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2020-2021学年安徽省马鞍山二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知复数z＝2﹣i，若i为虚数单位，则＝（）A．B．C．D．2．已知集合，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|0≤x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2} 3．已知f（﹣1）＝2x+3，则f（6）的值为（）A．15B．7C．31D．174．数列{a n}满足：点（n，a n）（n∈N，n≥2）在函数f（x）＝2x的图象上，﹣1则{a n}的前10项和为（）A．4092B．2047C．2046D．10235．若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）6．函数y＝﹣cos x•ln|x|的图象可能是（）A．B．C．D．7．给出下面结论：（1）命题p：“∃x0∈R，x02﹣3x0+2≥0”的否定为￢p：“∀x∈R，x2﹣3x+2＜0”；（2）若￢p是q的必要条件，则p是￢q的充分条件；（3）“M＞N”是“lnM＞lnN”成立的充分不必要条件．其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．08．向量＝（cosθ，sinθ），＝（，1），则的最大值为（）A．3B．4C．5D．69．一个数的规律如下：在第k个2和第k+1个2之间有2k+1个1（k∈N*），即12111211111211111112，则该数的前2021个数字之和为（）A．2063B．2064C．2065D．206610．已知正项等比数列{a n}满足a7＝a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在11．设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（18，34）C．（17，35）D．（6，7）12．已知函数，g（x）＝（e是自然对数的底数），若对∀x1∈（0，1），∃x2∈[1，3]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则正数k的最小值为（）A．B．1C．D．二、填空题（共4小题）.13．计算cos xdx＝．14．点（x，y）满足，则的取值范围为．15．将函数y＝sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后所得函数图象关于原点中心对称，则sin2φ＝．16．已知函数f（x）满足当x≤0时，2f（x﹣2）＝f（x），且当x∈（﹣2，0]时，f（x）＝|x+1|﹣1；当x＞0时，f（x）＝log a x（a＞0且a≠1）．若函数f（x）的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是．三、解答题（共70分）17．已知实数m＞0，p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：﹣2m≤x≤2+m．（1）若￢q是￢p的必要不充分条件，求实数m的取值范围；（2）若m＝2，“￢p∧q”为真命题，求实数x的取值范围．18．已知函数f（x）＝（sinωx+cosϖx）cosωx﹣（x∈R，ω＞0）．若f（x）的最小正周期为4π．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足（2a﹣c）cos B＝b cos C，求函数f（A）的取值范围．19．已知a为实数，函数f（x）＝．（1）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；（2）若f'（﹣1）＝0，对任意x1，x2∈[﹣1，0]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m 恒成立，求m的最小值．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足a n＝1﹣2S n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设函数x，b n＝f（a1）+f（a2）+…+f（a n），T n＝，求证：T n＜2．21．已知函数，其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数y＝f（x）+h（x）在R上单调递增，求实数a能取到的最大整数值．选做题（10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做按所做的第一题计分）22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线C2：（x﹣1）2+y2＝1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．23．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝|x+1|﹣x．（1）解不等式f（x）＞g（x）；（2）若存在实数x，使不等式m﹣g（x）≥f（x）+x（m∈R）能成立，求实数m的最小值．参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z＝2﹣i，若i为虚数单位，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据复数的代数形式运算法则，计算即可．解：由复数z＝2﹣i，所以＝＝＝＝+i．故选：B．2．已知集合，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|0≤x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2}【分析】分别解关于A，B的集合，求出A，B的交集即可．解：＝{x|0≤x＜4}，B＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∩B＝{x|0≤x＜3}，故选：C．3．已知f（﹣1）＝2x+3，则f（6）的值为（）A．15B．7C．31D．17【分析】可根据原函数解析式求出f（x）的解析式，从而带入x＝6即可求出f（6）的值．解：；∴f（x）＝4x+7；∴f（6）＝4×6+7＝31．故选：C．4．数列{a n}满足：点（n，a n）（n∈N，n≥2）在函数f（x）＝2x的图象上，﹣1则{a n}的前10项和为（）A．4092B．2047C．2046D．1023【分析】利用已知条件推出数列的递推关系式，然后判断数列的特征，求解数列的和即可．）（n∈N，n≥2）在函数f（x）＝2x的图象上，解：数列{a n}满足：点（n，a n﹣1＝2n，（n∈N，n≥2），数列是等比数列，首项为4，公比为2，可得a n﹣1所以{a n}的前10项和为：＝212﹣4＝4092．故选：A．5．若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）【分析】该函数的导数为二次函数，所以只需导数有两个互异的实数根即可，利用判别式大于零即可求出a的范围．解：易知x∈R，f′（x）＝3x2+2ax+（a+6）．因为f（x）有极大值和极小值，所以只需f′（x）＝0有两个互异的实数根即可，即△＝4a2﹣4×3×（a+6）＞0，整理得a2﹣3a﹣18＞0，解得x＜﹣3，或x＞6．故选：D．6．函数y＝﹣cos x•ln|x|的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由函数为偶函数，可排除CD，由lnπ＜2，可排除B，由此得出正确选项．解：因为y＝﹣cos x•ln|x|为偶函数，定义域为{x|x≠0}，故排除C，D；当x＝π时，y＝lnπ＜2，排除B；故选：A．7．给出下面结论：（1）命题p：“∃x0∈R，x02﹣3x0+2≥0”的否定为￢p：“∀x∈R，x2﹣3x+2＜0”；（2）若￢p是q的必要条件，则p是￢q的充分条件；（3）“M＞N”是“lnM＞lnN”成立的充分不必要条件．其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0【分析】直接利用命题的否定，充分条件和必要条件和对数的运算的应用判断（1）（2）（3）的结论．解：对于（1）命题p：“∃x0∈R，x02﹣3x0+2≥0”的否定为￢p：“∀x∈R，x2﹣3x+2＜0”故正确；（2）若￢p是q的必要条件，即q⇒￢p⇔p⇒￢q，则p是￢q的充分条件，故正确；（3）“M＞N”是“lnM＞lnN”成立的必要不充分条件，故错误．故选：B．8．向量＝（cosθ，sinθ），＝（，1），则的最大值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据向量模的公式，算出||＝1且||＝2，结合向量的三角形不等式，即可算出当cosθ＝﹣，sinθ＝﹣时，的最大值为4．解：∵向量＝（cosθ，sinθ），＝（，1），∴||＝＝1，||＝＝2根据向量的三角形不等式，得≤|2|+||＝4当且仅当cosθ＝﹣，sinθ＝﹣时，即θ＝﹣+2kπ时，k∈Z的最大值为4故选：B．9．一个数的规律如下：在第k个2和第k+1个2之间有2k+1个1（k∈N*），即12111211111211111112，则该数的前2021个数字之和为（）A．2063B．2064C．2065D．2066【分析】找出数列的规律，判断数字，2021个，中有多少1，多少个2，然后求解即可．解：设第k个2之后，第k+1个2之前的1的个数为a n＝2n+1，则第k个2之前所有数的个数为1+3+……+（2k﹣1）+k＝k2+k个，令k2+k≤2021，解得k≤44，即第44个2之前所有1的和为442＝1936，因为该数共有2021个数位，故第44个2之后还有41个1，所以所有数的和为1936+44×2+41＝2065．故选：C．10．已知正项等比数列{a n}满足a7＝a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，由a7＝a6+2a5，可得，化简解得q＝2．由存在两项a m，a n，使得，可得＝4a1，化为：m+n＝6．又m，n∈N*，即可得出．解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a7＝a6+2a5，∴，化为q2﹣q﹣2＝0，q＞0，解得q＝2．∵存在两项a m，a n，使得，∴＝4a1，化为：m+n ＝6．则m＝1，n＝5；m＝2，n＝4；m＝3，n＝3；m＝4，n＝2；m＝5，n＝1．则当m＝2，n＝4时，的最小值为．故选：A．11．设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（18，34）C．（17，35）D．（6，7）【分析】不妨设a＜b＜c，利用f（a）＝f（b）＝f（c），结合图象可得a，b，c的范围，即可1求出解：互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），可得a∈（﹣∞，0），b∈（0，1），c∈（4，5），则0＜2a＜1，1＜2b＜2，16＜2c＜32，2a+2b+2c∈（17，35）故选：C．12．已知函数，g（x）＝（e是自然对数的底数），若对∀x1∈（0，1），∃x2∈[1，3]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则正数k的最小值为（）A．B．1C．D．【分析】求出g（x）在[1，3]上的最小值3，于是问题转化为f（x）≥3在（0，1）上恒成立，分离参数可得k≥3x﹣，求出右侧函数的最大值即可得出k 的范围．解：g′（x）＝，故当1≤x＜e时，g′（x）＜0，当e＜x≤3时，g′（x）＞0，∴g（x）在[1，e）上单调递减，在（e，3]上单调递增，∴g（x）在[1，3]上的最小值为g（e）＝3．∵f（x）＝+≥3在（0，1）上恒成立．即k≥3x﹣在（0，1）上恒成立．设h（x）＝3x﹣（0＜x＜1），则h′（x）＝3﹣＝，令h′（x）＝0可得x＝1﹣或x＝1+（舍去），∴当0＜x＜1﹣时，h′（x）＞0，当1﹣＜x＜1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上的最大值为h（1﹣）＝3﹣﹣＝4﹣2．∴k≥4﹣2．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算cos xdx＝．【分析】利用微积分基本定理即可求出．解：原式＝＝．故答案为．14．点（x，y）满足，则的取值范围为[，]．【分析】利用分式的几何意义结合直线斜率的定义将转化为直线斜率问题，利用数形结合进行求解即可．解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x＞0，y＞0，＝，设k＝，则k＞0，＝＝＝，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OB的斜率最小，OA的斜率最大，由得，即A（1，2），由得，即B（2，1），则OB的斜率k＝，OA的斜率k＝2，即≤k≤2，设f（k）＝k+，则函数在≤k≤1上递减，在1≤k≤2上递增，则最小值为f（1）＝1+1＝2，f（2）＝2+＝，f（）＝2+＝＝f（2），则2≤f（k）≤，则2≤k+≤，则≤≤，即的取值范围为[，]，故答案为：[，]15．将函数y＝sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后所得函数图象关于原点中心对称，则sin2φ＝．【分析】先求出平移后的函数的解析式，然后根据正弦函数的对称性即可求解．解：函数向左平移个单位后所得函数的解析式为：f（x）＝sin[2（x+）+φ]＝sin（2x++φ），因为函数f（x）关于原点对称，则+φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ﹣，k∈Z，所以sin2φ＝sin（2kπ﹣）＝﹣，（k∈Z），故答案为：﹣．16．已知函数f（x）满足当x≤0时，2f（x﹣2）＝f（x），且当x∈（﹣2，0]时，f（x）＝|x+1|﹣1；当x＞0时，f（x）＝log a x（a＞0且a≠1）．若函数f（x）的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是9＜a＜625．【分析】根据题意可得函数f（x）的图象向左平移2个单位，但函数值依次减半，作出函数图象得，解得a的取值范围．解：因为函数f（x）满足当x≤0时，2f（x﹣2）＝f（x）所以函数f（x）的图象向左平移2个单位，但函数值依次减半，且当x∈（﹣2，0]时，f（x）＝|x+1|﹣1，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝log a x（a＞0，且a≠1），因为函数f（x）图象关于原点对称的点恰好有3对，先作出函数f（x）在（﹣∞，0]上的部分图象，再作出f（x）＝log a x关于原点对称的图象，如图所示，当0＜a＜1时，对称后的图象不可能与f（x）在（﹣∞，0]的图象有3个交点，当a＞1时，要使函数f（x）关于原点对称后得图象与所作的图象有3个交点，则满足，解得9＜a＜625，即实数a的取值范围是（9，625）．故答案为：（9，625）．三、解答题（共70分）17．已知实数m＞0，p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：﹣2m≤x≤2+m．（1）若￢q是￢p的必要不充分条件，求实数m的取值范围；（2）若m＝2，“￢p∧q”为真命题，求实数x的取值范围．【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义进行转化求解即可．（2）根据复合命题真假关系进行转化求解．解：（1）p：﹣2≤x≤3；又￢q是￢p的必要不充分条件，则p是q的必要不充分条件，则，得m≤1，又m＝1时p⇔q，所以0＜m＜1．（2）当m＝2时，q：﹣4≤x≤4，￢p：x＞3或x＜﹣2．因为￢p∧q是真命题，所以，则x∈（3，4]∪[﹣4，﹣2）．18．已知函数f（x）＝（sinωx+cosϖx）cosωx﹣（x∈R，ω＞0）．若f（x）的最小正周期为4π．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足（2a﹣c）cos B＝b cos C，求函数f（A）的取值范围．【分析】（1）通过两角和公式把f（x）化简成f（x）＝sin（2ωx+），通过已知的最小正周期求出ω，得到f（x）的解析式．再通过正弦函数的单调性求出答案．（2）根据正弦定理及（2a﹣c）cos B＝b cos C，求出cos B，进而求出B．得到A的范围．把A代入f（x）根据正弦函数的单调性，求出函数f（A）的取值范围．解：（1），∵，∴，∴，∴f（x）的单调递增区间为；（2）∵（2a﹣c）cos B＝b cos C∴2sin A cos B﹣sin C cos B＝sin B cos C，2sin A cos B＝sin（B+C）＝sin A，∴，∴∵，，∴∴．19．已知a为实数，函数f（x）＝．