初三春季讲义第十一讲

第十一讲 四边形(一)一、课标下复习指南1．多边形(1)多边形的定义：在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．(2)多边形的性质：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°；②任意多边形的外角和等于360°；※③n 边形的对角线的条数等于).3(21 n n2．四边形的分类3．平行四边形(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．(2)平行四边形的性质：①两组对边分别平行且相等；②两组对角分别相等；③两条对角线互相平分；④平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心．(3)平行四边形的判定：①根据平行四边形的定义判定；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．矩形(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．(2)矩形的性质：①具有平行四边形的所有性质；②四个角都是直角；③两条对角线相等；④矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的两条对称轴是过每组对边中点的直线．(3)矩形的判定：①根据矩形的定义判定；②有三个角是直角的四边形是矩形；③两条对角线相等的平行四边形是矩形．5．菱形(1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)菱形的性质：①具有平行四边形的所有性质；②四条边都相等；③两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；④菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的两条对称轴是两条对角线所在的直线．(3)菱形的判定：①根据菱形的定义判定②四条边都相等的四边形是菱形③两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形．6．正方形(1)正方形的定义：有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形．(2)正方形的性质具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．它既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有四条对称轴．(3)正方形的判定：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形．二、例题分析例1 已知：如图11－1，BD 为□ABCD 的对角线，O 为BD 的中点，EF ⊥BD 于点O ，与AD ，BC 分别交于点E ，F ．求证：DE ＝DF ．分析 因为BD ⊥EF 于点O ，所以欲证DE ＝DF ，只要证EO ＝FO ；另外对于△DEF ，欲证DE ＝DF ，只要证∠DEF ＝∠DFE ．说明 (1)请总结证法一及证法二的基本思路和方法，想一想，还可以怎么证?(2)如图，在例1的条件下，若连接BE ，则四边形EBFD 是怎样的四边形?(3)如图，在例1的条件下，若BD ＝24cm ，EF ＝10cm ，FC ＝2cm ，试计算□ABCD 的面积．例2 如图11－3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＞CD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C ′处，折痕DE 交BC 于点E ，连接C ′E ．(1)求证：四边形CDC ′E 是菱形； (2)若BC ＝CD ＋AD ，试判断四边形ABED 的形状，并加以证明．分析 证明四边形CDC ′E 是菱形的关键是证明CD ＝CE ．例3已知：如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，∠EAC＝15°．(1)试比较线段BO与BE的大小，并证明你的结论；(2)若连接OE，求∠BOE．说明(1)在解答第(1)小题时，一定要先写出结论，然后再说明理由，在解答第(2)小题时，一定要注意第(1)、(2)小题之间是否有必然联系；(2)若例4再添加AB＝4 cm这个条件，请想一想，怎样求出E点到对角线AC的距离．例5如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD的中点，AF，DE相交于点G，则可得结论：①AF＝DE；②AF⊥DE(不需要证明)(1)如图11－7，若点E，F不是正方形ABCD的边BC，CD的中点，但满足CE＝DF，则上面的结论①、②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”)(2)如图11－8，若点E，F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE＝DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．11－7 11－8 图11－9(3)如图11－9，在(2)的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种?并写出证明过程．说明“中点四边形”是一个重要的知识点．考生应会证明“任意四边形的中点四边形是平行四边形”；“对角线相等的四边形的中点四边形是菱形”；“对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形”．另外，请掌握解答这类问题时，书写表达如何更加规范．例6如图11－10，正方形ABCD中，M为AB边上一点，E为AB延长线上一点，DM⊥MN于M，MN交∠CBE的平分线于N．求证：DM＝MN．分析证线段相等，可考虑构造三角形全等或集中在一个三角形中，利用“等角对等边”来证．说明(1)将“M在AB上”的条件改为“M在AB的延长线上”，其他条件不变，DM＝MN的结论还成立吗?(2)若将正方形推广到任意正n边形，需将条件相应地做怎样的改变，仍有类似的线段相等的结论成立?三、课标下新题展示例7 如图11－12所示，在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝20，两条对角线相交于点O，以OB，OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1，再以A1B1，A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以OB1，O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1……，依此类推．(1)求矩形ABCD的面积；(2)求第1个平行四边形OBB1C、第2个平行四边形A1B1C1C和第6个平行四边形的面积．例8 在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N．(1)如图11－13，当点M在AB边上时，连接BN．①求证：△ABN≌△ADN；②若∠ABC＝60°，AM＝4，∠ABN＝α，求点M到AD的距离及tanα的值；(2)如图11－14，若∠ABC＝90°，记点M运动所经过的路程为x(6≤x≤12)．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．四、课标考试达标题(一)选择题1．如图11－16，在□ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有( )．A．7个B．8个C．9个D．11个2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )．A．AC＝BD，AB CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC3．如图11－17，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有( )．A．1条B．2条C．3条D．4条4．在□ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E 处，若AE过BC的中点，则□ABCD面积为( )．A．48 B．612D．210C．7245．如图11－18，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( )．A．OE＝OF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠ABE＝∠CDF6．如图11－19，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD＝6cm，则OE的长为( )．A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm(二)填空题7．若菱形两条对角线长分别为10和24，则它的边长为______，面积______．8．如图11－20，把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到∠AOB′＝70°，则∠B′OG＝______．11－20 图11－21 图11－229．如图11－21，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，若P是对角线AC上任一点(点P不与点A，C重合)，且PE ∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是______．10．如图11－22，在平面直角坐标系中，若□ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是______．(三)解答题11．已知：如图11－23，E，F是□ABCD的对角线BD上的两点，BE＝DF，点G，H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE，EH，HF，FG．求证：四边形GEHF是平行四边形．12．已知：如图11－24，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．(1)求证：D是BC的中点；(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．13．已知：如图11－25，点E、F分别是正方形ABCD的对边AD，BC的中点，将三角尺的直角顶点与E点重合，其一边经过B点，另一边与DC交于G点，现将三角尺沿EF平移，如图11－25所示，能否使所截得的四边形PMCN的面积为正方形ABCD面积的一半?如果可以，求平移的距离EP(若正方形ABCD的边长为a)．。

