详解】抛物线中，，∴，故选B．【点睛】是抛物线的焦点弦，，，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为．8.已知菱形边长为1，，将这个菱形沿折成的二面角，则两点的距离为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取AC中点O，连结DO，BO，BD，则，，，是将这个菱形沿AC折成的二面角的平面角，由此能求出B，D两点的距离．【详解】菱形ABCD边长为1，，将这个菱形沿AC折成的二面角，取AC中点O，连结DO，BO，BD，则，，，是将这个菱形沿AC折成的二面角的平面角，，，D两点的距离为．故选：B．【点睛】本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9.试在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为．过点P作于点，由定义可得,所以，由图形可得，当三点共线时，最小，此时．故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点P的坐标为．选A．点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．10.在长方体中，如果，，那么到直线的距离为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得：连接，AC，过A作，根据长方体得性质可得：平面ABCD，即可得到，，再根据等面积可得答案．【详解】由题意可得：连接，AC，过A作，如图所示：根据长方体得性质可得：平面ABCD．因为，，所以，，根据等面积可得：．故选：C．【点睛】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．本题涉及到点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化.11.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（）A.B.C. 三棱锥的体积为定值D. 异面直线所成的角为定值【答案】D【解析】试题分析：∵AC⊥平面，又BE⊂平面，∴AC⊥BE．故A正确．∵EF垂直于直线，，∴⊥平面AEF．故B正确．C中由于点B到直线的距离不变，故△BEF的面积为定值．又点A到平面BEF的距离为，故VA-BEF为定值．C正确当点E在处，F为的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠FBC1，当E在上底面的中心时，F在C1的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠EAA1显然两个角不相等，D不正确考点：棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角12.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】渐近线方程为y=±x，由消去y，整理得（k2﹣1）x2+4kx+10=0设（k2﹣1）x2+4kx+10=0的两根为x1，x2，∵直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点，∴，∴k＜0，∴．故选D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知1，，0，，且与垂直，则的值为______．【答案】【解析】由题意可得：与互相垂直，即，所以，.14.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是_________.【答案】【解析】试题分析：由题意得，斜率存在，设为k，则直线l的方程为y-2=k（x-4），即kx-y+2-4k=0，代入椭圆的方程化简得（1+4k2）x2+（16k-32 k2）x+64 k2-64k-20=0，∴，解得k=-，故直线l的方程为x+2y-8=0考点：直线与圆锥曲线的关系15.如图所示，正方体中，分别是正方体和的中心，是的中点，设、与所成的角分别为、，则等于______．【答案】【解析】【分析】本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，求出直线的GF、与AB的方向向量，利用夹角公式求线线角的余弦值即可．【详解】以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则2，，2，，0，，1，，0，，1，，则，1，，1，，，，又，．故答案是：．【点睛】本题考查用空间向量为工具解决空间几何问题，本题的关键是求出异面直线所成的角的余弦值后，利用两角和的正弦求解．16.双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直的直线分别交于两点，已知成等差数列，且与同向，则双曲线的离心率______．【答案】【解析】【分析】由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．【详解】设双曲线方程为由，同向，渐近线的倾斜角为，渐近线斜率为：，，,,可得：，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即而由对称性可知：OA的斜率为,,根据正切的二倍角公式得到：，，；，,故答案为：．【点睛】本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题，，命题实数满足：方程表示双曲线．1若命题为真命题，求实数的取值范围；2若命题“或”为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】1，恒成立，可得，从而求得m的范围；2由“p或q”为假命题，可得p，q 均为假命题，求出当q为真命题时m的范围，再由交集与补集的运算求解．【详解】1，恒成立，，解得，实数m的取值范围是；2“p或q”为假命题，，q均为假命题，当q为真命题时，则，解得或．为假命题时，．由知，p为假命题时．从而，即．实数m的取值范围为．【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查恒成立问题的求解方法，考查双曲线的方程，是基础题．18.如图所示，、分别为椭圆的左、右焦点，为两个顶点，已知椭圆上的点到、两点的距离之和为4.（Ⅰ）求椭圆的方程和焦点坐标；（Ⅱ）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于、两点，求的面积.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆上的点到、两点的距离之和为4,得，椭圆方程为，点代入方程可得，从而可得椭圆的方程，进而可得焦点坐标；（Ⅱ）根据题意得到的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面积公式可得求出,.试题解析：（Ⅰ）由椭圆上的点到、两点的距离之和为4,得，椭圆方程为，点代入方程可得，从而可得椭圆的方程为，从而可得焦点坐标为.（Ⅱ）将与联立，消去，得.19.如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点．求异面直线与所成角的余弦值；求直线和平面的所成角的正弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值；求出平面的法向量和，利用向量法能求出直线和平面的所成角的正弦值解析：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系．则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…∴，∴COS＜＞==﹣所以异面直线BE与AC所成角的余弦为…（2）设平面ABC的法向量为则知知取，…则…故BE和平面ABC的所成角的正弦值为20.已知直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点．