必修4第二章平面向量教学质量检测

人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)必修4第二章平面向量教学质量检测1.以下说法错误的是（）A．零向量与任一非零向量平行B．零向量与单位向量的模不相等C．平行向量方向相同D．平行向量一定是共线向量2.下列四式不能化简为AD的是（）AB＋CD）＋BC；（AD＋MB）＋（BC＋CM）；MB＋AD－BM；OC－OA＋CD3.已知向量a=(3,4)，向量b=(5,12)，a与b夹角的余弦为：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)3×5+4×12) / (5×5+12×12)56 / 169所以选项C正确。

4.已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+ 3b| =a+3b|^2 = (a+3b)·(a+3b)a·a + 6a·b + 9b·b1 + 6cos60° + 913所以选项C正确。

5.已知ABCDEF是正六边形，且AB=a，AE=b，则BC=CD=DE=a-b，所以选项A正确。

6.设a，b为不共线向量，AB=a+2b，BC=－4a－b，CD=－5a－3b，则AD=BC+CD=－9a-4b，所以选项C正确。

7.设e1与e2是不共线的非零向量，且ke1+e2与e1+ke2共线，则有：ke1+e2 = λ(e1+ke2)k-λ)e1 + (1-λ)ke2 = 0由于e1和e2不共线，所以k-λ=0或1-λ=0，即k=λ或k=1/λ，所以选项C正确。

8.在四边形ABCD中，AB=DC，且AC·BD=0，所以四边形ABCD是矩形，所以选项A正确。

9.已知M(－2,7)、N(10,－2)，点P是线段MN上的点，且PN=－2PM，则P点的坐标为：P = (1/3)M + (2/3)N = (1/3)(-2,7) + (2/3)(10,-2) = (6,1)，所以选项C正确。

章末质量评估(二)(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列等式：(1)a ·0 ＝0；(2)0·a ＝0；(3)若a ，b 同向共线，则a·b ＝|a |·|b |；(4)a ≠0，b ≠0，则a·b ≠0；(5)a·b ＝0，则a·b 中至少有一个为0；(6)若a ，b 均是单位向量，则a 2＝b 2.以上成立的是( )． A ．(1)(2)(5)(6) B ．(3)(6) C ．(2)(3)(4)D ．(3)(6)解析 因为a ·0 ＝0，所以(1)错；因为0·a ＝0，所以(2)错；当a ，b 同向共线时，cos 〈a ，b 〉＝1，此时a·b ＝|a|·|b |，所以(3)对；若a ⊥b ，尽管a ≠0，b ≠0，仍有a·b ＝0，所以(4)错；当a ≠0，b ≠0，且a ⊥b 时，a·b ＝0，所以(5)错；因为a ，b 均是单位向量，所以a 2 ＝b 2，即(6)正确．故选D. 答案 D2．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3＋1，3－1)，则a 与b 的夹角为( )． A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4 解析 cos θ＝a ·b |a ||b |＝3＋1＋3－32×22＝22，又θ∈[0，π]，∴θ＝π4. 答案 A3．设a ，b 是共线的单位向量，则|a ＋b |的值是( )．A ．等于2B ．等于0C ．大于2D ．等于0或等于2 解析 |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2cos θ，∵a 与b 共线，∴cos θ＝1或cos θ＝－1. ∴|a ＋b |＝0或2. 答案 D4．已知线段AB 的中点为C ，则AB →－BC →＝( )．A ．3AC → B.AC → C.CA → D ．3CA → 解析 ∵AB →＝2AC →＝－2BC →，∴AB →－BC →＝－3BC →＝3AC →. 答案 A5．已知△ABC 中，CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角为( )． A ．30° B ．－150° C ．150°D ．30°或150°解析 CB →·CA →<0，∴∠ACB >90°，故答案应为C. 答案 C6．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )． A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析 根据基底概念，e 1与e 2不共线，对于B ，∵－1×7－2×5≠0，故可作平面内的一组基底． 答案 B7．已知非零向量a ，b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则|a ||b |等于( )． A.14 B ．4 C.12 D ．2解析 由(a ＋2b )·(a －2b )＝0，有a 2－2ab ＋2ab －4b 2＝0，∴a 2＝4b 2，∴|a |＝2|b |，∴|a ||b |＝2.故选D. 答案 D8．点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )．A ．三条内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点解析 OA →·OB →＝OB →·OC →⇒(OA →－OC →)·OB →＝0⇒CA →·OB →＝0⇒CA →⊥OB →. 同理可得BC →⊥OA →，AB →⊥OC →. 因此点O 是△ABC 的垂心．故选D. 答案 D9．点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )．A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10) 解析 由已知，设平移后M (x ，y )，有PM →＝5v ，∴(x ，y )＝(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)． 答案 C10．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)等于( )．A ．－49B ．－43 C.43 D.49解析 由AP →＝2PM →，AM ＝1知，PM ＝13，P A ＝23，PB →＋PC →＝2PM →，所以P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PM →＝2|P A →||PM →|cos 180°＝2×23×13×(－1)＝－49.故选A. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析 |5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49，∴|5a －b |＝7.答案 712．已知点A (2,3)，C (0,1)，且AB →＝－2BC →，则点B 的坐标为________． 解析 设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x －2，y －3)． BC →＝(－x,1－y )，又AB →＝－2BC →，∴(x －2，y －3)＝－2(－x,1－y )＝(2x,2y －2)． ∴x ＝－2，y ＝－1. 答案 (－2，－1)13．与a ＝(12,5)平行的单位向量是________． 解析 由题意设b ＝λa ＝(12λ，5λ)，且|b |＝1. 则(12λ)2＋(5λ)2＝1，解得λ＝±113 ∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513或b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－51314．已知向量a ＝(6,2)，b ＝(－4，12)，直线l 过点A (3，－1)且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．解析 a ＋2b ＝(6,2)＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12＝(－2,3)．设P (x ，y )为所求直线上任意一点，则 AP →＝(x －3，y ＋1)． ∵AP →·(a ＋2b )＝0， ∴－2(x －3)＋3(y ＋1)＝0， 整理得2x －3y －9＝0.∴2x －3y －9＝0即为所求直线方程． 答案 2x －3y －9＝0三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)如图，O 是△ABC 内一点，PQ ∥BC ，且PQBC ＝t ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 试用a ，b ，c 表示OP →与OQ →.解 因为PQ BC ＝t ，所以APAB ＝t ，得到BP ＝(1－t )AB ，OP →＝OB →＋BP →＝b ＋(1－t )BA →＝b ＋(1－t )(a －b )＝(1－t )a ＋t b . 同理可得，OQ →＝(1－t )a ＋t c .16．(10分)已知点A (0,1)和点B (－3,4)，O 为坐标原点，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC →|＝2，求向量OC →的坐标．解 设a ＝OA →＝(0,1)，b ＝OB →|OB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则|a | ＝|b |＝1.即a 与b 分别是与OA →，OB →共线的单位向量．因为点C 在∠AOB 的平分线上，所以OC →与a ＋b 共线．设OC →＝λ(a ＋b )(λ>0)，则OC →＝λ(－35，95)． ∵|OC →|＝2，∴λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫925＋8125＝4，得λ＝103.故OC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－105，3105. 17．(10分)已知a ＝( 3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t 的最小值．解 ∵a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴|a |＝ (3)2＋(－1)2＝2， |b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1.∴a ·b ＝ 3×12＋(－1)×32＝0，故有a ⊥b . 由x ⊥y ，得[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， 即－k a 2＋(t 3－3t )b 2＋(t －k t 2＋3k )a ·b ＝0. ∴－k |a |2＋(t 3－3t )|b |2＝0.将|a |＝2，|b |＝1代入上式，得－4k ＋t 3－3t ＝0. ∴k ＝t 3－3t 4，∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74.故当t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值－74.18．(12分)已知向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(3cos x ，cos x )，且b ≠0，定义函数f (x )＝2a ·b －1.(1)求函数f (x )的单调增区间； (2)若a ∥b ，求tan x 的值； (3)若a ⊥b ，求x 的最小正值． 解 (1)f (x )＝2a ·b －1 ＝2(3sin x cos x ＋cos 2x )－1 ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6.∴单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)由a ∥b ，得sin x cos x －3cos 2x ＝0， ∵b ≠0， ∴cos x ≠0. ∴tan x －3＝0， ∴tan x ＝ 3.(3)由a ⊥b 得3sin x cos x ＋cos 2x ＝0， ∵b ≠0， ∴cos x ≠0 ∴tan x ＝－33故x 的最小正值为：x ＝5π6.19．(12分)(2012·温州高一检测)平面内有四边形ABCD ，BC →＝2AD →，且AB ＝CD ＝DA ＝2，AD →＝a ，BA →＝b ，M 是CD 的中点． (1)试用a ，b 表示BM →；(2)AB 上有点P ，PC 和BM 的交点为Q ，PQ ∶QC ＝1∶2，求AP ∶PB 和BQ ∶QM . 解 (1)BM →＝12(BD →＋BC →) ＝12(BA →＋AD →＋2AD →)＝32a ＋12b . (2)设BP →＝tBA →，则BQ →＝BC →＋CQ →＝BC →＋23(CB →＋BP →) ＝23BP →＋13BC →＝23tBA →＋13·2AD → ＝23(a ＋t b )．设BQ →＝λBM →＝3λ2a ＋λ2b ， 由于BA →，AD →不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＝23λ2＝23t，解方程组得λ＝49，t ＝13.故AP ∶PB ＝2∶1，BQ ∶QM ＝4∶5.。

