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第讲直接证明与间接证明
板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点直接证明
考点间接证明
．反证法的定义
假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．
．利用反证法证题的步骤
()假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
()由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；
()由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．简言之，否定→归谬→断言．
[必会结论]
分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．
[考点自测]
．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) ()综合法是直接证明，分析法是间接证明．()
()分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()
()用反证法证明结论“＞”时，应假设“＜”．()
()反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()
()在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．()
答案()×()×()×()×()√
．要证明＋<，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()
．综合法．分析法。
高考数学精品复习资料2019.5专题二十九 等差数列【高频考点解读】 1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等差数列与一次函数的关系． 【热点题型】题型一 等差数列的定义通项公式及前n 项和公式例1、已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d 等于( ) A ．1 B.53C ．2D ．3【提分秘籍】1．概念中的“同一个常数”十分重要．如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，但不是同一个常数，那么这个数列就不是等差数列．2．由等差数列通项公式的变形可知，已知等差数列中的任意两项就可以确定等差数列中的任何一项．3．等差数列的两个求和公式分析两个公式可得，它们的共同点是需要知道a 1和n ，不同点是公式S n ＝n a 1＋a n2还需要知道a n ，公式S n ＝na 1＋n n －2d 还需要知道d ，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式：当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．【举一反三】等差数列{a n }的前7项和等于前2项和，若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.【热点题型】题型二 等差数列的性质例2、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋3a 8＋a 12＝120，则2a 11－a 14＋S 15＝( ) A ．384 B ．382 C ．380D ．352【提分秘籍】1．等差数列{a n }中，若m ＝p ＋q ，则a m ＝a p ＋a q ，不一定成立，只有当a 1＝d 时才成立． 2．运算性质求解基本运算，可减少运算量、但要注意判断项数之间的关系．3.利用等差数列的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想的应用，应用时常将a m ＋a n ＝2a m ＋n 2与a m ＋a n ＝a p ＋a q 相结合考查．【举一反三】已知等差数列 {a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8B ．9C ．10D ．11【热点题型】题型三 等差数列的判定例3、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求S n 和a n .【提分秘籍】等差数列的判定方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)成立；(3)通项公式法：验证a n＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证S n＝An2＋Bn.注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．【举一反三】已知数列{a n}的通项公式a n＝pn2＋qn(p、q∈R，且p、q为常数)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列；(2)求证：对任意实数p和q，数列{a n＋1－a n}是等差数列．∴{a n＋1－a n}是等差数列．【热点题型】题型四等差数列的基本运算例4、(1)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m＝() A．3B．4C．5D．6(2)在等差数列{a n}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()A．12 B．14C．16 D．18【提分秘籍】1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 及前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2 ＝na 1＋n n －2d ，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【举一反三】在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．5B ．10 C.52D.54【热点题型】题型五 等差数列的前n 项和最值问题例5、已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21【提分秘籍】与等差数列前n 项和有关的最值问题是命题的热点；主要命题角度有：(1)前n 项和的最大值；(2)前n 项和的最小值；(3)与前n 项和有关的最值问题．1.解决等差数列前n 项和最大值的方法 (1)将S n 表示为n 的二次函数，注意n ∈N *.(2)利用通项不等式组S n 最大⇔⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.2.等差数列前n 项和最小值⇔⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0.【举一反三】在首项为负数的等差数列{a n }中，若a 10＋a 11＋a 12＝0，则当前n 项和S n 取最小值时，n 等于( )A ．10B ．10或11C ．11D ．9或10【高考风向标】1．（20xx·重庆卷）在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( )A ．5B ．8C ．10D ．142．（20xx·天津卷）设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－123．（20xx·北京卷）已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和．4．（20xx·福建卷）在等比数列{a n}中，a2＝3，a5＝81.(1)求a n；(2)设b n＝log3a n，求数列{b n}的前n项和S n.5．（20xx·湖北卷）已知等差数列{a n}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式．(2)记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．6．（20xx·湖南卷）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．7．（20xx·江西卷）在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．【答案】⎝⎛⎭⎫－1，－78 【解析】 由题可知a 8>0且a 9<0，即7＋7d >0且7＋8d <0，所以－1<d <－78.8．（20xx·辽宁卷）设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d ＞0 B ．d ＜0 C ．a 1d ＞0 D ．a 1d ＜09．（20xx·全国卷）数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．10．（20xx·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n （n ＋1）2 D.n （n －1）211．（20xx·全国新课标卷Ⅰ] 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．12．（20xx·山东卷）在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n （n ＋1）2，记T m ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .13．（20xx·陕西卷）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，且c＝2a，求cos B的值．14．（20xx·四川卷）设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)证明：数列{b n }为等比数列；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .所以，S n ＝（3n －1）4n ＋1＋49.15．