当时，证明：若，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】【分析】问题转化为证明，联立直线与抛物线，根据韦达定理和向量数量积可证；假设存在m，使得，则，代入即可．【详解】时，联立得，则，，．假设存在m使得，由第一问得到：，解得．故存在符合题意．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．本题也考查了直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21.如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．1证明：；2若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】要证明，我们可能证明面PAD，由已知易得，我们只要能证明即可，由于底面ABCD 为菱形，故我们可以转化为证明，由已知易我们不难得到结论；由EH与平面PAD所成最大角的正切值为，我们分析后可得PA的值，由的结论，我们进而可以证明平面平面ABCD，则过E作于O，则平面PAC，过O作于S，连接ES，则为二面角的平面角，然后我们解三角形ASO，即可求出二面角的余弦值．【详解】1证明：由四边形ABCD为菱形，，可得为正三角形．因为E为BC的中点，所以．又，因此．因为平面ABCD，平面ABCD，所以．而平面PAD，平面PAD且，所以平面又平面PAD，所以．2设，H为PD上任意一点，连接AH，EH．由1知平面PAD，则为EH与平面PAD所成的角．在中，，所以当AH最短时，最大，即当时，最大．此时，因此又，所以，所以．因为平面ABCD，平面PAC，所以平面平面ABCD．过E作于O，则平面PAC，过O作于S，连接ES，则为二面角的平面角，在中，，，又F是PC的中点，在中，，又，在中，，即所求二面角的余弦值为．【点睛】求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角此题是利用二面角的平面角的定义作出为二面角的平面角，通过解所在的三角形求得其解题过程为：作证是二面角的平面角计算，简记为“作、证、算”．22.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线的准线上．求椭圆的标准方程；点，在椭圆上，是椭圆上位于直线两侧的动点当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】设椭圆C的标准方程为，由椭圆的一个顶点恰好在抛物线的准线上，可得，解得又，，联立解得即可；设，，由，则PA，PB 的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为，直线PA的方程为：，与椭圆的方程联立化为，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．【详解】设椭圆C的标准方程为，椭圆的一个顶点恰好在抛物线的准线上，，解得．又，，，，可得椭圆C的标准方程为．设，，，则PA，PB的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为，直线PA的方程为：，联立，化为，，同理可得：，，，．直线AB的斜率为定值．【点睛】考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．。

安徽省马鞍山2017-2018学年高二上学期第一次阶段检测理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，()5283S a a =+，则53a a 的值为（ ） A ．56 B ．13 C ．35D ．16【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，因为数列{}n a 等差数列，所以15235()52a a S a +==，且2852a a +=，所以由()5283S a a =+，可得3556a a =，所以5356a a =，故选A ． 考点：等差数列的性质．2.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a aa a +=+（ ） A．2．2．3- D．3+ 【答案】D考点：数列的性质．3.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且()cos2cos cos 1B B C A ++-=，则（ ）A ．,,a b c 成等比数列B ．,,a b c 成等差数列C ．,c,b a 成等比数列D ．,c,b a 成等差数列 【答案】A 【解析】试题分析：因为()cos2cos cos 1B BC A ++-=，所以()cos2cos()cos 1B AC C A -++-=，即21s i n c B A C A --++，即2s i n s i n s i nAC B =，由正弦定理得2(,,0)ac b a b c =>，所以,,a b c 成等比数列． 考点：正弦定理的应用．4.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 【答案】C考点：等差数列的性质．5.ABC ∆中，tan A 是以-4为第三项，-1为第七项的等差数列的公差，tan B 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均错 【答案】A 【解析】试题分析：tan A 是以4-为第三项，1-为第七项的等差数列的公差，则1(4)3734d ---==-，即3tan 4A =，设以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比为q，则2q ==，即tan 2B =，则tan tan 11tan()tan 1tan tan 2A B A B C A B ++=-==--，即11tan 2C =，所以,,A B C 均为锐角，则ABC ∆为锐角三角形，故选A ． 考点：三角形形状的判定．【方法点晴】本题主要考查了三角形的形状的判定问题，其中解答中涉及到等差数列、等比数列的通项公式和性质，以及两角和的正切公式和三角形的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中根据等差数列、等比数列的性质等差tan A 、tan B 的值是解得的关键．6.已知等比数列{}n a 为递增数列，262,3a a --为偶函数()()2212f x x a x a =-++的两个零点，若123n n T a a a a = ，则7T =（ ）A ．128B ．-128C ．128或-128D ．64或-64 【答案】A考点：等比数列的性质．7.公差不为0的等差数列{}n a 的部分项123,,k k k a a a 构成等比数列{}n k a 且1231,2,6k k k ===，则4k =（ ）A ．20B ．22C ．24D ．28 【答案】B 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为126,,a a a 成等比数列，所以2261a a a =⋅，即21111()(5)3a d a d a d a +=+⋅⇒=，所以214a a =，所以等比数列123,,,k k k a a a 的公比4q =，所以433111464k a a q a a ==⋅=，又414141(1)(1)3k a a k d a k a =+-=+-⋅，所以414(1)k a a k d =+-141(1)3a k a =+-⋅，所以14114(1)(3)643264a k a a k +-=⇒-=，解得422k =，故选B ． 考点：等比数列的应用．8.已知函数()a f x x =的图象过点()4,2，令()()*1,1n a n Nf n f n =∈++，记{}n a 的前n项为n S ，则2016S =（ ）A 1B 1C 1D 1 【答案】D考点：数列的求和．9.