阶段质量评估(二) 平面向量第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列量不是向量的是( )A ．力B ．速度C ．质量D ．加速度解析：质量只有大小，没有方向，不是向量． 答案：C2．已知a ，b 都是单位向量，则下列结论正确的是( ) A ．a ·b ＝1 B ．a 2＝b 2C ．a ∥b ⇒a ＝bD ．a ·b ＝0解析：因为a ，b 都是单位向量，所以|a |＝|b |＝1.所以|a |2＝|b |2，即a 2＝b 2. 答案：B3．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD → B.12AD → C.BC →D.12BC → 解析：EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A.答案：A4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a ＝( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0)D ．(4,3)解析：由于a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，于是b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，选B. 答案：B5．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3＋1，3－1)，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π3 C.π2D.3π4解析：cos θ＝a ·b |a ||b |＝3＋1＋3－32×22＝22，又θ∈[0，π]，∴θ＝π4. 答案：A6．已知两点A (2，－1)，B (3,1)，与AB →平行且方向相反的向量a 可能是( ) A ．a ＝(1，－2) B ．a ＝(9,3) C ．a ＝(－1,2)D ．a ＝(－4，－8)解析：∵AB →＝(1,2)，∴a ＝(－4，－8)＝－4(1,2)＝－4AB →.∴D 正确． 答案：D7．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 与b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6D ．3 3解析：－122＝|a |·|b |·cos 135°，且|a |＝4，故|b |＝6. 答案：C8．已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92B ．0C ．3D.152解析：因为a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，所以2a －3b ＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k －3，－6)． 因为(2a －2b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝(2k －3，－6)·(2,1)＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3.故选C.答案：C9．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )A ．3B ．－3C ．0D ．2解析：由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝3. 答案：A10．若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2 B. 2 C ．1D.22解析：∵(a ＋b )⊥a ，∴(a ＋b )·a ＝a 2＋a·b ＝0.∴a·b ＝－1.∵(2a ＋b )⊥b ，∴(2a ＋b )·b ＝2a·b ＋b 2＝0.∴b 2＝2.∴|b |＝ 2.故选B.答案：B11．若a ＝(1,2)，b ＝(－3,0)，(2a ＋b )∥(a －m b )，则m ＝( ) A ．－12B.12 C ．2D ．－1解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(－3,0)，所以2a ＋b ＝(－1,4)，a －m b ＝(1＋3m,2)．又因为(2a ＋b )∥(a －m b )，所以(－1)×2＝4(1＋3m )．解得m ＝－12.答案：A12．在△ABC 中，AB 边上的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35b D.45a －45b 解析：因为a ·b ＝0，所以CA →⊥CB →.所以AB ＝12＋22＝ 5.又因为CD ⊥AB ，所以△ACD∽△ABC .所以AC AB ＝AD AC .所以AD ＝AC 2AB ＝2212＋22＝455.所以AD →＝45AB →＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →－CA →＝45(a －b )＝45a －45b .答案：D第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填在题中横线上) 13．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(3m －1,4－m )，若a ⊥b ，则m 的值为________． 解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝3(3m －1)＋(－2)(4－m )＝0. ∴m ＝1. 答案：114．已知a ＝(2,4)，b ＝(－1，－3)，则|3a ＋2b |＝______. 解析：3a ＋2b ＝3(2,4)＋2(－1，－3) ＝(6,12)＋(－2，－6)＝(4,6)， 所以|3a ＋2b |＝42＋62＝213. 答案：21315．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.解析：利用共线向量求参数值． ∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b .∴|λa |＝|－b |＝|b |＝22＋12＝ 5. ∴|λ|·|a |＝ 5.又|a |＝1，∴|λ|＝ 5. 答案： 516．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：∵向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)， ∴c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)． ∴a·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， ∴a·c |a ||c |＝b·c |b ||c |，即a·c |a |＝b·c|b |. ∴5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 答案：2三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(1)已知a ＝(4,2)，求与a 垂直的单位向量的坐标． (2)若|a |＝2，|b |＝1，且a 与b 的夹角为120°，求|a ＋b |的值． 解：(1)设与a 垂直的单位向量为e ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，4x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55，y ＝－255或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－55，y ＝255.所以e ＝⎝⎛⎭⎪⎫55，－255或e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，255.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4＋2×2×1×cos 120°＋1＝3， 所以|a ＋b |＝ 3.18．(本小题满分12分)已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB .求证：AC ⊥BC .证明：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图，设AD ＝1，则A (0,0)、B (2,0)、C (1,1)、D (0,1)．∴BC →＝(－1,1)，AC →＝(1,1)， BC →·AC →＝－1×1＋1×1＝0.∴BC ⊥AC .19．(本小题满分12分)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝7. (1)求a ，b 的夹角θ； (2)求|3a ＋b |的值．解：(1)由已知得(3a －2b )2＝7， 即9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝7， 又|a |＝1，|b |＝1，代入得a·b ＝12，∴|a ||b |cos θ＝12，即cos θ＝12.又θ∈[0，π]，∴θ＝π3.∴向量a ，b 的夹角θ＝π3.(2)由(1)知，(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a ·b ＋|b |2＝9＋3＋1＝13. ∴|3a ＋b |＝13.20．(本小题满分12分)已知e 1，e 2是平面上的一组基底，a ＝e 1＋λe 2，b ＝－2λe 1－e 2.(1)若a 与b 共线，求λ的值；(2)若e 1，e 2是夹角为60°的单位向量，当λ≥0时，求a ·b 的最大值． 解：(1)∵a ∥b ，∴存在实数μ，使得b ＝μa .∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝μ，λμ＝－1，解得λ＝±22. (2)∵e 1，e 2是夹角为60°的单位向量， ∴e 1·e 2＝12.∴a ·b ＝(e 1＋λe 2)·(－2λe 1－e 2)＝－λ2－3λ－12.在λ∈[0，＋∞)上是减函数， ∴λ＝0时，a ·b 取最大值－12.21．(本小题满分12分)已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|b |＝25，且a ∥b ，求b 的坐标；(2)若|c |＝10，且2a ＋c 与4a －3c 垂直，求a 与c 的夹角θ. 解：(1)设b ＝(x ，y )， ∵a ∥b ，∴y ＝2x .①又∵|b |＝25，∴x 2＋y 2＝20.②由①②联立，解得x 1＝2，y 1＝4，x 2＝－2，y 2＝－4. ∴b ＝(2,4)或b ＝(－2，－4)． (2)由已知(2a ＋c )⊥(4a －3c )，(2a ＋c )·(4a －3c )＝8a 2－3c 2－2a ·c ＝0， 又|a |＝5，|c |＝10， 解得a ·c ＝5， ∴cos θ＝a ·c |a ||c |＝22.∵θ∈[0，π]， ∴a 与c 的夹角θ＝π4.22．(本小题满分14分)已知向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，|ka ＋b |＝3|a －k b |，k ＞0，k ∈R .(1)求a ·b 关于k 的解析式f (k )； (2)若a ∥b ，求实数k 的值； (3)求向量a 与b 夹角的最大值． 解：(1)由已知|k a ＋b |＝3|a －k b |， 有|k a ＋b |2＝(3|a －k b |)2，即k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2 ＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2.又∵|a |＝|b |＝1，得8k a ·b ＝2k 2＋2，∴a ·b ＝k 2＋14k ，即f (k )＝k 2＋14k(k ＞0)．(2)∵a ∥b ，k ＞0，∴a ·b ＝k 2＋14k＞0，则a 与b 同向．∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝1.即k 2＋14k＝1，整理得k 2－4k ＋1＝0，∴k ＝2± 3.∴当k ＝2±3时，a ∥b . (3)设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝a ·b＝k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k 2＋2，当k ＝1k，即k ＝1时，cos θ取最小值12.又0≤θ≤π，所以θ＝π3.即向量a 与b 夹角的最大值为π3.。

单元质量评估(二)第二章(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2013·三明高一检测)化简-+-得( )A. B. C. D.02.已知a，b都是单位向量，则下列结论正确的是( )A.a·b=1B.a2=b2C.a∥b a=bD.a·b=03.已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量=(1，1)，n=(1，-1)，且n·=2，则n·等于( )A.-2B.2C.0D.2或-24.点C在线段AB上，且=，若=λ，则λ等于( )A. B. C.- D.-5.若a=(1，2)，b=(-3，0)，(2a+b)∥(a-m b)，则m= ( )A.-B.C.2D.-26.(2013·牡丹江高一检测)已知a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，则a在c方向上的投影是( )A. B.-11 C.- D.117.(2013·兰州高一检测)若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°8.已知△ABC满足2=·+·+·，则△ABC是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形9.(2013·西城高一检测)在矩形ABCD中，AB=，BC=1，E是CD上一点，且·=1，则·的值为( )A.3B.2C.D.10.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3).若向量c满足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，则c=( ) A. B.C. D.11.(2013·六安高一检测)△ABC中，AB边上的高为CD，若=a，=b，a·b=0，|a|=1，|b|=2，则= ( )A.a-bB.a-bC.a-bD.a-b12.在△ABC所在平面内有一点P，如果++=，则△PAB与△ABC的面积之比是( )A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.已知a=(2，4)，b=(-1，-3)，则|3a+2b|= .14.已知向量a=(1，)，b=(-2，2)，则a与b的夹角是.15.(2013·江西高考)设e1，e2为单位向量.且e1，e2的夹角为，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b方向上的射影为.16.(2013·武汉高一检测)下列命题中：①a∥b 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③|a·a·a|=|a|3；④a与b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤若a·b=b·c且b≠0，则a=c.其中正确命题的序号是.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°，CD=DA=AB. 求证：AC⊥BC.18.(12分)(2013·无锡高一检测)设=(2，-1)，=(3，0)，=(m，3).(1)当m=8时，将用和表示.(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件.19.(12分)在边长为1的等边三角形ABC中，设=2，=3. (1)用向量，作为基底表示向量.(2)求·.20.(12分)(2013·唐山高一检测)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1，2).(1)若|b|=2，且a∥b，求b的坐标.(2)若|c|=，且2a+c与4a-3c垂直，求a与c的夹角θ.21.(12分)(能力挑战题)已知a=(1，cosx)，b=（，sinx），x∈(0，π).(1)若a∥b，求的值.(2)若a⊥b，求sinx-cosx的值.22.(12分)(能力挑战题)已知向量a，b满足|a|=|b|=1，|k a+b|=|a-k b|(k>0，k∈R).(1)求a·b关于k的解析式f(k).(2)若a∥b，求实数k的值.(3)求向量a与b夹角的最大值.答案解析1.【解析】选D.-+-=+-=-=0.2.【解析】选B.因为a，b都是单位向量，所以|a|=|b|=1，所以|a|2=|b|2，即a2=b2.3.【解析】选B.因为n·=n·(-)=n·-n·，又n·=(1，-1)·(1，1)=1-1=0，所以n·=n·=2.4.【解析】选C.由=知，||∶||=2∶3，且方向相反(如图所示)，所以=-，所以λ=-.5.【解析】选A.因为a=(1，2)，b=(-3，0)，所以2a+b=(-1，4)，a-m b=(1+3m，2)，又因为(2a+b)∥(a-m b)，所以(-1)×2=4(1+3m)，解得m=-.【拓展提升】证明共线(或平行)问题的主要依据(1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b=λa，则向量a与b共线(平行).(2)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若x1y2-x2y1=0，则向量a∥b.(3)对于向量a，b，若|a·b|=|a|·|b|，则a与b共线.向量平行的等价条件有两种形式，其一是共线定理，其二是共线定理的坐标形式.其中，共线定理的坐标形式更具有普遍性，不必考虑向量是否为零和引入参数的存在性及唯一性.6.【解析】选C.a·c=[(a+b)-b]·c=(a+b)·c-b·c.因为a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，所以a·c=(a+b)·c=(1，2)·(-3，-4)=1×(-3)+2×(-4)=-11，所以a在c方向上的投影是==-.7.【解析】选C.因为c=a+b，c⊥a，所以c·a=(a+b)·a=a2+b·a=0，所以a·b=-a2=-|a|2=-12=-1，设向量a与b的夹角为θ，则cosθ===-，又0°≤θ≤180°，所以θ=120°.8.【解析】选C.因为=·+·+·，所以2=·+·+·，所以·(--)=·，所以·(-)=·，所以·=0，所以⊥，所以△ABC是直角三角形.【变式备选】在四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( )A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形【解析】选C.因为=++=-8a-2b=2，所以四边形ABCD为梯形.9.【解析】选B.如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.A(0，0)，B(，0)，C(，1)，设点E坐标为(x，1)，则=(x，1)，=(，0)，所以·=(x，1)·(，0)=x=1，x=，所以·=·(，1)=×+1×1=2.10.【解析】选D.设c=(x，y)，则c+a=(x+1，y+2)，a+b=(1，2)+(2，-3)=，因为(c+a)∥b，c⊥(a+b)，所以即解得所以c=.【误区警示】解答本题易混淆向量平行和垂直的坐标表示，导致计算错误.11.【解析】选D.因为a·b=0，所以⊥，所以AB==，又因为CD⊥AB，所以△ACD∽△ABC，所以=，所以AD===，所以===(a-b)=a-b.12.【解题指南】先对++=进行变形，分析点P所在的位置，然后结合三角形面积公式分析△PAB与△ABC的面积的关系.【解析】选A.因为++==-，所以2+=0，=-2=2，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示).所以△PAB与△ABC的面积之比是.13.【解析】因为3a+2b=3(2，4)+2(-1，-3)=(6，12)+(-2，-6)=(4，6)，所以|3a+2b|==2.答案：214.【解析】设a与b的夹角为θ，a·b=(1，)·(-2，2)=1×(-2)+×2=4，|a|==2，|b|==4，所以cosθ===，又0°≤θ≤180°，所以θ=60°.答案：60°15.【解析】设a，b的夹角为θ，则向量a在b方向上的射影为|a|cos θ=|a|=，而a·b=(e1+3e2)·2e1=2+6cos=5，|b|=2，所以所求射影为.答案：16.【解析】①错误.a∥b且a≠0 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②正确.e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③正确.===；④错误.当b=0时，a与b共线，b与c共线，则a与c不一定共线；⑤错误.只要a，c在b方向上的投影相等，就有a·b=b·c.答案：②③17.【证明】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设AD=1，则A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，1)，所以=(-1，1)，=(1，1)，·=-1×1+1×1=0，所以AC⊥BC.18.【解析】(1)当m=8时，=(8，3)，设=x+y，则(8，3)=x(2，-1)+y(3，0)=(2x+3y，-x)，所以所以所以=-3+.(2)因为A，B，C三点能构成三角形，所以，不共线，=(1，1)，=(m-2，4)，所以1×4-1×(m-2)≠0，所以m≠6. 19.【解析】(1)=+=-+. (2)·=·(-+)=·(-)+·=||·||cos150°+||·||cos30°=×1×+××1×=-.20.【解析】(1)设b=(x，y)，因为a∥b，所以y=2x；①又因为|b|=2，所以x2+y2=20；②由①②联立，解得b=(2，4)或b=(-2，-4).(2)由已知(2a+c)⊥(4a-3c)，(2a+c)·(4a-3c)=8a2-3c2-2a·c=0，又|a|=，|c|=，解得a·c=5，所以cosθ==，θ∈[0，π]，所以a与c的夹角θ=.21.【解题指南】一方面要正确利用向量平行与垂直的坐标表示，另一方面要注意同角三角函数关系的应用.【解析】(1)因为a∥b，所以sinx=cosx⇒tanx=，所以===-2.(2)因为a⊥b，所以+sinxcosx=0⇒sinxcosx=-，所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=.又因为x∈(0，π)且sinxcosx<0，所以x∈⇒sinx-cosx>0，所以sinx-cosx=.22.【解题指南】(1)先利用a2=|a|2，将已知条件两边平方，然后根据数量积定义和运算律化简、变形求f.(2)先根据k>0和a∥b，判断a与b同向，再利用数量积的定义列方程求k的值.(3)先用求向量a与b夹角的公式表示出夹角的余弦值，再利用配方法求余弦值的最小值，最后根据余弦函数的单调性求夹角的最大值. 【解析】(1)由已知|k a+b|=|a-k b|有|k a+b|2=(|a-k b|)2，k2a2+2k a·b+b2=3a2-6k a·b+3k2b2.又因为|a|=|b|=1，得8k a·b=2k2+2，所以a·b=即f(k)=(k>0).(2)因为a∥b，k>0，所以a·b=>0，则a与b同向.因为|a|=|b|=1，所以a·b=1，即=1，整理得k2-4k+1=0，所以k=2±，所以当k=2±时，a∥b.(3)设a，b的夹角为θ，则cosθ==a·b===.当=，即k=1时，cosθ取最小值，又0≤θ≤π，所以θ=.即向量a与b夹角的最大值为.关闭Word文档返回原板块。

