2016春季班超常班第4讲讲义

方程7级二元一次方程组的实际应用方程8级分式方程方程9级一元二次方程认识初步寒假班第一讲秋季班第十讲世纪画作漫画释义满分晋级阶梯4二元一次方程组的实际应用编写思路：本讲主要还是训练学生寻找题目中等量关系的能力。

当题目中涉及多个未知量及多个等量关系的时候，可以设多元，通过列方程组、解方程组解答。

每个例题，涉及一个实际问题，让学生充分掌握和运用各类实际问题中量与量的关系列方程。

解实际问题的一般步骤：⑴ 审题，分析题目中的已知和未知； ⑵ 找等量关系（画图法或列表法等）； ⑶ 设未知数列方程组； ⑷ 求解方程组；⑸ 检验（包括代入原方程组检验和是否符合题意的检验）； ⑹ 写出答案．【引例】 A 、B 两地相距36千米，两人步行，甲从A 到B ，乙从B 到A .两人同时出发，相向而行，4小时后相遇；若行6小时，此时甲剩下的路程是乙剩下的路程的2倍，求两人的速度. 【分析】设甲每小时行x 千米，乙每小时行y千米，那么，其有关的等量关系可用下面的线段图表示例题精讲思路导航知识互联网题型一：二元一次方程组的应用（如图所示）【解析】 设甲的速度是x 千米/时，乙的速度是y 千米/时，根据题意得44363662(366)x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 解方程组得45x y =⎧⎨=⎩. 答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时.1．工程问题【例1】 ⑴某蔬菜公司收购某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨。