Unit 11 Sad movies make me cry.知识点梳理Section A1. Which would you like to go to? 你想要去哪个？【解析】would like作"想要”解时，相当于want,主语是第一人称时，使用would lik e要多于使用want,这是因为wouldlike语气较委婉，want和would like 一样，可以直接接名词和不定式作宾语，也可以接" sb. +不定式”结构。

2. Listen and fill in the blanks . 听录音并填写表格。

【解析】fill in意为"填写；填充”，多接from,details,hole,crack等名词作宾语，作"填写”解时，美式英语中也用fill out o3. I ' d rather go to Blue Ocean because I like to listen quiet music while I ' m eating.我宁愿去蓝色海洋(餐厅)，因为我吃饭的时候喜欢听安静的音乐。

【解析】这是一个含有由because引导的原因状语从句的复合句，而从句里又有一个while引导的时间状语从句。

|本句中的I'd rather为I would rather的缩写形式，would rather后接动词原形，意为"更喜欢・••，宁愿•••”。

would rather 没有人称和数的变化，其否定形式为would rather not。

【拓展】表示"宁愿做・••也不愿做• ••”用would rather do...than do...,表示在两者之间进行选择，相当于preferto do...rather tha n do...。

【辨析】prefer,would rather(1)prefer是一个实义动词，后常接动词不定式，表示一个具体的特定行为，意为"更喜欢”。

华兴教育春季班初三语文讲义（十一）预测2013年中考：以词为主，篇目倾向于课内。

可能性最大的是《破阵子》（辛弃疾）初中六册词目录七上：《浣溪沙》（晏殊）（(04年已考)《如梦令》（李清照）七下：（无）八上：《浣溪沙》（苏轼）（山下兰芽短浸溪...）八下：《水调歌头》（苏轼）《苏幕遮》（范仲淹）九上：《望江南》（温庭筠）（不作要求）《渔家傲。

秋思》（范仲淹）《江城子.密州出猎》（2010年已考）（苏轼）《武陵春》（李清照）（07年已考）《破阵子》（辛弃疾）课外：《卜算子.咏梅》（陆游）《破阵子》（燕子来时新社）（晏殊）《浣溪沙》（簌簌衣巾落枣花）（苏轼）《醉花阴》（李清照）《南乡子。

京口北固亭怀古》（辛弃疾）九下：《卜算子.送鲍浩然之浙东》（王观）考点阶梯训练（注：中考已考“词”不再做复习要求）一、（P176）如梦令（李清照）常记溪亭日暮，沉醉不知归路。