必修4第二章平面向量教学质量检测姓名: 班级: 学号: 得分:1.在四边形ABCD 中，2AB =+a b ，4BC =--a b ，53CD =--a b ，则四边形ABCD 是（ ）.A.长方形B.平行四边形 Ｃ.菱形 Ｄ.梯形2、若向量(1,1)a =,(1,1)b =-,(1,2)c =-,则c 等于 （ B ）A 、1322a b -+B 、1322a b -C 、3122a b -D 、3122a b -+3.若向量a 与b 不共线，0⋅≠a b ，且()()⋅⋅=-⋅a a bc a a b ，则向量a 与c 的夹角为（ ）.A.π2B.π6C.π3D.04.设i ，j 是互相垂直的单位向量，向量(1)3m =+-a i j ，(1)m =+-b i j ，()()+⊥-a b a b ，则实数m 为（ ）.A.2-B.2 Ｃ.21-Ｄ.不存在 5．已知向量与反向，下列等式中成立的是 （ ）A ．||||||-=-B ．||||-=+C ．||||||-=+D ．||||||+=+6.点P 为△ABC 所在平面内任一点，且PA +PB +PC =AB ，则点P 与△ABC 的位置关系是（ ） A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部C.P 在AB 边上或其延长线上D.P 在AC 边上7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ） A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③8．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB C AC B λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，[)0,λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心9．若32041||-=-b a ，5||,4||==b a ，则b a 与的数量积为 （ ） A ．102B ．－103C ．103D ．1010．若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b ,则b 的坐标为( ） A ．)223,22(-- B ．)22,223(- C ．)22,223(- D ． )223,22(11．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ） A ．24,4 B ． 4,0 C ．16,0 D ． 0,2412．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，12、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a ⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 313．已知)1,2(=a与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________。

第二章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( D ) A ．OA →－OB →＝AB → B ．AB →＋BA →＝0 C ．0·AB →＝0D ．AB →＋BC →＋CD →＝AD →[解析] 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA →－OB →＝BA →；AB →，BA →是一对相反向量，它们的和应该为零向量，AB →＋BA →＝0；0·AB →＝0．2．已知点P ，Q 是△ABC 所在平面上的两个定点，且满足PA →＋PC →＝0,2QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|PQ →|＝λ|BC →|，则正实数λ＝( A )A ．12B ．13C ．1D ．14[解析] 满足PA →＋PC →＝0，∴点P 是线段AC 的中点． ∵2QA →＋QB →＋QC →＝BC →，∴2QA →＝QC →－QB →－QC →－QB →＝2BQ →， ∴点Q 是线段AB 的中点， ∵|PQ →|＝λ|BC →|， ∴λ＝12．3．如果a 、b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( D ) A ．a ＝b B ．a ·b ＝1 C ．a ＝－bD ．|a |＝|b |[解析] 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A 、C 不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a ·b ＝1不成立，所以选项B 不正确；|a |＝|b |＝1，则选项D 正确．4．如图，a －b 等于( C )A ．2e 1－4e 2B ．－4e 1－2e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2[解析] a －b ＝e 1－3e 2．5．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF →＝( D )A ．12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD →C ．－12AB →＋12AD →D ．12AB →－12AD [解析] EF →＝12DB →＝12(AB →－AD →)．6．(λ1a |a |＋λ1b |b |)·(λ2a |a |－λ2b|b |)等于( A ) A ．0 B ．λ1＋λ2 C ．λ1－λ2D ．λ1λ2[解析] ∵a|a |＝a 0.(a 0为a 的单位向量)．∴原式即(λ1a 0＋λ1b 0)(λ2a 0－λ2b 0)＝λ1·λ2(a 20－b 20)＝0．7．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( A )A ．322B ．3152C ．－322D ．－3152[解析] 本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算． 由条件知AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，AB →·CD →＝10＋5＝15． |CD →|＝52＋52＝52，则AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A ．8．已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A 、B 、C 三点共线应满足的条件是( D )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1[解析] A ，B ，C 三点共线即存在实数k ，使得AB →＝kAC →，即λa ＋b ＝k (a ＋μb )，所以有λa ＝k a ，b ＝kμb ，即λ＝k,1＝kμ，得λμ＝1．9．设a 、b 是两个非零向量( C ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |[解析] 利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a 、b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb .如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a 、b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ；若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．10．(山东高考)已知非零向量m 、n 满足4|m |＝3|n |，cos<m ，n >＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( B ) A ．4 B ．－4 C ．94D ．－94[解析] 由n ⊥(t m ＋n )可得n ·(t m ＋n )＝0，则t m·n ＋n 2＝0，所以t ＝－n 2m·n＝－n 2|m|·|n |cos 〈m ，n 〉＝－|n|2|m|×|n|×13＝－3×|n||m|＝－3×43＝－4.故选B ． 11．(2018·天津理，8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( A )A ．2116B ．32C ．2516D ．3[解析] 如图，以D 为坐标原点建立直角坐标系．连接AC ，由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°，则D (0,0)，A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)，则AE →＝(－1，y )，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y －32， ∴ AE →·BE →＝32＋y 2－32y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342＋2116，∴ 当y ＝34时，AE →·BE →有最小值2116． 故选A ．12．已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且OA →2＋BC →2＝OB →2＋CA →2＝OC →2＋AB →2，则点O 一定为△ABC 的( D )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[解析] ∵OA →2＋BC →2＝OB →2＋CA →2， ∴OA →2－OB →2＝CA →2－BC →2，∴(OA →－OB →)·(OA →＋OB →)＝(CA →＋BC →)·(CA →－BC →)， ∴BA →·(OA →＋OB →)＝BA →·(CA →－BC →)， ∴BA →·(OA →＋OB →－CA →＋BC →)＝0， ∴BA →·(OA →＋AC →＋OC →)＝0， ∴BA →·2OC →＝0， ∴BA →·OC →＝0，∴BA →⊥OC →．同理可得：CA →⊥OB →，CB →⊥OA →． ∴O 为△ABC 的垂心．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则A 、B 、C 、D 四点中一定共线的三点是__A 、B 、D __．[解析] BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →．14．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a⊥b ，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是__4__．[解析] 由于a⊥b ，由此画出以a ，b 为邻边的矩形ABCD ，如图所示，其中，AD →＝a ，AB →＝b ，∵a ＋b ＋c ＝0，∴CA →＝c ，BD →＝a －b ．∵(a －b )⊥c ，∴矩形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD 为正方形． ∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，|a|2＋|b|2＋|c|2＝4．15．若对n 个向量a 1，a 2，…，a n 存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得k 1a 1＋k 2a 2＋…＋k n a n ＝0成立，则称向量a 1，a 2，…，a n 为“线性相关”．依此规定，能说明a 1＝(1,2)，a 2＝(1，－1)，a 3＝(2,10)“线性相关”的实数k 1，k 2，k 3依次可以取__－4,2,1__(写出一组数值即可，不必考虑所有情况)．[解析] 由k 1a 1＋k 2a 2＋k 3a 3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2＋2k 3＝0，2k 1－k 2＋10k 3＝0⇒k 1＝－4k 3，k 2＝2k 3，令k 3＝c (c ≠0)，则k 1＝－4c ，k 2＝2c ．16．(2017天津理科)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为311． [解析] 由题意，知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·AE →＝(13AB →＋23AC →)·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22 ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311． 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)． (1)若〈a ，b 〉为锐角，求x 的范围； (2)当(a ＋2b )⊥(2a －b )时，求x 的值．[解析] (1)若〈a ，b 〉为锐角，则a ·b >0且a 、b 不同向．a ·b ＝x ＋2>0，∴x >－2当x ＝12时，a 、b 同向．∴x >－2且x ≠12(2)a ＋2b ＝(1＋2x,4)，2a －b ＝(2－x,3) (2x ＋1)(2－x )＋3×4＝0 即－2x 2＋3x ＋14＝0 解得：x ＝72或x ＝－2．18．(本题满分12分)如图，∠AOB ＝π3，动点A 1，A 2与B 1，B 2分别在射线OA ，OB 上，且线段A 1A 2的长为1，线段B 1B 2的长为2，点M ，N 分别是线段A 1B 1，A 2B 2的中点．(1)用向量A 1A 2→与B 1B 2→表示向量MN →． (2)求向量MN →的模．[解析] (1)A 1A 2→＝A 1M →＋MN →＋NA 2→ ①，B 1B 2→＝B 1M →＋MN →＋NB 2→② ①＋②将A 1A 2→＋B 1B 2→＝2MN →，所以MN →＝12(A 1A 2→＋B 1B 2→)；(2)|MN →|2＝14(A 1A 2→2＋2A 1A 2→·B 1B 2→＋B 1B 2→2)＝14(1＋2×1×2×cos π3＋4)＝74．∴|MN →|＝72．19．(本题满分12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|b |＝25，且a∥b ，求b 的坐标．(2)若|c |＝10，且2a ＋c 与4a －3c 垂直，求a 与c 的夹角θ． [解析] (1)设b ＝(x ，y )， 因为a∥b ，所以y ＝2x① 又因为|b |＝25，所以x 2＋y 2＝20②由①②联立，解得b ＝(2,4)或b ＝(－2，－4)． (2)由已知(2a ＋c )⊥(4a －3c )，(2a ＋c )·(4a －3c )＝8a 2－3c 2－2a·c ＝0， 又|a |＝5，|c |＝10， 解得a·c ＝5， 所以cos θ＝a·c |a||c|＝22，θ∈[0，π]，所以a 与c 的夹角θ＝π4．20．(本题满分12分)已知a 和b 是两个非零的已知向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取最小值时．(1)求t 的值；(2)已知a 与b 成45°角，求证：b 与a ＋t b (t ∈R )垂直．[解析] (1)设a 与b 的夹角为θ，则|a ＋t b |2＝|a |2＋t 2|b |2＋2t ·a ·b ＝|a |2＋t 2·|b |2＋2|a |·|b |·t ·cos θ＝|b |2(t ＋|a ||b |cos θ)2＋|a |2(1－cos 2θ)． ∴当t ＝－|a ||b |cos θ时，|a ＋t b |取最小值|a |sin θ．(2)∵a 与b 的夹角为45°，∴cos θ＝22，从而t ＝－|a ||b |·22，b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t ·|b |2＝|a |·|b |·22－22·|a ||b |·|b |2＝0，所以b 与a ＋t b (t ∈R )垂直，即原结论成立．21．(本题满分12分)在△ABC 中，设BC →·CA →＝CA →·AB →．(1)求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若|BA →＋BC →|＝2，且B ∈[π3，2π3]，求BA →·BC →的取值范围．[解析] (1)证明：∵BC →·CA →＝CA →·AB →， ∴CA →·(BC →－AB →)＝0．又AB →＋BC →＋CA →＝0则CA →＝－(AB →＋BC →)， ∴－(AB →＋BC →)·(BC →－AB →)＝0． ∴AB →2－BC →2＝0， ∴|AB →|2＝|BC →|2．∴|AB →|＝|BC →|，即△ABC 为等腰三角形． (2)解：∵B ∈[π3，2π3]，∴cos B ∈[－12，12]．设|AB →|＝|BC →|＝a ．∵|BA →＋BC →|＝2，∴|BA →＋BC →|2＝4，则有a 2＋a 2＋2a 2cos B ＝4． ∴a 2＝21＋cos B ，则BA →·BC →＝a 2cos B ＝2cos B 1＋cos B ＝2－21＋cos B．又cos B ∈[－12，12]，∴BA →·BC →∈[－2，23]．22．(本题满分12分)已知向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0，k ∈R )．(1)求a·b 关于k 的解析式f (k )． (2)若a∥b ，求实数k 的值． (3)求向量a 与b 夹角的最大值．[解析] (1)由已知|k a ＋b |＝3|a －k b |， 有|k a ＋b |2＝(3|a －k b |)2，k 2a 2＋2k a·b ＋b 2＝3a 2－6k a·b ＋3k 2b 2．又因为|a |＝|b |＝1， 得8k a·b ＝2k 2＋2，所以a·b ＝k 2＋14k，即f (k )＝k 2＋14k(k >0)．(2)因为a∥b ，k >0，所以a·b ＝k 2＋14k>0，则a 与b 同向．因为|a|＝|b |＝1，所以a·b ＝1，即k 2＋14k＝1，整理得k 2－4k ＋1＝0，所以k ＝2±3，所以当k ＝2±3时，a∥b ．(3)设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b|＝a·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k )＝14[(k －1k)2＋2]．当k ＝1k，即k ＝1时，cos θ取最小值12，此时θ＝π3．。