现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排x 天精加工，y 天粗加工. 为解决这个问题，所列方程组正确的是（ ）A ．14016615x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．14061615x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．15166140x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．15616140x y x y +=⎧⎨+=⎩⑵2012年8月中旬，某市受到14号台风的影响后，部分街道路面积水比较严重．为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200m 的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工．若甲、乙两队合作需12天完成此工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工．问甲、乙两队单独完成此工程各需多少天？【解析】 ⑴D⑵设甲、乙两队每天排水量分别为，x y m ，则 121212008181200x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得6040x y =⎧⎨=⎩甲：12006020÷=（天）； 乙：12004030÷=（天） 另解：设甲、乙两队单独完成此工程各需，x y 天，则 111128181x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2030x y =⎧⎨=⎩ (2)(1)4x4yAB甲乙 C AC+CB=ABBC=2AD乙甲 B ADC6x 36-6x 甲剩下的乙剩下的36-6y 6y典题精练答：甲队单独完成此工程需要20天，乙队需要30天．【点评】第一种方法虽然不是直接法但是好理解也容易求解，第二种方法直接设元但实际是分式方程，学生不太好求.教师可两种方法都介绍.2．图形问题【例2】 ⒈小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m ），解答下列问题： ⑴ 写出用含x 、y 的代数式表示的地面总面积；⑵ 已知客厅面积比卫生间面积多221m ，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺21m 地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？【解析】 ⑴ 6218S x y =++；⑵ 62216218152x y x y y -=⎧⎨++=⨯⎩ 解得432xy =⎧⎪⎨=⎪⎩．总费用为：38064218804536002⎛⎫⨯⨯+⨯+=⨯= ⎪⎝⎭元答：铺地砖的总费用为3600元．2.如图所示，矩形ABCD 的周长为14cm ，E 为AB 的中点，以A 为圆心，AE 长为半径画弧交AD 于点F ．以C 为圆心，CB 长为半径画弧交CD 于点G ．设cm AB x =，cm BC y =，当DF DG =时，求x ，y 的值．【解析】 根据题意可列方程组221412x y y x x y +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩．3．利润问题【例3】 甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50％的利润定价，乙服装按40％的利润定价．在实际出售时，应顾客要求两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？ 【解析】 设甲、乙服装的成本分别为x 元，y 元，根据题意可得()5001.5 1.40.9500157x y x y +=⎧⎪⎨+⨯-=⎪⎩解得300200x y =⎧⎨=⎩ 答：甲、乙两件服装的成本分别是300元和200元．【点评】售价=成本+利润=成本⨯（1+利润率），利润率=利润/成本．4．容积问题【例4】 第一个容器内有水49升，第二个容器有水56升．若将第二个容器内的水倒满第一个容器，第二个容器剩下的水正好是这个容器的容量的一半．若将第一个容器内的水倒满第二个容器，第一个容器剩下的水正好是这个容器的容量的三分之一．求两个容器的容量． 【解析】 设第一个容器的容量为x 升，第二个容器的容量为y 升．则卧室2236xy 卫生间厨房客厅()()156492149563x y y x⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩， 解得6384x y =⎧⎨=⎩． 答：第一个容器的容量为63升，第二个容器的容量为84升．5．方案问题【例5】 已知：用2辆A 型车和1辆B 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A 型车和2辆B 型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题：⑴1辆A 型车和1辆车B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ ⑵请你帮该物流公司设计租车方案；⑶若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费 (2012年龙岩中考题) 【解析】⑴ 设每辆A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货x 吨、y 吨，依题意列方程组得：210211x y x y +=⎧⎨+=⎩，解方程组，得：34x y =⎧⎨=⎩∴91a b =⎧⎨=⎩或54a b =⎧⎨=⎩或17a b =⎧⎨=⎩答：有3种租车方案：方案一：A 型车9辆，B 型车1辆； 方案二：A 型车5辆，B 型车4辆； 方案三：A 型车1辆，B 型车7辆．⑶ ∵A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次， ∴方案一需租金：910011201020⨯+⨯=（元） 方案二需租金：51004120980⨯+⨯=（元） 方案三需租金：11007120940⨯+⨯=（元） ∵1020980940>>∴最省钱的租车方案是方案三：A 型车1辆，B 型车7辆，最少租车费为940元．以下对图形问题进行拓展：【拓展1】在长为10m ，宽为8m 的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个完全一样的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．【解析】 设小矩形的长为xm ，宽为ycm ，由题意得：21028x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得42x y =⎧⎨=⎩答：小矩形的长为4m ，宽为2m ．【拓展2】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图左方式放置，再交换两木块的位置，按图右方式放置.测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）A ．37 cmB ．74 cmC ．75 cmD ．76 cm【分析】本题的相等关系有：桌高+长方体的长-长方体的宽=80 cm. 桌高+长方体的宽-长方体的长=70 cm.【解析】 设桌子高度为a ，木块的长为x ，宽为y ，由题意可知8070x a y y a x +-=⎧⎨+-=⎩，∴2150a =，即75a =. 故选C.【拓展3】扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4cm ，求这种药品包装盒的体积． 