在ABC ∆中，①若060,10,7B a b ===，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为120°；③若ABC ∆为锐角三角形，且三边长分别为2,3,x ，则x 的x < ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B 【解析】试题分析：在060ABCB ∆=中，①若10,7a b ==，由正弦定理sin sin b aB A=可知，107sin sin 60A =，所以sin 1A =>，故错误；②若三角形的三边的比是3:5:7，根据题意设三角形三边长为3,5,7x x x ，最大角为α，由余弦定理得2222925491cos 302x x x x α+-==-，则最大角为0120，所以是正确的；③若ABC ∆为锐角三角形，且三边分别为2,3,x ，设所对角分别为,,A B C ,则最大角为B 或C 所对的角，所以249cos 04x B x +-=>，解得x > 249cos 012x C +-=>，解得x x 的取值范围是x <<B ．考点：正弦定理与余弦定理．10.已知数列{}n a 满足()*21102,4n n a a a n n N +=-=∈，则数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值为（ ）A ．25B ．26C ．27D ．28 【答案】B考点：数列的求和和基本不等式的应用．11.数列{}n a 的前n 项和为()*21n n S n N =-∈，则22212n a a a +++= （ ）A ．()221n- B ．()1213n- C ．41n - D ．()1413n- 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，因为数列{}n a 的前n 项和为()*21n n S n N =-∈，可得数列的通项公式为12n na -=，所以2121(2)4n n n a --==，所以数列{}2n a 表示首项为1，公比为4的等比数列，所以22212na a a +++ ()1(14)141143n n⨯-==--，故选D ．考点：等比数列的通项公式及求和．【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、指数幂的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用数列的n S ，求解12n n a -=，得出数列{}2n a 表示首项为1，公比为4的等比数列是解答的关键，属于中档试题．12.已知函数()y f x =的定义域为()0,+∞，当0x <时()1f x >，对任意的(),0,x y ∈+∞，()()()f x f y f x y =+成立，若数列{}n a 满足()10a f =，且()*11,(2)n n f a n N f a +=∈--，则2017a的值为（ ）A ．4024B ．2032C ．4033D ．2017 【答案】C考点：等差数列；函数的性质．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的问题，其中解答中涉及到函数的单调性的应用，函数的赋值法的应用，等差数列的通项公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题能力，以及学生的推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中得到函数的单调性，得出数列为等差数列是解得关键．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角A B C 、、sin cos 20A a B a --=，则B ∠=__________．【答案】23π 【解析】试题分析：由正弦定理，得s i ns i n s i n c o s 2s i n 0B A A B A --=，所以s i n c o s2s i n ()6B B B π-=- 2=，即2sin()16623B B B ππππ-=⇒-=⇒=． 考点：正弦定理．14.已知数列{}n a 中，1160,3n n a a a +=-=+，则12330a a a a ++++= ___________． 【答案】765考点：等差数列求和问题．15.在ABC ∆中，边AB 在垂直平分线交边AC 于D ，若3C π=，8,7BC BD ==，则ABC ∆的面积为___________．【答案】或【解析】试题分析：由题意得，边AB 在垂直平分线交边AC 于D ，且3C π=，8,7BC BD ==，在BCD ∆中，设C D x =，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅，即222788x x =+-，整理得28150x x -+=，解得3x =或5x =，当3x =时，此时7310AC AD DC =+=+=，所以面积为11sin 108sin 223S CA CB C π=⋅=⨯⨯⨯=；当5x =时，此时75A CA D D C=+=+=，所以面积为11sin 1012sin 223S CA CB C π=⋅=⨯⨯⨯=考点：三角形的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了解三角形的综合问题，其中解答中涉及到解三角形的余弦定理的应用，三角形的面积公式、三角形的中垂线的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中，在BCD ∆中，利用余弦定理，求解CD 的长是解答的关键，属于中档试题．16.下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为()*,,i j a i j N ∈，则①9,9a =__________；②表中的数82共出现____________次．【答案】82 5 【解析】试题分析：根据题意得，第i 行的等差数列的公差为i ，第j 列等差数列的公差为j ，所以第一行数组的数列1j a 是以2为首项，公差为1的等差数列，可得12(1)11j a j j =+-⨯=+，又因为第j 列数组成的数列ij a 是以1j a 为首项，公差为j 的等差数列，所以1(1)(1)(1)1ij j a a i j j i j ij =+-=++-⨯=+，因为1ij a ij =+，所以9999182a =⨯+=；由于182ija ij =+=，则81ij =，所以81i =且1j =或1i =且81j =或3i =且27j =或27i =且3j =或9i j ==，所以可得等于82的项共有5项．考点：等差数列与等比数列．【方法点晴】本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用，本题给出的是“森德拉姆素数筛”的例子，求表格中的指定项，并求82在表中出现的次数，着重考查了等差数列的通项公式及其应用的知识，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度属于中档试题，正确的理解题意是解答的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别是,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c aC b--=．（1）求sin sin CA的值； （2）若1cos ,24B b ==，求ABC S ∆．【答案】（1）2；（2．试题解析：（1）∵cos 2cos 2cos A C c aB b--=，∴cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B--=，∴cos sin 2cos sinB 2sinCcosB sinAcosB A B C -=-， ∴()()sin 2sin A B B C +=+， ∴sin 2sin C A =，∴sin 2sin CA=（2）4ABC S ∆=考点：正弦定理；余弦定理；三角形的面积公式．