综合检测（二）（时间120分钟，满分150分）、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的）a ，b ，c 满足 a / b ，且 a 丄c ，贝U c (a + 2b )=( )C. 2•.a 丄c ，-'a c = 0.又•••a//b ，二可设b = a 则 c (a + 2b ) = c(1 + 2 ?)a2.已知向量a = （1,0）与向量b = （—1,^/3）,则向量a 与b 的夹角是（ ）nA -6C.2n【答案】A. 2C-6'•'1= (1 + x,3)， u= (1 — x,1)， 1/u•••(1+ X)x 1-3X (1 — X) — 0,.・.x=2第二章平面向量1.若向量【解析】【答案】 D x k B1 . c o mn B.3【解析】cos〈a ，b 〉=器=T^•••0，b 〉 2n=3 .3.已知 a = (1,2)， b —(X ，1)，11= a + b, u= a — b,且1/ u 则x 的值为（）【解析】【答案】A4.已知|a| = 2|b|, |b|M 0,且关于x的方程x2+ |a|x + ab= 0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()n A. [0,6】n , B. [3, n> 0. C. [5,劭n ,D. [6, n【解析】|a|2— 4a b=a f — 4|a||b|cos〈a, b〉= 4|b|2— 8|b|2 cos〈a,b〉-cos a, b〉1W2，〈a, b〉€ [0, n .a,b〉【答案】5.已知|a| = 1, |b| = 6, a (b—a) = 2,则向量a与b的夹角是( )nA.6nB.4nC.nnD-22 2【解析】--a (b—a) = a b— a = 2,.・.|a||b|cos B—|a| = 2,1 n•••1x 6x cos — 1 = 2,.・.cos = 2，又0W 0W n 二=3,故选 C.【答案】 C6.已知OA= (2,2), 5B= (4,1)，在x轴上一点P使A P B P有最小值，则P点的坐标是( )A. (—3,0)B. (3,0)C. (2,0)D. (4,0)【解析】设P(x,0),.・.AP= (x—2,—2), BP= (x —4,— 1),A AP BP= (x—2)(x —4)+ 22 2=x —6x+ 10= (x—3) +1,当x= 3时，AP BP取最小值，此时P(3,0).【答案】 B7•若a,b是非零向量，且a丄b,|a|M |b|,则函数f(x)= (x a+ b) (x b—a)是( )A .一次函数且是奇函数B.一次函数但不是奇函数C•二次函数且是偶函数D.二次函数但不是偶函数【解析】..a丄b,.・.a b= 0,•••f(x) = (x a + b) (x b—a) = x2(a b)+ (|b|2—|a|2)x—a b= (|bf—a|2)x,又|a|M|b|.•••f(x )是一次函数且为奇函数，故选A.【答案】 A> —> AB AC —> AB AC 18 已知非零向量AB与AC满足(=+=) BC = 0且===2则^ ABC |AB| AC| |AB| |AC|A .等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形【解析】AB和钥分别是与AB, AC同向的两个单位向量.|AB| AC|AB AC AB AC f兰+号是/BAC角平分线上的一个向量，由+弋)BC = 0知该向|AB| |AC| |AB| |AC|AB AC 1量与边BC垂直，.・.ZABC是等腰三角形.由 f f = 2知/BAC= 60 : •••ZABC是|AB|| AC|等边三角形.【答案】 A9. (2013 湖北高考)已知点 A(— 1,1), B(1,2), C(-2,— 1), D(3,4),则向量 AB 在CD 方向上的投影为()A鉅C .-寥【解析】 由已知得AB = (2,1), CD = (5,5),因此AB 在CD 方向上的投影为AB CD _ _鉅|CD| 5©2【答案】 A10•在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点'则-()D. 10【解析】--PA ^ CA — CP ,7 2 7 2 7 7 7 2 IPAl = CA — 2CP CA+CP .—7 —7 —7 —7 少 7 少 —7 —7 —7 Q •.•PB _ CB — CP ,・.|PB| _ CB — 2CP CB +CP .—7 2 —7 2 —7 2 —7 2 —7 —7 —7 —7 2 —7 2 —7 —7 —7 •••|PAr + |PBr_ (CA + CB ) — 2CP (CA + CB) + 2CP _ AB — 2CP 2CD + 2CP又AB 2= 16CP 2, CD = 2CP ,代入上式整理得 |FA|2+ |PB|2= 10|CPf ,故所求 值为10.【答案】 D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横 线上)C. 5 ,211.已知向量a= (2,1), ab= 10, l a + b| = 5 迄，则|b| 等于【解析】••l a+ b|a5 72,A(a + b)2a50,即a2+ b2+ 2a b a50, 又a|=V5, a b= 10,••5+|bf+ 2X 10a 50.解得|b| = 5.【答案】 5」「4si n a— 2cos a12•已知a a g), b a(sin a, cos a，且a// b•则5^5 + 3前 a【解析】••a//b,.・.3cos aa sin a,4sin a— 2cos a 4tan a— 2 4 X 3— 2 55cos a+ 3sin a 5+ 3tan a 5+ 3X 3 75【答案】513.(2013课标全国卷n )已知正方形ABCD的边长为2, E为CD的中点,贝UAE BDa【解析】如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0), B(2,0), D(0,2), E(1,2),••AE= (1,2), BDa (-2,2),••AE BD a 1X (-2) + 2X 2a2.【答案】 22 n14.已知e1, e2是夹角为~的两个单位向量，a a& —2e2, b a k e1 + e2,若a b a 0,则实数k的值为【解析】 由题意a b = 0,即有(81 — 2e 2) (*01 + e 2)= 0•••k e 1+ (1 — 2k) 81 82— 2e 2= 0.又•••|e i |= |e 2|= 1,〈e i ,e 2>2 n•'•k— 2+ (1 — 2k) cos -3 = 0, 1 — 2k 5 • k — 2= ~2~，•-k =4.【答案】515. (2012 安徽高考)设向量 a = (1,2m), b = (m + 1,1), c = (2, m).若(a + c ) 丄 b,则 a i = .【解析】 a + c = (1,2m) + (2, m) = (3,3m).••(a + c)丄 b,•••(a + c ) b = (3,3m) (m + 1,1)= 6m + 3= 0,••a = (1,— 1), la , 12 + (-1丫【答案】迈三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤）16.(本小题满分12分)(2013江苏高考)已知a = (cos a, sin a, b = (cos B, sin 9, 0< 3<a<n.(1)若 |a — b | = 72，求证：a 丄 b ；⑵设c = (0,1)，若a + b = c ,求a 9的值. 【解】（1）证明由题意得a — b l 2 = 2, 即(a — b )2= a 2 — 2a b + b 2 = 2. 又因为 a 2= b 2= laj |b |2 = 1,2n ~3所以 2-2a b = 2, 即卩 a b = 0,故 a 丄b.⑵因为 a + b = (cos a+ cos B, sin 计 sin f) = (0,1),Icos a+ cos 3= 0, 所以1 Isin a+ sin 3= 1,由此得，cos a= cos( — 3)，由 0v 3< n 得 0v n — 3^ n. a= n — 3代入 sin a+ sin 3= 1, 得 sin a= sin十“ 5 n n 所以 a=E, 3=6.【解】AC = OC — OA = (7,— 1 — m),BC = OC - 0B = (5- n ,— 2). ••A 、B 、C 三点共线，••• AC//BC ,•••—14+ (m + 1)(5 — n) = 0. 又OA 丄OB.--—■2n + m = 0.3由①②解得 m = 6, n = 3或m = 3, n =q.18.(本小题满分12分)已知a , b 是两个非零向量，当a +t b (t € R )的模取最 小值时.(1)求t 的值; ⑵求证：b 丄(a + t b ).【解】 (1)(a + t b )2= a + kb |2+ 2a t b,|a + t b |最小，即 |a |2+ |t b |2+ 2a t b 最小,又0V a< n 故 17.(本小题满分 12分)平面内三点A 、B 、C 在一条直线上,0A =(— 2, m),0B = (n,1), 0C = (5, —1),且OA 丄OB ,求实数m 、n 的值.即 t 2|b |2 + [af + 2t|a ||b |cos 〈a , b 〉最小.|a |cos 〈 a , b 〉故当t =— 石 时, |b||a +t b | 最小.2|a |cos 〈 a , b 〉 2(2)证明：b (a +1b ) = ab + t|b | ------------------ = ------ |a ||b |cos 〈 a,b 〉— |b|b | = |a ||b |cos |b|a ,b 〉一 |a ||b |cos 〈a , b 〉= 0,故 b 丄(a +1b ).19.（本小题满分13分）△ ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA +4OB + 5OC = 0. (1)求数量积 O A O B , O B OC , OC OA ； (2)求^ ABC 的面积.xKb 1. Com【解】 (1)V3OA + 4OB + 5OC = 0,••3OA + 4OB = 0-5OC , -— -—2 -— 2 即(3OA + 4OB) = (0- 5OC).—7 2 —7 —z —z 2 —7 2可得 9OA + 24OA OB + 16OB = 25OC . 又•••|OA|=|OB|=|OC| = 1,•••OA OB = 0.同理 OB OC =-5,OCOA =- 5.1 —— —— 1 —— —— (2)S Z ABC = S A OAB + Sz oBc + S ZOAC = 2|OA| | OB|sin ZAOB + 2|OB| |OC|sin /BOC + 2|OC| |OA|sin HOC. 又 |O A|= |OB|= |OC|=1.•'S^ABC^ 2(sin ZAOB+sin /BOC + sin ZAOC).由(1)OAOB= |0A| |OB|cos /AOB= cos ZAOB= 0得sin ZAOB= 1.T T T T 4OB OC= |OB| |OC| cos /BOC = cos /BOC=- 5,./ 3-sin /BOC=5,同理sin /AOC=5.5-S/yxBC = 5.20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(- 1,-2),B(2,3), C( - 2,- 1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(AB-tOC) 0C= 0,求t的值.【解】(1 )由题设知AB= (3,5), AC= (—1,1),则AB + AC= (2,6), AB- AC= (4,4).所以AB+ AC| = 2^10, AB-AC匸4寸2.故所求的两条对角线长分别为4迈，2>/10.X K b心m⑵由题设知OC= (-2,- 1), AB-tOC = (3+ 2t,5 +1).由(AB-tOC) OC= 0,得(3 + 2t,5 +1) (—2,- 1)= 0,从而5t=—11,所以t115.图121.(本小题满分13分)如图1,平面内有三个向量OA, OB, OC,其中O A与OB的夹角为120°, OA与OC的夹角为30°且|5A|=|OB匸1,|oC| = 2 羽若oC = QA+ QB（入空R）,求H卩的值.【解】法一：作CD //OB交直线OA于点D，作CE //OA交直线OB于点E,贝U OC = OD+ OE,由已知/OCD = /COE= 120 —30 = 90 ° 在Rt△)CD 中，OD = ^3。