【解析】 设这种药品包装盒的宽为x cm ，高为y cm ，则长为（4x +）cm根据题意得22144213x y x y +=⎧⎨++=⎩解得52x y =⎧⎨=⎩，故长为9cm ，宽为5cm ，高为2cm ， 所以体积V=9×5×2=90（cm 3）． 答：这种药品包装盒的体积为90cm 3．70 cm80 cm不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是解往往有无穷个，不能唯一确定．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当已知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论．【引例】 方程314x y +=的整数解有 组，正整数解都有哪些？ 【解析】 方程的整数解有无数组.x 、y 为正整数得14300x y y =->⎧⎨>⎩解不等式组得1403y <<． 故y 只能等于1234，，，. 118524123x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩，，，．【例6】 ⑴方程210x y +=的解有 组；正整数解有 组，分别为 .⑵已知关于x 的方程36x ax -=的解为负整数，求223a a +-的值．【解析】 ⑴ 无数组，4组．x 、y 为正整数得，0051020x x y x >⎧⇒<<⎨=->⎩，故x 只能等于1234，，，，12348642，，，x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩． ⑵ 21、32、45或96． 当3a ≠时，解方程得63x a=-，因为x 为负整数，所以3123，，a -=---或6-，得对应典题精练例题精讲思路导航题型二：不定方程求解a 的值为4569，，，，代入223a a +-得21324596，，，．【例7】 已知m 为正整数，关于x ，y 的二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，求2m 的值．（丰台十二中检测题）【解析】 法一：两式相加得()310m x +=,103x m =+m 可为：2或7当2m =时，2x =，3y =． 当7m =时，1x =， 1.5y =（舍）． 所以 24m =．法二：解方程组得()101533，，x y m m ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，若，x y 为正整数，则3m +应该是10和15的公约数，推得2m =，所以24m =．【变式】已知方程组26x y mx y -=⎧⎨+=⎩有非负整数解，求正整数m 的值．【解析】 两式相加得()18m x +=，81x m =+. 故正整数m 可为1,3,7代入可得6201my m -=+≥，故3m ≤所以1,3m =.【总结】对于一元一次方程和二元一次方程（组）中出现的整数根问题：（1）解决一元一次方程的方法首先是要表示出未知数，如果是整数根，只需要分子是分母的约数，有时需要考虑符号问题；例33x m =-，若解是整数，则31,3m -=±±，解得m ；若解是正整数，则31,3m -=，从而解得m .（2）解决二元一次方程的整数解问题，基本方法是先根据题意得到关于其中一个未知数的不等式组，从而解得它的取值范围，再依次代入检验另一个未知数是否符合整数根； （3）解决二元一次方程组的整数根问题，常用方法是：①通过消元，将问题转化为解不定方程；②视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示；③利用整体思想方法求解.【例8】 一宾馆有两人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅游团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，那么共有多少种租房方案？真题赏析【解析】 设租二人间x 间，三人间y 间，四人间z 间，则234207x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，得26y z +=，∵,,x y z 均为正整数，∴有2x =，4y =，1z =；3,2,2x y z ===， 故有两种租房方案.题型一 二元一次方程组的应用 巩固练习【练习1】 为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费． （2011娄底中考） 【解析】 ⑴设“基本电价”为x 元/千瓦时，“提高电价”为y 元/千瓦时，根据题意，得80(10080)6880(12080)88x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得0.61x y =⎧⎨=⎩答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时． ⑵()800.613080198⨯+-⨯=（元）．答：预计小张家6月份上缴的电费为98元．【练习2】 小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；复习巩固爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”；小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？” 请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）．【解析】 设上月萝卜的单价是x 元/斤，排骨的单价y 元/斤，根据题意得：()()32363150%2120%45x y x y +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩．解得：215x y =⎧⎨=⎩ 这天萝卜的单价是（1+50%）x=（1+50%）×2=3， 这天排骨的单价是（1+20%）y=（1+20%）×15=18 答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤.【练习3】 如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为28cm ，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224cm ．设演员的身高为x cm ，高跷的长度为y cm ，求,x y 的值．【解析】 依题意得方程组：222428x y x y =⎧⎨+=+⎩，解得：16884x y =⎧⎨=⎩∴x 的值为168，y 的值为84.题型二 不定方程求解 巩固练习【练习4】 a 取哪些正整数值，方程组25342x y ax y a +=-⎧⎨-=⎩的解都是正整数？【解析】 解方程组得232x a y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，由解是正整数得32a -=，即1a =．【练习5】 已知关于x 、y 的方程组21230x my x y +=⎧⎨-=⎩①②的解为正整数，则m 的整数值是多少？【解析】 由方程②得3x y =③将方程③代入方程①中得612y my +=，∴126y m=+∵方程组的解为正整数，∴y 是正整数，即()6m +必须是12的正约数，又12的正约数有：1234612，，，，，，∴6162636466612，，，，，m m m m m m +=+=+=+=+=+=，可求出m 的值为543206，，，，，----．第十四种品格：信念同样的圣诞夜1944年的圣诞夜，两个迷了路的美国大兵拖着一个受了伤的兄弟在风雪中敲响了德国西南边境亚尔丁森林中的一栋小木屋的门，他的主人，一个善良的德国女人，轻轻地拉开了门上的插销。