（20xx·浙江卷）已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.16．（20xx·重庆卷）已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和． (1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .17．（20xx·安徽卷）设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f(x)＝(a n－a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f′⎝⎛⎭⎫π2＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n，求数列{b n }的前n 项和S n .18．（20xx·安徽卷）设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝() A．－6 B．－4 C．－2 D．219．（20xx·北京卷）给定数列a1，a2，…，a n，对i＝1，2，…，n－1，该数列前i项的最大值记为A i，后n－i项a i＋1，a i＋2，…，a n的最小值记为B i，d i＝A i－B i.(1)设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；(2)设a1，a2，…，a n(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0.证明：d1，d2，…，d n－1是等比数列；(3)设d1，d2，…，d n－1是公差大于0的等差数列，且d1>0，证明：a1，a2，…，a n－1是等差数列．20．（20xx·全国卷）等差数列{a n}中，a7＝4，a19＝2a9.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝1na n，求数列{b n}的前n项和S n.21．（20xx·福建卷）已知等差数列{a n}的公差d＝1，前n项和为S n.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5>a1a9，求a1的取值范围．22．（20xx·新课标全国卷Ⅱ] 已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.23．（20xx·山东卷）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n .24．（20xx·陕西卷）设S n表示数列{}a n的前n项和．(1)若{}a n是等差数列，推导S n的计算公式；(2)若a1＝1，q≠0，且对所有正整数n，有S n＝1－q n1－q.判断{}a n是否为等比数列，并证明你的结论．25．（20xx·四川卷）在等比数列{a n}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{a n}的首项、公比及前n项和．26．（20xx·新课标全国卷Ⅰ] 已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和．27．（20xx·浙江卷）在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d<0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.28．（20xx·重庆卷）设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20.29．（20xx·重庆卷）若2，a ，b ，c ，9成等差数列，则c －a ＝________． 【答案】72 【解析】 设公差为d ，则d ＝9－25－1＝74，所以c －a ＝2d ＝72.【随堂巩固】1．若数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＝a n －1＋2(n ≥2)，则a 7＝( ) A ．13 B ．14 C ．15 D ．172．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝15，S 5＝55，则数列{a n }的公差是( )A.14B ．4C ．－4D ．－33． S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 8＝6，则S 9＝( ) A.272B ．27C ．54D ．1084．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110答案：D5．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．－66．把70个面包分五份给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的16是较小的两份之和，则最小的一份为( )A ．2B ．8C ．14D ．207．等差数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.则a 4的值为( ) A ．18 B ．15 C ．12 D ．208．在6月11日成功发射了“神舟十号”，假设运载火箭在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟9．一个等差数列的前20项和为420，前20项中偶数项的和与奇数项的和之比为11∶10，则此数列的公差为________．10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＋a4＋a5＝12，则S7的值为________．11．等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，a k＋a4＝0，则k＝________.12．已知数列{a n}是等差数列，且a3＋a9＝5，b n＝2a n，则b5＋2b7的最小值为________．13．已知等差数列{a n}中，a5＝12，a20＝－18.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{|a n|}的前n项和S n.14．已知a 2、a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{a n }是公差为正数的等差数列，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n .。
2019年高中数学单元测试试题 数列专题（含答案）学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和S n =3a n -2,那么下面结论正确的是 A.此数列为等差数列 B.此数列为等比数列C.此数列从第二项起是等比数列D.此数列从第二项起是等差数列2．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将 所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 （ ）A ．7(1)a p +B ．8(1)a p +C ．7[(1)(1)]ap p p+-+ D ．()()811ap p p +-+⎡⎤⎣⎦3．已知数列｛an ｝满足a1=3，an+1 - an + 1=0 (n ∈N* ), 则数列｛an ｝的通项公式为 A. an= n 2 +2 B. an= n +2 C. an=4-n D. an= 2 n +14．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64B ．100C ．110D ．120(2008陕西理)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．（5分）（2011•山东）设函数f （x ）=（x ＞0），观察：f 1（x ）=f （x ）=，f 2（x ）=f （f 1（x ））=， f 3（x ）=f （f 2（x ））=， f 4（x ）=f （f 3（x ））=，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n （x ）=f （f n ﹣1（x ））= ．6．1 ．（2013年高考广东卷（文））设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234||||a a a a +++=________7．2 ．（2013年高考重庆卷（文））若2、a 、b 、c 、9成等差数列,则c a -=____________.8．在数列}{n a 中，若11=a ，212=a ，)(112*21N n a a a n n n ∈+=++，则该数列的通项为 ．9．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间一个挖去；如此继续下去……，试问第n 个图共挖 去 个正方形．10．在等差数列{}n a 中，465a a +=，前5项和510S =，则其公差d 的值为 ▲ ． 11．设等差数列{}n a 的首项及公差均是正整数，前n 项和为n S ，且11a >，46a >，312S ≤，则2010a = .12．等差数列{}n a 中，45a =，1213a =，则8a = ▲ ．13．设}{n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和，}{n S 是等差数列，则公比q =_____14．已知数列}{n a 的通项公式n a n 373-=，其前n 项和n S 达到最大值时n 的值是_____15． 已知数列{}n a 满足112a =，()1111n n a n a +=-≥，则6a = .16．等差数列{a n }中,若a 1+a 2=5,a 3+a 4=17,则a 5+a 6= .17．设函数)10(2log log )(2<<-=x x x f x ,数列{}n a 满足)(2)2(*N n n f n a∈=⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 判断数列{}n a 的单调性．18．