一、选择题1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值为（ ） A ．1 B ．3 C ．7 D ．32．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．16 3．已知ABC 中，2AB AC ==，120CAB ∠=，若P 是其内一点，则AP AB ⋅的取值范围是（ ）A ．(4,2)--B ．(2,0)-C ．(2,4)-D ．(0,2)4．若向量a ，b 满足|a 10 ，b =（﹣2，1），a •b =5，则a 与b 的夹角为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°5．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ）A 2B ．1C ．2D ．226．已知ABC ，若对任意m R ∈，BC mBA CA -≥恒成立，则ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 7．已知向量()a 1,2=，()b x,2=-，且a b ⊥，则a b +等于（ ）．A 5B ．5C ．42D 31 8．ABC 是边长为1的等边三角形，CD 为边AB 的高，点P 在射线CD 上，则AP CP ⋅的最小值为（ ）A ．18- B ．116- C ．316- D ．09．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2FP QF =，则||QF =（ ）A ．8B ．4C ．6D ．310．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（ ）A ．56πB ．23πC ．3πD ．6π 11．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（ ）A ．12B ．13C ．2D ．23 12．已知平面上的非零．．向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ） ①若//a b ，//b c ，则//a c ；②若2a b =，则2a b =±；③若23x y a b a b +=+，则2x =，3y =；④若//a b ，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题13．已知ABC ，点P 是平面上任意一点，且AP AB AC λμ=+（,λμ∈R ），给出以下命题：①若1AB λ=，1AC μ=，则P 为ABC 的内心；②若1λμ==，则直线AP 经过ABC 的重心；③若1λμ+=，且0μ>，则点P 在线段BC 上；④若1λμ+>，则点P 在ABC 外； ⑤若01λμ<+<，则点P 在ABC 内．其中真命题为______14．已知平面向量,,a b c 满足()()||2,||2||a c b c a b a b -⋅-=-==.则c 的最大值是________.15．圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=，且OA AC =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为_____.16．已知正方形ABCD 的边长为4，若3BP PD =，则PA PB ⋅的值为_________________. 17．已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值 ________．18．已知平面向量2a =，3b =，4c =，4d =，0a b c d +++=，则()()a b b c +⋅+=______. 19．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，动点P 满足||1AP =，设向量AP AB AD λμ=+，则λμ+的取值范围为____________.20．在ABC △中，已知4CA =，3CP =，23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.三、解答题21．已知ABC 中C ∠是直角，CA CB =，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点．（1）设CA a =，CD b =，当12AE AB =，请用a ，b 来表示AB ，CE . （2）当2AE EB =时，求证：AD CE ⊥.22．已知a ，b ，c 在同一平面内，且()1,2a =.（1）若35c =，且//a c ，求c ；（2）若2b =，且()()2a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角的余弦值. 23．已知()()1,,3,2a m b ==-．(1)若()a b b +⊥，求m 的值；(2)若·1a b =-，求向量b 在向量a 方向上的投影．24．已知单位向量1e ，2e 的夹角为60︒，向量12a e e =+，21b e te =-，t R ∈. （1）若//a b ，求t 的值；（2）若2t =，求向量a ，b 的夹角.25．已知单位向量1e ，2e ，的夹角为23π，向量12a e e λ=-，向量1223b e e =+. （1）若//a b ，求λ的值；（2）若a b ⊥，求||a .26．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，向量m (2cos sin )2C C =-，， n =(cos2sin )2C C ，，且m n ⊥． （1）求角C ； （2）若22212a b c =+，试求sin()A B -的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题.【详解】设a 、b 所成角为θ，由||||2==a b ，2a b， 则1cos 2θ=，因为0θπ≤≤ 所以3πθ=， 记a OA =，b OB =,以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()2,0A ，(B ，所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，()(1)2x a xb x -+=-，所以((1)2x a xb x -+=-=，表示点()P x 与点()2,0A 两点间的距离，由,,1x y R x y ∈+=113222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫+-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭，表示点()P x 与点3,22Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离， ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值转化为 P 到,A Q 两点的距离和最小，()P x 在直线y =上， ()2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，PQ PA ∴+的最小值为QR == 故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点()P x 到()2,0A 、32Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离，考查了运算求解能力. 2．D解析：D【分析】利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值.【详解】()3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-， AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，所以，()224344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．3．C解析：C【分析】以A 为坐标原点，以过点A 垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求出()3,1B --，()3,1C -，设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以3x 3-<<，10y -<<，计算3AP AB x y ⋅=--得最值，即可求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0A ，因为120CAB ∠=，所以30ABC ACB ∠=∠=，可得2cos303= ，2sin301，所以()3,1B -- ，()3,1C -, 设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以33,10x y <<-<<，()(),3,13AP AB x y x y ⋅=⋅--=--， 当3x =1y =-时AP AB ⋅最大为((()3314-⨯--=，当3,1x y ==-时AP AB ⋅最小为(()3312--=-， 所以AP AB ⋅的取值范围是(2,4)-，故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是建立直角坐标系，将数量积利用坐标表示，根据点(),P x y 是其内一点，可求出,x y 的范围，可求最值.4．C【详解】 由题意可得22(2)15b =-+=,所以2cos ,52a b a b a b ⋅===⋅,又因为,[0,180]<>∈a b ,所以,45<>=a b ,选C.5．B解析：B【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值.【详解】如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1.故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.6．C解析：C【分析】在直线AB 上取一点D ，根据向量减法运算可得到DC CA ≥，由垂线段最短可确定结论.【详解】在直线AB 上取一点D ，使得mBA BD =，则BC mBA BC BD DC -=-=，DC CA ∴≥.对于任意m R ∈，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC AD ⊥，即AC AB ⊥， ABC ∴为直角三角形.故选：C .【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.7．B解析：B【分析】由向量垂直可得0a b ⋅=，求得x ，及向量b 的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模.【详解】 由a b ⊥，可得0a b ⋅=，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以a b + ()5,0=，得a b +=5，选B. 【点睛】求向量的模的方法：一是利用坐标()22,a x y a x y =⇒=+，二是利用性质2a a =，结合向量数量积求解.8．C解析：C【分析】建立平面直角坐标系，()0,P t ，t ≤，则 223(2416⋅=-=--AP CP t t ，进而可求最小值.【详解】以D 点为坐标原点，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，1(,0)2A ，1(,0)2B -，(0,2C ，设()0,P t ，其中2t ≤1(,)2AP t =-，(0,CP t ==，223(16⋅==-AP CP t t ，当t =时取最小值为316-，所以AP CP ⋅的最小值为316-． 故选：C【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，用坐标法求最值问题，考查了运算求解能力，属于一般题目.9．D解析：D【分析】设点()1,P t -、(),Q x y ，由2FP QF =，可计算出点Q 的横坐标x 的值，再利用抛物线的定义可求出QF .【详解】设点()1,P t -、(),Q x y ，易知点()1,0F ，()2,FP t =-，()1,QF x y =--，()212x ∴-=-，解得2x =，因此，13QF x =+=，故选D.【点睛】本题考查抛物线的定义，解题的关键在于利用向量共线求出相应点的坐标，考查计算能力，属于中等题．10．B解析：B【分析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C .【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-. ()20,,3C C ππ∈∴=. 故选：B.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.11．B解析：B【分析】 由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=， 故选:B ．【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题. 12．B解析：B 【分析】根据向量共线定理判断①④，由模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系判断②，举反例判断③.【详解】对于①，由向量共线定理可知，//a b ，则存在唯一的实数1λ，使得1λa b ，//b c ，则存在唯一的实数2λ，使得2λb c ，由此得出存在唯一的实数12λλ⋅，使得12a c λλ=⋅，即//a c ，则①正确；对于②，模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系，与方向无关，则②错误； 对于③，当a b =时，由题意可得()5x y a a +=，则5x y +=，不能说明2x =，3y =，则③错误；由向量共线定理可知，④正确；故选：B.【点睛】本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.二、填空题13．②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心；②可得在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则解析：②④【分析】①可得P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心；②可得P 在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出=BP BC μ可判断；④得出()1CP CB AC λλμ=++-，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令1132=λμ=-，可判断.【详解】 ①若1ABλ=，1ACμ=，则AB AC AP ABAC=+，因为,AB AC ABAC是和,AB AC 同向的单位向量，则P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；②若1λμ==，则AP AB AC =+，则根据平行四边形法则可得，P 在BC 边中线的延长线上，故直线AP 经过ABC 的重心，故②正确；③若1λμ+=，且0μ>，则()1=AP AB AC AB AB AC μμμμ=-+-+，即()==AP AB AB AC AC AB μμμ--+-，即=BP BC μ，则点P 在线段BC 上或BC 的延长线上，故③错误；④若1λμ+>，()()11AP AB AC AC λλλμ=+-++-，整理可得()1CP CB AC λλμ=++-，10λμ+->，根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故④正确；⑤若01λμ<+<，则令1132=λμ=-，，则1132AP AB AC =-+，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故⑤错误. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.14．【分析】设根据得到取中点为D 又由中点坐标得到再由得到的范围然后由求解【详解】设如图所示：因为所以取中点为D 因为所以解得所以所以点C 是以D 为圆心半径为的圆上运动又因为所以当AOB 共线时取等号所以所以【解析：3【分析】设,,OA a OB b OC c ===，根据||2,||2||a b a b -==，得到||2,||2||AB OA OB ==，取AB 中点为D ，又()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，由中点坐标得到CD ==⎭2OA OB AB -≤=，得到||OA OD ⎛= 范围，然后由||||||||3c OC OD DC OD =≤+≤+.【详解】设,,OA a OB b OC c ===， 如图所示：因为||2,||2||a b a b -==， 所以||2,||2||AB OA OB ==， 取AB 中点为D ，因为()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，所以2222||||24AB CB CA CB CA CB CA =-=+-⋅=， 解得228CB CA +=，所以22212322CB CA CD CB CA CB CA ⎛⎫+==++⋅= ⎪⎝⎭所以点C 是以D 3的圆上运动， 又因为2OA OB AB -≤=，所以2OB ≤，当A ，O ，B 共线时，取等号，所以2221||222OA OB OD OB OA OB OA ⎛⎫+==++⋅ ⎪⎝⎭， ()222112104322OB OA AB OB =+-=-≤， 所以||||||||333c OC OD DC OD =≤+≤+≤. 【点睛】关键点点睛：平面向量的中点坐标公式的两次应用：一是22CB CA CD ⎛⎫+= ⎪⎝⎭||2,||2||AB OA OB ==求得定值，得到点C 是以D 为圆心的圆上，实现数形结合；二是||2OA OD ⎛= ⎝⎭2OA OB AB -≤=确定范围，然后由||||||c OC OD DC =≤+求解.15．3【分析】根据向量关系即可确定的形状再根据向量投影的计算公式即可求得结果【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆半径为2若故可得是以角为直角的直角三角形又因为且外接圆半径是故可得则故向量在向量方向上的投影解析：3 【分析】根据向量关系，即可确定ABC 的形状，再根据向量投影的计算公式，即可求得结果.【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=， 故可得ABC 是以角A 为直角的直角三角形.又因为OA AC =，且外接圆半径是2， 故可得224BC OA AC ===，则AB =，AB cos ABC BC ∠==，故向量BA 在向量BC 方向上的投影为32AB cos ABC ⨯∠==. 故答案为：3. 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，属中档题.16．6【分析】建立平面直角坐标系求得点P 的坐标进而得到的坐标再利用数量积的坐标运算求解【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则设因为解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积解析：6 【分析】建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，进而得到,PA PB 的坐标，再利用数量积的坐标运算求解. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则()()()()04,00,40,44A B C D ，，，，，设(),P x y ，()(),,4,4BP x y PD x y ==--， 因为3BP PD =，()()3434x x y y ⎧=⨯-⎪⎨=⨯-⎪⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，所以()3,3P ，所以()()3,1,3,3PA PB =-=--， 所以()()()33136PA PB ⋅=-⨯-+⨯-=， 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．【详解】如图建立平面直角坐标系∴当sin 时得到最小值为故选 解析：48322-【详解】如图建立平面直角坐标系，()((P 2cos θ2sin θA 22B22M 02-，，，，，，，∴()()((42cos θ2θ22cos θ2θ24PA PB PC PM ⎡⎤⋅+⋅=+⋅-++⎣⎦，，()(22cos θ2sin θ2cos θ2sin θ216sin θ322sin θ32⎡⎤⋅+=++⎣⎦，，， 当sin θ1=-时，得到最小值为48322-48322-18．【分析】根据得到然后两边平方结合求得再由求解即可【详解】因为所以所以所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算还考查了运算求解的能力属于中档题解析：52【分析】根据0a b c d +++=，得到++=-a b c d ，然后两边平方结合2a =，3b =，4c =，4d =，求得⋅+⋅+⋅a b a c b c ，再由()()a b b c +⋅+=2⋅+⋅+⋅+a b a c b c b 求解即可. 【详解】因为0a b c d +++=， 所以++=-a b c d ，所以()()22++=-a b cd ，所以()()()()2222222+++⋅+⋅+⋅=-a b c a b a c b c d ，因为2a =，3b =，4c =，4d =， 所以132⋅+⋅+⋅=-a b a c b c ， ()()a b b c +⋅+=252⋅+⋅+⋅+=a b a c b c b . 故答案为：52【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】由已知得应用向量的运算律求出关系利用三角换元结合正弦函数的有界性即可求解【详解】在矩形中令其中最小值最大值分别为的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算解题的关键解析：⎡⎢⎣⎦. 【分析】由已知得2||1AP =，应用向量的运算律，求出,λμ关系，利用三角换元结合正弦函数的有界性，即可求解. 【详解】在矩形ABCD 中，,0AB AD AB AD ⊥∴⋅=22222222||()41AP AB AD AB AD λμλμλμ=+=+=+=,令12cos ,sin ,cos sin sin()22λθμθλμθθθϕ==+=+=+，其中1tan 2ϕ=，λμ+最小值、最大值分别为22-,λμ+的取值范围为55,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为:55,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算，解题的关键用换元法将问题转化为求三角函数的最值，属于中档题.20．6【分析】根据平方处理求得即可得解【详解】在中已知点是边的中点解得则故答案为：6【点睛】此题考查平面向量的基本运算关键在于根据向量的运算法则求出模长根据数量积的运算律计算求解解析：6 【分析】 根据()12CP CA CB =+，平方处理求得2CB =，()12CP CA CA CB CA ⋅=+⋅即可得解. 【详解】在ABC △中，已知4CA =，3CP 23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点， ()12CP CA CB =+ ()222124CP CA CB CA CB =++⋅ 211316842CB CB ⎛⎫⎛⎫=++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2CB = 则()()21111162462222CP CA CA CB CA CA CB CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：6 【点睛】此题考查平面向量的基本运算，关键在于根据向量的运算法则求出模长，根据数量积的运算律计算求解.三、解答题21．（1）2AB b a =-，12CE a b =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出2CB b =，利用AB CB CA =-与12CE CA AB =+化简可得答案； （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ， 求出,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 可得0AD CE ⋅=，进而可得答案.【详解】（1）∵CA a =，CD b =，点D 是CB 的中点， ∴2CB b =，∴2AB CB CA b a =-=-，∵()1112222CE CA AE a AB a b a a b =+=+=+-=+. （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ，∴B 点坐标为(),0a ，另设点E 坐标为(),x y ，∵点D 是CB 的中点， ∴点D 坐标为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭， 又∵2AE EB =，∴()(),2,x y a a x y -=--，∴23a x =，3a y =， 所以,2a AD a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以()20233a a aAD CE a ⋅=⨯+-⨯=， ∴AD CE ⊥.【点睛】方法点睛：平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．22．（1）()3,6c =或()3,6c =--；（2）10-. 【分析】（1）设(),c x y =，由平面向量平行的坐标表示及模的坐标表示可得2y x=⎧=即可得解；（2）由平面向量垂直可得()()20a b a b +⋅-=，再由平面向量数量积的运算可得1a b ⋅=-，最后由cos ,a ba b a b⋅=⋅即可得解. 【详解】（1）设(),c x y =，因为()1,2a =，//a c ，35c =，所以235y x x y =⎧+=⎪⎩36x y =⎧⎨=⎩或36x y =-⎧⎨=-⎩， 所以()3,6c =或()3,6c =--；（2）因为()1,2a =，所以14a =+又()()2a b a b +⊥-，2b =，所以()()22225220a b a b aa b ba b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=，所以1a b ⋅=-， 所以cos ,5a b a b a b⋅===⨯⋅【点睛】本题考查了平面向量共线及模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用及运算求解能力，属于中档题. 23．（1）8m =（2）【分析】（1）先得到()4,2a b m +=-，根据()a b b +⊥可得()0a b b +⋅=,即可求出m ；（2）根据·1a b =-求出m=2,再根据cos ,a b b a b b a b⋅=⋅求b 在向量a 方向上的投影.【详解】()()14,2a b m +=-；()a b b +⊥；()34220m ∴⋅--=；8m ∴=；()2321a b m ⋅=-=-；2m ∴=；()1,2a ∴=；b ∴在向量a 方向上的投影为cos ,55a b b a b b a b⋅=⋅==-．【点睛】本题主要考查了向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件及向量投影的计算公式，属于中档题. 24．（1）1t =-；（2）23π. 【分析】（1）根据题意，设a kb =，则有122112()()e e k e te kte ke +=-=-+，分析可得11ktk=-⎧⎨=⎩，解可得t 的值；（2）根据题意，设向量a ，b 的夹角为θ；由数量积的计算公式可得a 、||b 以及a b ， 由cos a b a bθ⋅=计算可得答案．【详解】（1）∵根据题意，向量12a e e =+，21b e te =-，若//a b ，则设a kb =， 则有122112()()e e k e te kte ke +=-=-+，则有11kt k =-⎧⎨=⎩，解可得1t =-；（2）根据题意，设向量a ，b 的夹角为θ；若2t =，则212b e e =-，则2221||(2)3b e e =-=，则||3b =， 又由12a e e =+，则2212||()3a e e =+=，则||3a =， 又由12213()(2)2a b e e e e =+-=-，则312cos 2||||3a b a b θ-===-⨯，又由0θπ，则23πθ=； 故向量a ，b 的夹角为23π． 【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算公式，属于基础题．25．（1）23-；（2 【分析】（1）由//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，建立方程组可得答案；（2）由已知求得12e e ⋅，再由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，可解得λ，再利用向量的模的计算方法可求得答案. 【详解】（1）因为//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，即()121223e e t e e λ+=-， 所以23t tλ=⎧⎨=-⎩，解得23λ=-；（2）由已知得122111cos32e e π⋅=⨯⨯=-，由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，即()12+32302λλ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解得4λ=，所以124a e e =-，所以22121212||416821a e e e e e e =-=+-⋅=||21a =．【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题.26．（1）60C =︒；（2. 【分析】（1）利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式以及二倍角公式，求得cos C 的值，可得C 的值．（2）利用两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理化简，可得结果． 【详解】（1）由题意知，0m n =，即222cos2sin 02CC -=，21cos 2(1cos )0C C +--=， 22cos cos 10C C +-=，即cos 1C =-，或1cos 2C =， 因为0C π<<，所以60C =︒． （2）2222221122a b c a b c =+⇒-=，222222sin()sin cos sin cos 2222a a c b b b c a A B A B B A R ac R bc+-+--=-=- ()222214442a b c c sinC cR cR R -=====． 【点睛】本题主要考查两个向量数量积公式，两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．。