易佳教育教案学员姓名：年级：初一课时：第4次课程类型：精品班辅导科目：语文教师：许耀月课题第6/7课复习及一二单元复习课程满意度及意见教学部签字及意见：口期：年月口学生签字及意见：日期：年月日授课时间：备课时间：教学目标1、掌握《土》《最》文学常识、基础知识；2、掌握常用敬辞谦辞和词性的基本知识。

重点、难点考点及考试要求生字词、文常、成语、语文常识教学内容最后课一、文学常识1、都德，法国小说家。

26岁发表文集《磨坊文札》。

28岁出版第一部长篇自传体小说《小东西》，这部小说是其代表作，集中表现了他不带恶意的讽刺和含蓄的感伤，也就是所谓的“含泪的微笑”。

都德有“法国狄更斯”的称号。

著有短篇小说集《星期一故事集》。

二、基础知识1、字音：婉转操练喧闹捂住踱來踱去纵身督学郝叟诧异柏林儿乎懊悔挨打挨近糊涂结果干脆钥匙塞进强迫祈祷哽住气氛2、字形：婉转锯木厂操练布告喧闹捂住戒尺踱来踱去纵身督学视察诧异糊涂祈祷字帖三、课文理解1、主要内容：这篇小说一小弗朗士在最后一课的所见、所闻、所感为线索，刻画了小弗朗士和乡村教师韩麦尔先生的典型形象，真实地反映了法国沦陷区的人民对惨遭异族统治的悲愤和对祖国的热爱，集中表现了法国人民崇高的爱国主义精神。

2、写作手法：（1）巧妙的叙述角度（2）生动的人物、场景、细节、心理描写四、提升练习1・下列加点字注音全部正确的一项是A.祈祷（6）诧异（cha）奴隶（ni）• • •B.捂着（wCi）气氛（fen）踱来踱去（duo）• • •C.强迫（qidng）郝叟（hao）钥匙（yao）• ••D.字帖（ti©）督学（du）惩罚（cheng）• ••2.下列各组词语没有错别字的一项是A.暄闹肃静旷课B.皱边胳搏惨白C.晴朗奥悔磨损D.板凳操练糊涂《土地的誓言》泛滥 胸膛 嗥鸣 山涧 斑斓 斓言 亘古 默契 田垄 埋葬 蚱!e 镐头二、 文学常识端木戟良，《科尔沁草原》三、 主要内容作者用诗一般的语言描绘了伦沦丧的故乡昔日的美丽、丰饶及自己在故乡的成长足迹，抒发了対国土沦丧的压抑之感 和对故乡的深深眷念之情，发出了为解放故乡而战斗而牺牲的宣言。

第四讲 巧填算符巧填算符的题目主要是为了培养孩子们学习兴趣以及数感的，本讲主要涉及到的方法有分组法，凑数法，逆推法，这些方法之间没有明确的界限，很多题目是要综合灵活运用这些方法的。

另外，做此类题目时一定要注意审题。

看清题目要求，如有的题目不允许用括号，有的题目限制符号的种类和数目，有的题目说合适的地方意味着可以空着不填等等。

分组法：适用于要求只填加减号的题目。

因分组法不需太多的尝试，只需简单计算即可，因此，掌握分组法后，遇到题目可先判断一下能否用分组法来做。

只填加减号，使等式成立1 2 3 4 5 6 7 8=2分析与答：最终填加号数字和为A，最终填减号的数字和为B，则A+B=1+2+3+4+5+6+7+8=36，A‐B=2，为和差问题A=（36+2）÷2=19,B=(36‐2) ÷2=17，4+6+7=17，不妨在4,6,7前面填上减号。

此题的一个解是1+2+3‐4+5‐6‐7+8=2，另外验算的时候有可能会出现负数，如本例，这样可以把填减号的数字尽量靠后，3+6+8=17，1+2‐3+4+5‐6+7‐8=2本题还有其他解法，可以自己凑凑。

逆推法：逆推法起来头绪繁多，因此适用于数字比较少，结果比较小的题目。

超常123班学案一：在下面合适的地方填上＋、－、×、÷，使等式成立。

12 3 4 5 6 7 8=1分析与答：注意审题，此题不允许用（）及除号。

倒着看，8前不能填+，×，只有填－，那么1 2 3 4 5 6 7凑9,7前不能填×，只有＋、－，不妨试+，那么1 2 3 4 5 6凑2，6前不能填+，×，只有填－，那么1 2 3 4 5凑8，5前不能填×，只有＋、－，不妨试+，那么1 2 3 4凑3，1+2×3‐4这样就得到了本题的一个解1+2×3‐4+5‐6+7‐8=1【附：思考一下本题能否只填加减号用分组法来做呢？显然不能，假设只填加减，设加号组为A，减号组为B，A+B=36，A‐B=1，此时A、B不是整数，所以不能；那么能否变化一下就可以用分组法了呢？思考一下不能用分组法的本质原因，由于奇数+奇数=偶数，奇数‐奇数=偶数；偶数+偶数=偶数，偶数‐偶数=偶数；奇数+偶数=奇数，奇数‐偶数（偶数‐奇数）=奇数；即两个整数的和与差奇偶性相同。