对大于1的自然数m 的三次幂，可用奇数进行以下方式的拆分： 23=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19 …若159在m 3的拆分中，则m 的值为 ．19．如图，△OA 1A 2是等腰直角三角形，OA 1＝A 1A 2＝1，以OA 2为直角边作等腰直角△OA 2A 3，再以OA 3为直角边作等腰直角△OA 3A 4，如此继续下去得到等腰直角△OA 4A 5，…….则△OA 9A 10的面积为____________．三、解答题20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n ≠ 0，11112n n n n n n n a S a S a a -+++-=，*n ∈N ． （1）求证：12n n n S a -=； （2）设1nn n a b a +=，求数列{b n }的前n 项和T n ． 21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，已知5346S a =+，且1a ，3a ，9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1{}nS 的前n 项和n T ．（本小题满分10 分）22．（本题满分16分）平面直角坐标系xoy 中，已知点),(111y x A ，),(222y x A ， ),,(,n n n y x A 是直线b kx y +=上的点（k 、b 均为非零常数）．（1）若数列{}n x 是等差数列，求证：数列{}n y 也是等差数列； （2）若点P 是直线l 上一点，且2211OA a a +=，求21a a +的值；（3）已知点P 满足n n OA a OA a a +++= 2211（*N n ∈），其中102311=a ，n a a a ,,,21 成等比数列，公比为2．若点P 在直线l 上，求n 的值．23．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前 n 项和，且满足221n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围； （3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．24． (本小题满分16分)下列数阵称为“森德拉姆筛”,记为S .其特点是每行每列都是等差数列,第i 行第j 列的数记为ij A1 4 7 10 13 … 4 8 12 16 20 … 7 12 17 22 27 … 10 16 22 28 34 … … … … … …⑴证明:存在常数C ,对任意正整数i 、j ,ij A +C 总是合数;⑵设S 中主对角线上的数1,8,17,28,…组成数列{}n b ,是否存在正整数k 和m ()1k m <<,使得1b ,k b ,m b 成等比数列，说明理由;⑶对于⑵中的数列{}n b ,是否存在正整数p 和r ()1150r p <<<,使得1b ,r b ,p b 成等差数列?若存在,写出p ,r 的一组解;若不存在,请说明理由.25．在等比数列{}n a 中，已知,831,215-==S q 则=3a ▲ ．26．已知各项均为正数的数列{}n a 中，n S a ,11=是数列{}n a 的前n 项和，对任意*∈N n ，有 )(222R p p pa pa S n n n ∈-+=（1）求常数p 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）记n nn n S b 234⋅+=，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
2019高考数学文一轮复习含答案解析：选C 依题意，结合题中的程序框图,注意到sinv 3,分层演练•直击高考1 •执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为2,则输入x 的最大值是（）A • 5B • 6C . 11D • 22x>8,解得f 即8<x w 22,所以输入x 的最大值是22 •22,2・（2018新疆第二次适应性检测）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 的n 的值为（）［学生用书P284（单独成册）］一、选择题 基础达标A • 3C . 5B • 4D • 6解析：选D •执行该程序可知S-0〔结東〕H=F>+1¥+ sin 瞥|+ 3>3,因此输出的n 的值为5，选C .3. （2018太原模拟）执行如图所示的程序框图， 已知输出的s € [0 ,4].若输入的t € [0 , m]，则实数m 的最大值为（）C . 3D . 43t , t V 1解析：选D .由程序框图得s =*2，图象如图所示.由图象得，若输入的t € [0 ,4t - t 2, t > 1m],输出的s € [0 , 4],贝U m 的最大值为4,故选D .4「…厂\3 2 1 • 1 !/NA.. -1 -2 Q 123 i 5由T)\4. （2017高考天津卷）阅读如图所示的程序框图,则输出N 的值为（n - 2 n - sin 6+sin 訂sin运行相应的程序，若输入N 的值为19,/输出S / 〔结虫〕B . 1C. 264,A . i>6 C . i>8解析：选D .要使输出的点恰有B . i>7 D . i>95次落在直线y = x 上，贝U i = 2, 3, 4,…，9都不满足判断框内的条件，i = 10满足判断框内的条件，则判断框内可填写的条件是 i>9,故选D .6. （2018郑州第一次质量预测）我们可以用随机模拟的方法估计 图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生n 的值，下面的程序框（0, 1）内的任何一个数）.若输出的结果为781，则由此可估计n 的近似值为（ ）A . 3. 119B . 3. 124C . 3. 132151解析：选B .根据题意，本题可以转化为在平面直角坐标系中,在{(x, y)|0<x<1, 0<y<1}中随机产生1 000个点，其中满足｛（x , y ）|x 2 + y 2<1｝的点有781 个.根据几何概型概率计算1 24^ nX 12 公式可得卫81 =- ,由此可估计n 的近似值为3. 124 .故选B .1 000 17.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州 （现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法， 至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给解析：选C .由程序框图可知，N 的取值依次为19, 18, 6, 2,故输出N 的值为2. 5•运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有 5次落在直线y =x 上，则判断框中可填写的条件是（）出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n, x的值分别为3, 2，则输出v的值为（）/输人d at /I已一】------- ； - 1i=i-l/ 输L B V/朿）A. 35B20C. 18D9解析：选C.根据程序框图有：n= 3,x= 2, v = 1, i=2> 0,所以v= 1 X 2+ 2= 4,=1》0,所以v= 4 X 2 + 1 = 9, i = 0》0,所以v = 9X 2 + 0 = 18, i = —1<0,不满足条件，跳出循环，输出v= 18.& （2018东北四市教研联合体模拟）庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”.这句话描述的是一个数列问题.现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n后，输出A. 7C. 5解析：选C .由程序框图，可知：S= + 2^2+召+…+的S€15，H，则输入的n的值为（金Qi隔出刃—I因为15 c6364,C . i >50, n = n +2D . i < 50, n = n + 2即4<n<6.又n € Z ,所以n = 5.故选C .9. （2018 •州综合质量检测）执行如图所示的程序框图，若输入的 m = 168, n = 112,则输出的k ，m 的值分别为（）解析：选C .对第一个当型循环结构，第一次循环：k = 1, m = 84, n = 56, m , n 均为 偶数；第二次循环：k = 2, m = 42, n = 28, m , n 均为偶数；第三次循环：k = 3, m = 21, n=14,因为m 不是偶数，所以结束第一个循环.又 m z n ,所以执行第二个当型循环结构 ， 第一次循环：d = |21 — 14|= 7, m = 14, n = 7, m z n ；第二次循环：d = |14— 7|= 7, m = 7, n =7,因为m = n ,所以结束循环，输出k = 3, m = 7,故选C .1 1 110.如图，给出的是计算+;+…+ 而的值的一个程序框图，则图中判断框内 ⑴处和执行框中的（2）处应填的语句是（A . 4，7 C . 3, 7D . 3, 56A . i > 100, n = n + 1B . i > 100, n = n + 2 所以挣1-rw4, 56据观察S中最后一项的分母与i的关系是分母—2（i - 1）,令2（i- 1）= 100,解得i= 51，即需要i —51时输出.故图中判断框内（1）处和执行框中的⑵处应填的语句分别是i> 50, n=n + 2.11. （2018福州五校联考）定义[x]为不超过x的最大整数，例如[1 . 3] —1.执行如图所示的程序框图，当输入的x为4. 7时，输出的y值为（）A . 7B . 8. 6C. 10. 2 D . 11. 8解析：选C.当输入的x为4. 7时，执行程序框图可知，4. 7- [4 . 7] —0. 7,即4. 7 -[4 . 7]不等于0,因而可得y= 7+ （[4 . 7 —3] + 1）X 1 . 6—10 . 2,输出的值为10 . 2,故选C .12 . （2018湖南五市十校联考）执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）解析：选C •经第一次循环得到的结果是经第二次循环得到的结果是s— 1+1S— 2 十n—6,i —经第三次循环得到的结果是s_ 1 +丄+1S—2十4十n= 8,i —4./输出丁/4A . —3B . ~31 C.