18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，()()2*11n n na n a n n n N +=+++∈． （1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）若数列{}n b 满足121n n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】（1）证明见解析；（2）()2111n -+．试题解析：（1）证明：()()111111n n n n na n a a a n n n n ++-+-==++， ∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）得：2n n a n a n n =⇒=， ∴()()2222211111n n b n n n n +==-++，∴()2111n S n =-+． 考点：等差数列的概念；数列的求和．19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为1,4n S a =，对一切正整数n ，都有1202n n S a -+=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设121log n n nb a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）12n n a +=；（2）22n n T n += ．【解析】试题分析：（1）由1202n n S a -+=，则111202n n S a ---+=，两式相减，即可求解数列{}n a 的通项公式； （2）由（1）可知()112n nb n +=+ ，利用乘公比错误相减法求和，即可求解数列{}n b 的前n 项和n T ．试题解析：（1）因为1202n n S a -+=，① 所以当2n ≥时，111202n n S a ---+=，② ①-②得：12,2n n a a n -=≥，所以11422n n n a -+== ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分考点：数列的通项公式；数列求和．20.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比11,1q a >=，且132,,14a a a +成等差数列，数列{}n b 满足： ()()*1122131n n n a b a b a b n n N +++=-+∈ ．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若8n n ma b ≥-恒成立，求实数m 的最小值．【答案】（1）21n b n =-；（2）181． 【解析】试题分析：（1）数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得13n na -=，再将n 换为1n -，两式相减可得21nb n =-；（2）若8n n ma b ≥-恒成立，即为1293n n m --≥的最大值，由1293n n n c --=作差，判定函数的单调性，即可得到最大值，进而得到m 的最小值．试题解析：（1）因为等比数列{}n a 满足：11321,,,14a a a a =+成等差数列，所以：312214a a a =++，即2111214a q a a q =++，所以：22150q q --=，所以3q =（因为1q >）所以13n n a -=，因为：()1122131nn n a b a b a b n +++=-+ ，① 所以当2n ≥时，有()1112211231n n n a b a b a b n ---+++=-+ ，② ①-②得：()()12132n n n a b n n -=-≥ ，所以()212n b n n =-≥，当1n =时也满足，所以21n b n =-．考点：等比数列的通项公式；数列的求和．21.（本小题满分12分）如图，某小区准备将一块闲置的直角三角形（其中,,2B AB a BC π∠===）土地开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分（图中阴影部分）有公共绿地走道MN ，且两边是两个关于走道MN 对称的三角形（AMN ∆和A MN '∆），现考虑方便和绿地最大化原则，要求M 点与B 点不重合，A '点落在边BC 上，设AMN θ∠=．（1）若3πθ=，绿地“最美”，求最美绿地的面积；（2）为方便小区居民行走，设计时要求,AN A N '最短，求此时公共绿地走道MN 的长度．【答案】（1）29；（2）23MN a =．试题解析：由,,2B AB a BC π∠===，得3BAC π∠=．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分设()01MA MA xa x '==<<，则MB a xa =-，所以在Rt MBA '∆中，()1cos 2a xa x xa xπθ---==．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （1）因为3πθ=，所以()11cos 22x x πθ--==，所以23x =， 又3BAC π∠=，所以AMN ∆为等边三角形，所以绿地的面积21222sin 23339S a a π=⨯⨯⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 （2）因为()21cos 2cos 22sin 1x xπθθθ--=-=-=， 所以212sin x θ=，则22sin a AM θ=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 又3BAC π∠=，所以在AMN ∆中，23ANM πθ∠=-，故2sin sin 3AN AM πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 222sin sin 2sin sin 33a a AN θππθθθθ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．9分因为221112sin sin sin cos 2cos 2sin 232226ππθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-==-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 又42ππθ<<，所以52366πππθ<-<， 所以当262ππθ-=，即3πθ=时，AN 最短，且23AN a =， 此时公共绿地走道23MN a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：三角函数的实际应用．【方法点晴】本题主要考查了三角函数的实际应用问题，其中解答中涉及到三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质、正弦定理、三角形的面积等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中正确列出三角函数关系式，利用三角函数的性质是解答的关键．22.（本小题满分12分）函数()()()112321,11,1x n x e n f x g x f x a g g g g e n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等差数列，且2n n S n b n c -=+，求非零常数c ； （3）设11n n n c a a +=，若数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57n k T >对一切*n N ∈都成立的最大正整数k 的值．【答案】（1）21n a n =-；（2）12-；（3）max 18k =． 