兴尽晚回舟，误入藕花深处。

争渡，争渡，惊起一滩鸥鹭。

（1）解释词语：藕花：争渡：（2）.说说《如梦令》“惊起一滩鸥鹭”一句中“惊”字的妙处。

（3）这首词是词人南渡前的作品，表现出词人怎样的情感？二、浣溪沙苏轼游蕲水清泉寺，寺临兰溪，溪水西流。

山下兰芽短浸溪，松间沙路净无泥,潇潇暮雨子规啼。

谁道人生无再少？门前流水尚能西！休将白发唱黄鸡。

解释词语：潇潇：拟声词，这里形容雨声唱黄鸡上片写出了怎样的情景？全词表现了词人怎样的情感？三、水调歌头苏轼丙辰中秋，欢饮达旦，大醉，作此篇，兼怀子由。

明月几时有，把酒问青天。

不知天上宫阙，今夕是何年？我欲乘风归去，又恐琼楼玉宇，高处不胜寒。

起舞弄清影，何似在人间！转朱阁，低绮户，照无眠。

不应有恨，何事长向别时圆？人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全。

但愿人长久，千里共婵娟。

（1）“此事”指的是“婵娟”指的是（2）“但愿人长久，千里共婵娟”是什么意思？表达了作者怎样的感情？（3）.这首词开篇发问，起笔不凡。

画横线的句子包含了作者怎样的情思?(2分)（4）这首词，历来被认为是中秋词里最好的一首，《苕溪渔隐丛话》说:“中秋词，自东坡《水调歌头》一出，余词尽废。

九年级11课知识点九年级的学习生涯已经进入了尾声，第11课的知识点将是我们学习的最后一批内容。

在这个课程中，我们将进一步巩固和拓展我们对各个学科的了解。

本文将介绍九年级第11课的知识点，帮助你全面理解并掌握这些内容。

1. 语文知识点第一部分：古文阅读在这一章节中，我们将学习如何阅读和理解古代文学作品。

这包括如何理解古文中的词义、句法结构以及修辞手法等。

我们将通过阅读古代名著和文言文作品，提高我们的古文阅读能力。

第二部分：现代文阅读在这一章节中，我们将学习现代文学作品的阅读和理解。

我们将分析现代文学作品的主题、结构以及语言运用等。

通过阅读不同类型的现代文学作品，我们将培养我们的文学鉴赏能力。

2. 数学知识点第一部分：平面几何在这一章节中，我们将学习平面几何的基本概念和性质。

包括：点、直线、射线、线段的定义和性质，平行线和垂直线的判定方法等。

我们将通过解决几何问题来提高我们的几何推理能力。

第二部分：立体几何在这一章节中，我们将学习立体几何的基本概念和性质。

包括：多面体的名称、分类和性质，平行四边形和三角形的体积计算等。

我们将通过解决立体几何问题，培养我们的空间思维能力。

3. 英语知识点第一部分：语法在这一章节中，我们将学习英语的基本语法知识。

包括：词汇的分类和用法，句子的基本结构和语序，动词时态和语态的用法等。

我们将通过阅读和写作来提高我们的语法应用能力。

第二部分：阅读理解在这一章节中，我们将学习如何阅读和理解英语文章。

包括：提取关键信息、推断意义、理解隐含信息等技巧。

我们将通过大量的阅读练习，提高我们的阅读理解能力。

4. 物理知识点第一部分：力与压力在这一章节中，我们将学习力和压力的基本概念和性质。

包括：力的三要素、力的作用效果和力的平衡条件等。

我们将通过实验和实践活动来理解和应用这些概念。

第二部分：简单机械在这一章节中，我们将学习简单机械的原理和应用。

包括：杠杆、滑轮、斜面等常见的简单机械。

我们将通过解答问题和实际操作，加深对简单机械的理解和运用。

学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数 学学科教师：授课主题 第11讲----平行线分线段成比例授课类型T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标① 掌握比例的性质及其简单应用；② 结合现实情境感受学习线段的比的必要性，借助几何直观了解线段的比和成比例线段；③ 探索并掌握基本事实“两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论；④ 进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法。

授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂一、知识框架体系搭建二、知识概念（一）线段的比如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB ：CD=m ：n ，或写成AB CD =mn ，其中AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项。

1.确定两条线段的比的关键是两条线段的长度单位要统一2.两条线段的比值是长度比，所以结果是正数，没有单位3.图上距离与实际长度的比值通常称为比例尺（二）成比例线段四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即ab ＝cd ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．1. 四条线段a ，b ，c ，d 成比例，只能记作a b ＝cd 或a ：b=c ：d ，不能写成其他形式。

四条线段成比例时，一定要将这四条线段按顺序写出。

2.判断给定的四条线段是否成比例的方法（1）排：先将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好； （2）算：分别求出前两条线段的长度之比与后两条线段的长度之比； （3）判：若这两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是。

（三）比例的性质1.基本性质：如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc ；如果a b ＝bc ，那么b 2=a c ，b 叫做a 、 c 的比例中项2.合分比性质：如果a b ＝c d ，那么a ±b b ＝c ±dd3.等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝mn (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.（四）平行线分线段成比例定理1.两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例。