—2 D ・21解析：选D •第1次循环，a=—3, i = 2;第2次循环，a=—勺，i = 3;第3次循环，a1 =3, i = 4;第4次循环，a = 2, i = 5;…所以周期为4,故最后输出的a的值为2.3二、填空题13 •执行如图所示的程序框图，则输出的s的值为_________ .解析：由程序框图可知k= 1, s= 2; k = 2, s= -; k= 3, s=5.此时k v3不成立，故2 3输出s= 5.答案：5314.下列程序执行后输出的结果是 ___________i = 11S= 1DOS= S*ii = i —1LOOP UNTIL i<9解析：程序反映出的算法过程i= 11? S= 11X 1, i = 10; i= 10? S= 11X 10, i = 9;i= 9? S= 11X 10X 9, i = 8;i= 8<9退出循环，执行“PRINT S”，故S= 990.答案：99015.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1, A?,…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，则该算法流程图输出的结果是__________________ .解析：由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图可知：数学成绩大于等于90的人数为10,因此输出的结果为10.答案：1016•输入x= 5，运行如图所示的程序之后得到的y等于_________ .解析：由题意，得y= f(x) =* 2(x—1) , x> 0,所以f(5) = (5 —1)2= 16.答案：16。
2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝，则|z|＝（）A．2B．C．D．12．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7} 3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．（5分）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+8．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+10．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A ＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．312．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
等差数列与等比数列【2019年高考考纲解读】1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．【重点、难点剖析】一、等差数列、等比数列的运算1．通项公式等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ；等比数列：a n ＝a 1·qn －1. 2．求和公式 等差数列：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d ；等比数列：S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q(q ≠1)． 3．性质若m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ；在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q .二 等差数列、等比数列的判定与证明证明数列{a n }是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法：①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数；②利用等差中项，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．(2)证明数列{a n }是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1a n(n ∈N *)为一常数； ②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．三、等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．【高考题型示例】题型一、等差数列、等比数列的运算例1、(2018·北京)设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为______．答案 a n ＝6n －3(n ∈N *)解析 方法一 设公差为d .∵a 2＋a 5＝36，∴(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝36，∴2a 1＋5d ＝36.∵a 1＝3，∴d ＝6，∴通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6n －3(n ∈N *)．方法二 设公差为d ，∵a 2＋a 5＝a 1＋a 6＝36，a 1＝3，∴a 6＝33，∴d ＝a 6－a 15＝6.∵a 1＝3，∴通项公式a n ＝6n －3(n ∈N *)． 【变式探究】(2018·全国Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.①求{a n }的通项公式；②记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .【变式探究】(2017·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为________．答案 4解析 设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4. 【感悟提升】在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．【变式探究】设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( )A ．－2B ．－1 C.12 D.23答案 B解析 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即3a 2＋a 3－2a 4＝0，即3a 2＋a 2q －2a 2q 2＝0，即2q 2－q －3＝0，解得q ＝－1(舍)或q ＝32， 当q ＝32时，代入S 2＝3a 2＋2， 得a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，解得a 1＝－1.【变式探究】设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝________.答案 83解析 ∵a 3a 11＝2a 25，∴a 27＝2a 25，∴q 4＝2，∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 11－q 41－q ＋a 11－q 121－q ＝λa 11－q 81－q ， 1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)，将q 4＝2代入计算可得λ＝83. 题型二 等差数列、等比数列的判定与证明例2、已知数列{a n }，{b n }，其中a 1＝3，b 1＝－1，且满足a n ＝12(3a n －1－b n －1)，b n ＝－12(a n －1－3b n －1)，n ∈N *，n ≥2.(1)求证：数列{a n －b n }为等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n a n ＋1的前n 项和T n . (1)证明 a n －b n ＝12(3a n －1－b n －1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12(a n －1－3b n －1)＝2(a n －1－b n －1)， 又a 1－b 1＝3－(－1)＝4，所以{a n －b n }是首项为4，公比为2的等比数列．(2)解 由(1)知，a n －b n ＝2n ＋1，①又a n ＋b n ＝12(3a n －1－b n －1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12(a n －1－3b n －1)＝a n －1＋b n －1， 又a 1＋b 1＝3＋(－1)＝2，所以{a n ＋b n }为常数数列，a n ＋b n ＝2，②联立①②得，a n ＝2n＋1，2n a n a n ＋1＝2n 2n ＋n ＋1＋＝12n ＋1－12n ＋1＋1， 所以T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫121＋1－122＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1－123＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋1＋1 ＝121＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1(n ∈N *)． 【感悟提升】(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n 项和公式，但不能作为证明方法．(2)a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)是数列{a n }为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．