【解析】试题分析：（1）由已知得()()22g x g x +-=，123218n n a g g g n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2122231n n n n a g g g g n n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即可求解21n a n =-；（2）22n n n b n c-=+，则1231615,,123b b b c c c ===+++，即可求解12c =-；（3）11122121n c n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，所以21n n T n =+，所以2157n k n >+对一切*n N ∈都成立，解得max 18k =．试题解析：（1）由已知得()()22g x g x +-=， 因为123218n n a g g g n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，① 2122231n n n n a g g g g n n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭② ① +②得()()212222221n n a n -=+++=- ，所以21n a n =-；考点：数列的综合应用问题．【方法点晴】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到等差数列的通项公式、数列的裂项求和、数列的最值和数列的性质，以及函数的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中正确的理解函数的性质，得出数列的通项公式是解答的关键，同时仔细审题、准确作答也是一个重要的方面．。

马鞍山市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ）A ．100B ．150C ．200D ．2502． ，分别为双曲线（，）的左、右焦点，点在双曲线上，满足，1F 2F 22221x y a b-=a 0b >P 120PF PF ⋅=若 ）12PF F ∆C. D. 11+【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．3． 设F 1，F 2为椭圆=1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则的值为（）A ．B ．C ．D ．4． 执行如图的程序框图，则输出S 的值为（）A ．2016B ．2C ．D ．﹣15． 已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A ⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个6． 已知空间四边形，、分别是、的中点，且，，则（）ABCD M N AB CD 4AC =6BD =A ．B ．C ．D ．15MN <<210MN <<15MN ≤≤25MN <<7． 已知函数f （x ）=x 3+（1﹣b ）x 2﹣a （b ﹣3）x+b ﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不等式组所确定的平面区域在x 2+y 2=4内的面积为（ ）A ．B ．C ．πD ．2π8． 若函数f （x ）=2sin （ωx+φ）对任意x 都有f （+x ）=f （﹣x ），则f （）=（）A ．2或0B ．0C ．﹣2或0D ．﹣2或29． 函数f （x ）=lnx ﹣的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（1，）D ．（e ，+∞）10．如图，已知平面=，．是直线上的两点，是平面内的两点，且，，，．是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．11．在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则210a a +=（ ）A ．12B ．16C ．20D ．2412．三个数60.5，0.56，log 0.56的大小顺序为（ ）A ．log 0.56＜0.56＜60.5B ．log 0.56＜60.5＜0.56C ．0.56＜60.5＜log 0.56D ．0.56＜log 0.56＜60.5二、填空题13．已知z ，ω为复数，i 为虚数单位，（1+3i ）z 为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω= ．14．已知数列中，，函数在处取得极值，则{}n a 11a =3212()3432n n a f x x x a x -=-+-+1x =_________.n a =15．已知点M （x ，y ）满足，当a ＞0，b ＞0时，若ax+by 的最大值为12，则+的最小值是 ．16．若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意的正整数n ，都有a n+T =a n 成立，则称数列{a n }为周期为T 的周期数列．已知数列{a n }满足：a1＞=m （m ＞a ），a n+1=，现给出以下三个命题：①若 m=，则a 5=2；②若 a 3=3，则m 可以取3个不同的值；③若 m=，则数列{a n }是周期为5的周期数列．其中正确命题的序号是 ． 17．已知函数为定义在区间[﹣2a ，3a ﹣1]上的奇函数，则a+b= ．18．若命题“∃x ∈R ，x 2﹣2x+m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是 ．三、解答题19．设F 是抛物线G ：x 2=4y 的焦点．（1）过点P （0，﹣4）作抛物线G 的切线，求切线方程；（2）设A ，B 为抛物线上异于原点的两点，且满足FA ⊥FB ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值．20．（本小题满分12分）已知向量满足：，，.,a b ||1a = ||6b = ()2a b a ∙-=（1）求向量与的夹角；（2）求.|2|a b -21．求下列曲线的标准方程：（1）与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x 为一条渐近线．求双曲线C 的方程．（2）焦点在直线3x ﹣4y ﹣12=0 的抛物线的标准方程．22．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动．（1）证明：BC 1∥平面ACD 1．（2）当时，求三棱锥E ﹣ACD 1的体积．23．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别是棱的中点，且ABCD S -ABCD Q P E 、、AB SC AD 、、⊥SE平面.ABCD（1）求证：平面；//PQ SAD （2）求证：平面平面.SAC SEQ 24．已知矩阵M 所对应的线性变换把点A （x ，y ）变成点A ′（13，5），试求M 的逆矩阵及点A 的坐标． 马鞍山市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】A【解析】解：分层抽样的抽取比例为=，总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×=100．故选：A ．　2． 【答案】D【解析】∵，∴，即为直角三角形，∴，120PF PF ⋅=12PF PF ⊥12PF F ∆222212124PF PF F F c +==，则，12||2PF PF a -=222221212122()4()PF PF PF PF PF PF c a ⋅=+--=-.所以内切圆半径2222121212()()484PF PF PF PF PF PF c a +=-+⋅=-12PF F ∆，外接圆半径.，整理，得12122PF PF F F r c +-==R c =c =，∴双曲线的离心率，故选D.2(4ca=+1e =+3． 【答案】C【解析】解：F 1，F 2为椭圆=1的两个焦点，可得F 1（﹣，0），F 2（）．a=2，b=1．点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，PF 1⊥F 1F 2，|PF 2|==，由勾股定理可得：|PF 1|==．