七年寒假接班第四命、平移章复命：判断一件事情的句，叫做命.或能判断真假的述句〔句〕叫做命多命都是由和两局部成．其中是条件，是得到的果．命通常写成“如果⋯⋯，那么⋯⋯．〞的形式．，“如果〞后接的局部是，“那么〞后接的局部是．所真的命就是：如果成立，那么就的命．相反，所假的命就是：如果成立，不能保的命．正确的命叫做，的命叫做.平移：如所示，段在下面的平移中(→A1B1→A2B2→A3B3)，具有哪些性．( a)( b) ( c)段上所有的点都是沿移，并且移的距离都．因此，段、A1B1、A2B2、A3B3的位置关系是；段、A1B1、A2B2、A3B3的数量关系是．在个平移中，各点的段之的位置关系是；数量关系是. 3．如所示，将三角形平移到△．(a)(b)在个平移中：△的整体沿移，得到△．△与△的和完全相同．各点的段即、、之的数量关系是；位置关系是.一个形沿着某个方向移一定的距离,形的种移,叫做平移,称平移.例1.指出以下命的和：垂直于同一条直的两条直平行．是；是.同位角相等，两直平行．是；是.两直平行，同位角相等．是；是.角相等．是；是.例2.将以下命改写成“如果⋯⋯那么⋯⋯〞的形式：(1)900的角是直角．末位数字是零的整数能被5整除．等角的余角相等．同旁内角互补，两直线平行．例3.：如图，⊥，平分∠，平分∠,∠1+∠2=900，求证：⊥.课堂练习：1.以下语句哪些是命题，哪些不是命题?(1)两条直线相交，只有一个交点．()．(2)不是有理数．()．(3)直线a与b能相交吗?()．(4)连结．()．(5)作⊥于E点．()．(6)三条直线相交，有三个交点．( )．判断以下各命题中，哪些命题是真命题?哪些是假命题?(对于真命题画“√〞，对于假命题画“×〞)(1)0是自然数．()．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．()．相等的角是对顶角．()．如果，那么C点是的中点．()．(2)假设a∥b，b∥c，那么a∥c．()．如果C是线段的中点，那么＝2．()．(7)假设x2=4，那么2．()．(8)假设0，那么0．()．(9)同一平面内既不重合也不平行的两条直线一定相交．()．邻补角的平分线互相垂直．()．(11)同位角相等．( )．(12)大于直角的角是钝角．()．按要求画出相应图形．:如图∥∥⊥于E点,将三角形平移,得到三角形．:如图∥,将线段向右平移，得到线段．:平行四边形及点,将平行四边形平移,使A点移到点,得平行四边形．:五边形，及点点,将五边形平移,使A点移到点,得到五边形．11.如图，平分∠，∥，∥，求∠1与∠2的大小关系．12.如图,∠∠1100，、分别是∠和∠的平分线，过点O与平行，求∠的度数。