第11《春》导学、例析、训练立体教学案（建议安排3时）[学法导引]本文是朱自清先生的写景名篇。

文中描绘了大地春回，生机勃发的动人景象，赞美了春的活力带给人以希望和力量，启发人们要珍惜春天，积极向上。

本文围绕“春”字，写了盼春、绘春、颂春三个部分。

这三部分的顺序和作者思想感情的发展是一致的：春天尚未来临，热切盼望她到来；待她降临，则尽情欣赏大地回春的美景；最后以赞美作结，用三个比喻句颂扬春天，深化题旨。

结构体现作者的思路。

中，作者抓住春天景物的特征，着力描绘了五幅春景图，富有诗情画意。

学习中，要体会这准确、生动的景物描写以及其中所蕴含的作者的感情，还要体会比喻、拟人等修辞手法的运用。

此外，应有感情地反复朗读文，在朗读中领会作者对春天的喜爱、赞美之情，品味生动形象、富有表现力和感染力的语言。

[典题例析]例题：阅读文最后三段，完成下列问题。

、结尾连用了三个比喻来形容春天，它们分别突出了春天景象的什么特点？有什么深刻含义？2、三个比喻的顺序能否颠倒？为什么？3、如果把三个比喻合成一段，表达效果有什么样的影响？4、请模仿其句式为“秋”写三句话。