（1）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；（2）若f'（﹣1）＝0，对任意x1，x2∈[﹣1，0]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m 恒成立，求m的最小值．【分析】（1）先求出函数的导数，因为函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，所以导数等于0有实数解，利用判别式△＞0，即可求出a的范围．（2）根据f'（﹣1）＝0解出a的值，得到函数f（x）的解析式，因为对任意x1，x2∈[﹣1，0]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m恒成立，所以对任意x1，x2∈[﹣1，0]，m大于等于|f（x1）﹣f（x2）|的最大值，再用导数求出x∈[﹣1，0]时，f（x）的最大值和最小值，而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，就可求出m的范围．解：（1）∵∴．由题意知f'（x）＝0有实数解．∴△＝∴，即或．故．（2）∵f'（﹣1）＝0∴即.，令f'（x）＝0得．当x∈[﹣1，0]时，∴．故x1，x2∈[﹣1，0]时，所以，即m的最小值为．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足a n＝1﹣2S n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设函数x，b n＝f（a1）+f（a2）+…+f（a n），T n＝，求证：T n＜2．【分析】（1）利用数列的递推关系式，推出数列是等比数列，然后求解通项公式；（2）利用数列与函数的关系，求出b n，然后利用裂项消项法求解数列的和即可．【解答】（1）解：因为a n＝1﹣2s n，所以a n﹣1＝1﹣2s n﹣1（n≥2），所以a n﹣a n﹣1＝2s n﹣1﹣2s n＝﹣2a n（n≥2），所以又a1＝1﹣2s1，所以．所以数列{a n}为首项为，公比为的等比数列，所以：．（2）证明：因为，所以＝＝．因为，所以＝＝．21．已知函数，其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数y＝f（x）+h（x）在R上单调递增，求实数a能取到的最大整数值．【分析】（1）根据导数和函数极值的关系即可求出；（2）方法一：记g（x）＝（x﹣2）e x﹣x2+2≥0在R上恒成立，由g′（1）＝﹣a+2≥0，得g′（x）≥0的必要条件是a≤2，当a＝1时，不等式（x﹣1）e x﹣x+2≥0恒成立．由此利用导数性质能求出a能取得的最大整数．方法二：g（x）＝（x﹣2）e x﹣x2+2≥0，当a＝1时，不等式（x﹣1）e x﹣x+2≥0恒成立，即（x﹣1）e x≥x﹣2，先证明∀x∈R，e x≥x+1，由此利用导数性质能求出a能取得的最大整数．解：（1）f（x）＝（x﹣2）e x，f'（x）＝e x+（x﹣2）e x＝（x﹣1）e x，令f'（x）＝0，得x＝1，当x＞1时，f'（x）＞0；当x＜1时，f′（x）＜0，∴x＝1是f（x）的唯一的极小值点，无极大值点，故f（x）的极小值为﹣e，无极大值，（2）方法一：记，由题意知g'（x）＝（x﹣1）e x﹣ax+2≥0在R上恒成立，由g'（1）＝﹣a+2≥0，可得g'（x）≥0的必要条件是a≤2，若a＝2，则g'（x）＝（x﹣1）e x﹣2x+2＝（x﹣1）（e x﹣2），当In2＜x＜1时，g'（x）＜0，故a＜2，下面证明：当a＝1时，不等式（x﹣1）e x﹣x+2≥0恒成立，令h（x）＝（x﹣1）e x﹣x+2，则h'（x）＝xe x﹣1，记H（x）＝xe x﹣1，则H（x）＝（x+1）e x，从而（x﹣1）e x﹣x+2≥0恒成立，故a能取得的最大整数为1，方法二：记由题意知g'（x）＝（x﹣1）e x﹣ax+2≥0在R上恒成立，∵g'（1）＝﹣a0，+2≥0∴g'（x）≥0的必要条件是a≤2，若a＝2，则g'（x）＝（x﹣1）e x﹣2x+2＝（x﹣1）（e x﹣2），当In2＜x＜1时，g'（x）＜0，故a＜2，下面证明：当a＝1时，不等式（x﹣1）e x﹣x+2≥0恒成立，即（x﹣1）e x≥x ﹣2，先证明∀x∈R，e x≥x+1，令k（x）＝e x﹣x﹣1，则k'（x）＝e x﹣1，当x＞0时，k'（x）＞0，k（x）单调递增；当x＜0时k'（x）＜0，k（x）单调递减．∴k（x）min＝k（0）＝0，∴e x≥x+1恒成立，当x≥1时，（x﹣1）e x≥（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1＞x﹣2，当x＜1时，由e x≥x+1得e﹣x≥﹣x+1＞0，即，∴，综上所述，（x﹣1）e x﹣x+2≥0恒成立，故a能取得的最大整数为1．选做题（10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做按所做的第一题计分）22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线C2：（x﹣1）2+y2＝1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．【分析】（Ⅰ）由sin2α+cos2α＝1，能求出曲线C1的普通方程，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，能求出曲线C2的极坐标方程．（Ⅱ）依题意设A（），B（），将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，求出ρ1＝3，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程求出，由此能求出|AB|．解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为（其中α为参数），∴曲线C1的普通方程为x2+（y﹣2）2＝7．∵曲线C2：（x﹣1）2+y2＝1，∴把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入（x﹣1）2+y2＝1，得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2＝1，化简，得ρ＝2cosθ．（Ⅱ）依题意设A（），B（），∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3＝0，将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3＝0，解得ρ1＝3，同理，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程，得，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝3﹣．23．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝|x+1|﹣x．（1）解不等式f（x）＞g（x）；（2）若存在实数x，使不等式m﹣g（x）≥f（x）+x（m∈一、选择题）能成立，求实数m的最小值．【分析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出各个区间的x的范围，取并集即可；（2）问题转化为m≥（|x﹣2|+|+1|）min，根据绝对值的性质求出m的最小值即可．解：（1）由题意不等式f（x）＞g（x）可化为|x﹣2|+x＞|x+1|，当x＜﹣1时，﹣（x﹣2）+x＞﹣（x+1），解得x＞﹣3，即﹣3＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤2时，﹣（x﹣2）+x＞x+1，解得x＜1，即﹣1≤x＜1；当x＞2时，x﹣2+x＞x+1，解得x＞3，即x＞3，综上所述，不等式f（x）＞g（x）的解集为{x|﹣3＜x＜1或x＞3}．（2）由不等式m﹣g（x）≥f（x）+x（m∈R）可得m≥|x﹣2|+|x+1|，∴m≥（|x﹣2|+|+1|）min，∵|x﹣2|+|x+1|≥|x﹣2﹣（x+1）|＝3，∴m≥3，故实数m的最小值是3．。
安徽省高二数学上学期期末模拟试卷含答案（试题卷）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.高二（2）班男生36人，女生18 人，现用分层抽样方法从中抽出n 人，若抽出的男生人数为12，则n 等于（ ）A ． 16B ． 18C ．20D ．22 2.命题“x R ∀∈，ln x x >”的否定为（ ）A ．x R ∀∈，ln x x ≤B ． x R ∀∈,ln x x <C ．0x R ∃∈,00ln x x ≤D ．0x R ∃∈,00ln x x >3.双曲线221124x y -=的焦点到渐近线的距离为（ ）A B ． 2 D ． 3 4.下列函数是偶函数的是（ ）A ．cos y x x =+B ．sin 2y x x =+C ．2+cos y x x =D ．2sin 2y x x =+5.若正方形ABCD 的边长为1，则在正方形ABCD 内任取一点，该点到点A 的距离小于1的概率为（ ） A ．4π B ．6π C. 1π D ．2π6.“函数()2()311f x ax a x =--+在区间[)1+∞，上是增函数”是“01a ≤≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.执行如图所示的 程序框图，因输出的结果为（ ） A ． 2 B ．3 C. 4 D ．58.设命题:p x R ∃∈，220x x -+=；命题q ：若1m >，则方程22121x y m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆．那么，下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∨⌝B ． ()()p q ⌝∨⌝ C. p q ∧ D ．()p q ∧⌝ 9.将曲线cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位后，得曲线()y f x =，则函数()f x 的单调增区间为（ ） A ．(),36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．(),63k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C.()2,63k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()5,36k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦10.已知长方体1111ABCD A B C D -，12AD AA ==，3AB =, E 是线段AB 上一点，且13AE AB =，F 是BC 中点，则1D C 与平面1D EF 所成的角的正弦值为（ ） A ．465195 B ．33535 C.33 D ．2411．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()3cos 3cos cos b A a a B -=+，则sin A =（ ）A ．223 B ．13C.33 D ．63 12．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左顶点为M ，右焦点为F ，过左顶点且斜率为l 的直线l 与双曲线C 的右支交于点N ，若MNF ∆的面积为232b ，双曲线C 的离心率为（ ）A ． 3B ．2 C.53 D ．43第Ⅱ卷（非选择题 共 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()1,3a =-，()3,b t =，若a b ⊥，则2a b +=．14.已知一个算法的程序框图如图所示，当输入的1x =-与1x = 时，则 输 出的两个y 值的和 为．15.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，侧棱长12AA =，则异面直线11A B 与1BD 的夹角大小等于．14．直线1y kx =+与圆22(2)1x y -+=有交点，则实数k 的取值范围是．15．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，点E ，F 分别为CD ,1DD 的中点 ，点G 在棱1AA 上，若CG 平面AEF ，则四棱锥G ABCD -的外接球的体积为.16．已知椭圆22143x y +=的右焦点为F ，点M 是椭圆上第一象限内的点，MF 的延长线依次交y 轴，椭圆于点P ，N ，若MF PN =，则直线MN 的斜率为.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 甲乙两人同时生产内径为25.41mm 的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出 5 件（单位：mm ） , 甲：25.44，25.43， 25.41，25.39，25.38 乙：25.41，25.42， 25.41，25.39，25.42.从生产的零件内径的尺寸看、谁生产的零件质量较高．18. 已知直线2y x p =-与 抛物线()220y px p =>相交于A ，B 两点，O 是坐标原点．（1）求证：OA OB ⊥；（2）若F 是抛物线的焦点 ，求ABF ∆的面积．19. 某高校进行社会实践，对[]2555，岁的人群随机抽取 1000 人进行了一次是否开通“微博”的调查，开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”.通过调查得到到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，其中在(]3035，岁，[)3540，岁年龄段人数中，“时尚族”人数分别占本组人数的80%、60%.（1）求[)3035，岁与[)3540，岁年龄段“时尚族”的人数； （2）从[)3045，岁和[)4550，岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛，其中两人作为领队．求领队的两人年龄都在[)3045，岁内的概率。
3PO42H5莽草酸达菲马鞍山市第二中学2021┄2022学年高二上学期期终素质测试理科化学试题相对原子质量： H：1 C：12 O：16 S:32 N：14第Ⅰ卷（选择题共54分）一、选择题：（本题包括18小题，每题3分，共54分。
每小题只有一个．．．．选项符合题意）1．乙醇、苯酚、乙酸中，含有共同的基团是（）A．羧基 B．醛基 C．羟基 D．羰基2．北京奥运会火炬“祥云”燃烧系统内装环保型燃料——丙烷。
下列关于丙烷说法不正确的是（）A．分子中的碳原子不在同一条直线上 B．光照下能够发生取代反应C．比丁烷更容易液化 D．是石油分馏的一种产品3．2021年年初爆发的甲流感，至今已在全球160个国家蔓延，感染人数可能已超百万。
目前通过从香料八角茴香中提取的莽草酸制得的达菲是抗甲型H1N1流感病毒特效药物。
下列有关描述不正确的是（）Ａ．高温、紫外线都能使甲流感病毒失去生理活性Ｂ．莽草酸既能与H2发生加成，又能与FeCl3溶液反应显紫色Ｃ．莽草酸、达菲都能使溴水或酸性KMnO4溶液褪色Ｄ．达菲可与NaOH反应4．某有机物的分子式为C3H6O2, 其1H核磁共振谱如下图，则该有机物的结构简式为（）T 2P 1 T 2P 2 T 1P 1tnA ． CH 3COOCH 3B ．HCOOC 2H 5 C ．CH 3COCH 2OHD ．CH 3CH （OH ）CHO 5．已知某类有机物只含有C 、H 、N 三种元素，其中物质A 的相对分子质量为88，则A 分子中的氢原子数最多为（ ） A ．12 B ．13 C ． 14 D ．15 6．反应2X （g ）+Y （g ）2Z （g ）；在不同温度（T 1和T 2）及压强（P 1和P 2）下，产物Z 的物质的量n （z ）与反应时间（t ）的关系如图所示。
则下列判断正确的是（ ）A ．T 1<T 2，P 1<P 2B ．T 1<T 2，P 1>P 2C ．T 1>T 2，P 1>P 2D ．T 1>T 2，P 1<P 27．反应：xA （气）+yB （气）zC （气），达到平衡时测得A 气体的浓度为0.5mol ．L -1，当在恒温下将该容器体积扩大一倍，再次达到平衡，测得A 气体的浓度为0.3 mol ．L -1，则下列叙述正确的是（ ） A ．x+y<z B ．平衡向右移动 C ．B 的转化率升高 D ．C 的体积分数降低8．在密闭容器中，一定条件下进行如下反应：NO （g ）+CO （g ）21N 2（g ）+CO 2（g ）；△H ＝-373.2kJ·mol -1 ,达到平衡后，为提高该反应的速率和NO 的转化率，采取的措施一定正确是（ ）Ａ． 加催化剂同时升高温度 Ｂ． 加催化剂同时增大压强 Ｃ． 升高温度同时充入N 2 Ｄ． 降低温度同时增大压强 9．一定条件下，体积为10L 的密闭容器中，1molX 和1molY 进行反应： 2X （g ）＋Y （g ）Z （g ），经60s 达到平衡，生成0.3molZ 。
