高一数学人教A版(2.2.1 向量的加法运算及其性质)

2.2.1 向量加法运算及其几何意义1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝a．2．向量求和的法则[提示]不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法．3．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a．(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．1．下列各式不一定成立的是( )A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝aC ．AC →＋CB →＝AB →D ．|a ＋b |＝|a |＋|b |D [A ，B ，C 项满足运算律，而D 项向量和的模不一定与向量模的和相等，满足三角形法则．]2.CB →＋AD →＋BA →等于( ) A ．DB →B ．CA →C ．CD →D ．DC →C [CB →＋AD →＋BA →＝CB →＋BA →＋AD →＝CD →.]3．如图，在平行四边形ABCD 中，DA →＋DC →＝ ．DB →[由平行四边形法则可知DA →＋DC →＝DB →.]4．小船以10 3 km/h 的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h ，则小船实际航行速度的大小为 km/h.20 [根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际速度大小为（103）2＋102＝20(km/h)．]1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？ 提示：(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等． (2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等．2．设A 1，A 2，A 3，…，A n (n ∈N ，且n ≥3)是平面内的点，则一般情况下，A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n →的运算结果是什么？提示：将三角形法则进行推广可知A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n →＝A 1A n →.【例1】 (1)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，F 为线段DE 延长线上一点，DE ∥BC ，AB ∥CF ，连接CD ，那么(在横线上只填上一个向量)：①AB →＋DF →＝ ； ②AD →＋FC →＝ ； ③AD →＋BC →＋FC →＝ ．(2)①如图甲所示，求作向量和a ＋b ； ②如图乙所示，求作向量和a ＋b ＋c .甲 乙思路点拨：(1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换，然后用三角形法则化简．(2)用三角形法则或平行四边形法则画图．(1)①AC → ②AB → ③AC →[如题图，由已知得四边形DFCB 为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：①AB →＋DF →＝AB →＋BC →＝AC →. ②AD →＋FC →＝AD →＋DB →＝AB →.③AD →＋BC →＋FC →＝AD →＋DF →＋FC →＝AC →.](2)[解] ①首先作向量OA →＝a ，然后作向量AB →＝b ，则向量OB →＝a ＋b .如图所示．②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ，然后作向量BC →＝c ，则向量OC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求．法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ，则OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b .再以OD ，OC 为邻边作▱ODEC ，连接OE ，则OE →＝OD →＋OC →＝a ＋b ＋c 即为所求．1．在本例(1)条件下，求CB →＋CF →.[解] 因为BC ∥DF ，BD ∥CF ，所以四边形BCFD 是平行四边形， 所以CB →＋CF →＝CD →.2．在本例(1)图形中求作向量DA →＋DF →＋CF →. [解] 过A 作AG ∥DF 交CF 的延长线于点G ， 则DA →＋DF →＝DG →，作GH →＝CF →，连接DH →， 则DH →＝DA →＋DF →＋CF →，如图所示．1．向量求和的注意点(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用． (2)两个向量的和向量仍是一个向量．(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．提醒：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．①BC →＋AB →； ②DB →＋CD →＋BC →； ③AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →.(2)如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：①DG →＋EA →＋CB →； ②EG →＋CG →＋DA →＋EB →.思路点拨：根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．[解] (1)①BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →； ②DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB →＝0；③AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA →＝0.(2)①DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →； ②EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →＝0.向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．1．向量(AB →＋PB →)＋(BO →＋BM →)＋OP →化简后等于( ) A ．BC →B ．AB →C ．AC →D ．AM →D [原式＝(AB →＋BM →)＋(PB →＋BO →＋OP →)＝AM →＋0＝AM →.]＝120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．思路点拨：作出对应的几何图形，构造有关向量→利用三角形法则或平行四边形法则运算→回答实际问题[解] 如图所示，设CE →，CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →.易得∠ECG ＝180°－150°＝30°， ∠FCG ＝180°－120°＝60°.∴|CE →|＝|CG →|·cos 30°＝10×32＝53，|CF →|＝|CG →|·cos 60°＝10×12＝5.∴A 处所受的力的大小为5 3 N ，B 处所受的力的大小为5 N.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[解] 设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和是AB →＋BC →＝AC →.依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°， 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)． 其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.1．下列判断正确的是( )A ．任意两个向量的和仍然是一个向量．B ．两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．C ．任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．D ．|a |＋|b |＞|a ＋b |A [任意两个向量的和仍是一个向量，根据向量加法的几何意义知B ，C ，D 均错误．] 2．对于任意一个四边形ABCD ，下列式子不能化简为BC →的是( ) A ．BA →＋AD →＋DC → B ．BD →＋DA →＋AC → C ．AB →＋BD →＋DC →D ．DC →＋BA →＋AD →C [在A 中，BA →＋AD →＋DC →＝BD →＋DC →＝BC →；在B 中，BD →＋DA →＋AC →＝BA →＋AC →＝BC →；在C 中，AB →＋BD →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →；在D 中，DC →＋BA →＋AD →＝DC →＋BD →＝BD →＋DC →＝BC →.]3．若a 表示“向东走8 km”，b 表示“向北走8 km”，则|a ＋b |＝ ，a ＋b 的方向是 ．8 2 km 东北方向 [如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →. 所以|a ＋b |＝|OB →| ＝82＋82＝82(km)， 因为∠AOB ＝45°，所以a ＋b 的方向是东北方向．]4．如图所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，求下列向量：(1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →.[解] (1)由题图可知，四边形OABC 为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得OA →＋OC →＝OB →.(2)由题图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →， ∴BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.。