解析：第1题考查对内容的理解。

第2题考查的写作顺序，作者是依据春天成长的顺序来写的。

第3题考查对语言表现力的认识。

第4题则须先分析原文的句式特点：三个比喻形成一组排比，分别写出了春的三个特点，再由此进行有针对性的摹仿。

参考答案：1、三个比喻分别突出了春天景象的新、美、力的特点。

含义：三个比喻形象地点明了春天的成长过程，赞美了春天蓬勃的生命力，表达了在春天里奋发向上、创造美好生活的积极进取的精神。

2、不能颠倒。

因为它们是按照喻体的成长顺序排列的，从“娃娃”到“小姑娘”到“青年”，形象点明了春天的成长过程。

最后一个比喻表达了作者追求美好未来的强烈愿望。

3、三个比喻独立成段，起突出、强调的作用。

若合成一段，它们各自表达出的春的特点就不鲜明，因此会削弱语言的表现力。

4、略。

第十一讲：《二次函数》全章复习与巩固（培优）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a ≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1. 已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在x 轴上截得的线段长为6，求抛物线的解析式．【思路点拨】已知抛物线的顶点是(3，-2)，可设抛物线解析式为顶点式，即2(3)2y a x =--，也就是2692y ax ax a =-+-，再由在x 轴上截得的线段长为6建立方程求出a ．也可根据抛物线的对称轴是直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，则与x 轴的交点为(0，0)和(6，0)，因此可设y ＝a(x-0)·(x-6)．【答案与解析】解法一：∵ 抛物线的顶点是(3，-2)，且与x 轴有交点，∴ 设解析式为y ＝a(x-3)2-2(a ＞0)，即2692y ax ax a =-+-，设抛物线与x 轴两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0)．则12||6x x -==， 解得29a =．∴ 抛物线的解析式为22(3)29y x =--，即22493y x x =-． 解法二：∵ 抛物线的顶点为(3，-2)， ∴ 设抛物线解析式为2(3)2y a x =--．∵ 对称轴为直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，∴ 抛物线与x 轴的交点为(0，0)，(6，0)．把(0，0)代入关系式，得0＝a(0-3)2-2，解得29a =，∴ 抛物线的解析式为22(3)29y x =--， 即22493y x x =-． 解法三：求出抛物线与x 轴的两个交点的坐标(0，0)，(6，0)设抛物线解析式为y ＝a(x-0)(x-6)，把(3，-2)代入得3(36)2a ⨯⨯-=-，解得29a =． ∴ 抛物线的解析式为2(6)9y x x =-，即22493y x x =-． 【点评】求抛物线解析式时，根据题目条件，恰当选择关系式，可使问题变得简单．举一反三：【变式】已知抛物线2442y mx mx m =-+-（m 是常数）． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若155m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式． 【答案】（1）依题意，得0≠m ，∴2242=--=-=mm a b x ， m m m m a b ac y 442444422)()(---=-=241681622-=--=mm m m ∴抛物线的顶点坐标为)2,2(-．（2）∵抛物线与x 轴交于整数点，∴02442=-+-m mx mx 的根是整数．∴2x ==．∵0m >，∴2x =±2m是完全平方数． ∵155m <<， ∴22105m <<，∴2m取1，4，9，2x ==．当21m =时，2=m ；当24m =时，21=m ；当29m =时，29m =． ∴m 的值为2或21或29． ∴抛物线的解析式为6822+-=x x y 或x x y 2212-=或22810999y x x =--．类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2. （2016•鄂州）如图，二次函数y=ax 2+bx +c=0（a ≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x=2，且OA=OC ，则下列结论：①abc ＞0；②9a +3b +c ＜0；③c ＞﹣1；④关于x 的方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）有一个根为﹣ 其中正确的结论个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【思路点拨】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y 轴的交点可分别判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y ＜0，可判断②；由OA=OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac 2﹣bc +c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．【答案】C ；【解析】解：由图象开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图象可知当x=3时，y ＞0，∴9a +3b +c ＞，故②错误；由图象可知OA ＜1，∵OA=OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，∴c ＞﹣1，故③正确；假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，整理可得ac ﹣b +1=0，两边同时乘c 可得ac 2﹣bc +c=0，即方程有一个根为x=﹣c，由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根，∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个，故选C．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的OA=OC，是解题的关键．类型三、数形结合3.（2015•黔东南州）如图，已知二次函数y1=﹣x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b．（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；（2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．【答案与解析】解：（1）将A点坐标代入y1，得﹣16+13+c=0．