2020-2021学年安徽省马鞍山市第二中学高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．命题:0,1x p x a ∀<>，则p ⌝（ ） A ．0,1x x a ∀>≤ B ．0,1x x a ∃<≤ C ．0,1x x a ∀<≤ D ．0,1x x a ∃>>【答案】B【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】命题:0,1xp x a ∀<>的否定是0,1x x a ∃<≤， 故选：B ．2．若集合{|12}A x x =<<，{},B x x b b R =∈，则A B ⊆的一个充分不必要条件是（ ） A ．2b ≥ B ．12b <≤C ．1b ≤D ．1b <【答案】D 【解析】{|12}A x x =<<，{},B x x b b R =∈，A B ∴⊆充要条件是1b ≤，1b ∴<是A B ⊆的充分不必要条件，故选D.3．圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为（ ）A ．)π１B ．4πC ．3πD ．5π【答案】C【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥的底面半径、母线长，结合圆锥表面积公式，即可求出答案. 【详解】圆锥的轴截面是边长为2的正三角形ABC ∆，∴圆锥的底面半径1r =，母线长2l =；表面积212232S r r l πππππ=+⨯⨯=+= 故选C.【点睛】本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥轴截面等知识，属于基础题.4．在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11,BC CD 的中点，则（ ） A ．11//MN C DB ．1MN BC ⊥C ．MN ⊥平面1ACD D ．MN ⊥平面1ACC【答案】D【解析】分析：对于选项A ，由条件可得直线MN 与平面11CDD C 相交，因为直线11C D 在平面11CDD C 内，可得直线MN 与直线11C D 不可能平行，判断选项A 不对；对于选项B ，因为点M 是1BC 的中点，所以要证1MN BC ⊥，只需证1=NB NC ．而1NB NC ≠，所以MN 与1BC 不垂直，选项B 不对；对于选项C ，可用反证法推出矛盾．假设MN ⊥平面1ACD ，由直线与平面垂直的定义可得1MN CD ⊥．因为M 是1BC 的中点，由等腰三角形的三线合一可得1MC MD = ．这与1MC MD ≠矛盾．故假设不成立．所以选项C 不对；对于选项D ，可找与直线MN 平行的一条直线，证其垂直于平面1ACC ．故分别取1111,B C C D 的中点P 、Q ，连接PM 、QN 、PQ ．可得四边形PQNM 为平行四边形．进而可得//PQ MN ．正方体中易得1,CC PQ PQ AC ⊥⊥，由直线与平面垂直的判定定理可得PQ ⊥平面1ACC ．进而可得MN ⊥平面1ACC ．详解：对于选项A ，因为,M N 分别是11,BC CD 的中点，所以点N ∈平面11CDD C ，点M ∉ 平面11CDD C ，所以直线MN 是平面11CDD C 的交线，又因为直线11C D 在平面11CDD C 内，故直线MN 与直线11C D 不可能平行，故选项A 错；对于选项B ，正方体中易知1NB NC ≠ ，因为点M 是1BC 的中点，所以直线MN 与直线1BC 不垂直．故选项B 不对；对于选项C ,假设MN ⊥平面1ACD ，可得1MN CD ⊥．因为M 是1BC 的中点，所以1MC MD = ．这与1MC MD ≠矛盾．故假设不成立． 所以选项C 不对；对于选项D,分别取1111,B C C D 的中点P 、Q ，连接PM 、QN 、PQ ．因为点M 是1BC 的中点，所以1//PM CC 且11||=||2PM CC ．同理1//QN CC 且11|QN|=||2CC ．所以//PM QN 且||=||PM QN ，所以四边形PQNM 为平行四边形． 所以//PQ MN ．在正方体中，1,CC PQ PQ AC ⊥⊥ 因为1ACCC C = ，AC ⊂平面1ACC ，1CC ⊂平面1ACC ，所以PQ ⊥平面1ACC ．因为//PQ MN ，所以MN ⊥平面1ACC ． 故选项D 正确． 故选D.点睛：在立体图形中判断直线与直线、直线与平面的位置关系，应熟练掌握直线与直线平行、垂直的判定定理、性质定理，直线与平面平行、垂直的判定定理、性质定理．注意直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直之间的互相推导．要判断选项错误，可用反证法得到矛盾．5．直线1l 、2l 的斜率是方程2310x x --=的两根，则1l 与2l 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直【答案】D【分析】由韦达定理可得方程的两根之积为1-，从而可知直线1l 、2l 的斜率之积为1-，进而可判断两直线的位置关系【详解】设方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，则121x x =-．∴直线1l 、2l 的斜率121k k =-，故1l 与2l 垂直．故选：D ．【点睛】此题考查韦达定理的应用，考查两直线的位置关系的判断，属于基础题6．设1F 和2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，若12,(0,2)F F A b ，是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．3y x =±B ．y =C ．7y x =± D ．3y x =±【答案】B【分析】设1(,0)F c -,2(,0)F c ,则1F P =由1F 、2F 、(0,2)P b 是正三角形的三个顶点可知12F P c ==,由此可求出b =,进而得到双曲线的渐近线方程.【详解】设12(,0),(,0)F c F c - ,则1F P =1F 、2F 、(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,2c =,22244c b c ∴+=,()222244c c a c ∴+-=,224c a ∴=,即2c a =,b =,∵双曲线的渐近线方程为b y x a=±,即为y = 故选B【点睛】本题考查了双曲线里的,,a b c 与渐近线方程的联系，注意几何关系的运用，属于基础题．7．若从坐标原点O 向圆22:12270C x y x +-+=作两条切线，切点分别为A ，B ，则线段AB 的长为（ ）A ．32B ．3CD ．【答案】D【分析】圆心为(6,0)C 在x 轴上，因此,A B 关于OC 对称，即AB x ⊥轴，在四边形OACB 中易求得AB 的长．【详解】圆C 标准方程是22(6)9x y -+=，圆心为(6,0)C ，半径为3r =， 所以,A B 关于OC 对称，即关于x 轴对称，而OA CA ⊥，6,3OC CA ==，所以33OA =，所以333233AB ⨯=⨯=． 故选：D ．【点睛】结论点睛：过圆C 外一点P 作圆C 的切线，切点为,A B ，则AB 的垂直平分线是PC ，则由面积法得切点弦长AB 2PA CAPC⨯=⨯．8．已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()'f x 的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是（ ）①()()()f b f a f c >>；②函数()f x 在x c =处取得极小值，在x e =处取得极大值； ③函数()f x 在x c =处取得极大值，在x e =处取得极小值； ④函数()f x 的最小值为()f d . A ．③ B ．①② C ．③④ D ．④【答案】A【分析】由()'f x 的图像可得，当x c <时，()0,()f x f x '>单调递增；当c x e <<时，()0,()f x f x '<单调递减；当x e >时，()0,()f x f x '>单调递增，再利用极值和最值的定义逐个判断即可【详解】由()'f x 的图像可得，当x c <时，()0,()f x f x '>单调递增；当c x e <<时，()0,()f x f x '<单调递减；当x e >时，()0,()f x f x '>单调递增．对于①，由题意可得()()()f a f b f c <<，所以①不正确．对于②，由题意得函数()f x 在x c =处取得极大值，在x e =处取得极小值，故②不正确．对于③，由②的分析可得正确．对于④，由题意可得()f d 不是最小值，故④不正确． 综上可得③正确． 故选：A ．【点睛】此题考查由导函数的图像判函数的极值和最值，属于基础题.9．已知函数3()2sin f x x x x =++，若()(12)0f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞C ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】确定函数为奇函数，由导数证明它是增函数，然后由奇函数的性质和增函数性质解不等式．【详解】3()2sin ()f x x x x f x -=---=-，所以()f x 是奇函数，又2()32cos 0f x x x '=++>恒成立，所以()f x 在R 上是增函数，则不等式()(12)0f a f a +->可变形为()(12)(21)f a f a f a >--=-，即21a a >-，解得1a <． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查应用函数的单调性和奇偶性解不等式，解题时可先确定函数的奇偶性与单调性，然后把不等式利用奇偶性变形为12()()f x f x >，再由单调性变形后可得结论．10．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，212AD AB ==，则该球的表面积为（ ）A ．B ．96πC ．192πD ．48π【答案】C【分析】由题意画出几何体的图形，把A 、B 、C 、D 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A 的距离为球的半径，由此能求出球的表面积．【详解】把A 、B 、C 、D 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A 的距离为球的半径，212AD AB ==，6OE =，ABC 是正三角形，2221()332AE AB AB ∴=-=22(23)364AO =+= ∴球的表面积为(243192S ππ==．故选：C11．设抛物线24y x =的焦点为F ，过点)5,0M的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，3BF =，则BCF △与ACF 面积的比BCF ACFS S=（ ）A ．34B ．45C ．56D ．67【答案】D【分析】根据BCF ACFBCSSAC=，进而由两三角形相似，得出11BC BB AC AA =，再由抛物线的定义求得11BB BFAA AF=，根据3BF =的值求得点B 的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把24y x =代入，即可得点A 的坐标，从而求得BF AF 的值，则三角形的面积之比可得.【详解】解：如图过A ，B 两点分别作准线:1l x =-的垂线，垂足分别为1A ，1B ，因为 1B BC ∽1A AC ，所以11BC BB AC AA =，由抛物线定义得，113BB BF AA AFAF ==， 因为BCF ACFBCS SAC=，所以3BCF ACFSS AF=， 因为13BB BF ==，所以2B x =，22B y =-， 所以2252AB k =- ， 所以直线AB 的方程为22(5)52y x =--， 将24y x =代入上式得，222(5)452y y =--，解得 10y =或22y =-，所以10A y =，52A x =， 所以 157122AF AA ==+=， 所以36772BCF ACFBF SSAF===， 故选：D【点睛】此题考了抛物线的应用，抛物线的简单性质，考查了基础知识的综合运用和综合分析问题的能力，属于中档题. 12．已知函数()x x f x e=，若关于的方程2[()]()10f x mf x m ++-=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( ）A ．()(),22,-∞⋃+∞B ．11,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．11,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,e【答案】C【分析】先画出函数()f x 的图象，令()f x t =，由题意中的恰有3个不同的实数解，确定方程210t mt m ++-=的根的取值情况，继而求出m 的范围 【详解】()x x f x e=，则()()21x x x x e xe x f x e e --='= 当()1x ∈-∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增 当()1x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减 如图所示：令()f x t =，则有210t mt m ++-= 即()()110t m t +-+= 解得1211t m t =-=-， 故101m e<-< 即111m e-<< 故选C【点睛】本题考查了复合函数根的情况，在解答此类题目时需要运用换元法，根据原函数图像，结合实数点的个数，确定方程根的取值范围，从而进行转化为方程根的情况，然后求解，本题需要进行转化，有一定难度．二、填空题13．已知椭圆的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，P 是椭圆上一点，且12F F 是1PF ，2PF 的等差中项，则椭圆的方程是___________.【答案】22143x y +=【分析】由等比中项的概念求出a ，结合222a b c =+求得b ，从而可得椭圆方程． 【详解】由题意1c =，1212224=+==a PF PF F F ，所以2a =，b == 所以椭圆方程为22143x y +=．故答案为：22143x y +=．14．已知函数32()(,)f x ax bx x a b =++∈R ，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =+，则(1)f '-=_________. 【答案】11-【分析】求出函数()f x 的导函数及(1)f '，再求出(1)f 可得到a 、b 的方程，解出可得到答案. 【详解】2()321f x ax bx '=++，(1)3211k f a b ∴==++='，得320a b +=①又(1)1f a b =++，由切点)1,1(a b ++在1y x =+，即111a b ++=+②，由①②得32b a =⎧⎨=-⎩，所以2()661f x x x '=-++，则(1)66111f '-=--+=-.故答案为：-11.【点睛】本题考查导数的几何意义，求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.15．已知正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是____________． 【答案】94π【解析】设正三角形ABC 的中心为1O ，连接1O A ，分析知经过点E 的球O 的截面，当截面与OE 垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值.连结11,O O O C ，因为1O 是正三角形ABC 的中心，,,A B C 三点都在球面上,所以1O O ⊥平面ABC ，结合1O C ⊂平面ABC ，可得11O O O C ⊥，因为球的半径2R =.球心O 到平面ABC 的距离为1，得11O O =，所以在RtABC 中，22113O C R O O =-=,又因为E 为AB 的中点，ABC 是等边三角形，所以13302AE AO cos =︒=，因为过E 作球O 的截面，当截面与O E 垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆的半径32r =，可得截面面积为294S r ππ==.16．函数32()31f x ax x =+-存在唯一的零点0x ，且0x 0<，则实数a 的取值范围是______． 【答案】2a <-【分析】讨论a 的取值范围，求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行求解即可．【详解】（i ）当0a = 时，231f x x =-+（） ，令0f x =（） ，解得33x =± ，函数()f x 有两个零点，舍去．（ii ）当0a ≠ 时，22'363f x ax x ax x a =+=+（）（） ，令0f x =（），解得x=0或2a-． ①当a ＜0时，2a -＞0，当x ＞2a-或x ＜0，f′（x ）＜0，此时函数f （x ）单调递减；当0＜x ＜-2a-时，f′（x ）＞0，此时函数f （x ）单调递增． ∴故x=2a-是函数f （x ）的极大值点，0是函数f （x ）的极小值点．