一、选择题1．己知平面向量,a b 满足1a a b =-=，则32a b a b -++的最大值为（ ）A ．4B ．C ．3+D ．62．设向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，12a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最小值是（ ）A ．12B ．12C D ．13．已知非零向量a →，b →夹角为45︒，且2a =，2a b -=,则b →等于（ ）A ．B ．2C D4．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CD ⋅=- B ．1233BD BC BA =+ C ．3OA OB OC ++=D ．ED 在BC 方向上的投影为765．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ）A ．(1⎤⎦B ．(1⎤⎦C ．1⎤⎦D ．)1,+∞6．在ABC 中，4A π=，3B π=，2BC =，AC 的垂直平分线交AB 于D ，则AC CD ⋅=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．37．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则 （ ） A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==8．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（ ）A ．13B ．3-C ．3D ．39．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ）A ．2355a b + B ．3255a b + C ．2133a b +D ．1233a b +10．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ） A ．14B ．12C ．2D ．411．直线0ax by c与圆22:4O x y +=相交于M ，N 两点，若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为（ ） A ．[2,6]-B ．[]2,4-C ．[]1,4D ．[1,4]-12．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，23AB =，2BC =，13BE BC =，则（ ）A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+ C ．5163AE AB AD =+ D ．5166AE AB AD =+ 二、填空题13．已知ABC ，点P 是平面上任意一点，且AP AB AC λμ=+（,λμ∈R ），给出以下命题： ①若1ABλ=，1ACμ=，则P 为ABC 的内心；②若1λμ==，则直线AP 经过ABC 的重心； ③若1λμ+=，且0μ>，则点P 在线段BC 上； ④若1λμ+>，则点P 在ABC 外； ⑤若01λμ<+<，则点P 在ABC 内． 其中真命题为______14．如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则CA CB ⋅的最小值是________.15．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,) OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于．16．已知ABC的三边长3AC=，4BC=，5AB=，P为AB边上任意一点，则()CP BA BC⋅-的最大值为______________.17．已知ABC∆中，3AB=，5AC=，7BC=，若点D满足1132AD AB AC=+，则DB DC⋅=__________．18．已知向量()()2,3,1,2==-a b，若ma b+与2a b-平行，则实数m等于______. 19．已知点O是ABC∆内部一点，并且满足230OA OB OC++=，BOC∆的面积为1S，ABC∆的面积为2S，则12SS=______.20．如图，在四边形ABCD中，60B∠=︒，2AB=，6BC=，1AD=，若M，N是线段BC上的动点，且||1MN=，则DM DN⋅的取值范围为_________．三、解答题21．在ABC中，3AB=，6AC=，23BACπ∠=，D为边BC的中点，M为中线AD 的中点.（1）求中线AD的长；（2）求BM与AD的夹角θ的余弦值.22．在直角坐标系xoy中，单位圆O的圆周上两动点A B、满足60AOB∠=︒（如图），C 坐标为()1,0，记COAα∠=（1）求点A与点B纵坐标差A By y-的取值范围；（2）求AO CB ⋅的取值范围；23．在OAB 的边OA ，OB 上分别有一点P ，Q ，已知:1:2OP PA =，:3:2OQ QB =，连接AQ ，BP ，设它们交于点R ，若OA a =，OB b =.（1）用a 与b 表示OR ；（2）过R 作RH AB ⊥，垂足为H ，若1a =，2b =，a 与b 的夹角2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求BHBA的范围.24．如图，在ABC 中，1AB AC ==，120BAC ∠=.（Ⅰ）求AB BC 的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP x AB y AC →→→=+，其中,x y R ∈. 求xy 的最大值.25．如图，四边形ABOC 是边长为1的菱形，120CAB ∠=︒，E 为OC 中点．（1）求BC 和BE ；（2）若点M 满足ME MB =，问BE BM ⋅的值是否为定值？若是定值请求出这个值；若不是定值，说明理由．26．在ABC 中，D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，4DF FE =，设AB m =，BC n =. （1）用m ，n 表示AF ；（2）设G 是线段BC 上一点，且使//EG AF ，求CG CB的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用1a a b =-=得到2cos ,b a b =〈〉，令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，则2b t =，利用平面向量的运算法则得到29832a b a b t -+-=+，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为1a a b =-=， 所以22222cos ,1a a ba ab a b b =-=-〈〉+=，则2cos ,b a b =〈〉， 令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-， 所以2b t =， 则()23232a b a b -=-22124a a b t b =-+== ()2222a b a b a a b t b +=+=++22418t t =+=+，所以29832a b a b t -+-=+，利用基本不等式知：2a b a b +≤+≤，≤=，=此时2t =±.则32a b a b -++的最大值为 故选：B. 【点睛】思路点睛：利用已知条件得到2cos ,b a b =〈〉，令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，则2b t =，把问题化为了单一变量的函数问题，再利用平面向量的运算法则得到29832a b a b t -+-=+，最后利用基本不等式即可解决.2．B解析：B 【分析】建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ，由已知可得2214x y ⎛+= ⎝⎭，表示以2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆，求出圆心到原点的距离，再减去半径即为所求 【详解】解：建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为12⎫⎪⎪⎝⎭，21⎫-⎪⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ， 因为()()0a c b c -⋅-=，所以11,,022x y x y ⎫⎫--⋅---=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22124x y ⎛-+= ⎝⎭，表示以,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆， 则||c 的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，因为圆到原点的距离为2，所以圆上的点到原点的距离的最小值为122-，故选：B【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是写出满足条件的对应的点，考查数学转化思想，考查数形结合的思想，属于中档题3．A解析：A 【分析】根据数量积的运算，2a b →→-=两边平方即可求解. 【详解】2a b →→-=,=2a →,a →，b →夹角为45︒,2222()24a b a b a a b b →→→→→→→→∴-=-=-⋅+=, 2422||cos||44b b π→→∴-⨯+=,解得：||22b →= 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质，数量积的定义，属于中档题.4．D解析：D 【分析】利用CE AB ⊥，判断出A 错误；由2AD DC =结合平面向量的基本定理，判断出选项B 错误；以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，写出各点坐标，计算出OA OB OC ++的值，判断出选项C 错误；利用投影的定义计算出D 正确． 【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；由平面向量线性运算得2133BD BC BA =+，所以选项B 错误； 以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，()0,0E ，1,0A ，()1,0B -，(3C ，1233D ⎛ ⎝⎭，设()0,O y ，(3y ∈，()1,BO y =，123,33DO y ⎛=-- ⎝⎭， //BO DO ，所以，3133y y -=-，解：32y =， 32OA OB OC OE OE OE ++=+==，所以选项C 错误； 123,33ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(1,3BC =，ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==，故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量基本定理，考查投影的定义，考查平面向量的坐标表示，属于中档题．5．C解析：C 【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出22OB x y d =+=,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 取得最小值21-,O 在BM 的延长线上时,OB 取得最大值21+． 故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,()()2222222ax cy ac xy x y +≤++=+,取等号条件：ay cx =,令22OB x y d =+=,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得2121d -≤≤+．故选:C 【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.6．C解析：C 【分析】由AC 的垂直平分线交AB 于D ，且4A π=可得ACD △为等腰直角三角形，且4A ACD π∠=∠=，2ADC BDC π∠=∠=；进而由2BC =可求出,,DB CD AC 的长，从而求出AC CD ⋅的值. 【详解】解：因为AC 的垂直平分线交AB 于D 、4A π=，所以ACD △为等腰直角三角形，4A ACD π∠=∠=，2ADC BDC π∠=∠=，在BDC 中，3B π=，2BDC π∠=，2BC =，所以1,3BD CD ==，所以3AD CD ==，26AC CD ==，所以32cos63()342AC CD AC CD π⋅=⋅=⨯⨯-=-.故选：C. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题型.7．B解析：B 【解析】∵点P (a ,1,c )在直线AB 上， ∴存在实数λ使得AB BP λ=， ∴()()()0,0,13,3,0,1,1a c λ-=- ， 化为()3,3,1(,,)a c λλλλ--=- ，∴3{31ac λλλλ-=-==- ,解得3{123a c λ=-==.本题选择B 选项.8．C解析：C 【分析】由题意结合平面向量数量积的运算可得13a b ⋅=，进而可得()b a a +⋅、a b +，代入投影表达式即可得解. 【详解】因为a ，b 为单位向量，所以1==a b ， 又2a b a b +=-，所以()()222a ba b +=-所以22222242a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即121242a b a b +⋅+=-⋅+，所以13a b ⋅=，则()2263a b a b+=+=，()243a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以a 在a b +上的投影为()4326a a b a b⋅+==+ 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题.9．B解析：B 【分析】由题得三角形是直角三角形，设3,4,5AB AC BC ===，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为||:||:||3:4:5AB AC BC =，所以ABC 是直角三角形，设3,4, 5.AB AC BC ===如图，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====由题得34,2,1,35x y y z x y z x z +=⎧⎪+=∴===⎨⎪+=⎩，所以2232()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+3255a b =+. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．C解析：C 【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos62b a b t aaπ⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin16b π=，从而可求出b 【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2222224()44(cos 1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<，所以()g t 恒大于零，所以当232cos622b b a b taaaπ⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1，所以22233321222b b bg a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得2114b =，所以2b =， 故选：C 【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题11．A解析：A 【分析】取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，由点到直线的距离公式可得1OA =，于是推出1cos 2AON ∠=，1cos 2MON ∠=-，而||||cos 2OM ON OM ON MON ⋅=⋅∠=-，()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-()224cos OM ON OPOP OM ON AOP =⋅+-⋅+=-∠，其中cos [1,1]AOP ∠∈-，从而得解. 【详解】解：取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，则OA MN ⊥，∵222c a b =+，∴点O 到直线MN 的距离221OA a b==+，在Rt AON 中，1cos 2OA AON ON ∠==， ∴2211cos 2cos 12122MON AON ⎛⎫∠=∠-=⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴1||||cos 2222OM ON OM ON MON ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，∴()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-2()OM ON OP OP OM ON =⋅+-⋅+24222||||cos OP OA OP OA AOP =-+-⋅=-⋅∠24cos AOP =-∠，当OP ，OA 同向时，取得最小值，为242-=-； 当OP ，OA 反向时，取得最大值，为246+=. ∴PM PN ⋅的取值范围为[]2,6-. 故选：A. 【点睛】本题考查点到直线距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查运算求解能力.12．C解析：C 【分析】先根据题意得1AD =，CD =2AB DC =，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =，CD =所以2AB DC =， 又13BE BC =， 则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.二、填空题13．②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心；②可得在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则解析：②④ 【分析】①可得P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心；②可得P 在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出=BP BC μ可判断；④得出()1CP CB AC λλμ=++-，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令1132=λμ=-，可判断. 【详解】 ①若1ABλ=，1ACμ=，则AB AC AP ABAC=+，因为,AB AC ABAC是和,AB AC 同向的单位向量，则P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；②若1λμ==，则AP AB AC =+，则根据平行四边形法则可得，P 在BC 边中线的延长线上，故直线AP 经过ABC 的重心，故②正确；③若1λμ+=，且0μ>，则()1=AP AB AC AB AB AC μμμμ=-+-+，即()==AP AB AB AC AC AB μμμ--+-，即=BP BC μ，则点P 在线段BC 上或BC 的延长线上，故③错误；④若1λμ+>，()()11AP AB AC AC λλλμ=+-++-，整理可得()1CP CB AC λλμ=++-，10λμ+->，根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故④正确；⑤若01λμ<+<，则令1132=λμ=-，，则1132AP AB AC =-+，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故⑤错误. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.14．【分析】延长BC 作圆M 的切线设切点为A1切线与BD 的交点D 结合数量积的几何意义可得点A 运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC 作圆M 的切线设切点为A1切 解析：2-延长BC ，作圆M 的切线，设切点为A 1，切线与BD 的交点D ，结合数量积的几何意义可得点A 运动到A 1时，CA 在CB 上的投影最小，设CP x =，将结果表示为关于x 的二次函数，求出最值即可. 【详解】 如图，延长BC ，作圆M 的切线，设切点为A 1，切线与BD 的交点D ，由数量积的几何意义，CA CB ⋅等于CA 在CB 上的投影与CB 之积，当点A 运动到A 1时，CA 在CB 上的投影最小； 设BC 中点P ，连MP ，MA 1，则四边形MPDA 1为矩形； 设CP =x ，则CD =2-x ，CB =2x ，CA CB ⋅=()()222224212x x x x x --⋅=-=--，[]02x ∈，， 所以当1x =时，CA CB ⋅最小，最小值为2-， 故答案为：2-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.15．【详解】方法一：①又②③将②③代入①得：所以点在内所以方法二：以直线OAOB 分别为轴建立直角坐标系则设又得即解得故答案为：3解析：【详解】 方法一：3cos 2OA OC AOC OA OC⋅∠==⋅, ① 又()2OA OC OA mOA nOB m OA m ⋅=⋅+==, ②22222222||()||||23OC mOA nOB m OA n OB mnOA OB m n =+=++⋅=+, ③将②③代入①22323m n=+，所以229m n =，点C 在AOB ∠内， 所以3mn=.以直线OA ,OB 分别为,x y 轴建立直角坐标系，则()(10,03A B ，， , 设()31cos30,sin 30=,22OC λλλ⎛⎫=︒︒ ⎪ ⎪⎝⎭，又()(()1,033OC mOA nOB m n m n =+=+=，得()31,=322m n λ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即 3=2132m nλλ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得3mn=. 故答案为：3.16．9【分析】根据题意建立直角坐标系用坐标法解决即可得答案【详解】解：根据题意如图建立直角坐标系∴∴∴∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查坐标法表示向量向量的数量积运算线性运算的坐标表示等是中档题解析：9 【分析】根据题意，建立直角坐标系，用坐标法解决即可得答案. 【详解】解：根据题意，如图建立直角坐标系，∴ ()0,3A ()4,0B ，()0,0C ， ∴ ()4,3AB =-，()()()0,34,34,33CP CA AP CA AB λλλλλ=+=+=+-=-，[]0,1λ∈，∴ ()()()[]4,330,3990,9CP BA BC CP CA λλλ⋅-=⋅=-⋅=-∈∴()CP BA BC ⋅-的最大值为9.故答案为：9 . 【点睛】本题考查坐标法表示向量，向量的数量积运算，线性运算的坐标表示等，是中档题.17．【分析】根据以为一组基底由得到再由求解【详解】因为又因为所以所以故答案为：-12【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：12-【分析】 根据1132AD AB AC =+，以,AB AC 为一组基底，由2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅，得到152AB AC ⋅=-，再由2111()()3223⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB 求解.【详解】因为2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅ 又因为3AB =，5AC =，7BC = 所以152AB AC ⋅=-，所以2111()()3223DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211251521294244AB AC AB AC --+⋅=---=-. 故答案为：-12 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】由向量坐标的数乘及加减法运算求出与然后利用向量共线的坐标表示列式求解【详解】解：由向量和所以由与平行所以解得故答案为：【点睛】本题考查了平行向量与共线向量考查了平面向量的坐标运算属于基础题解析：12-【分析】由向量坐标的数乘及加减法运算求出ma b +与2a b -，然后利用向量共线的坐标表示列式求解． 【详解】解：由向量(2,3)a =和(1,2)b =-，所以()()()2,31,221,32m m m b m a ++=-=-+，()()()22,321,24,1a b -=--=-，由ma b +与2a b -平行，所以4(32)(21)0m m ++-=． 解得12m =-． 故答案为：12-． 【点睛】本题考查了平行向量与共线向量，考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．19．【分析】将化为再构造向量和得出比例关系最后求解【详解】因为所以分别取的中点则所以即三点共线且如图所示则由于为中点所以所以故答案为：【点睛】本题考查向量的线性运算但是在三角形中考查又和三角形面积综合在解析：16【分析】将230OA OB OC ++=化为()2OA OC OB OC +=-+，再构造向量()12OA OC +和()12OB OC +，得出比例关系，最后求解12.S S【详解】因为230OA OB OC ++=，所以()2OA OC OB OC +=-+，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，则2OA OC OD +=，2OB OC OE +=. 所以2OD OE =-，即O ，D ，E 三点共线且2OD OE =.如图所示，则13OBC DBC S S ∆∆=，由于D 为AC 中点，所以12DBC ABC S S ∆∆=，所以16OBC ABC S S ∆∆=. 故答案为：16【点睛】本题考查向量的线性运算，但是在三角形中考查，又和三角形面积综合在一起，属于中档题.20．【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系利用向量的坐标表示再求取值范围【详解】如图建立平面直角坐标系当时取得最小值当时取得最大值所以的取值范围为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标法解解析：11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先以点B 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示DM DN ⋅，再求取值范围. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，(3A ，(3D ，(),0M x ，()1,0N x +，(2,3DM x =--，(1,3DN x =--，[]0,5x ∈，()()212335DM DN x x x x ⋅=--+=-+231124x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当32x =时，取得最小值114，当5x =时，取得最大值15，所以DM DN ⋅的取值范围为11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标法解决数量积的范围问题.三、解答题21．（1）332；（257【分析】 （1）由于()12AD AB AC =+，进而根据向量的模的计算求解即可； （2）由于3144BM AB AC =-+，()12AD AB AC =+，进而根据向量数量积得278BM AD ⋅=，故57cos BM AD BM AD θ⋅==. 【详解】解:（1）由已知，236cos 93AB AC π⋅=⨯=-， 又()12AD AB AC =+， 所以()222124AD AB AB AC AC =+⋅+()1279183644=-+=， 所以33AD =. （2）由（1）知，()131444BM AM AB AB AC AB AB AC =-=+-=-+， 所以()293117199361681616BM=⨯-⨯-+⨯=，从而319BM =. ()311442BM AD AB AC AB AC ⎛⎫⋅=-+⋅+= ⎪⎝⎭()3212799368888-⨯-⨯-+⨯=，所以2757cos 831933BM AD BM ADθ⋅=== 解法2：（1）以点A 为原点，AB 为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴建系，则()0,0A ，()3,0B ，(C -，因为D 为边BC 的中点，所以0,2D ⎛ ⎝⎭，0,2AD ⎛= ⎝⎭，所以332AD =.（2）因为M 为中线AD 的中点，由（1）知，0,4M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以3,4BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以9164BM ==，278BM AD ⋅=，所以27cos8BM AD BM AD θ⋅=== 【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量夹角的计算，考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于向量表示中线向量()12AD AB AC =+，进而根据向量模的计算公式计算.22．（1）[ 1.1]A B y y -∈-;（2）31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）根据三角函数的定义写出点A 与点B 纵坐标，从而将A B y y -表示成关于α的三角函数；（2）写出向量数量积的坐标运算，即AO CB OA BC ⋅=⋅，再利用三角函数的有界性，即可得答案；【详解】由题意得：()sin ,sin 60A B y y αα︒==-，∴A B y y -()1sin sin 60sin sin cos 22ααααα︒⎛⎫=--=-⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭1sin sin 223πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 02απ<，∴1sin 13πα⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴[ 1.1]A B y y -∈-.（2）()()() (cos ,sin )1cos 60,sin 60AO CB OA BC αααα︒︒⋅=⋅=⋅---- ()()cos cos cos 60sin sin 60ααααα︒︒=-⋅--⋅- ()22133cos sin cos sin cos sin cos 2ααααααα=-+-⋅+⋅ 1cos 2α=-， 02απ≤<，3111cos 1cos 222αα∴-≤≤⇒-≤-≤， ∴31,22AO CB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】根据三角函数的定义及三角恒等变换、三角函数的有界性是求解本题的关键.23．（1）1162OR a b =+；（2）171,422⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）利用,,A R Q 三点共线和,,B R P 三点共线，结合平面向量共线定理，可构造方程组求得结果；（2）设BHt BA =，利用0BH AB ⋅=，结合平面向量线性运算将两个向量转化为用,a b 表示的向量，利用平面向量数量积的运算律可整理得到t 关于cos θ的函数形式，利用cos θ的范围即可求得结果.【详解】（1）设OR OA OQ λμ=+，,,A R Q 三点共线，1λμ∴+=，又:3:2OQ QB =，35OQ OB ∴=，35OR OA OB μλ∴=+；设OR mOP nOB =+，同理可得：1m n +=，3m OR OA nOB =+， ,OA OB 不共线，335m n λμ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，51331m n m n ⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩，解得：1212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1162OR OA OB ∴=+， 即1162OR a b =+. （2）设BH t BA =，则BH tBA =，()()1162RH BH BR tBA OR OB t OA OB OA OB ⎛⎫=-=--=--- ⎪⎝⎭ 11116262t OA t OB t a t b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又AB OB OA b a =-=-，BH AB ⊥，0BH AB ∴⋅=，()2211112262623t a t b b a t a t b t a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-⋅-=-+-+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦14134244cos 54cos cos 06363t t t t t θθθ⎛⎫=-+-+-=-+-= ⎪⎝⎭， 整理可得：134cos 138cos 136354cos 3024cos 33024cos t θθθθθ--===+---， 2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，11cos ,22θ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，171,422t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦， 即BHBA 的取值范围为171,422⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】思路点睛：本题考查了平面向量线性运算和数量积运算的综合应用，处理数量积运算问题时，通常利用线性运算将所求向量进行等价转化，利用模长和夹角已知的两个向量来表示所求向量，如本题中利用,a b 表示出,BH AB ，再结合数量积的运算律来进行求解. 24．（Ⅰ）32-；（Ⅱ）1. 【分析】(I ）建立坐标系，求出向量坐标，代入数量积公式计算；(II ）利用向量坐标运算，得到三角函数，根据三角函数求出最大值.【详解】（Ⅰ）()AB BC AB AC AB →→→→→⋅=⋅- 213122AB AC AB →→→=⋅-=--=-. （Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)B ，13(,)22C -. 设(cos ,sin )P θθ，[0,]3θ2π∈，由AP x AB y AC →→→=+，得13(cos ,sin )(1,0)(2x y θθ=+-. 所以3cos ,sin 22y x y θθ=-=. 所以3cos sin 3x θθ=+，33y θ=， 2232311sin cos sin 2cos 233333xy θθθθθ=+=+- 2311(2cos 2)3223θθ=-+ 21sin(2)363πθ=-+， 因为2[0,]3πθ∈，72[,]666πππθ-∈-. 所以，当262ππθ-=，即3πθ=时，xy 的最大值为1. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，正弦型函数的图象与性质，属于中档题．25．（1）3BC =；72BE =；（2）是定值，78. 【分析】 （1）由()22BC AC AB =-，()2212BE BO BC ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，结合数量积公式得出BC 和BE ；（2）取BE 的中点N ，连接MN ，由ME MB =，得出MN BE ⊥，由BM BN NM =+，结合数量积公式计算BE BM ⋅，即可得出定值.【详解】（1）∵BC AC AB =-∴222211211cos1203BC AC AB AB AC =+-⋅=+-⨯⨯⨯︒=∴3BC =又()12BE BO BC =+ ∴()22211372132134424BE BO BC BO BC ⎛⎫=++⋅=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ∴7BE = （2）取BE 的中点N ，连接MN∵ME MB =，∴MN BE ⊥，且BM BN NM =+∴()BE BM BE BN NM BE BN BE NM ⋅=⋅+=⋅+⋅211177022248BE BE BE =⋅+==⨯= ∴78BE BM ⋅=（为定值）【点睛】本题主要考查了利用定义计算数量积以及模长，涉及了向量加减法的应用，属于中档题.26．（1）1135AF m n =+（2）310CG CB = 【分析】（1）依题意可得23AD AB =、14AE AC =，再根据DE AE AD =-，AF AD DF =+计算可得；（2）设存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，由因为//EG AF ，所以存在实数μ， 使AF EG μ=，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，所以23AD AB =. 因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，所以14AE AC =， 所以1243DE AE AD AC AB =-=-. 因为4DF FE =，所以4185515DF DE AC AB ==-， 则2183515AF AD DF AB AC AB =+=+- 2111()15535AB AB BC AB BC =++=+. 又AB m =，BC n =. 所以11113535AF AB BC m n =+=+. （2）因为G 是线段BC 上一点，所以存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，则33()44EG EC CG AC CB AB BC BC λλ=+=+=+- 3333()()4444AB BC m n λλ=+-=+- 因为//EG AF ，所以存在实数μ， 使AF EG μ=，即1133[()]3544m n m n μλ+=+-， 整理得31,4331(),45μμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得310λ=，故310 CGCB.【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于中档题.。