知识点睛新课标剖析第四讲 三角形三大专题二、多边形及其内、外角和注：多边形内角和公式可以通过割或补的思想推导得出，教师可以给学生介绍“补”的思想180°相加，．多边形边数与内外角和关系板块一 整数边三角形【例1】 ⑴若三角形的周长为60，求最大边的范围.⑵设m 、n 、p 均为自然数，且m n p ≤≤，15m n p ++=，试问以m 、n 、p 为边长的三角 形有多少个?【解析】 ⑴设三角形的三边为a 、b 、c ，其中最大的边c 满足：32a b c a b cc ++++<≤，当且仅当 例题精讲222221111等边三角形等腰三角形等边三角形653形状示意图火柴数a b c ==时，等号成立．依题意有606032<c ≤，即2030a ≤<； ⑵∵三角形三边关系定理，知p m n <+，即15p p m n p +<++=，∴152p < ∵m n p ≤≤，315p m n p ≥++=，∴153p ≥，∴ 151532p ≤<∵p 为自然数，∴p 可取5、6、7当7p =时，7n =，1m =；6n =，2m =；5n =，3m =；4n =，4m =； 当6p =时，6n =，3m =；5n =，4m =； 当5p =时，5n =，5m =.综上所述,以m 、n 、p 为三边长的三角形共有7个.【例2】 周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？ 【解析】 设三角形的三边长为a 、b 、c ，且a b c <<，则有30a b c a b c b a ++=⎧⎨+>>-⎩故230c a b c <++=，15c <；又330c a b c >++=，10c >，即1015c << 当14c =时，有5组解：13b =，3a =；12b =，4a =；11b =，5a =；10b =，6a =；9b =，7a =；当13c =时，有4组解：12b =，5a =；11b =，6a =；10b =，7a =；9b =，8a =； 当12c =时，有2组解：11b =，7a =；10b =，8a =； 当11c =时，有1组解：10b =，9a =；故周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个.【例3】 ⑴（陕西中考题）用7根火柴棒首尾顺序连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为 ．⑵（山西中考题）现有长度分别为2cm ，3cm ，4cm ，5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为 ．⑶（淄博中考题）已知有长为1，2，3的线段若干条，任取其中三条构造三角形，则最多能构成形状或大小不同的三角形个数是 ．⑷（宁德中考题）在平面内，分别用3根、5根、6根……火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示：① 4根火柴能搭成三角形吗？② 8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？【解析】 ⑴ 第一：火柴等长且不能折断；第二：一次用完7根火柴，不能剩下；第三：要满足三角形的三边关系．先确定周长为7根，由三角形最大的边的范围可知最大的边为3根，然后用枚举法：满足题意有下面两组．22133⑵ 应用枚举法：满足题意有下面三组．2345234⑶ 应用枚举法：满足题意有下面七组．133323221222111⑷ ① 4根火柴不能搭成三角形；② 8根火柴能搭成一种三角形(2,3,3)；12根火柴能搭成3种不同的三角形：(4,4,4)、(2,5,5)、(3,4,5)．【教师备选1】 （2001年河北省中考题）将长度为2n （n 为自然数且4n ≥）的一根铅丝折成各边长均为整数的三角形，记(,,)a b c 为三边的长分别为a ，b ，c 且满足a b c ≤≤的一个三角形． ⑴ 就4n =、5、6的情况，分别写出所有满足题意的(,,)a b c ；⑵ 有人根据⑴中的结论，便猜想：当铅丝的长度为2n （n 为自然数且4n ≥）时，对应的(,,)a b c的个数一定是3n -．事实上，这是一个不正确的猜想；请写出12n =时的所有(,,)a b c ，并回答(,,)a b c 的个数；⑶ 试将12n =时所有满足题意的(,,)a b c ，按照至少两种不同的标准进行分类．【解析】 ⑴ 当4n =时，铅丝长度为8．则满足题意的(,,)a b c 只有一组：(2,3,3)；当5n =时，铅丝长度为10．则满足题意的(,,)a b c 有两组：(2,4,4)，(3,3,4)；当6n =时，铅丝长度为12．则满足题意的(,,)a b c 有三组：(2,5,5)，(3,4,5)，(4,4,4)．⑵ 当12n =时，铅丝长度为24．由题意24a b c ++=，且+>⎧⎨⎩a b c a b c ≤≤，由此得811c ≤≤，即8c =，9，10，11．满足题意的(,,)a b c 共12组：(2,11,11)A ；(3,10,11)B ；(4,9,11)C ；(5,8,11)D ；(6,7,11)E ；(4,10,10)F ；(5,9,10)G ；(6,8,10)H ；(7,7,10)I ；(6,9,9)J ；(7,8,9)K ；(8,8,8)L ．