解得c=3，二次函数y1的解析式为y=﹣x2+x+3，B点坐标为（0，3）；（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4，∴x＜0或x＞4时，y1＜y2；（3）直线AB的解析式为y=﹣x+3，AB的中点为（2，）AB的垂直平分线为y=x﹣当x=0时，y=﹣，P1（0，﹣），当y=0时，x=，P2（，0），综上所述：P1（0，﹣），P2（，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形．【点评】本题考察了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用函数与不等式的关系求不等式的解集；（3）利用线段垂直平分线的性质，利用直线AB得出AB的垂直平分线是解题关键．类型四、函数与方程4.（2015•本溪模拟）某体育用品店购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≧60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式；（2）当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？【答案与解析】解：（1）销售单价为x元，则销售量减少×20，故销售量为y=240﹣×20=﹣4x+480（x≥60）；（2）根据题意可得，x（﹣4x+480）=14000，解得x1=70，x2=50（不合题意舍去），故当销售价为70元时，月销售额为14000元；（3）设一个月内获得的利润为w元，根据题意得：w=（x﹣40）（﹣4x+480）=﹣4x2+640x﹣19200=﹣4（x﹣80）2+6400．当x=80时，w的最大值为6400．故当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，考查了数学建模思想方法，关键是对题意要正确理解. 举一反三：【变式1】抛物线与直线只有一个公共点，则b=________．【答案】由题意得把②代入①得.∵抛物线与直线只有一个公共点，∴方程必有两个相等的实数根，∴，∴．【变式2】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程的两个根；(2)写出不等式的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【答案】(1)(2).(3).(4)方法1：方程的解，即为方程组中x的解也就是抛物线与直线的交点的横坐标，由图象可看出，当时，直线与抛物线有两个交点，∴．方法2：∵二次函数的图象过(1，0)，(3，0)，(2，2)三点，∴∴∴，即，∴.∵方程有两个不相等的实数根，∴，∴. 类型五、分类讨论5．若函数22(2)2(2)x xyx x⎧+≤=⎨>⎩，则当函数值y＝8时，自变量x的值是( )．A．6 B．4 C．6或4 D．4或6-【思路点拨】此题函数是以分段函数的形式给出的，当y＝8时，求x的值时，注意分类讨论. 【答案】D；【解析】由题意知，当228x +=时，6x =±．而62>，∴ 6x =-．6x =(舍去)．当2x ＝8时，x ＝4．综合上知，选D ．【点评】正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．类型六、与二次函数有关的动点问题6．如图所示，在直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，(0，3)，过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴为直线l ，D 为对称轴l 上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)求当AD+CD 最小时点D 的坐标； (3)以点A 为圆心，以AD 为半径作⊙A ． ①证明：当AD+CD 最小时，直线BD 与⊙A 相切； ②写出直线BD 与⊙A 相切时，D 点的另一个坐标． 【思路点拨】根据A 、B 两点在x 轴上，可设交点式求解析式．要AD+CD 最小，根据两点之间线段最短，可判定D 点位置，从而求出点D 坐标．要让BD 与⊙A 相切，只需证AD ⊥BD ，由圆的对称性， 可直接写出D 点另一个坐标．【答案与解析】(1)设抛物线的解析式为y ＝a(x+1)(x-3)． 将(0，3)代入上式，得3＝a(0+1)(0-3)． 解得a ＝-1．∴ 抛物线的解析式为y ＝-(x+1)(x-3)， 即223y x x =-++．(2)连接BC ，交直线l 于点D ′．∵ 点B 与点A 关于直线l 对称，∴ AD ′＝BD ′． ∴ AD ′+CD ′＝BD ′+CD ′＝BC ．由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时AD ′+CD ′最小，点D ′的位置即为所求． 设直线BC 的解析式为y ＝kx+b ，由直线BC 过点(3，0)，(0，3)，得03,3.k b b =+⎧⎨=⎩解这个方程组，得1,3.k b =-⎧⎨=⎩∴ 直线BC 的解析式为y ＝-x+3． ∵ 对称轴l 为x ＝1．将x ＝1代入y ＝-x+3，得y ＝-1+3＝2． ∴ 点D 的坐标为(1，2)．(3)①连接AD ．设直线l 与x 轴的交点为点E ．由(2)知：当AD+CD 最小时，点D 的坐标为(1，2)． ∵ DE ＝AE ＝BE ＝2，∴ ∠DAB ＝∠DBA ＝45°， ∴ ∠ADB ＝90°． ∴ AD ⊥BD ． ∴ BD 与⊙A 相切． ②(1，-2)．【点评】动点问题分单点运动和双点运动，是中考的热点问题，在运动变化中发展空间想象能力和提高综合分析问题的能力，解决此类题要“以静制动”，即把动态问题变为静态的问题去解决，解题时用运动的眼光去观察研究问题，挖掘运动变化过程中的不变量、不变关系．【巩固练习】 一、选择题1．已知抛物线2:310C y x x =+-，将抛物线C 平移得到抛物线C '．若两条抛物线C 、C '关于直线x ＝1对称．则下列平移方法中，正确的是（ ）． A ．将抛物线C 向右平移52个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位 C ．将抛的线C 向右平移5个单位 D ．将抛物线C 向右平移6个单位2．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a-2b+c ，2a+b ，2a-b 中，其值大于0的个数为( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列关系式不正确的是( )． A ．0a < B ．abc ＞0 C ．a+b+c ＞0 D ．240b ac ->4．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是( )A ．2(1)2y x =-++ B ．2(1)4y x =--+ C ．2(1)2y x =--+ D ．2(1)4y x =-++ 5．如图所示，半圆O 的直径AB ＝4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM ＝x ，则y 关于x 的函数关系式是( )． A ．