==．故选：C ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．　4． 【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得s=2，k=0满足条件k ＜2016，s=﹣1，k=1满足条件k ＜2016，s=，k=2满足条件k ＜2016，s=2．k=3满足条件k ＜2016，s=﹣1，k=4满足条件k ＜2016，s=，k=5…观察规律可知，s 的取值以3为周期，由2015=3*671+2，有满足条件k ＜2016，s=2，k=2016不满足条件k ＜2016，退出循环，输出s 的值为2．故选：B ．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出前几次循环得到的s ，k 的值，观察规律得到s 的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．　5． 【答案】B【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A ⊆B ，A ⊆C ；∴A ⊆B ∩C={0，2}∴集合A 可能为{0，2}，即最多有2个元素，故最多有4个子集．故选：B ．　6． 【答案】A 【解析】试题分析：取的中点，连接，，根据三角形中两边之和大于第三边，两边之BC E ,ME NE 2,3ME NE ==差小于第三边，所以，故选A ．15MN <<考点：点、线、面之间的距离的计算．1【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的位置关系及其应用，其中解答中涉及三角形的边与边之间的关系、三棱锥的结构特征、三角形的中位线定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边是解答的关键，属于基础题．7．【答案】B【解析】解：因为函数f（x）的图象过原点，所以f（0）=0，即b=2．则f（x）=x3﹣x2+ax，函数的导数f′（x）=x2﹣2x+a，因为原点处的切线斜率是﹣3，即f′（0）=﹣3，所以f′（0）=a=﹣3，故a=﹣3，b=2，所以不等式组为则不等式组确定的平面区域在圆x2+y2=4内的面积，如图阴影部分表示，所以圆内的阴影部分扇形即为所求．∵k OB=﹣，k OA=，∴tan∠BOA==1，∴∠BOA=，∴扇形的圆心角为，扇形的面积是圆的面积的八分之一，∴圆x2+y2=4在区域D内的面积为×4×π=，故选：B【点评】本题主要考查导数的应用，以及线性规划的应用，根据条件求出参数a，b的是值，然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键．8．【答案】D【解析】解：由题意：函数f（x）=2sin（ωx+φ），∵f （+x ）=f （﹣x ），可知函数的对称轴为x==，根据三角函数的性质可知，当x=时，函数取得最大值或者最小值．∴f （）=2或﹣2故选D ．　9． 【答案】B【解析】解：函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．又∵f （2）﹣ln2﹣1＜0，f （3）=ln3﹣＞0∴f （2）•f （3）＜0，∴函数f （x ）=lnx ﹣的零点所在的大致区间是（2，3）．故选：B ．　10．【答案】A【解析】【知识点】空间几何体的表面积与体积【试题解析】由题知：是直角三角形，又，所以。

马鞍山市第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知表示数列的前项和，若对任意的满足，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．2． 已知点P （1，﹣），则它的极坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．3． 如果a ＞b ，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．B ．|a|＞|b|C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 34． 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m ＞1，且a m ﹣1+a m+1﹣a m 2=0，S 2m ﹣1=38，则m 等于（ ） A ．38B ．20C ．10D ．95． 设集合M={x|x 2+3x+2＜0}，集合，则M ∪N=（ ）A ．{x|x ≥﹣2}B ．{x|x ＞﹣1}C ．{x|x ＜﹣1}D ．{x|x ≤﹣2}6． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自 然数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 7． 已知命题p ：对任意()0x ∈+∞，，48log log x x <，命题：存在x ∈R ，使得tan 13x x =-，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧ 8． 若函数()y f x =的定义域是[]1,2016，则函数()()1g x f x =+的定义域是（ ）A ．(]0,2016 B ．[]0,2015 C ．(]1,2016 D ．[]1,20179． 已知某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N 1（90，86）和ξ2：N 2（93，79），则以下结论正确的是（ ）A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定10．给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 11．已知a ＞b ＞0，那么下列不等式成立的是（ ）A ．﹣a ＞﹣bB ．a+c ＜b+cC ．（﹣a ）2＞（﹣b ）2D ．12．数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）=+6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题13．复数z=（i 虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．14．把函数y=sin2x 的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为 ．15．定义在R 上的函数)(x f 满足：1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，则不等式3)(+>x x e x f e （其 中为自然对数的底数）的解集为 .16．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是 ．17．设函数f （x ）=，则f （f （﹣2））的值为 ．18．设p ：f （x ）=e x +lnx+2x 2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q ：m ≥﹣5，则p 是q 的 条件．三、解答题19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =a n ﹣，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y+2=0上．（1）求数列{a n }，{b n }的通项a n 和b n ； （2）设c n =a n •b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．20．在中，、、是角、、所对的边，是该三角形的面积，且（1）求的大小;（2）若，，求的值。