∵函数f （x ）=ax 3+3x 2-1存在唯一的零点x 0，且x 0＜0，则22228124110f a a a a-=-+-=-（）＜， 即a 2＞4得a ＞2（舍）或a ＜-2．②当a ＞0时2a -＜0，当x ＜2a-或x ＞0时，f′（x ）＞0，此时函数f （x ）单调递增； 当2a -＜x ＜0时，f′（x ）＜0，此时函数f （x ）单调递减． ∴x=2a-是函数f （x ）的极大值点，0是函数f （x ）的极小值点．∵f （0）=-1＜0，∴函数f （x ）在（0，+∞）上存在一个零点，此时不满足条件． 综上可得：实数a 的取值范围是（-∞，-2）． 故答案为（-∞，-2）．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．已知圆22(1)25C x y -+=：，直线50ax y -+=与圆相交于不同的两点A ，B ． （1）求实数a 的取值范围；（2）若弦AB 的垂直平分线l 过点(2,4)P -，求实数a 的值． 【答案】（1）5(,0)(,)12-∞⋃+∞（2）34a = 【解析】试题分析：（1）由圆心到直线距离小于半径列不等式，解不等式可得实数a 的取值范围；（2）弦AB 的垂直平分线l 过圆心，根据斜率公式可得弦AB 的斜率，再根据垂直关系可得实数a 的值．试题解析：（1）()1,0C ，圆心C到直线的距离为d =5<，整理得到21250a a ->，解得512a >或0a <，∴实数a 的取值范围是()5,0,12⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭． （2）由于直线l 为弦AB 的垂直平分线，且直线AB 斜率为a ，则直线l 的斜率为1a -，直线l 的方程为()124y x a=-++，即240x ay a ++-=，由于l 垂直平分弦AB ，故圆心()1,0M 必在l 上，∴10240a ++-=，解得34a =，由于35,412⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，∴34a =符合题意． 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.18．如图，四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，2AB CD =，E 为PB 的中点．（1）求证：CE平面PAD ；（2）在线段AB 上是否存在一点F ，使得平面PAD 平面CEF ？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析 （2）存在AB 的中点F 满足要求，证明见解析【分析】（1）取PA 的中点H ，连接EH ，DH ，证明四边形DCEH 是平行四边形，即可证明//CE 平面PAD ．（2）取AB 的中点F ，连接CF ，EF ，证明四边形AFCD 为平行四边形，可得CF//AD ．又CF ⊂/平面PAD ，所以//CF 平面PAD ，结合（1），即可证明平面//PAD 平面CEF ．【详解】（1）证明：取PA 的中点H ，连接EH ，DH ， 因为E 为PB 的中点，所以EH AB ，12EH AB =， 又AB CD ∥，12CD AB =．所以EH CD ，EH CD =，因此四边形DCEH 是平行四边形，所以CE DH ，又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ， 所以CE平面PAD ．（2）取AB 的中点F ，连接CF ，EF ，所以12AF AB =， 又12CD AB =，所以AF CD =， 又AF CD ∥，所以四边形AFCD 为平行四边形， 所以CFAD ，又CF ⊄平面PAD ，所以CF 平面PAD ，由（1）可知CE平面PAD ，又CE CF C =，故平面CEF平面PAD ，故存在AB 的中点F 满足要求．【点睛】此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面平行的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确证明直线与平面平行是关键．19．已知2:60,p x x --≥()22:210q x m x m m -+++≤.（1）若2,m =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{3}（2）(,3][3,)-∞-+∞【分析】（1）分别求解一元二次不等式化简p ，q ，然后利用p q ∧为真，取交集求得实数x 的取值范围；（2）求解一元二次不等式化简q ，结合q 是p 充分不必要条件，可得[,1]m m +(][),23,-∞-+∞ ，转化为关于m 的不等式组得答案．【详解】解：（1）p ：(3)(2)0x x -+≥解得2x -≤或3x ≥ 当2,m =:q 2560x x -+≤解得 23x ≤≤p q ∧为真，即,p q 都为真即2323x x x ≤-≥⎧⎨≤≤⎩或 所以x 的取值范围为{3}（2）()22:210q x m x m m -+++≤，即()():10q x m x m ---≤所以:1q m x m ≤≤+， 即:[,1]q m m +因为q 是p 的充分不必要条件， 所以[,1]m m + (][),23,-∞-+∞所以12m +≤-或3m ≥综上：q 是p 的充分不必要条件时，m 的取值范围为(][),33,-∞-+∞【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查了充分必要条件的判断方法，属于中档题． 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//,AD BC AB AD ⊥，222AD AB BC ===，PCD ∆是正三角形，,PC AC E ⊥是PA 的中点．（1）证明：AC PD ⊥；（2）求三棱锥P BDE -的体积． 【答案】(1)见证明(2)612【分析】（1）利用余弦定理求得CD 的长，利用勾股定理证得AC CD ⊥，结合PC AC ⊥，证得AC ⊥平面PCD ，由此证得AC PD ⊥.(2) 连接CE ，利用等体积法进行转化，即1122P BDE P CDE C PDE C ADP A CDP V V V V V -----====，根据（1）得到AC 是三棱锥A CDP -的高，由此计算出几何体的体积.【详解】（1）证明：∵//,AD BC AB AD ⊥，∴090ABC BAD ∠=∠=， ∵1AB BC ==，∴045,2CAD AC ∠==，由余弦定理得：2222cos 2CD AC AD AC AD CAD =+-∠=， ∴2224AC CD AD +==，∴AC CD ⊥， ∵PC AC ⊥，∴AC ⊥平面PCD ， ∴AC PD ⊥；（2）连接CE ，由（1）得AC ⊥平面PCD ，2CD =，∵E 是PA 的中点，//AD BC ， ∴1122P BDE P CDE C PDE C ADP A CDP V V V V V -----==== 2113666412CDP S AC CD AC ∆==⨯=．【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查余弦定理解三角形，考查等体积法求几何体的体积，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21．已知函数22()(,0)xx f x e x m R m m=+-∈≠（1）求函数()f x 的单调区间和()f x 的极值；（2）对于任意的[1,1]a ∈-，[1,1]b ∈-，都有|()()|f a f b e -≤，求实数m 的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) 2(,[,)-∞+∞ 【分析】（1）对f （x ）求导，再求导，得到二次导数恒大于0，又()00f '=，得到()0f x '>及()0f x '<的x 的范围，即可得到函数的单调区间及极值.（2）由题意，只需()()max min f x f x e -≤，结合（1）可得最小值为()0f ，比较()1f 与()1f -得到最大值，可求得结论. 【详解】（1）∵()221xf x e x m =+-'，()'22xf x e m+'=，其中()'f x '是()f x '的导函数.显然，()'0f x '>，因此()f x '单调递增，而()00f '=，所以()f x '在(),0-∞上为负数，在()0,+∞上为正数， 因此()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增, 当0x =时，()f x 取得极小值为f(0)=1，无极大值.∴()f x 的极小值为1,无极大值.单增区间为()0,+∞，单减区间为(),0-∞. （2）依题意，只需()()max min f x f x e -≤由（1）知，()f x 在[]1,0-上递减，在[]0,1上递增，∴()f x 在[]1,1-上的最小值为()01f =； 最大值为()1f 和()1f -中的较大者 而()()22111111f f e e m m ⎛⎫⎛⎫--=+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭120e e =-->， 因此()()11f f >-，∴()f x 在[]1,1-上的最大值为211e m +- 所以，2111e e m +--≤，解得2m ≥或2m ≤-. ∴实数m的取值范围是：][,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间、极值和最值的应用，考查了不等式的解法，考查运算求解能力，属于较难题．22．已知动点P 是△PMN 的顶点，M （﹣2，0），N （2，0），直线PM ，PN 的斜率之积为﹣34． （1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设四边形ABCD 的顶点都在曲线E 上，且AB ∥CD ，直线AB ，CD 分别过点（﹣1，0），（1，0），求四边形ABCD时，直线AB 的方程． 【答案】（1）22143x y +=（x ≠±2）；（2）x ±y +1＝0． 【分析】（1）设点P (x ，y )，直接把已知条件用坐标表示并化简即可；（2）设直线AB 的方程为x ＝my ﹣1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由直线与椭圆相交弦长公式（应用韦达定理计算）求出弦长，交求出原点到直线AB 距离，表示出OAB ∆面积，由对称性知四边形ABCD 的面积是OAB ∆面积的4倍，从而可以求出m ． 【详解】解：（1）设点P (x ，y )， ∵直线PM 与PN 的斜率之积为﹣34， 即22y y x x ⨯+-＝224y x -＝﹣34， 化简得22143x y +=（x ≠±2）， ∴动点P 的轨迹E 的方程为22143x y +=(x ≠±2)；（2）设直线AB 的方程为x ＝my ﹣1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得(3m 2+4)y 2﹣6my ﹣9＝0，则 0∆>， y 1+y 2＝2634mm +，122934y y m -=+，|y 1﹣y 2|＝234m +，∴|AB |12y -＝()2212134m m ++，又原点O 到直线AB 的距离d，∴S △ABO ＝()22121m 123m 4+⨯+， 由图形的对称性可知，S ABCD ＝4S △ABO ，∴S ABCD ＝234m +， 化简得18m 4﹣m 2﹣17＝0， 解得m 2＝1，即m ＝±1， ∴直线AB 的方程为x ＝±y ﹣1，即x ±y +1＝0．【点睛】本题考查直接法求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题的面积问题．解题时采取设而不求思想方法，即设直线方程，设交点坐标，直线方程与椭圆方程联立消元用韦达定理计算弦长．。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
安徽省马鞍山市2020年（春秋版）高二上学期期末数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）直线x+y+1=0的倾斜角和在y轴上的截距分别为（）A . 135°，﹣1B . 135°，1C . 45°，﹣1D . 45°，12. （2分） (2018高一下·开州期末) 袋中装有红球个、白球个、黑球个，从中随机摸出个球，则与事件“至少有个白球”互斥但不对立的事件是（）A . 没有白球B . 个白球C . 红、黑球各个D . 至少有个红球3. （2分） (2016高二上·襄阳期中) 某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n等于（）A . 660B . 720C . 780D . 8004. （2分）已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是（）A . 1或3B . 5C . 3或5D . 25. （2分） (2019高二下·潮州期末) 在某项测量中，测量结果，且，若在内取值的概率为 ,则在内取值的概率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一上·大连期末) 已知圆=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A . + =1B . + =1C . + =1D . + =17. （2分）阅读程序框图(如图），如果输出的函数值在区间[1，3]上，则输入的实数x的取值范围是（）A .B .C . {,或x=2}D . {,或x=2}8. （2分）下列命题中的假命题是（）A .B .C .D .9. （2分）从中随机选取一个数，从中随机选取一个数，则的概率是（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·广安模拟) 若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k 的值为（）A . ﹣1B . ﹣C . ﹣D . ﹣311. （2分） (2016高二下·南阳期末) 从6名身高不同的同学中选出5名从左至右排成一排照相，要求站在偶数位置的同学高于相邻奇数位置的同学，则可产生不同的照片数为（）A . 96B . 98C . 108D . 12012. （2分） (2016高二上·绵阳期中) 点M（x，y）与定点F（3，0）的距离和它到直线l：x= 的距离之比是，则M的轨迹方程是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为________ ．14. （1分）袋中装有个黑球，个白球，甲乙按先后顺序无放回地各摸取一球，在甲摸到了黑球的条件下，乙摸到白球的概率是________．15. （1分） (2017高一下·黄石期末) 对于任意的实数λ∈R，直线（2λ+1）x+（λ﹣1）y+1=0恒过定点________．16. （1分）在边长为2的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积．若在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2000个，则在这次模拟中，不规则图形M的面积的估计值为________ ．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）（Ⅰ）二项式的前三项的系数的和为129，写此展开式中所有有理项和二项式系数最大的项；（Ⅱ）已知，求下列各式的值．a0；a1+a2+a3+…+a7；a1+a3+a5+a7；a0+a2+a4+a6；|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|．18. （5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4及圆内一点P（2，5）．（1）求过P点的弦中，弦长最短的弦所在的直线方程；（2）求过点M（5，0）与圆C相切的直线方程．19. （15分）(2019·潍坊模拟) 某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量（单位：）和与它“相近”的株数具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：0123415121198（1）求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数的回归方程；（2）有一种植户准备种植该种水果500株，且每株与它“相近”的株数都为，计划收获后能全部售出，价格为10元，如果收入（收入=产量×价格）不低于25000元，则的最大值是多少？（3）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为，已知该梯形地块周边无其他树木影响，若从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的分布列与数学期望.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：， .20. （10分） (2018高一上·吉林期末) 已知点及圆 .（1）设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；（2）设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.21. （5分）周立波是海派清口创始人和《壹周•立波秀》节目的主持人，他的点评视角独特，语言幽默犀利，给观众留下了深刻的印象．某机构为了了解观众对《壹周•立波秀》节目的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男女总计喜爱4060100不喜爱202040总计6080140（Ⅰ）从这60名男观众中按对《壹周•立波秀》节目是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱《壹周•立波秀》节目有关．（精确到0.001）（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱《壹周•立波秀》节目的概率．p（k2≥k00.100.050.0250.0100.005k0 2.705 3.841 5.024 6.6357.879附：临界值表参考公式：K2= ，n=a+b+c+d．22. （5分）在△ABC中，B（﹣3，0），C（3，0），直线AB，AC的斜率之积，求顶点A的轨迹．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、。