【变式探究】已知{a n }是各项都为正数的数列，其前n 项和为S n ，且S n 为a n 与1a n的等差中项． (1)求证：数列{S 2n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设b n ＝－n a n ，求{b n }的前n 项和T n .(2)解 由(1)可得S 2n ＝1＋n －1＝n ，∵数列{a n }的各项都为正数，∴S n ＝n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n －n －1，又a 1＝S 1＝1满足上式，∴a n ＝n －n －1(n ∈N *)．(3)解 由(2)得b n ＝－n a n ＝－n n －n －1 ＝(－1)n (n ＋n －1)，当n 为奇数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…＋(n －1＋n －2)－(n ＋n －1)＝－n ，当n 为偶数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…－(n －1＋n －2)＋(n ＋n －1)＝n ，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝(－1)n n (n ∈N *)．题型三 等差数列、等比数列的综合问题例3、已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式a n 与其前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使得对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6，得a 7＝－2，∴a 1＝4，∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n 9－n 2(n ∈N *)． (2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12， ∴T m ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 1－12＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 随m 的增加而减少， ∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8.又S n ＝n 9－n 2＝－12(n 2－9n ) ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922－814， 故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使得对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ，则10<8＋λ，得λ>2.即实数λ的取值范围为(2，＋∞)．【感悟提升】(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．(2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解．【变式探究】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n －1＝3(a n －1)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足a n ＋1＝32n n a b ⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭，若b n ≤t 对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．(2)由a n ＋1＝32n n a b ⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭，得b n ＝1a n 312log n a +＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1323log 2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1， 所以b n ＋1－b n ＝(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 ＝2n －13n (2－n )， 所以(b n )max ＝b 2＝b 3＝43，所以t ≥43. 即t 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.。
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十一)第十一单元数列综合测试(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知数列{a n}为等比数列,且a3a9=2a52,a2=2,则a1等于A.±√2B.√2C.-√2D.2解析:a3a9=a62=2a52,q=a6a5=±√2,故a1=a2q=±√2.答案:A2.在等差数列{a n}中,a1=0,公差d≠0,若a n=a2+a3+a6+a8,则n等于A.15B.16C.17D.18解析:a n=a2+a3+a6+a8=4a1+15d=a1+15d,故a n为等差数列{a n}的第16项,∴n=16.故选B.答案:B3.若等差数列{a n}满足递推关系a n+1=-a n+n,则a5等于A.92B.94C.114D.134解析:令n=4,则a5+a4=4,令n=5,则a6+a5=5,两式相加2a5+a4+a6=9,∴a5=9 4 .答案:B4.设S n为等比数列{a n}的前n项和,已知3S2013=a2014-2012,3S2012=a2013-2012,则公比q等于A.4B.3C.2D.8解析:由3S2013=a2014-2012,3S2012=a2013-2012得3a2013=a2014-a2013,∴q=a2014a2013=4.答案:A5.已知数列{a n}的通项公式是a n=-n2+bn+c,若a n+1<a n对n∈N+恒成立,则实数b的取值范围是A.b>0B.b≥-1C.b≤3D.b<3解析:∵a n+1<a n恒成立,∴a n+1-a n=b-(2n+1)<0,即b<2n+1恒成立,∴b<3.答案:D6.已知函数f(x)是R 上的单调增函数且为奇函数,数列{a n }是等差数列,a 11>0,则f(a 9)+f(a 11)+f(a 13)的值A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负解析:因为f(a 11)>f(0)=0,a 9+a 13=2a 11>0,a 9>-a 13, 所以有f(a 9)>f(-a 13)=-f(a 13),f(a 9)+f(a 13)>0,故选A. 答案:A 7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若m>1,2a m-1+2a m+1-a m 2-4=0,S 2m-1=38,则m等于A.7B.8C.9D.10解析:∵a m-1+a m+1=2a m ,∴2a m-1+2a m+1-a m 2-4=4a m -a m 2-4=0,∴a m =2.故S 2m-1=(a 1+a 2m -1)(2m -1)2=2a m (2m -1)2=2(2m-1)=38.∴m=10. 答案:D8.若数列{a n }满足a 1=12,a n+1=1+an 1-a n(n ∈N +),则该数列的前2014项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2014等于A.3B.1C.32D.23解析:易求得a 1=12,a 2=3,a 3=-2,a 4=-13,a 5=12,…,这是一个周期为4的周期数列, 且每相邻四项a 1·a 2·a 3·a 4=1,故原式=12×3=32. 答案:C9.已知数列{a n }的通项公式a n =n 2+n,若数列{1a n}的前n 项和为S n ,则S n 的取值范围为A.[0,1]B.(2,1)C.[12,1) D.[12,1]解析:依题意1a n =1n(n+1)=1n -1n+1,∴S n =1a 1+1a 2+…+1a n =1-12+12-13+…+1n -1n+1=1-1n+1<1,∴当n=1时,S n 取最小值12,∴S n 值范围为[12,1).答案:C10.在数列{a n }中,对于任意的n ∈N +,都有a n+2-a n+1a n+1-a n=k(k为常数),则称{a n }为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断:①等差数列一定是“等差比数列”;②等比数列一定是“等差比数列”;③通项公式为a n =a ·b n +c(a ≠0,b ≠0,1)的数列一定是“等差比数列”.其中正确的个数是A.0B.1C.2D.3解析:①②错误,对于①②只要举常数列即可验证它是错的;③正确,对于③,其中k=b.答案:B11.已知数列{a n }满足a 1=1,na n =(n+1)a n-1(n ≥2,且n ∈N +),则a n 2+14n取最小值的n 值为A.2B.3C.4D.5解析:∵na n =(n+1)a n-1,∴a n a n -1=n+1n ,∴a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n -1=21·32·…·n+1n=n+1,即a n =n+1(n ≥2),∴a n 2+14n =n+15n +2,令f(x)=x+15x+2,∵f(x)在(0,√15)上单调递减,在(√15,+∞)上单调递增.故当n=3或4时,a n 2+14n取最小值, ∵a 32+143=3+153+2=10,a 42+144=4+154+2=394,故当n=4时取最小值,故选C. 答案:C12.对任意x ∈R ,函数f(x)满足f(x+1)=√2f(x)-[f(x)]2+1,设a n =[f(n)]2-2f(n),数列{a n }的前2013项的和为-1003,则f(2013)等于A.4B.3C.2D.1解析:因为[f(x+1)-1]2=[f(x+1)]2-2f(x+1)+1=2f(x)-[f(x)]2,所以有a n+1+a n =-1. 