安徽省马鞍山2017-2018学年高二上学期第一次（10月）月考数学试卷一、选择题：共12题1．下列给出的赋值语句中正确的是 ( )A.4=MB.M=-MC.B=A=3D.x+y=0【答案】B【解析】赋值语句是将“=”右边的表达式的值赋给“=”左边的变量,所以A,D错;赋值语句中只能给一个变量赋值,不能出现两个或两个以上的“=”,因此C错.只有B是正确的.2．下列各数中，最小的数是A.75B.C.D.【答案】B【解析】本题主要考查其他进制与十进制的转换、体现了算法的多样性.要找出最小数，先排出顺序大小，要排出顺序大小，先统一数的进制.二进制11111六进制=九进制所以最小的数是3．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则，对的线性回归方程为( )A. B. C. D.【答案】C.【解析】本题主要考查线性回归方程. 关于线性回归直线方程的判断问题，一般有两种方法：样本中心点的代入检验法及计算求解法.本题直接由公式计算即可，计算过程如下：∵，，∴，，∴线性回归方程为.4．某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生人数为A.2700B.2400C.3600D.3000【答案】D【解析】本题主要考查分层抽样的方法.从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生, 高一与高二共抽取了14人，则从高三900名学生中，抽取了6人，设高一与高二共有x名学生，根据抽取比相等，得则全校学生人数为900+2100=3000.5．下列关于概率的理解中正确的命题的个数是①掷10次硬币出现4次正面，所以掷硬币出现正面的概率是0.4；②某种体育彩票的中奖概率为，则买1000张这种彩票一定能中奖；③郎溪气象台预报明天郎溪降雨的概率为70%是指明天郎溪有70%的区域下雨，30%的区域不下雨.A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】本题主要考查概率的定义、频率与概率的关系.概率的定义是表征随机事件发生可能性大小的量，是事件本身固有的不随人的主观意愿而改变的一种属性. 频率与概率的辩证关系：频率是随机的，是这n次试验中的频率，换成另外次试验一般说频率将不同；而概率反映的是大量重复试验中频率的稳定性，在大量重复试验中，随机试验的频率接近概率，但不一定等于概率.掷10次硬币出现4次正面，所以掷硬币出现正面的频率是0.4，而不是概率是0.4；②某种体育彩票的中奖概率为，则买1000张这种彩票可能中奖也可能不中奖；③郎溪气象台预报明天郎溪降雨的概率为70%是指明天郎溪降雨的可能性是70%，而不是指明天郎溪有70%的区域下雨，30%的区域不下雨. 所以正确的命题的个数是0.6．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查古典概型.通过列表表示出所有等可能的情况，从列表看出只有一次出现正面有两种情况，故只有一次出现正面的概率为.7．把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人,每人1张,事件A：“甲得红卡”与事件B：“乙得红卡”是A.不可能事件B.必然事件C.对立事件D.互斥且不对立事件【答案】D【解析】本题主要考查互斥事件与对立事件.事件A：“甲得红卡”与事件B：“乙得红卡”不可能同时发生，所以事件A与事件B是互斥事件，但事件A不发生时，事件B可能发生也可能不发生，所以事件A与事件B不是对立事件. 即事件A与事件B是互斥且不对立事件.8．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出2张卡片上数字之和为偶数的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查古典概型.从这5张卡片中随机抽取2张的所有基本事件为共10个，其中取出2张卡片上数字之和为偶数的基本事件为共4个，所以从这5张卡片中随机抽取2张，取出2张卡片上数字之和为偶数的概率为9．甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中,5次得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别为,则下列判断正确的是6 7 7 58 8 8 6 8 4 0 9 3甲 乙A.，甲比乙成绩稳定B.，乙比甲成绩稳定C.，甲比乙成绩稳定D.，乙比甲成绩稳定【答案】B【解析】本题主要考查用样本估计总体.由茎叶图可知：甲的成绩集中在两侧，乙的成绩集中在中间， 所以，乙比甲成绩稳定，故选B.10．已知事件与事件发生的概率分别为、，有下列命题：①若为必然事件，则；②若与互斥，则；③若与互斥，则.其中真命题有( )个A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】本题主要考查互斥事件与对立事件的关系、互斥事件发生的概率.对于①：若为必然事件，则，为真命题；对于②：不能同时发生的事件叫互斥事件，必有一个发生的两个互斥事件叫互为对立事件，即互斥事件不一定相互对立，只有当与互斥且相互对立时，，所以②为假命题；对于③：若与互斥，则P所以为真命题. 11．如图所示的程序框图输出的结果是S=5040，则判断框内应填的条件是A.i≤7B.i＞7C.i≤6D.i＞6【答案】D【解析】本题主要考查程序框图，考查算法的基本思想.S初始赋值为1，i初始赋值为10,第一次运行：i=10满足条件，S=10,i=9;第二次运行：i=9满足条件，S=90,i=8;第三次运行：i=8，满足条件，，S=720，i=7；第四次运行：i=7，满足条件，S=5040，i=6；第五次运行;i=6,不满足条件，退出循环，输出，S=5040.则判断框内应填的条件是i>6.12．如图在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点.在A、P、M、C中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记为F.设G为满足向量＝＋的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为________.A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查几何概型、向量的加法法则.从A、P、M、C中任取一点记为E，有种不同的取法；在B、Q、N、D中任取一点记为F，有种不同的取法. 基本事件的总个数为如图，只有当E点是从P、M中任取的一点，且F点是从Q、N中任取的一点时，向量＝＋的终点G落在平行四边形ABCD四边的中点上，G点落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为二、填空题：共4题13．用秦九韶算法计算多项式当时的值时,至多需要做乘法和加法的次数分别是和_________.【答案】6,6【解析】本题主要考查排序问题与算法多样性.因为所以当时，计算的值,至多需要做乘法和加法的次数分别是6, 6.【备注】从多项式的最高次也可看出，至多需要做乘法6次，从加号看出，至多需要做加法6次.14．如图程序运行后输出的结果是.【答案】61【解析】本题主要考查伪代码、计算机程序语言、循环结构.第一次循环结果：S=第二次循环结果：S=第三次循环结果：S=第四次循环结果：S=终止循环，输出S=61.15．从一批产品中取出三件产品,设A={三件产品全不是次品},B={三件产品全是次品},C={三件产品不全是次品},则下列结论正确的序号是________.①A与B互斥;②B与C互斥;③A与C互斥;④A与B对立;⑤B与C对立.【答案】①②⑤【解析】本题主要考查互斥事件与对立事件.从一批产品中取出三件产品,有四种情况：三件全是正品；一件次品两件正品；两件次品一件正品；三件全是次品.A={三件产品全不是次品}即A=,,B={三件产品全是次品}, C={三件产品不全是次品},即C=所以①A与B互斥，正确；④A与B对立，不正确；②B与C互斥，正确；⑤B与C对立，正确；③A与C是包含关系，不互斥，更不对立，结论正确的序号是①②⑤.16．运行如图所示的程序框图，输出的的值为____________.【答案】2【解析】本题主要考查程序框图、循环结构.模拟程序框图运行，循环7次即得结果.第一次循环结果:A=第二次循环结果:A=第三次循环结果:A=第四次循环结果:A=A的值呈现周期性变化，最小正周期为4，由此推算，第七次循环结果:A=2, i=8>7, 输出A=2.