5.2向量的加法教学目标1．知识目标掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量计算。

2．能力目标使学生经历向量加法法则的探究和应用过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。

3．情感目标注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。

教学重点、难点重点：向量加法的两个法则及其应用；难点：对向量加法定义的理解。

突破难点的关键是抓住实例，借助多媒体动画演示，不断渗透数形结合的思想，使学生从感性认识升华到理性认识。

教学方法结合学生实际，主要采用“问题探究”式教学方法。

通过创设问题情境，使学生对向量加法有一定的感性认识；通过设置一条问题链，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提高思维品质，力求把传授知识与培养能力融为一体。

采用计算机辅助教学，通过直观演示体现形、动、思于一体的教学效果，优化课堂结构，提高教学质量。

教学过程,a b，长度、位置和方向由你们自己定。

教师巡视，抽取三种特殊画法，请同学们展示画在黑板上。

请同学们思考：怎么样用平行四边形法则去求,a b的和向量？请三位同学板演。

请学生解释当向量,a b不在同一起点的时候，1,2两个图形）（学生板演，可让其他同学补充）多媒体演示：平行四边形法则的步骤。

a , b,求作向量a b+在平面内任取一点A为起点，,a b为邻边作平行四边形教师引导学生观察利用平行四边形求和时两向量的位置：起点相同。

从而得到平行四边形法则的a , b,求作向量a b+在平面内任取一点A=,AB=BCab+ACb=+和b a+相等吗？因为两个图形正好能拼成一a b个平行四边形。

多媒体显示经过平移，恰好构成平行四边形的过程。

2.2.1 向量加法运算及其几何意义教学目标：1. 理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2. 掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3. 了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释加法运算律的合理性. 教学重点：向量的加法运算及其几何意义.教学难点：向量加法的几何意义.教学方法：自主学习，合作探究.教学过程；一、新课引入（1）物理学中的“位移”模型.（2）物理学中的“力的合成”模型.二、新知讲授1. 向量的加法法则（1）三角形法则—位移模型：AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ；特征：“首尾相接”。

（2）平行四边形法则—力的合成模型：OA OB OC +=u u u r u u u r u u u r ；特征：“起点相同”。

补充：（1）AC AM MC =+u u u r u u u u r u u u u r . （2）AB BA +=u u u r u u u r .02. 规定：+=+=00a a a 。

3. 向量加法的交换律和结合律：（1）+=+a b b a ；（2）()()++=++a b c a b c 。

三、典型例题例1. 如图，已知向量a ，b ，求作向量+a b .b a例 2.如图，已知两个大小分别为5N ，6N 力同时作用在一个点A ，请问这两个力的合力大小最大为 ；最小为 。

四、课堂练习1. 如图，已知向量a ，b ，用向量的加法法则作出+a b 。

（1） （2）2. 计算： （1）OA AB +=u u u r u u u r（2）OM MG GD ++=u u u u r u u u u r u u u r3.作用在同一物体上的两个力160F N =u u r ，280F N =u u r ，当它们的夹角为90o 时，则这两个力的合力大小为 .4.已知向量a ，b 的大小分别为12，5，则向量+a b 的取值范围是 。

学习资料2．2 平面向量的线性运算2．2.1向量加法运算及其几何意义内容标准学科素养1。

理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义。

2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算。

3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.应用直观想象应用数学抽象发展逻辑推理应用数学建模授课提示:对应学生用书第47页［基础认识]知识点一向量加法的定义及其运算法则阅读教材P80~81,思考并完成以下问题分析下列实例：(1）飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．（2）有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3 000 N，F2＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．（1）从物理学的角度,上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？提示:后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移，四边形OACB的对角线OC，→表示的力是错误!与错误!表示的力的合力．体现了向量的加法运算．（2)上述实例中位移的和运算、力的和运算分别运用了什么法则?提示：三角形法则和平行四边形法则．知识梳理（1)向量加法的定义求两个向量的和的运算，叫做向量的加法．（2）向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b,在平面上任取一点A，作错误!＝a，错误!＝b,则向量错误!叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝错误!＋错误!＝错误!。

这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a向量求和的法则平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线错误!就是a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则知识点二向量加法的运算律思考并完成以下问题实数加法有哪些运算律？向量的加法有哪些运算律?(1）根据图中的平行四边形ABCD，向量错误!从A→B→C与A→D→C有什么关系？提示：错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!。