前2013项和S 2013=1006·(-1)+a 2013=-1003,由此可得a 2013=3,a 2012=-4. 因而f(2013)=√-a 2012+1=3,故选B. 答案:B第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=6,a 3=4,则公差d= . 解析:由题意知{a 1+2d =4,3a 1+3×22×d =6,解得d=2. 答案:214.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 3+a 9=17S 7,且a 4,a 6为等比数列{b n }相邻的两项,则等比数列{b n }的公比q= .解析:∵a 3+a 9=17S 7,∴2a 6=17×7(a 1+a 7)2=a 4,∴q=12或2. 答案:12或215.数列{a n }中,a 1=1,a n+1=2a n +1,则通项a n = .解析:由题可得a n+1+1=2(a n +1),∴a n+1+1a n +1=2,数列{a n +1}为等比数列,∴a n +1=2n-1(a 1+1)=2n ,故a n =2n -1.答案:2n -116.数列{a n }中,对任意的m,n,p ∈N +,当m+n=p 时,都有a m ·a n =a p ,若a 1=12,则a 10的值为 .解析:∵a m ·a n =a p ,∴a 12=a 2,a 1·a 2=a 3, a 1·a 3=a 4, …… a 1·a 9=a 10,累乘得a 110=a 10=(12)10=11024. 答案:11024三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)设{a n }是一个公差为d(d ≠0)的等差数列,它的前10项和S 10=110且a 1,a 2,a 4成等比数列,求数列{a n }的通项公式.解析:因a 1,a 2,a 4成等比数列,故a 22=a 1a 4,而{a n }是等差数列,有a 2=a 1+d,a 4=a 1+3d,于是(a 1+d)2=a 1(a 1+3d),即a 12+2a 1d+d 2=a 12+3a 1d,化简得a 1=d.5分∵S 10=10a 1+10×92d=110,∴10a 1+45d=110. 又∵a 1=d,∴55d=110,∴d=2,∴a n =a 1+(n-1)d=2n.10分18.(本小题满分12分)已知幂函数f(x)图象过点(-12,-2),数列{a n },{b n }满足a 1=1,b 1=1,且对任意n ∈N +,均有a n+1=a nf(a n )f(an )+3,b n+1-b n =1a n .(1)求函数f(x)的解析式; (2)试求数列{a n },{b n }的通项公式.解析:(1)由题意可知(-12)a =-2,所以a=-1,故f(x)=1x(x ≠0).4分 (2)由(1)可得a n+1=11a n +3=a n 3a n +1,所以有1a n+1=1a n +3,故a n =13n -2. b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1=3[(n-1)+(n-2)+…+2+1]-2(n-1)+1=3·n -1+12(n-1)-2n+2+1=3n 2-7n+62.12分19.(本小题满分12分)设S n 是正项数列{a n }的前n 项和,且S n =13a n 2+12a n .(1)求a n ; (2)设√b n =34an +3(n ∈N +),且数列{b n }的前n 项和为T n ,试比较T n 与14的大小.解析:(1)由已知可得a 1=13a 12+12a 1,a 1>0,所以a 1=32. 当n ≥2时,有a n =S n -S n-1=13a n 2+12a n -(13a n -12+12a n-1) =13(a n 2-a n -12)+12(a n -a n-1),∴(a n +a n-1)(a n -a n-1-32)=0, 又a n >0,所以有a n -a n-1=32,数列{a n }为等差数列. 所以a n =32n.6分 (2)由(1)可知b n =1(2n+1)2=14n 2+4n+1<14n 2+4n <14(1n -1n+1), 所以有T n =b 1+b 2+…+b n <14[(11-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)]=14(1-1n+1)<14.12分 20.(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=2(1a 1+1a 2),a 3+a 4+a 5=64(1a 3+1a 4+1a 5).(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =(a n +1a n)2,求数列{b n }的前n 项和T n .解析:(1)设公比为q,则a n =a 1q n-1,易知q ≠1.由已知得{a 1+a 1q =2(1a 1+1a 1q ),a 1q 2+a 1q 3+a 1q 4=64(1a 1q 2+1a 1q3+1a 1q4), 化简得{a 12q =2,a 12q 6=64.又a 1>0,故q=2,a 1=1,∴a n =2n-1.6分(2)由(1)知b n =(a n +1a n )2=a n 2+1a n2+2=4n-1+14n -1+2,∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =(1+4+…+4n-1)+(1+14+…+14n -1)+2n=4n -14-1+1-14n 1-14+2n=13(4n -41-n )+2n+1.12分21.(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数,对于任意的x,y ∈R ,都有f(x ·y)=xf(y)+yf(x)成立.数列{a n }满足a n =f(2n )(n ∈N +),且a 1=2. (1) 试求数列{a n }的通项公式a n . (2)若b n =a nn(n+1)2,求数列{b n }的最小项.解析: (1)因为a 1=f(2)=2,令x=2n-1,y=2,则有f(2n )=2n-1f(2)+2f(2n-1) =2n +2[2n-2f(2)+2f(2n-2)]=2·2n +22f(2n-2)=2·2n +22[2n-3f(2)+2f(2n-3)]=3·2n +23f(2n-3)=…=(n-2)·2n +2n-2[2n-(n-1)f(2)+2f(2n-(n-1))]=n ·2n ,7分 即a n =n ·2n . (2)由(1)可知b n =2n (n+1)2,令b n+1b n =2·[n+1n+2]2>1得n 2>2,n>√2, 即当n ≥2,n ∈N ,都有b 2<b 3<…<b n ,而b 1=12>b 2=49,故(b n )min =b 2=49.12分22.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n(n ∈N +)项和为S n ,a 1=t,a 2=-1,点P n (a n ,S n ),若点P n (n=2,3,4,…)都在斜率为13的同一条直线上.(1)当t 为何值时,数列{a n }是等比数列?(2)在满足(1)的条件下,设b n =λa n -n 2,若数列{b n }中,有b 1>b 2,b 3>b 4,…,b 2n-1>b 2n ,…成立,求实数λ的取值范围.解析:(1)∵点P n ,P n+1(n=2,3,4,…)都在斜率为13的直线上, ∴S n+1-S n a n+1-a n =13. 又∵S n+1-S n =a n+1, ∴a n+1=13(a n+1-a n ),整理得a n+1a n =-12(n ≥2). 又∵当n ∈N +时,数列{a n }是等比数列, ∴只需要a 2a 1=-1t=-12, ∴t=2.6分(2)由(1)得a n =2·(-12)n-1, ∵b n =λa n -n 2, ∴b n =2λ(-12)n-1-n 2,由b 2n-1>b 2n 得,2λ(-12)2n-2-(2n-1)2>b 2n =2λ(-12)2n-1-(2n)2, 即2λ(-12)2n-2[1-(-12)]>(2n-1)2-(2n)2,∴λ>-(4n -1)·4n12, ∵-(4n -1)·4n 12单调递减, ∴当n=1时,-(4n -1)·4n12取最大值为-1, ∴λ>-1.12分。
2019高考数学文一轮复习： 数列综合复习一、选择题：1.已知数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1=a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 018=( ) A.1 B.0 C.2 018 D.－2 018 2.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2(a n －1)，则a n = ( ) A.2n B.2n －1 C.2nD.2n－1 3.已知数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1a n =2n(n ∈N *)，则a 10=( ) A.64 B.32 C.16 D.8 4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12=24，则S 13=( ) A.52 B.78 C.104 D.208 5.若等差数列{a n }的前5项和S 5=25，且a 2=3，则a 7=( ) A.12 B.13 C.14 D.156.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 6＋a 7>0”是“S 9≥S 3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充要也不必要条件7.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3=a 4－2，3S 2=a 3－2，则公比q=( ) A.3 B.4 C.5 D.68.在等比数列{a n }中，已知a 3=6，a 3＋a 5＋a 7=78，则a 5=( ) A.12 B.18 C.36 D.249.已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12 B.5＋12 C.3－52 D.3＋5210.