2020年马鞍山市数学高二第二学期期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知tan 3α=，则sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．310B ．310-C ．35D ．35-2．已知复数312z i=-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．3655i + B ．3655i - C ．1255i - D ．1255i + 3．下列说法正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．命题“若1x >-，则21x >”的否命题是真命题C ．命题“函数()ln 2xy =的值域是R ”的逆否命题是真命题D ．命题:p “a ∀∈R ，关于x 的不等式210x ax ++>有解”，则p ⌝为“0a R ∃∈，关于x 的不等式2010x a x ++≤无解”4．已知i 是虚数单位, 复数()1z a R a i=∈-在复平面内对应的点位于直线2y x =上, 则a =（ ） A ．12B ．2C ．2-D ．12-5．若函数没有零点，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．6．已知()xae f x x=，[]1,3x ∈且()()12122f x f x x x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．28(,]e -∞ B ．39[,)e +∞ C ．28[,)e +∞ D ．39 ,e ⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦7．下列求导计算正确的是（ ） A ．2ln ln 1()'x x x x -= B ．22log (log )'e x x = C ．1(2)'2ln 2x x = D ．(sin )'cos x x x =8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（ ） A ．22B 2C ．1D ．29．函数y ＝﹣ln （﹣x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知向量,,a b c v v v 满足a b c +=v v v ，且 ::2a b c =v v v ,a b v v 的夹角为（ ）A ．4πB ．34π C ．2π D ．23π 11．下列说法中正确的个数是（ ）①命题：“x 、y R ∈，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设1x ≠或1y ≠； ②若2a b +>，则a 、b 中至少有一个大于1； ③若1-、x 、y 、z 、4-成等比数列，则2y =±； ④命题：“[]0,1m ∃∈，使得12+<m x x”的否定形式是：“[]0,1m ∀∈，总有12m x x +≥”.A ．1B ．2C ．3D ．412．若点()000,P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>内，则被0P 所平分的弦所在的直线方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+，通过类比的方法，可求得：被()1,1P 所平分的双曲线2214x y -=的弦所在的直线方程是（ ） A ．430x y -+= B ．450x y +-= C ．450x y --=D ．430x y ++=二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知复数a bi +（a ，b 为常数，,a b ∈R ）是复数z 的一个平方根，那么复数z -的两个平方根为______. 14．关于x 的不等式12x x m +--≥恒成立，则m 的取值范围为________ 15．对于任意的实数,m n ,记min{,}m n 为,m n 中的最小值.设函数21()4f x x a x=++，()ln g x x =-，函数()min{(),()}h x f x g x =,若()h x 在(0,)+∞恰有一个零点,则实数a 的取值范围是 ____________. 16．设抛物线28y x =的准线方程为__________.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．若7270127(2)x a a a x a x a x -=++++L ，且4560a =-. （Ⅰ）求实数a 的值; （Ⅱ）求372126222a a a a ++++L 的值. 18．证明：当[0,1]x ∈时，2sin 2x x x ≤≤. 19．（6分）某运动员射击一次所得环数X 的分布列如下：X8 9 11 P1．41．41．2现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ． （1）求该运动员两次命中的环数相同的概率； （2）求ξ的分布列和数学期望E ξ．20．（6分）在直角坐标系中直线l 的参数方程为32x t y t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：4cos()3πρθ=-.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 直角坐标方程； （2）若曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值.21．（6分）在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，90ADC ∠=o ，112BC CD AD ===，PA PD =，E ，F 分别为AD ，PC 的中点．(Ⅰ)求证：//PA 平面BEF ；(Ⅱ)若PE EC =，求二面角F BE A --的余弦值．22．（8分）某玻璃工厂生产一种玻璃保护膜，为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10件样品检测质量指标（单位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70. 经计算得101153.710i i x x ===∑，9.9s ==,生产合同中规定：质量指标在62分以上的产品为优质品，一批产品中优质品率不得低于15%.（Ⅰ）以这10件样品中优质品的频率估计这批产品的优质品率，从这批产品中任意抽取3件，求有2件为优质品的概率；（Ⅱ）根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差，利用该正态分布，是否有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求？ 附：若()2~,X Nμσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+≈参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】直接利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式转化求解即可. 【详解】解：因为tan 3α=，则2tan sin cos sin cos 221tan ππαααααα⎛⎫⎛⎫-⋅+=-=-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭339110=-=-+. 故选：B. 【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力，属于基础题. 2．B 【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得z ，再由共轭复数的概念得答案. 详解：Q ()()()31233612121255i z i i i i +===+--+， ∴3655z i =-. 故选：B.点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题. 3．C 【解析】 【分析】采用命题的基本判断法进行判断，条件能推出结论为真，推不出为假 【详解】A. 若p q ∨为真命题，则,p q 中有一个为真命题即可满足，但推不出p q ∧为真命题，A 错B. 命题“若1x >-，则21x >”的否命题是：“若1x ≤-，则21x ≤”，当2x =-时，不满足，B 错C. 原命题与逆否命题真假性相同，2x 的取值大于零，所以()ln 2xy =值域为R ，C 为真命题D. 命题:p “a ∀∈R ，关于x 的不等式210x ax ++>有解”，则p ⌝为“0a R ∃∈，关于x 的不等式2010x a x ++>无解”，D 错答案选C 【点睛】四种常见命题需要熟悉基本改写方式，原命题与逆否命题为真，逆命题与否命题为真，原命题与逆命题或否命题真假性无法判断，需改写之后再进行判断，命题的否定为只否定结论，全称改存在，存在改全称 4．A 【解析】 【分析】 【详解】分析：等式分子分母同时乘以()a i +，化简整理，得出z ，再将z 的坐标代入2y x =中求解a 即可. 详解：2221111a i a i z a i a a a +===+-+++，所以221211a a a =++． 解得12a = 故选B点睛：复数的除法运算公式()()22c di ac bd ad bc iz a bi a b++-+==++，在复平面内点在直线上，则坐标满足直线方程． 5．A 【解析】 【分析】将问题转化为曲线与直线没有交点，并将函数表示为分段函数的形式，并作出该函数的图象，分析直线的斜率与函数图象每段折线的斜率的大小关系，结合图象得出实数的取值范围。
马鞍山市第二中学2020-2021学年度第一学期高二年级12月月考第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（共12题，每题5分，共60分）1. 设p ：实数x ，y 满足x ＞1且y ＞1，q ：实数x ，y 满足x ＋y ＞2，则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 A“若1x >且1y >则2x y +>”是真命题，其逆命题是假命题，故p 是q 的充分不必要条件,故选A.2. 已知命题:p 对任意x ∈R ，总有0x ≥；:1q x =是方程20x +=的根则下列命题为真命题的是( ) A .p q ∧⌝ B. p q ⌝∧C. p q ⌝∧⌝D. p q ∧A由绝对值的意义可知命题p 为真命题；由于，所以命题q 为假命题；因此为假命题，为真命题，“且”字联结的命题只有当两命题都真时才是真命题，所以答案选A ． 3. 动点M 在圆2225x y +=上移动，过点M 作x 轴的垂线段MD ，D 为垂足，则线段MD 中点的轨迹方程是().A.22412525+=x y B. 22412525+=x y C.22412525-=x y D. 22412525-=x y B设出M （x 0，y 0），P （x ，y ），D （x 0，0），由中点坐标公式把M 的坐标用P 的坐标表示，代入圆的方程得答案．解：设线段MD 中点为P ()x y ， 设M （x 0，y 0），D （x 0，0）， ∵P 是MD 的中点，∴002x x y y =⎧⎨=⎩，又M 在圆2225x y +=上，∴x 02+y 02＝25，即x 2+4y 2＝25， 22412525x y +=．∴线段MD 的中点P 的轨迹方程是： 22412525x y +=．故选B ．本题考查了轨迹方程的求法，考查了代入法求曲线的轨迹方程，是中档题．4. 双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ）A. 22或2B. 7C. 22D. 2A设双曲线221259x y -=的左右焦点分别为12,F F ，利用双曲线的定义12||||210PF PF a -==，即可求得答案．设双曲线221259x y -=的左右焦点分别为12,F F ，则 5,3,34a b c === 设P 为双曲线上一点，不妨令112PF =（12534a c >+=， ∴点P 可能在左支，也可能在右支， 由12||||210PF PF a -==，得21210PF -=， 所以222PF =或2．所以点P 到另一个焦点的距离是22或2． 故选：A ．本题考查双曲线的定义，考查细心审题与准确规范解答的能力，属于中档题．5. 已知椭圆C ：2216439x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若16PF =，则12PF F ∠的余弦值为（ ） A. 310B.710C.25 D. 35A首先根据椭圆的定义求出2PF ，12F F 的值，再利用余弦定理计算可得. 解：2216439x y +=，16PF = 21216PF PF a +==210PF ∴=，而1210F F ==， 故222112212112361001003cos 2261010PF F F PF PF F PF F F +-+-∠===⋅⨯⨯，故选：A ．本题考查椭圆的定义及余弦定理的应用，属于基础题.6. 已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F 1的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△MF 2N 的周长为8，则椭圆方程为( )A. 22143x y +=B. 22143y x +=C. 2211615x y += D. 2211615y x +=A由题得c=1,再根据△MF 2N 的周长＝4a ＝8得a ＝2，进而求出b 的值得解.∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c ＝1，又根据椭圆的定义，△MF 2N 的周长＝4a ＝8，得a ＝2，进而得b ，所以椭圆方程为22143x y +=. 故答案为A本题主要考查椭圆的定义和椭圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7. 若直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ） A. 2个 B. 至多一个 C. 1个 D. 0个A直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，故2222202m n m n >∴<+<+点P(m,n)在以原点为圆心，半径为2的圆内，故圆22m n +=2内切于椭圆，，故点P(m,n)在椭圆内，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为2个8. 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ） A. 512πB.3π C.4π D. 6πB根据三棱柱111ABC A B C -的体积公式，求得3OP =，结合线面角的定义，即可求解.如图所示，底面是边长为3的正三角形，可得133S 33sin 6024ABC =⨯⨯⨯︒=△，设O 点是ABC 的中心，所以11133944ABC A B C ABC V S OP OP -=⋅=⋅=△，解得3OP =， 又由32313OA =⨯⨯=， 直角OAP △中，可得3tan 3OP OAP OA ∠===， 又02OAP π<∠<，所以3OAP π∠=.故选：B.9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上下顶点分别为,A B ，右顶点为C ，右焦点为F ，延长BF 与AC 交于点P ，若,,,O F P A 四点共圆，则该椭圆的离心率为（ ） A. 212- B.312- C.51- D.522- C由,,,O F P A 四点共圆，可得AC BF ⊥，即1AC BF k k ⋅=-，列等式即可求解.