214y x x =+ B ．214y x x =-+ C ．214y x x =-- D ．214y x x =-第5题 第6题6．如图所示，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)和(0，3)； 小明说：a ＝1，c=3；小颖说：抛物线被x 轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有( )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．已知一次函数y ax b =+的图象过点(-2，1)，则关于抛物线23y ax bx =-+的三条叙述： ①过定点(2，1)；②对称轴可以是直线x ＝l ；③当a ＜0时，其顶点的纵坐标的最小值为3． 其中所有正确叙述的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 8．（2016•梧州）如图所示，抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （1，0），直线x=﹣0.5与此抛物线交于点C ，与x 轴交于点M ，在直线上取点D ，使MD=MC ，连接AC 、BC 、AD 、BD ，某同学根据图象写出下列结论： ①a ﹣b=0；②当﹣2＜x ＜1时，y ＞0； ③四边形ACBD 是菱形；④9a ﹣3b +c ＞0你认为其中正确的是（ ）A ．②③④B ．①②④C ．①③④D ．①②③ 二、填空题9．由抛物线y ＝x 2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式为 . 10．已知一元二次方程230x bx +-=的一根为-3．在二次函数y=x 2+bx-3的图象上有三点14,5y ⎛⎫-⎪⎝⎭、25,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,6y ⎛⎫⎪⎝⎭，y 1、y 2、y 3、的大小关系是 . 11．如图所示，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线2112y x =-上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为________．第11题 第13题12．（2014•义乌市校级模拟）一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y=﹣2x 2相同，试写出这个函数解析式 ．13．已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当x ＝1和x ＝3时，函数值相等；③4a+b ＝0；④当y ＝-2时，x 的值只能取0，其中正确的有 .（填序号）14．已知抛物线的顶点为125,24⎛⎫-⎪⎝⎭，与x 轴交于A 、B 两点，在x 轴下方与x 轴距离为4的点M 在抛物线上，且10AMB S =△，则点M 的坐标为 ．15．已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a+b ＞m(am+b)，(m ≠l 的实数)．其中正确的结论有_____ ___(只填序号)．第15题 第16题16．如图所示，抛物线212y x =-+向右平移1个单位得到抛物线y 2．回答下列问题：(1)抛物线y 2的顶点坐标________．(2)阴影部分的面积S ＝________．(3)若再将抛物线y 2绕原点O 旋转180°得到抛物线y 3，则抛物线y 3的开口方向________， 顶点坐标________．三、解答题 17．（2015•南通）某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x 件时，该网店从中获利y 元． （1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？18．如图所示，已知经过原点的抛物线224y x x =-+与x 轴的另一交点为A ，现将它向右平移m(m ＞0)个单位，所得抛物线与x 轴交于C 、D 两点，与原抛物线交于点P ． (1)求点A 的坐标，并判断△PCA 存在时它的形状(不要求说理)；(2)在x 轴上是否存在两条相等的线段?若存在，请一一找出，并写出它们的长度(可用含m 的式子表示)；若不存在，请说明理由；(3)设△PCD 的面积为S ，求S 关于m 的关系式．19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)三点． (1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝-x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．20. （2016•菏泽）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】22349:31024C y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，∴ 其顶点坐标为349,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设C '顶点坐标为049,4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由题意得03212x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=， ∴ 072x =，∴ C '的解析式为274924y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．由234924y x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭到274924y x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭需向右平移5个单位，因此选C ．2.【答案】A ；【解析】由图象知，a ＜0，c ＜0，012ba<-<， ∴ b ＞0，ac ＞0，∴ 2a-b ＜0． 又对称轴12ba-<，即2a+b ＜0． 当x ＝1时，a+b+c ＞0；当x ＝-2时，4a-2b+c ＜0． 综上知选A ． 3.【答案】C ；【解析】由抛物线开口向下知a ＜0，由图象知c ＞0，02ba-<，b ＜0，即abc ＞0，又抛物线与x 轴有两个交点，所以240b ac ->．4.【答案】B ；【解析】抛物线2223(1)2y x x x =++=++，其顶点(-1，2)绕点(0，3)旋转180°后坐标为(1，4)，开口向下．∴ 旋转后的抛物线解析式为2(1)4y x =--+．5.【答案】B ；【解析】连接O 1M 、O 1O ，易知两圆切点在直线OO 1上，线段OO 1＝OA-y ＝2-y ，O 1M ＝y ，OM ＝OA-AM ＝2-x ．由勾股定理得(2-y)2＝y 2+(2-x)2，故214y x x =-+． 6.