在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n =34，a 3·a n －2=64，且前n 项和S n =42，则n 等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 11.S n =12＋12＋38＋…＋n2n 等于( )A.2n－n 2n B.2n ＋1－n －22n C.2n －n ＋12n ＋1D.2n ＋1－n ＋22n12.数列{a n }的通项公式是a n =1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A.120B.99C.11D.121二、填空题:13.已知数列{a n }，{b n }，若b 1=0，a n =1n （n ＋1），当n ≥2时，有b n =b n －1＋a n －1，则b 10=________.14.在等差数列{a n }中，a 3＋a 9=27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11=________. 15.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1=－2，S m =0，S m ＋1=3，则正整数m 的值为________. 16.已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4=9，a 2a 3=8，则数列{a n }的前n 项和S n =________. 17.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6=0，则S 6S 3=________.18.设函数f(x)=12＋log 2x 1－x ，定义S n =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ，其中n ∈N *，且n ≥2，则S n=________.三、解答题：19.已知数列{a n }中，a 1=1，前n 项和S n =n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式.20.已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和S n .21.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3·a4=117，a2＋a5=22.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n=S nn＋c，是否存在非零实数c使得{b n}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.22.已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n－a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和.23.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋na n=(n－1)S n＋2n(n∈N*).(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{S n＋2}是等比数列.24.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且6S n=3n＋1＋a(n∈N*).(1)求a的值及数列{a n}的通项公式；(2)若b n=(1－an)log3(a2n·a n＋1)，求数列{1b n}的前n项和T n.25.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n －2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1a n 的前n 项和T n .26.已知S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a 2n ＋2a n =4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.参考答案解析1.解析：选B.因为a 1=1，所以a 2=(a 1－1)2=0，a 3=(a 2－1)2=1，a 4=(a 3－1)2=0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，所以a 2 018=a 2=0.2.解析：选C.当n=1时，a 1=S 1=2(a 1－1)，可得a 1=2，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=2a n －2a n －1，所以a n =2a n －1，所以数列{a n }为等比数列，公比为2，首项为2，所以a n =2n. 3.解析：选B.因为a n ＋1a n =2n，所以a n ＋2a n ＋1=2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n=2.又a 1a 2=2，a 1=1，所以a 2=2.法一：a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4a 2=24，即a 10=25=32.法二：数列{a 2n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a 10=2×24=32. 4.解析：选C.依题意得3a 7=24，a 7=8，S 13=13（a 1＋a 13）2=13a 7=104，选C.5.解析：选B.设{a n }的公差为d ，由S 5=5（a 2＋a 4）2⇒25=5（3＋a 4）2⇒a 4=7，所以7=3＋2d ⇒d=2，所以a 7=a 4＋3d=7＋3×2=13.6.解析：选A.法一：将它们等价转化为a 1和d 的关系式.a 6＋a 7>0⇒a 1＋5d ＋a 1＋6d>0⇒2a 1＋11d>0；S 9≥S 3⇒9a 1＋9×8×d 2≥3a 1＋3×2×d2⇒2a 1＋11d ≥0.法二：a 6＋a 7>0⇒a 1＋a 12>0，S 9≥S 3⇒a 4＋a 5＋…＋a 9≥0⇒3(a 1＋a 12)≥0.7.解析：选B.由题意知，q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧3a 1（1－q 3）1－q ＝a 1q 3－23a 1（1－q 2）1－q＝a 1q 2－2，两式相减可得－3（q 3－q 2）1－q =q 3－q 2， 即－31－q=1，所以q=4. 8.解析：a 3＋a 5＋a 7=a 3(1＋q 2＋q 4)=6(1＋q 2＋q 4)=78⇒1＋q 2＋q 4=13⇒q 2=3，所以a 5=a 3q 2=6×3=18.故选B. 9.解析：选A.设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5=a 3＋a 4，即a 3q 2=a 3＋a 3q ，故q 2－q －1=0，解得q=1＋52或q=1－52(舍去)，由a 3＋a 5a 4＋a 6=a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2=a 3（1＋q 2）a 4（1＋q 2）=1q =25＋1=2（5－1）（5＋1）（5－1）=5－12，故选A. 10.解析：选A.因为{a n }为等比数列，所以a 3·a n －2=a 1·a n =64.又a 1＋a n =34，所以a 1，a n 是方程x 2－34x ＋64=0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2. 又因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n＝32.由S n =a 1－a n q 1－q =2－32q1－q =42，解得q=4.由a n =a 1qn －1=2×4n －1=32，解得n=3.故选A.11.解析：选B.由S n =12＋222＋323＋…＋n 2n ，①得12S n =122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，②①－②得，12S n =12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，所以S n =2n ＋1－n －22n. 12.解析：选A.a n =1n ＋n ＋1=n ＋1－n（n ＋1＋n ）（n ＋1－n ）=n ＋1－n ，所以a 1＋a 2＋…＋a n =(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n)=n ＋1－1=10. 即n ＋1=11，所以n ＋1=121，n=120.13.解析：由b n =b n －1＋a n －1得b n －b n －1=a n －1，所以b 2－b 1=a 1，b 3－b 2=a 2，…，b n －b n －1=a n －1，所以b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1=a 1＋a 2＋…＋a n －1=11×2＋12×3＋…＋1（n －1）×n ，即b n －b 1=a 1＋a 2＋…＋a n －1=11×2＋12×3＋…＋1（n －1）×n =11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n=1－1n =n －1n ，又b 1=0，所以b n =n －1n ，所以b 10=910.答案：91014.解析：因为a 3＋a 9=27－a 6，2a 6=a 3＋a 9，所以3a 6=27，所以a 6=9，所以S 11=112(a 1＋a 11)=11a 6=99.答案：9915.解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1=－2，S m =0，S m ＋1=3，所以a m =S m －S m －1=2，a m ＋1=S m ＋1－S m =3，数列的公差d=1，a m ＋a m ＋1=S m ＋1－S m －1=5，即2a 1＋2m －1=5，所以a 1=3－m.由S m =(3－m)m ＋m （m －1）2×1=0，解得正整数m 的值为5.