第二章 平面向量(B 卷 能力素养提升)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．化简AC －BD ＋CD －AB 得( ) A ．AB B ．DA C ．BCD ．0解析：选D AC －BD ＋CD －AB＝AC ＋CD －(AB ＋BD )＝AD －AD ＝0.2．已知向量a 与b 的夹角为π3，|a |＝2，则a 在b 方向上的投影为( )A. 3B. 2C.22 D.32解析：选C a 在b 方向上的投影为|a |·cos〈a ，b 〉＝2cos π3＝22.选C.3．向量BA ＝(4，－3)，BC ＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰非直角三角形 B ．等边三角形 C ．直角非等腰三角形 D ．等腰直角三角形解析：选C AC ＝BC －BA ＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1)，而AC ·BC ＝(－2，－1)·(2，－4)＝0，所以AC ⊥BC ，又|AC |≠|BC |，所以△ABC 是直角非等腰三角形．故选C.4．若OF 1＝(2,2)，OF 2＝(－2,3)分别表示F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A ．(0,5) B ．25 C ．2 2D ．5解析：选D ∵F 1＋F 2＝(0,5)，∴|F 1＋F 2|＝02＋52＝5. 5．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0解析：选D 由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0.6．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12C.32D.52解析：选C 可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12. 7．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4D ．12解析：选B 因为|a |＝2，|b |＝1， ∴a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.8．如图，非零向量OA ＝a ，|a |＝2，OB ＝b ，a ·b ＝1，且BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC ＝λa ，则λ为( )A.12B.13C.14D ．2解析：选C 设a 与b 的夹角为θ.∵|OC |就是OB 在OA 上的投影|b |cos θ，∴|OC |＝|b | cos θ＝a ·b |a |＝λ|a |，即λ＝a ·b |a |2＝14，故选C. 9．若e 1，e 2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a ＝2e 1＋e 2与b ＝－3e 1＋2e 2的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选 D e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝12，a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－72，|a |＝e 1＋e 22＝4＋4e 1·e 2＋1＝7，|b |＝－3e 1＋2e 22＝9－12e 1·e 2＋4＝7，所以a ，b 的夹角的余弦值为cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－727×7＝－12，所以〈a ，b 〉＝120°.故选D.10．在△ABC 中，已知向量AB 与AC 满足AB|AB |＋AC|AC |·BC ＝0且AB|AB |·AC|AC |＝12，则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：选D 非零向量AB 与AC 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB |AB |＋AC | AC |·BC ＝0，即∠A 的平分线垂直于BC ，∴AB ＝AC .又cos A ＝AB|AB |·AC |AC |＝12，∴∠A ＝π3，所以△ABC 为等边三角形，选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．若向量AB ＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC ＝7，那么n ·BC ＝________. 解析：n ·BC ＝n ·(AC －AB )＝n ·AC －n ·AB ＝7－5＝2. 答案：212．已知a ，b 的夹角为θ，|a |＝2，|b |＝1，则a ·b 的取值范围为________． 解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2cos θ，又∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[－1,1]，即a ·b ∈[－2,2]． 答案：[－2,2]13．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ·AC ＝________.解析：设AC ∩BD ＝O ，则AC ＝2(AB ＋BO )，AP ·AC ＝AP ·2(AB ＋BO )＝2AP ·AB ＋2AP ·BO ＝2AP ·AB ＝2AP ·(AP ＋PB )＝2|AP |2＝18.答案：1814．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°，其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)解析：①a ·b ＝a ·c ⇔a ·(b －c )＝0，表明a 与b －c 向量垂直，不一定有b ＝c ，所以①不正确；对于②，当a ∥b 时，1×6＋2k ＝0，则k ＝－3，所以②正确；结合平行四边形法则知，若|a |＝|b |＝|a －b |，则|a |，|b |，|a －b |可构成一正三角形，那么a ＋b 与a 的夹角为30°，而非60°，所以③错误．答案：②三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知OA ＝a ，OB ＝b ，对于任意点M 关于A 点的对称点为S ，S 点关于B 点的对称点为N .(1)用a ，b 表示向量MN ；(2)设|a |＝1，|b |＝2，|MN |∈[23，27]，求a 与b 的夹角θ的取值范围． 解：(1)依题意，知A 为MS 的中点，B 为NS 的中点． ∴SN ＝2SB ，SM ＝2SA .∴MN ＝SN －SM ＝2(SB －SA )＝2AB ＝2(OB －OA )＝2(b －a )． (2)∵|MN |∈[23，27]，∴MN 2∈[12,28]，∴12≤4(b －a )2≤28. ∴3≤4＋1－2a ·b ≤7，∴－1≤a ·b ≤1.∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b 2，∴－12≤cos θ≤12.∵0≤θ≤π，∴π3≤θ≤2π3，即θ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3.16．(本小题满分12分)已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB .求证：AC ⊥BC .证明：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图，设AD ＝1，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)． ∴BC ＝(－1,1)，AC ＝(1,1)，BC ·AC ＝－1×1＋1×1＝0，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥AC .17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(1＋sin 2x ，1)，x ∈R ，且y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2.求实数m 的值．解：f (x )＝a ·b ＝m (1＋sin 2x )＋cos 2x ， 由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin π2＋cos π2＝2， 解得m ＝1.18．(本小题满分14分)(1)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，求a 与b 的夹角；(2)设OA ＝(2,5)，OB ＝(3,1)，OC ＝(6,3)，在OC 上是否存在点M ，使MA ⊥MB ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)(2a －3b )·(2a ＋b )＝4a 2－4a ·b －3b 2＝61. ∵|a |＝4，|b |＝3， ∴a ·b ＝－6，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°.(2)假设存在点M ，且OM ＝λOC ＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)， ∴MA ＝(2－6λ，5－3λ)，MB ＝(3－6λ，1－3λ)， ∴(2－6λ)×(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0， ∴45λ2－48λ＋11＝0，得λ＝13或λ＝1115.∴OM ＝(2,1)或OM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫225，115. ∴存在M (2,1)或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫225，115满足题意.。