【答案】C ；【解析】由小华的条件，抛物线过(3，0)与(1，0)两点，则对称轴为x ＝2；由小彬的条件，抛物线过点(4，3)又过(0，3)点，∴ 对称轴为直线x ＝2；由小明的条件a ＝1，c=3,得到关系式为23y x bx =++，过点(1，0)得b ＝-4，对称轴为4221x -==⨯；由小颖的条件抛物线被x 轴截得的线段长为2，另一交点可能是(3，0)或(-1，0)，当另一交点为(-1，0)时，对称轴 不是x ＝2．所以小颖说的不对.故选C.7．【答案】C ；【解析】①若过定点(2，1)，则有4231a b -+=．整理、化简，得-2a+b ＝1，与题设隐含条件相符；②若对称轴是直线x ＝1，这时12ba--=，2a-b ＝0，与题设隐含条件不相符； ③当a ＜0时，抛物线开口向下，这时顶点的纵坐标为2243()344a b b y a a ⨯⨯--==-．由于20b ≥，0a <．∴ 204b a-≥．∴ 3y =最小． 综合以上分析，正确叙述的个数为2，应选C ．8.【答案】D ．【解析】①∵抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （1，0）， ∴该抛物线的对称轴为x=﹣=﹣0.5，∴a=b ，a ﹣b=0，①正确；②∵抛物线开口向下，且抛物线与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （1，0）， ∴当﹣2＜x ＜1时，y ＞0，②正确； ③∵点A 、B 关于x=0.5对称， ∴AM=BM ，又∵MC=MD ，且CD ⊥AB ，∴四边形ACBD 是菱形，③正确； ④当x=﹣3时，y ＜0，即y=9a ﹣3b +c ＜0，④错误．综上可知：正确的结论为①②③． 故选D ． 二、填空题9．【答案】y ＝(x+2)2-3；【解析】y ＝x 2的顶点为(0，0)，y ＝(x+2)2+3的顶点为(-2，-3)，将(0，0)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位可得(-2，-3)，即将抛物线y ＝x 2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到抛物线y ＝(x+2)2-3．10．【答案】y 1＜y 2＜y 3. 【解析】设x 2+bx-3＝0的另一根为x 2，则233cx a-==-g ，∴ x 2＝1， ∴ 抛物线的对称轴为3112x -+==-，开口向上时，到对称轴的距离越大函数值越大， 所以y 1＜y 3，y 1＜y 2＜y 3，也可求出b ＝2，分别求出y 1，y 2，y 3的值再比较大小．11．【答案】6,2)或(6,2)；【解析】当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的纵坐标为2，将y ＝22112y x =-得26x =，所以6x =从而圆心P 的坐标为6,2)或(6,2)．12．【答案】y=﹣2（x ﹣2）2+1或y=2（x ﹣2）2+1； 【解析】图象顶点坐标为（2，1）可以设函数解析式是y=a （x ﹣2）2+1又∵形状与抛物线y=﹣2x 2相同即二次项系数绝对值相同 则|a|=2因而解析式是：y=﹣2（x ﹣2）2+1或y=2（x ﹣2）2+1.13．【答案】②③；【解析】由图象知，抛物线与x 轴交于点(-1，0)，(5，0)，于是可确定抛物线的对称轴为1522x -+==，则22ba-=，∴ 4a+b ＝0，故③是正确的； 又∵ 抛物线开口向上，∴ a ＞0，b ＝-4a ＜0， ∴ ①是错误的；又∵1322+=，即x ＝1和x ＝3关于对称轴x ＝2对称，其函数值相等， ∴ ②是正确的；根据抛物线的对称性知，当y ＝-2时，x 的值可取0或4． ∴ ④是错误的．14．【答案】(2，-4)或(-1，-4)；【解析】∵ 1|||4|102AMB S AB =-=g g △，∴ |AB|＝5． 又∵ 抛物线的对称轴为直线12x =，∴ A 、B 两点的坐标为(2，0)和(3，0)．设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，则4209301125424a b c a b c a b c ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪++=-⎩ 解得1,1,6.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴ 抛物线的解析式为26y x x =--．当y ＝-4时，246x x -=--，∴ 220x x --=，∴ x 1＝-2，x 2＝-1． ∴ M 点坐标为(2，-4)或(-1，-4)．15．【答案】③④⑤； 【解析】由题意可知a ＜0，c ＞0，02ba->，即b ＞0，∴ abc ＜0．由图象知x ＝2在抛物线与x 轴两个交点之间，当x ＝-1时，a-b+c ＜0，∴ b ＞a+c ．当x ＝2时，4a+2b+c ＞0．又由对称性知9a+3b+c ＜0，且12b a -=，∴ 9302bb c -++<，∴ 2c ＜3b ．当x ＝1时，y a b c =++最大，而m ≠1，当x m =时，21y am bm c =++，由1y y >最大知2a b c am bm c ++>++，∴ 2()a b am bm m am b +>+=+，故③④⑤正确．16．【答案】 (1)(1，2)； (2)2； (3)向上； (-1，-2)；【解析】抛物线212y x =-+向右平移1个单位，则顶点由(0，2)移到(1，2)．利用割补法，阴影部分面积恰好为两个正方形的面积．若将抛物线y 2绕原点O 旋转180°，则抛物线y 2的顶点与点(1，2)关于原点对称．三、解答题17.【答案与解析】 解：（1）y=，（2）在0≤x≤10时，y=100x ，当x=10时，y 有最大值1000；10＜x≤30时，y=﹣3x 2+130x ， 当x=21时，y 取得最大值，∵x 为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y 有最大值1408．∵1408＞1000，∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多．18.【答案与解析】(1)先令2240x x -+=，得x 1＝0，x 2＝2． ∴ 点A 的坐标为(2，0)．△PCA 是等腰三角形． (2)存在OC ＝AD ＝m ，OA ＝CD ＝2．(3)当0＜m ＜2时，如图所示，作PH ⊥x 轴于H ，设(,)P P P x y ． ∵ A(2，0)，C(m ，0)，∴ AC ＝2-m ，∴ 222AC m CH -==．∴ 2222P m m x OH m -+==+=． 把22P m x +=代入224y x x =-+，得2122P y m =-+．∵ CD ＝OA ＝2，∴ 221111222(02)2222S CD HP m m m ⎛⎫==⨯⨯-+=-+<< ⎪⎝⎭g ． 当m ＞2时，如图所示，作PH ⊥x 轴于H ，设(,)P P P x y ．∵ A(2，0)，C(m ，0)，∴ AC ＝m-2．∴ 22m AH -=． ∴ 22222P m m x OH -+==+=． 把22P m x +=代入224y x x =-+，得2122P y m =-+．。