答案：516.解析：设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n =1－2n1－2=2n －1.答案：2n－117.解析：由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3=a 1q 2，a 6=a 1q 5，所以27a 1q 2=a 1q 5，所以q=3，由S n =a 1（1－q n）1－q ，得S 6=a 1（1－36）1－3，S 3=a 1（1－33）1－3，所以S 6S 3=a 1（1－36）1－3·1－3a 1（1－33）=28.答案：28 18.解析：因为f(x)＋f(1－x)=12＋log 2 x 1－x ＋12＋log 2 1－xx=1＋log 21=1，所以2S n =⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋[f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ]＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n =n －1.所以S n=n －12.答案：n －1219.解：(1)由S 2=43a 2得3(a 1＋a 2)=4a 2，解得a 2=3a 1=3.由S 3=53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)=5a 3，解得a 3=32(a 1＋a 2)=6.(2)由题设知a 1=1.当n ≥2时，有a n =S n －S n －1=n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n =n ＋1n －1a n －1.于是a 1=1，a 2=31a 1，a 3=42a 2，…a n －1=n n －2a n －2，a n =n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n =n （n ＋1）2.显然，当n=1时也满足上式.综上可知，{a n }的通项公式a n =n （n ＋1）2.20.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2=a 1＋d ，a 3=a 1＋2d.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n =2－3(n －1)=－3n ＋5或a n =－4＋3(n －1)=3n －7.故a n =－3n ＋5或a n =3n －7.(2)当a n =－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4，2，不成等比数列； 当a n =3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1，2，－4，成等比数列，满足条件.故|a n |=|3n －7|=⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n=1时，S 1=|a 1|=4；当n=2时，S 2=|a 1|＋|a 2|=5；当n ≥3时，S n =S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |=5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) =5＋（n －2）[2＋（3n －7）]2=32n 2－112n ＋10.当n=2时，满足此式，当n=1时，不满足此式.综上，S n =⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2.21.解：(1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4=a 2＋a 5=22.又a 3·a 4=117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117=0的两实根，又公差d>0，所以a 3<a 4，所以a 3=9，a 4=13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n =4n －3.(2)由(1)知a 1=1，d=4，所以S n =na 1＋n （n －1）2×d=2n 2－n ，所以b n =S n n ＋c =2n 2－n n ＋c ，所以b 1=11＋c ，b 2=62＋c ，b 3=153＋c，其中c ≠0.因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2=b 1＋b 3，即62＋c ×2=11＋c ＋153＋c ，所以2c 2＋c=0，所以c=－12或c=0(舍去)，故c=－12.即存在一个非零实数c=－12，使数列{b n }为等差数列.22.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d=a 4－a 13=12－33=3，所以a n =a 1＋(n －1)d=3n(n=1，2，…).设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3=b 4－a 4b 1－a 1=20－124－3=8，解得q=2.所以b n －a n =(b 1－a 1)q n －1=2n －1.从而b n =3n ＋2n －1(n=1，2，…).(2)由(1)知b n =3n ＋2n －1(n=1，2，…).数列{3n}的前n 项和为32n(n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1－2n1－2=2n －1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n(n ＋1)＋2n－1.23.解：(1)因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n =(n －1)S n ＋2n(n ∈N *)，所以当n=1时，a 1=2×1=2； 当n=2时，a 1＋2a 2=(a 1＋a 2)＋4，所以a 2=4；当n=3时，a 1＋2a 2＋3a 3=2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，所以a 3=8.综上，a 2=4，a 3=8.(2)证明：因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n =(n －1)S n ＋2n(n ∈N *).①所以当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1=(n －2)S n －1＋2(n －1).②①－②，得na n =(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2=n(S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2=na n －S n ＋2S n －1＋2. 所以－S n ＋2S n －1＋2=0，即S n =2S n －1＋2，所以S n ＋2=2(S n －1＋2). 因为S 1＋2=4≠0，所以S n －1＋2≠0，所以S n ＋2S n －1＋2=2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列.24.解：(1)因为6S n =3n ＋1＋a(n ∈N *)，所以当n=1时，6S 1=6a 1=9＋a ，当n ≥2时，6a n =6(S n －S n －1)=2×3n ，即a n =3n －1，所以{a n }是等比数列，所以a 1=1，则9＋a=6，得a=－3，所以数列{a n }的通项公式为a n =3n －1(n ∈N *).(2)由(1)得b n =(1－an)log 3(a 2n ·a n ＋1)=(3n －2)(3n ＋1)， 所以T n =1b 1＋1b 2＋…＋1b n =11×4＋14×7＋…＋1（3n －2）（3n ＋1）=13(1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1)=n3n ＋1. 25.解：(1)当n=1时，a 1=2.当n ≥2时，S n －1=2a n －1－2， 所以a n =S n －S n －1=2a n －2－(2a n －1－2)，即a n a n －1=2(n ≥2，n ∈N *)， 所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n =2n(n ∈N *). (2)令b n =n ＋1a n =n ＋12n ，则T n =221＋322＋423＋…＋n ＋12n ，①①×12，得12T n =222＋323＋424＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，②①－②，得12T n =32－n ＋32n ＋1，整理得T n =3－n ＋32n .26.解：(1)由a 2n ＋2a n =4S n ＋3，①可知a 2n ＋1＋2a n ＋1=4S n ＋1＋3.② ②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )=4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )=a 2n ＋1－a 2n =(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n ).由a n >0，得a n ＋1－a n =2.又a 21＋2a 1=4a 1＋3，解得a 1=－1(舍去)或a 1=3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n =2n ＋1. (2)由a n =2n ＋1可知b n =1a n a n ＋1=1（2n ＋1）（2n ＋3）=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =b 1＋b 2＋…＋b n =12[⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3]=n 3（2n ＋3）.。