三、解答题：共6题17．(1)用辗转相除法求228与1995的最大公约数.(2)用秦九韶算法求多项式f(x)=+-8x+5在x=2时的值.【答案】(1)第一次：用较小数228除较大数1995，商8余171；第二次：用第一个余数171除较小数228，商1余57；第三次：用第二个余数57除第一个余数171，商3余0.整除为止，得228与1995的最大公约数为57.(2)先将多项式化为,再按照从内到外的顺序，依次计算多项式当x=2时的值.【解析】本题主要考查用辗转相除法计算最大公约数、秦九邵算法求多项式的值.(1) 辗转相除法求两个数的最大公约数：先用较小数除较大数，得第一次余数，再用第一次余数除较小数，得第二次余数，再用第二次余数除第一次余数，直到整除为止，最后的余数就是两个数的最大公约数.(2) 先将多项式化为, 再按照从内到外的顺序，依次计算多项式当x=2时的值.18．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示.(1)如果乙组同学投篮命中次数的平均数为，求及乙组同学投篮命中次数的方差；(2)在(1)的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为17的概率.【答案】(1)由得x=8;.(2) 在(1)的条件下，甲组四名同学的投篮命中次数为7,9,11,11; 乙组四名同学的投篮命中次数为8，8，9，10. 分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名，有种不同的取法，因为9+8=17，所以“这两名同学的投篮命中次数之和为17”有2种不同的取法，由等可能事件的概率公式，得这两名同学的投篮命中次数之和为17的概率为.【解析】本题主要考查茎叶图、平均数、方差、古典概型.(1) 根据乙组同学投篮命中次数平均数建立方程求x,再用方差公式求乙组同学投篮命中次数的方差.(2) 分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名，即甲组从投篮命中次数为7,9这两名同学中随机选取一名，乙组从投篮命中次数为8,8,9这三名同学中随机选取一名，求出基本事件的总个数，取出的这两名同学的投篮命中次数之和为17，即取“9，8；9，8”.然后用等可能事件的概率公式，即可求解.19．某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y 台之间有如下关系：(1)画出散点图，并判断y 与x 是否具有线性相关关系？ (2)求日销售量y 对销售单价x 的线性回归方程；(3)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(1)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润.(，)【答案】(1) 画出散点图，如图所示.从图可以看出：这些散点大致分布在一条直线附近，所以y 与x 线性相关. (2)=日销售量y对销售单价x的线性回归方程为(3) 经营此商品的日销售利润为P=得，当时，P最大，由此预测当销售单价x=42元时，才能获得最大日销售利润.【解析】本题主要考查相关性、线性回归方程、二次函数最值，考查数形结合的数学思想和函数与方程思想.画出散点图，由图便知y与x线性相关.(2)根据公式求，再根据求，然后代入即得线性回归方程.(3)根据“利润”=差价销售量=销售量，建立函数关系，并代入(2)中的，问题就转化成二次函数的区间最值问题.20．某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图.(1)求分数在的频率及全班人数；(2)求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高；(3)若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率.【答案】(1)由频率分布直方图知：分数在的频率为0.008由茎叶图知：分数在的人数为2人，全班人数为(2) 由茎叶图知：分数在之间的频数为25-2-7-11-2=3，频率分布直方图中间矩形的高为(3)将之间的3个分数记为A,B,C,将之间的2个分数记为a,b,则分数在之间的试卷中任取两份的所有基本事件为共有10种情况；至少有一份分数在之间的基本事件有7种，所以“至少有一份分数在之间”的概率为【解析】本题主要考查频率分布直方图、茎叶图、古典概型.先用频率分布直方图求出分数在，的频率，再用茎叶图求出分数在，的人数，然后用频率公式：频率=,求全班人数.由(1)知全班总人数，根据茎叶图中可见数据个数即分数在之外的人数，二者之差为茎叶图中不可见数据个数，即分数在之间的频数，再根据频率公式可求间矩形的高.(3)先用列举法列举出所有基本事件，从中找出至少有一份分数在之间的基本事件的个数，然后根据古典概型概率公式即可求解.【备注】至少有一份分数在之间”的概率为21．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：(1)求图中的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；(3)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？【答案】(1) 根据频率总和等于1，得(2) 根据频率分布直方图得，成绩在的中值为55，频率为0.05；成绩在的中值为65，频率为0.35；成绩在的中值为75，频率为0.30；成绩在的中值为85，频率为0.20；成绩在的中值为95，频率为0.10；估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分为(3) 由频率分布直方图，得第三组的人数为：0.30第四组的人数为：0.20第五组的人数为：0.10按照分层抽样在这60人中抽6人，第三组抽取的人数为：第四组抽取的人数为：第五组抽取的人数为：第三组3人记为第四组2人记为第五组1人记为C,则从这6人中抽取2人，有以下15种情形：,其中恰有1人的分数不低于90分，有以下5种情形：恰有1人的分数不低于90分的概率为【解析】本题主要考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型.(1)根据频率总和等于1，即频率分布直方图中所有矩形面积之和等于1，建立关于a的方程，求解即可.(2) 这100名学生期中考试数学成绩的平均分等于各组中值与该组频率之积的和.(3)先由频率分布直方图求出第3、4、5组中的人数，再按分层抽样计算抽出的6人在第3、4、5组中的分布情况，然后根据古典概型的概率公式求解.【备注】(3)22．近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):(Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误的概率;(Ⅲ)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a>0,a+b+c=600.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值.(注:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x n-)2],其中为数据x1,x2,…,x n的平均数)【答案】(Ⅰ)厨余垃圾投放正确的概率约为==.(Ⅱ)设“生活垃圾投放错误”为事件A,则事件表示“生活垃圾投放正确”.事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P()约为=0.7,所以P(A)约为1-0.7=0.3.(Ⅲ)当a=600,b=c=0时,s2取得最大值.因为=(a+b+c)=200,所以s2=×[(600-200)2+(0-200)2+(0-200)2]=80000.【解析】本题主要考查概率统计的基本知识,意在考查考生运用数学的能力和逻辑思维能力.(1)第一行是厨余垃圾共600吨;(2)所有垃圾都为生活垃圾共1 000吨;(3)利用方差公式求方差,然后求最值.。