如图，()0,A b ，()0,B b -，(),0C a ，(),0F c ， 因为,,,O F P A 四点共圆，2AOC π∠=,所以2APF π∠=，所以AC BF ⊥，即1AC BF k k ⋅=-，()00100b b ac ---⋅=---，整理可得2b ac =， 所以22a c ac -=，210e e +-=，解得15e -±=因为01e <<，所以51e -=. 故选：C本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了基本运算能力，属于基础题.10. 已知函数()log (|1|)a f x x a =--（0a >且1a ≠），则“()f x 在[3,)+∞上是单调函数”是“12a <<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 B很明显函数1y x a =--和函数1y x =-在区间(),1-∞上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增. 函数()f x 有意义，则：10x a -->恒成立，即：()min 1312a x <-=-=. 结合复合函数的单调性可得当01a <<时，函数()f x 在定义域内单调递减； 当12a <<时，函数()f x 在定义域内单调递增，即若()f x 在[)3,+∞上是单调函数，则01a <<或12a <<， “()f x 在[)3,+∞上是单调函数”是“12a <<”的必要不充分条件. 本题选择B 选项.点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．简称：同增异减．11. 已知椭圆C ：22143x y +=的左右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆224x y +=上有一个动点P ，P 不同于A 、B 两点，直线P A 与椭圆C 交于点Q ，则PBQFk k 的取值范围是（ ） A. 33044⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， B. ()3004⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭，， C. ()()101-∞-，， D. ()()001-∞⋃，， D椭圆焦点在x 轴上，由P 在圆224x y +=，则PA PB ⊥，有11,PB PB PA QF QF PAk k k k k k =-=-⋅，设(2cos )Q θθ，求出223(1cos )4cos 2cos 2QF PAk k θθθ-⋅=+-，令cos (1,1)t θ=∈-，224223(1)PB QF k t t k t +-=--，分离常数，求解得出结论.椭圆C ：22143x y +=的左右顶点分别为(2,0),(2,0)A B -， 右焦点(1,0)F ，点P 圆224x y +=上且不同于,A B ，11,1,,PB PB PA PB PA QF QF PAk PA PB k k k k k k k ∴⊥⋅=-∴=-=-⋅，设(2cos )Q θθ，223(1cos )2cos 22cos 14cos 2cos 2QF PAk k θθθθθθθ-⋅=⋅=+-+- 令cos (1,1)t θ=∈-，222242222(1)14213(1)31331PB QF k t t t t k t t t +--++=-=⋅=+⋅--- 1111,210,12t t t -<<-<-<<--， (,1)PBQFk k ∈-∞且不等于0.故选:D. 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角函数求值、函数的性质、换元方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.12. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>2a =，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于,A B 两点，若3AF FB =，则k =（ ） AB. 1C. 2D. A【分析】根据条件可得椭圆为2214x y +=，为简化计算，令1t k =，直线x ty =+与椭圆联立，设()()1122,,A B x y x y ，，根据条件可得12y y ，再由21212()yy y y +化简结合韦达定理求解即可.2c ca ==，解得c =222431b a c =-=-=， 所以椭圆22:14x C y +=，过右焦点)F 且斜率为(0)k k >的直线为：(y k x =，即1x y k=， 为简化计算，令()10t k k=>，则x ty =+，由2244x ty x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立可得：()22410t y ++-=， ① 设()()1122,,A B x y x y ，，由3AF FB =可得123y y =-，由①可得：1212221,44y y y y t t --+==++， 因为212121221()1423233y y y y y y y y +=++=-+-=-，所以224134t ⎝⎭=--+， 解得212t =，所以22k =，由0k >，可得k =故选：A . 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，利用设而不求的思想，解题的关键点是通过韦达定理解决方程，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13. 已知椭圆221369x y +=和点(4,2)P ，直线l 经过点P 且与椭圆交于AB 、两点．当P 点恰好为线段AB 的中点时，直线l 的方程为__________280x y +-=【分析】利用点差法求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出直线的方程 解：由题意得1641369+<，知点(4,2)P 在椭圆内， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则22111369x y +=， ① 22221369x y +=， ② 因为(4,2)P 恰好为线段AB 的中点， 所以12128,4x x y y +=+=， 由①②作差得12121212()()()()0369x x x x y y y y +-+-+=，所以121212AB y y k x x -==--， 所以直线方程为1242()y x -=--，即280x y +-=， 故答案为：280x y +-=关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长和直线方程的求法，解题的关键是利用点差法求出直线的斜率，考查运算能力，属于中档题14. 设正方体1111 ABCD A B C D -的棱长为2，则点1D 到平面1A BD 的距离是_______. 23如图建立空间直角坐标系，利用向量法求点1D 到平面1A BD 的距离. 如图建立空间直角坐标系，则1(0,0,2)D ，1(2,0,2)A ，(0,0,0)D ，2,20B （，）， ∴11(2,0,0)=D A ，1(2,0,2)DA =，(2,2,0)DB =， 设平面1A BD 的一个法向量为(,,)n x y z =，1220220n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1x =，则(1,1,1)n =--， ∴点1D 到平面1A BD 的距离11||23||33D A n d n ⋅===. 23. 本题主要考查点到平面的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15. 阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，它的内切圆的半径为______.51-ABC ，6AC =，sin 2sin C A =,即2ca=．根据阿波罗尼斯圆可得：点B 的轨迹为圆, 以线段AC 中点为原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系,求出B 的轨迹方程，当ABC 面积最大时，AC 边上的高为圆的半径4,进而求得ABC 的面积，根据内切圆的性质，计算可得半径，进而得出结论．∵sin 2sin C A =，∴sin 2sin AB CCB A==为非零常数，故点B 的轨迹是圆. 以线段AC 中点为原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则()30A -,，()3,0C ，设(),B x y ， ∵2AB CB =()()2222323x y x y ++=-+221090x y x +-+=，整理得()22516x y -+=，因此，当ABC 面积最大时，AC 边上的高为圆的半径4.此时222425BC =+=，45AB =设内切圆的半径为r ，则()11644525622r ⨯⨯=⨯，解得5151r ==+. 51本题考查了阿波罗尼斯圆的应用、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16. 已知椭圆()222222210,x y a b c a b c a b+=>>>=+的左、右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且||PT 的最小值不小于3() 2a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是_________．3,52⎡⎢⎣⎭【分析】由于)PT b c =>，而2PF 的最小值a c -，可得PT的最小值为，()2a c ≥-，化简可得2a c b +≥，两边平方后可得25230e e +-≥，再由b c >可得221e <，从而可求出椭圆的离心率e 的取值范围解：因为)PT b c =>，而2PF 的最小值a c -， 所以PT的，)a c -， 所以22()4()a c b c -≥-，所以2()a c b c -≥-， 所以2a c b +≥，所以()2224()a c a c +≥-， 所以225302c ac a +-≥，所以25230e e +-≥，解得1e ≤-（舍去），或35e ≥，因为b c >，所以22b c >，所以222a c c ->， 所以221e <，解得0e <<， 所以352e ≤<，故答案为： 3,52⎡⎢⎣⎭三、解答题17. 已知命题22:114x y p m m +=--表示双曲线，命题22:124x y q m m+=--表示焦点在x 轴上的椭圆；（1）若p 且q 为真命题，则p 是q 的什么条件？ （2）若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．（1）必要而不充分条件；（2）1m 或4m ≥.（1）根据p 为真命题，q 为真命题可得两者对应的集合之间的包含关系，从而可得它们之间的条件关系.（2）根据p 为假命题，q 为假命题可得实数m 的取值范围. （1）因为p 且q 为真命题，故p 为真命题，q 为真命题.所以22:114x y p m m +=--表示双曲线是真命题，所以()()140m m --<．解得14m <<．又命题22:124x y q m m+=--表示焦点在x 轴的椭圆是真命题，所以204024m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得34m <<．因为{}34mm <<│ {}14m m <<∣，所以p 是q 的必要而不充分条件． （2）∵p 或q 假命题，∴p 假且q 假． 当p 假时，由（1）可知，有1m 或4m ≥①， 当q 为假，有 3m ≤或4m ≥②， 由①②解得1m 或4m ≥.本题考查必要不充分条件的判断以及已知复合命题的真假求参数的范围，前者应利用对应集合的包含关系来判断，后者应根据复合命题的真假得到简单命题的真假，从而求出参数的取值范围.18. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在y 轴上，长轴长10，焦距为4；（2）焦点坐标分别为()11,0F -，()21,0F，且经过点1,24A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． （1）2212521y x +=（2）22143x y += （1）由题意a =5,c =2,结合222a b c =+，即得解；（2）利用椭圆定义122a AF AF =+，可求解a ,结合c =1,222 a b c =+，可得解. （1）因为长轴长210a =，焦距24c =，所以5a =，2c =，设半焦距为()0b b >，因为222a b c =+，所以b =． 又因为焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为2212521y x +=上．（2）因为焦点坐标分别为()11,0F -，()21,0F ， 所以该曲线表示焦点在x 轴上的椭圆，且半焦距1c =，设椭圆的长轴长1224a AF AF =+==， 故2a =，1c =，设短半轴长为b ，因为222a b c =+，所以b =所以该椭圆的标准方程为22143x y +=． 本题考查了椭圆的标准方程求解，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.19. 已知平面上的三点(52)P ，、1(60)F -， 、2(60)F ， . （1）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（2）设点P 、1F 、2F 关于直线y x = 的对称点分别为P ' 、1F ' 、2F ' ，求以1F ' 、2F ' 为焦点且过点P ' 的双曲线的标准方程.（1）221459x y += （2）2212016x y -=.试题分析：(1)根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，根据椭圆的定义求出a =，从而可得2229b ac =-=，进而可得椭圆的标准方程；（2）点()52P ， 、1(60F ，）- 、()260F ， 关于直线y x = 的对称点分别为()25P '， 、()'106F -， 、()'206F ， .设所求双曲线的标准方程为2222111y x a b -= （10a > ，10b > ）其半焦距16c = ，由双曲线定义得''1122a P F P F =-=''得1a =从而可得22211116b c a =-=，进而可得'1F 、'2F 为焦点且过点P ' 的双曲线的标准方程.试题解析：（1）由题意知，焦点在x 轴上，可设椭圆的标准方程为22221x ya b+= （0a b >> ）其半焦距6c =由椭圆定义得122a PF PF =+=∴a =∴22245369b a c =-=-=故椭圆的标准方程为221459x y += . （2）点()52P ，、1(60F ，）- 、()260F ， 关于直线y x = 的对称点分别为()25P '， 、()'106F -， 、()'206F ， .设所求双曲线的标准方程为 2222111y x a b -= （10a > ，10b > ）其半焦距16c = ， 由双曲线定义得''1122a P F P F =-''==∴1a =，∴222111362016b c a =-=-= ，故所求的双曲线的标准方程为2212016x y -=. 20. 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE 平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F. （1）详见解析（2）详见解析试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理. 试题解析：证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11A C AC ，在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以DE AC ，于是11DE AC ，又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F ， 所以直线DE//平面11AC F .（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA A B C ⊥平面 因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面， 所以11A C ⊥平面11ABB A .因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥.又因为1111111111111,,B D A F AC AC F A F AC F AC A F A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面， 所以111B D AC F ⊥平面.因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.A C F ⊥平面 【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.21. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，2AP AD AB ===，BC t =，PAB PAD α∠=∠=.（1）当32t =PA 上确定一个点E ，使得//PC 平面BDE ，并求出此时AEEP的值； （2）当60α=︒时，若平面PAB ⊥平面PCD ，求此时棱BC 的长． （1）见解析（2）2(1)当32t =AC ，BD 交于点F ，由平行可以证得13AF AD AC BC ==，结合线面平行的判定定理在棱PA 上确定一个点E(2)取BC 上一点G 得2BG =DG ，构造四边形ABGD 为正方形，作PO ⊥平面ABCD ，由60α=︒证得等边三角形继而得点O 为正方形ABGD 对角线的交点，建立空间坐标系，求出两个面的法向量，计算出结果 （1）在棱PA 上取点E ，使得13AE EP =， 连接AC ，BD 交于点F ， 因为//AD BC ，所以13AF AD CO BC ==，所以AE AFEP CO=， 所以//EF PC ，因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE ， 所以//PC 平面BDE ；（2）取BC 上一点G 得2BG =DG ，则ABGD 为正方形． 过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O .连接OA ，OB ，OD ，OG ，AP AD AB ==，，所以PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形， 因此PA PB PD ==，所以OA OB OD ==，即点O 为正方形ABGD 对角线的交点， 以O 为坐标原点，分别以OG ，OB ，OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则()0,0,0O ，()0,0,1P ，()1,0,0A -，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()1,0,0G ，由于棱BC 的长为t ，则22,1,0C ⎫-⎪⎪⎝⎭， ()1,0,1PA =--，()0,1,1PB =-，22,1,122PC t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,1PD =--，设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =，则0x z y z --=⎧⎨-=⎩，取()1,1,1m =-， 同理平面PCD 的法向量2211n t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 由0m n ⋅=，解得22t =， 即BC 的长为22本题考查了确定点的位置使得线面平行，在找点时结合线面平行的判定定理，先确定线线平行，然后证得结果，在第二问中需要构造正方形，建立空间坐标系，运用法向量的知识求解结果，本题较为综合，需要综合运用所学知识求解22. 已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由． （Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+．试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．∴由2229y kx bx y m =+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+． 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =247k =．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用 第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.。
2020-2021学年安徽省马鞍山二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共12小题每小题5分共40分，在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项1．（5分）“x＜1”是“3x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不重要条件2．（5分）双曲线＝1的焦距是（）A．10B．20C．2D．43．（5分）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．4．（5分）已知直线l1：x+2ay﹣1＝0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行，则a的值是（）A．0或1B．1或C．0或D．5．（5分）与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上6．（5分）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b），可得f（x）＝+的最小值为（）A．B．C．D．7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2．M为棱DD1上的一点，当A1M+MC取得最小值时，B1M的长为（）A．B．C．D．8．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A，B两点，垂足为M，∠MAF的角平分线与抛物线的准线交于点P，则|PQ|＝（）A．2B．4C．6D．89．（5分）设点M为直线x＝2上的动点，若在圆O：x2+y2＝3上存在点N，使得∠OMN＝30°，则M的纵坐标的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．C．D．10．（5分）若函数f（x）＝lnx与的图象只有一个公共点，则实数k＝（）A．B．C．D．11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A．无论点F在上BC1怎么移动，都有A1F⊥B1DB．当点F移动至BC1中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且C．当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大且为60°D．无论点F在BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成角都不可能是30°12．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（x1，y1），Q（﹣x1，﹣y1）在椭圆C上，其中x1＞0，y1＞0，若|PQ|＝2|OF2|，||，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．（0，]B．（0，﹣2]C．（，]D．（0，﹣1]二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）在每小题中，请将答案直接填在答题卷相应题号后的横线上．13．（5分）已知命题“∀x∈[1，3]，不等式x2﹣ax+4≥0”为真命题，则a的取值范围为．14．（5分）已知F（2，0）为椭圆的右焦点．直线，B两点，A，B的中点为P，则椭圆C的方程为．15．（5分）函数y＝[f（x）]g（x）在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到lny ＝g（x）•lnf（x），然后两边同时求导得（x）]g（x），用此法探求的导数．16．（5分）已知圆M：（x﹣1﹣cosθ）2+（y﹣2﹣sinθ）2＝1，直线l：kx﹣y﹣k+2＝0，下面五个命题：①对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；②存在实数k与θ，直线l和圆M相切；③存在实数k与θ，直线l和圆M相离；④对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与和圆M相切；⑤对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．三、解答题（本大题6个小题，共70分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．）17．（10分）已知p：x2﹣x﹣6≥0，q：x2﹣（2m+1）x+m2+m≤0．（1）若m＝2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知动圆P的圆心为点P，圆P过点F（1，0）且与直线l：x＝﹣1相切．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若圆P与圆F：（x﹣1）2+y2＝1相交于M，N两点，求|MN|的取值范围．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，AB＝AC，BC＝3，AA1＝4，M，N分别为棱AA1，BC的中点．（1）求证：AN∥平面BMC1；（2）求点B1到平面BMC1的距离．20．（12分）已知斜率为k的直线经过点（﹣1，0）与抛物线C：y2＝2px（p＞0，p为常数）交于不同的两点M，N，当k＝时．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ经过点B（1，﹣1），判断直线NQ 是否过定点？若过定点；若不过定点，请说明理由．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，P A＝PB＝PD，PE＝2EC （1）证明：OP⊥平面ABCD．（2）若AB＝2，BC＝2AD＝4，P A＝422．（12分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，且DN＝ON＝1，MN＝3，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y＝0和l2：x+2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l 总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在；若不存在，说明理由．2020-2021学年安徽省马鞍山二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共12小题每小题5分共40分，在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项1．（5分）“x＜1”是“3x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不重要条件【分析】解指数不等式求出x＜0，在根据必要条件的定义即可判断【解答】解：由3x＜1＝30，解得x＜0，∴“x＜6”是“3x＜1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了指数函数的性质和必要条件的定义，属于基础题2．（5分）双曲线＝1的焦距是（）A．10B．20C．2D．4【分析】双曲线﹣＝1中a＝8，b＝6，可求c＝＝10，即可求出焦距．【解答】解：双曲线﹣＝6中a＝8，∴c＝＝10，∴2c＝20．故选：B．【点评】本题考查的重点是双曲线的几何性质，解题的关键是掌握c＝．3．（5分）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出．【解答】解：∵＝＝＝＝故选：A．【点评】本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决．4．（5分）已知直线l1：x+2ay﹣1＝0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行，则a的值是（）A．0或1B．1或C．0或D．【分析】先检验当a＝0时，是否满足两直线平行，当a≠0时，两直线的斜率都存在，由≠，解得a的值．【解答】解：当a＝0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x＝1，x＝﹣5．当a≠0时，两直线的斜率都存在，由＝≠，解得：a＝．综上，a＝0或，故选：C．【点评】本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验，属于基础题．5．（5分）与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上【分析】设动圆P的半径为r，然后根据动圆与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切得|PF|＝2+r、|PO|＝1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r2+y2＝4的圆心为O（0，0）；圆x6+y2﹣8x+12＝7的圆心为F（4，0）．依题意得|PF|＝4+r，|PO|＝1+r，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选：B．【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，属于基础题．6．（5分）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b），可得f（x）＝+的最小值为（）A．B．C．D．【分析】f（x）＝+，表示平面上点M（x，0）与点N（﹣2，4），H（﹣1，﹣3）的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：f（x）＝+＝+，表示平面上点M（x，6）与点N（﹣2，H（﹣1，连接NH，与x轴交于M（x，则M（﹣，∴f（x）的最小值为＝5，故选：C．【点评】本题考查两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，合理转化是正确解题的关键．7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2．M为棱DD1上的一点，当A1M+MC取得最小值时，B1M的长为（）A．B．C．D．【分析】将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面，连结A1C′，当A1，M，C′共线时，A1M+MC取得最小值，然后利用正方体中的几何关系得到B1A1⊥A1M，从而求解B1M的长即可．【解答】解：将侧面CDD1C1绕DD2逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面，如图所示，连结A2C′，当A1，M，C′共线时，A1M+MC取得最小值，由AD＝CD＝4，AA1＝2，得M为DD8的中点，在长方体ABCD﹣A1B1C7D1中，因为B1A4⊥平面ADD1A1，又A5M⊂平面ADD1A1，则B7A1⊥A1M，A3M＝，故．故选：A．【点评】本题考查了空间几何体中的最值问题，在求解侧面上的线段长之和的最小值问题时，利用侧面展开图，根据两点之间的线段最短，确定最小值．属于中档题．8．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A，B两点，垂足为M，∠MAF的角平分线与抛物线的准线交于点P，则|PQ|＝（）A．2B．4C．6D．8【分析】画出图形，设出直线方程，求出Q的坐标，推出直线PF的方程，求出P的坐标，然后求解|PQ|．【解答】解：由题意，抛物线y2＝4x的焦点为F（4，0），画出图形，可知PF⊥AB，设AB：y＝k（x﹣1）与抛物线方程联立8x2﹣（2k8+4）x+k2＝8，所以x1+x2＝，x1x2＝8，线段AB的中点为Q．若|AB|＝8，x1+x6+p＝8，即+6＝8，所以中点Q的横坐标：，Q（3，PF：y＝﹣x+5，与x＝﹣1的解得P（﹣1，所以PQ＝3．故选：B．【点评】本题考查直线与抛物线相结合，抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．9．（5分）设点M为直线x＝2上的动点，若在圆O：x2+y2＝3上存在点N，使得∠OMN＝30°，则M的纵坐标的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．C．D．【分析】在△OMN中，由正弦定理求得M的纵坐标的关系式，再由∠ONM的范围可得答案．【解答】解：设M（2，y M），在△OMN中，由正弦定理可得，，∵∠OMN＝30°，ON＝，∴，整理得，，由题意知，6°＜∠ONM＜150°，1]．当sin∠ONM＝1时，y M取得最值，即直线MN为圆O的切线时y M取得最值．∴y M∈[]．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的综合运用，解答的关键是转化到△OMN中利用正弦定理计算，考查转化思想，是中档题．10．（5分）若函数f（x）＝lnx与的图象只有一个公共点，则实数k＝（）A．B．C．D．【分析】设出切点坐标，可得，求解即可得到k的值．【解答】解：设两个函数图形的公共点为P（x0，y0），由题意可得，，即，解②得，x0＝1，或x8＝﹣3（舍），把x0＝8代入①，解得k＝．故选：D．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A．无论点F在上BC1怎么移动，都有A1F⊥B1DB．当点F移动至BC1中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且C．当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大且为60°D．无论点F在BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成角都不可能是30°【分析】由线面垂直的判定与性质判断A；由公理3的推论及三角形的相似比判断B；分析线面角的大小并求解判定C；求解两异面直线所成角的范围判断D．【解答】解：对于A，在正方形中1⊥面A1BC7，又A1F⊂面A1BC6，∴A1F⊥B1D，故A 正确；对于B，F为BC5的中点时，也是B1C的中点，它们共面于平面A1B5CD，且必相交，设为E，连A1D和B1F，如图，根据△A6DE∽△FB1E，可得＝，故B正确；对于C，当点F在BC1上移动时，直线A2F与平面BDC1所成角由小到大再到小，当F为BC1中点时，直线A7F与平面BDC1所成角最大，如图，且F为B1C的中点时最大角的余弦值为＜，最大角大于60°；对于D，当点F从B运动到C6时，异面直线A1F与CD所成角由大到小再到大，且F为B1C的中点时最小角的正切值为＞，最小角大于30°．∴说法错误的是C．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．12．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（x1，y1），Q（﹣x1，﹣y1）在椭圆C上，其中x1＞0，y1＞0，若|PQ|＝2|OF2|，||，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．（0，]B．（0，﹣2]C．（，]D．（0，﹣1]【分析】设PF1＝n，PF2＝m，由|PQ|＝2|OF2|，可得四边形PF1QF2为矩形，可得QF1＝PF2，再由||，转化m，n的关系，由题意的定义可得a，c与m，n的关系，可得设参数t，（注意t的范围），进而可得离心率的范围．【解答】解：设PF1＝n，PF2＝m，由x6＞0，y1＞2，知m＜n，因为P，Q在椭圆C上2|，所以四边形PF1QF8为矩形，QF1＝PF2；由，可得，由椭圆的定义可得m+n＝5a，n2+m2＝5c2①，平方相减可得mn＝2（a2﹣c2）②，由①②得＝＝；令t＝+，令v＝，所以t＝v+，即2，所以a2﹣c4＜c2（a2﹣c8），所以1﹣e2＜e7（1﹣e2），所以，解得；故选：C．【点评】考查椭圆的性质，椭圆上的点到左右焦点的距离之和为2a，再由矩形可得到焦点的距离的平方和为4c2，换元（注意辅助元的范围）及题意可得a，c的关系，属于中档题．二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）在每小题中，请将答案直接填在答题卷相应题号后的横线上．13．（5分）已知命题“∀x∈[1，3]，不等式x2﹣ax+4≥0”为真命题，则a的取值范围为（﹣∞，4]．【分析】命题“∀x∈[1，3]，x2﹣ax+4≥0”是真命题⇔a≤x+（1≤x≤3）恒成立，令g （x）＝x+（1≤x≤3），利用基本不等式易求g（x）min＝4，从而可得a的取值范围．【解答】解：∵当x∈[1，3]时，x4﹣ax+4≥0恒成立，∴a≤x+（1≤x≤3）恒成立（1≤x≤3），则a≤g（x）min，∵x+≥2，∴g（x）min＝5，∴a≤4．故答案为：（﹣∞，4]．【点评】本题考查恒成立问题，着重考查构造函数的思想与等价转化思想的综合运用，考查基本不等式，属于中档题．14．（5分）已知F（2，0）为椭圆的右焦点．直线，B两点，A，B的中点为P，则椭圆C的方程为．【分析】分别设出A，B的坐标，代入椭圆方程，利用作差法及已知条件可得a2＝3b2，再由椭圆半焦距及隐含条件得到关于a，b的方程，联立求得a2，b2的值，则答案可求．【解答】解：设A（x1，y1），B（x5，y2），P（x0，y3），则，，两式作差可得，，即，∵直线，直线OP的斜率k＝1，∴，即a2＝3b5，①又F（2，0），则a8＝b2+4，②联立①②解得a7＝6，b2＝7．∴椭圆C的方程为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的几何性质，训练了“点差法”在求解弦中点问题中的应用，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）函数y＝[f（x）]g（x）在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到lny ＝g（x）•lnf（x），然后两边同时求导得（x）]g（x），用此法探求的导数．【分析】直接根据题中给出的函数求导法则进行化简变形即可．【解答】解：由，两边同时取对数得lny＝，两边同时求导得＝，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数的导数运算，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，属于基础题．16．（5分）已知圆M：（x﹣1﹣cosθ）2+（y﹣2﹣sinθ）2＝1，直线l：kx﹣y﹣k+2＝0，下面五个命题：①对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；②存在实数k与θ，直线l和圆M相切；③存在实数k与θ，直线l和圆M相离；④对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与和圆M相切；⑤对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切．其中真命题的代号是①②④（写出所有真命题的代号）．【分析】①由题意求得圆M与直线l有公共点（1，2）；②求得圆心到直线l的距离为d≤r；③由d≤r判断直线和圆不会相离；④由k存在知tanα存在，对应α存在，θ也存在；⑤举例说明不一定存在实数k，使得直线l与和圆M相切．【解答】解：对于①，圆M：（x﹣1﹣cosθ）2+（y﹣8﹣sinθ）2＝1的圆心为（5+cosθ，2+sinθ）；无论θ取何值，都有（1﹣2﹣cosθ）2+（2﹣2﹣sinθ）2＝1，∴圆过定点（4；又直线l：kx﹣y﹣k+2＝0可化为k（x﹣4）﹣y+2＝0，过定点（5；∴直线l和圆M有公共点（1，2）；对于②，圆心M到直线l的距离为d＝，其中tanα＝k；∴存在实数k与θ，使直线l和圆M相切；对于③，由d≤r知不存在实数k与θ，③错误；④对任意实数k，有k＝tanα，使得d＝|sin（θ﹣α）|＝1＝r，直线l与和圆M相切，④正确；⑤对任意实数θ，不一定存在实数k，如θ＝4°时，tan90°不存在的．综上，正确的命题序号是①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．三、解答题（本大题6个小题，共70分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．）17．（10分）已知p：x2﹣x﹣6≥0，q：x2﹣（2m+1）x+m2+m≤0．（1）若m＝2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）分别求出p与q为真命题的x的取值范围，取交集得答案；（2）求解一元二次不等式化简命题q，把q是p的充分不必要条件转化为集合端点值间的关系求解．【解答】解：（1）p：（x﹣3）（x+2）≥5得x≤﹣2或x≥3，当m＝3时，由q：x2﹣5x+3≤0为真，得2≤x≤7，p∧q为真，即p，即，∴x的取值范围为{3}；（2）q：x2﹣（2m+1）x+m5+m≤0，即q：（x﹣m）（x﹣m﹣1）≤2，∴q：m≤x≤m+1，即q：[m．∵q是p的充分不必要条件，∴m+1≤﹣6或m≥3，即m≤﹣3或m≥2．综上：q是p的充分不必要条件时，m的取值范围为（﹣∞，+∞）．【点评】本题考查复合命题的真假判定，考查充分必要条件的判断及其应用，考查数学转化思想方法，是中档题．18．（12分）已知动圆P的圆心为点P，圆P过点F（1，0）且与直线l：x＝﹣1相切．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若圆P与圆F：（x﹣1）2+y2＝1相交于M，N两点，求|MN|的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义，可得点P的轨迹是以点F为焦点，直线l：x＝﹣1为准线的抛物线，即可求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）利用弦长公式求得|MN|，利用＝＝≥1，求|MN|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，点P到点F（1，…（1分）∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l：x＝﹣4为准线的抛物线∴曲线C的方程为y2＝4x．…（4分）（Ⅱ）设点P（x0，y0），点F到直线MN的距离为d，则点P到直线MN的距离为|PF|﹣d．…（5分）∵圆F：（x﹣1）2+y6＝1的半径为1，圆P的半径为|PF|，∴|MN|＝．…（2分）∴1﹣d2＝|PF|7﹣（|PF|﹣d）2，化简得．…（6分）∴|MN|＝．…（7分）∵点P（x0，y7）在曲线C：y2＝4x上，∴，且x0≥0．∴＝＝≥1∴．…（10分）∴．…（11分）∴．∴|MN|的取值范围为．…（12分）【点评】本题考查轨迹方程，考查抛物线定义的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，AB＝AC，BC＝3，AA1＝4，M，N分别为棱AA1，BC的中点．（1）求证：AN∥平面BMC1；（2）求点B1到平面BMC1的距离．【分析】（1）取BC1的中点D，连接ND，MD，证明AN∥MD，再由直线与平面平行的判定可得AN∥平面BMC1；（2）由AB＝AC，N为BC的中点，得AN⊥BC，结合BB1⊥AN，证明AN⊥平面BB1C1C，进一步得到MD⊥平面BB1C1C，可得平面BMC1⊥平面BB1C1C，过B1作B1E⊥BC1于E，则有B1E⊥平面BMC1，然后利用等面积法求得点B1到平面BMC1的距离．【解答】证明：（1）取BC1的中点D，连接ND，则ND∥CC1∥AA4，，得四边形AMDN为平行四边形，∴AN∥MD，又MD⊂平面BMC1，AN⊄平面BMC6，∴AN∥平面BMC1；解：（2）∵AB＝AC，N为BC的中点，又由题知BB1⊥平面ABC，∴BB3⊥AN，又BB1∩BC＝B，∴AN⊥平面BB1C4C，由（1）知AN∥MD，故MD⊥平面BB1C1C，又MD⊂平面BMC8，∴平面BMC1⊥平面BB1C8C，于是，过B1作B1E⊥BC3于E，则有B1E⊥平面BMC1，∴B2到平面BMC1的距离即为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了点到平面距离的求法，是中档题．20．（12分）已知斜率为k的直线经过点（﹣1，0）与抛物线C：y2＝2px（p＞0，p为常数）交于不同的两点M，N，当k＝时．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ经过点B（1，﹣1），判断直线NQ 是否过定点？若过定点；若不过定点，请说明理由．【分析】（1）直线方程为x﹣2y+1＝0，联立，得y2﹣4py+2p＝0，由此利用弦长公式能求出抛物线C的标准方程．（2）设MN的方程为y＝k（x+1），代入抛物线的方程，可得ky2﹣4y+4k＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），则y1y2＝4，由k MQ＝，直线MB的方程为y+1＝（x﹣1），从而y1＝﹣，＝﹣，进而直线QN的方程为y﹣y2＝（x﹣x2），由此能推导出直线QN过定点（1，﹣4）．【解答】解：（1）∵斜率为k＝的直线经过点（﹣6，∴直线方程为x﹣2y+1＝8，联立，得y5﹣4py+2p＝6，△＝16p2﹣8p＞3，即p＜0（舍）或p＞．设M（x1，y1），N（x3，y2），则x1+x4＝4p，x1x3＝2p，∵弦MN的长为4，∴＝，整理，得2p2﹣p﹣6＝0，解得p＝5或p＝﹣（舍），∴抛物线C的标准方程为y8＝4x．（2）设MN的方程为y＝k（x+1），代入抛物线的方程8﹣4y+4k＝5设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y5），则y1y2＝3，由k MQ＝＝＝，直线MB的方程为y+1＝（x﹣1），∴y3+1＝（x1﹣5），可得y1＝﹣，∴＝﹣，∴y3y3+4（y4+y3）+4＝4直线QN的方程为y﹣y2＝（x﹣x2）可得y8y3﹣y（y2+y8）+4x＝0，∴x＝6，y＝﹣4，∴直线QN过定点（1，﹣6）．【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查抛物线、弦长公式、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，P A＝PB＝PD，PE＝2EC （1）证明：OP⊥平面ABCD．（2）若AB＝2，BC＝2AD＝4，P A＝4【分析】（1）取AD的中点F，连接PF，OF．推导出AD⊥PF，OF∥AB．AB⊥AD，OF ⊥AD，从而AD⊥平面POF．进而AD⊥OP．推导出PO⊥BD．由此能证明OP⊥平面ABCD．（2）以O为坐标原点，FO所在直线为x轴，平行AD的直线为y轴，OP所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出二面角C﹣BD﹣E的余弦值．【解答】解：（1）证明：取AD的中点F，连接PF，因为P A＝PD，F为AD的中点．因为O为BD的中点，F为AD的中点．因为AB⊥AD，所以OF⊥AD，因为OF∩PF＝F，OF⊂平面POF，所以AD⊥平面POF．又OP⊂平面POF，所以AD⊥OP．因为PB＝PD，O为BD的中点．因为AD∩BD＝D，AD⊂平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD．（2）解：以O为坐标原点，FO所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．则O（0，0，2），﹣，0），，0），3，0），0，4）．因为PE＝2EC，所以E（，2，），故＝（﹣2，2，＝（，，），，0，2）．设平面BDE的法向量＝（x，y，则，取x＝，则，1，﹣2）．记二面角C﹣BD﹣E的大小为θ，由图可知θ为锐角，则cosθ＝|cos＜＞|＝＝＝．∴二面角C﹣BD﹣E的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22．（12分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，且DN＝ON＝1，MN＝3，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y＝0和l2：x+2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l 总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：（1）设D（t，0），N（x0，y5），M（x，由题意得，且||＝|，∴（t﹣x，﹣y）＝2（x0﹣t，y3），且，即，且t（t﹣2x0）＝6，由于当点D不动时，点N也不动，于是t＝2x0，故x7＝，y0＝﹣，代入x02+y62＝1，得方程为．（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x＝4或x＝﹣4△OPQ＝，②直线l的斜率k存在时，直线l为：y＝kx+m），由消去y2）x2+4kmx+4m2﹣16＝5，∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，∴△＝64k2m2﹣8（1+4k8）（4m2﹣16）＝4，即m2＝16k2+8，①，由，可得P（，），），原点O到直线PQ的距离d＝和|PQ|＝P﹣x Q|，可得S△OPQ＝|PQ|d＝P﹣x Q|＝|m|||②，将①代入②得S△OPQ＝||＝4||，当k2＞时，S△OPQ＝8（）＝8（5+，当0≤k2＜时，S△OPQ＝8||＝﹣8（），∵7≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，≥2，∴S△OPQ＝8（﹣3+）≥8，∴当k＝5时，S△OPQ的最小值为8，综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．。