ABCD ⑶ 不同的分类标准，决定不同的分类．现举例如下：① 按最大的边c 的值分类，共有四类： ⒈11c =，有A 、B 、C 、D 、E 五个； ⒉10c =，有F 、G 、H 、I 四个； ⒊9c =， 有J 、K 两个； ⒋8c =， 只有L 一个． ② 根据“有几条边相等”分类： ⒈等边三角形：只有L 一个；⒉等腰但不等边三角形：有A 、F 、I 、J 四个； ⒊不等边三角形：B 、C 、D 、E 、G 、H 、K 七个． ③ 根据最大角分类：（学生未学勾股定理）⒈锐角三角形：有A 、F 、G 、J 、K 、L 六个； ⒉直角三角形：只有H 一个；⒊钝角三角形：有B 、C 、D 、E 、I 五个．板块二 多边形及其内、外角和【例4】 ⑴ 下列平面图形 不具有稳定性．（黑点表示连接点）⑵ 如果四边形四条边依次为2、4、7、x ，则x 的取值范围是（ ）A ．27x <<B ．213x <<C ．013x <<D ．113x <<⑶（2009西城抽样测试）科技馆为某机器人编制一段程序， 如果机器人在平地上按照图示中的步骤行走，那么该机 器人所走的总路程为（ ） A ．6米B ．8米C ．12米D ． 不确定⑷ m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形对角线条数等于边数，则m n k ++= ．【解析】 ⑴C ．提示：三角形具有稳定性．⑵D. 法一：常规方法，即利用“两点间线段最短”公理．2474277242470xx x x x <++⎧⎪<++⎪⎪<++⎨⎪<++⎪>⎪⎩ 解得113x << 法二：极值法．当x 为最短边时，7为最长边．247x ++>，∴1x >．当x 为最长边时，247x <++，∴13x <． 故113x <<．⑶B ．多边形的外角和为360︒，每个外角为45︒，则360458︒÷︒=，故多边形边数为8，则周长为188⨯=．⑷m 边形的一个顶点有7条对角线，所以37m -=，则10m =；没有对角线的多边形显然是三角形，则3n =；k 边形条数与其边数相等，即()32k kk -=，所以5k =．故18m n k ++=． 【例5】 ⑴（2008年北京中考）若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8⑵ (2009年北京中考)若一个正多边形的一个外角是40︒，则这个正多边形的边数是（ ）A ．10B ．9C ．8D ．6⑶（2009-2010人大附期中）一个多边形内角和是外角和的4倍，那么这是（ ）边形.A ．10B ．22C ．15D ．8⑷（连云港中考题）如果一个五边形的4个内角都是100︒，则第5个内角的度数是 ． ⑸ 一个凸多边形的每一个内角都等于140︒，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的 条数是 ．⑹A ⊙、B ⊙、C ⊙、D ⊙、E ⊙都是半径为1的圆，求图中五个扇形 （阴影部分）的面积．⑺ 多边形内角中，锐角最多有（ ）个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 ⑴ B. ⑵ B.⑶ A ．设多边形的边数为n ，由题意得()21803604-⨯︒=︒⨯n ，解得10=n ． ⑷()521804100140-⨯︒-⨯︒=︒⑸ 6．每个外角为18014040︒-︒=︒，360409÷︒=，对角线的条数：936-=．⑹3π2. ⑺ C ．提示：多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，而外角和总是不变的，因 此可把内角为锐角的个数的讨论转化为外角为钝角个数的讨论．【教师备选2】 在n 边形中，以各顶点为圆心，R 为半径，各剪去一个扇形的区域（扇形不重叠），则扇形面积和为 ．【解析】 2(2)π2n R -．【例6】 ⑴ 一个凸n 边形，除一个内角外，其余1n -个内角的和是2400︒，则n 的值为 ．⑵ 如图，求A B C D E F G H I J K L ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠．LJ I HGK F EDCB A O 4321LKJ I HGFE DC BA【解析】 ⑴ 由凸n 边形的内角得，0(2)1802400180n ︒<-⨯︒-︒<︒，解不等式的11151633n <<，故16n =．⑵ 分析：此题角众多，从整体入手，构造多边形，然后利用多边形内角和求解．连结LF 、GK ．∴多边形ABCDEFL 的内角和为()72180900-⨯︒=︒ 多边形HIJKG 内角和为()52180540-⨯︒=︒ ∵12180LOF ∠+∠+∠=︒，34180GOK ∠+∠+∠=︒∵LOK GOK ∠=∠ ∴1234∠+∠=∠+∠∴9005401440A B C D E F G H I J K L ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒+︒=︒．总结：本题解题过程中运用了“8”字模型，建议老师重点强调“8”字模型的构造及应用． 强化和巩固上节课所学模型.【教师备选3】 一个多边形除了两个内角外，其余内角之和为2002︒，则这个多边形边数为（ ）A ．12B ．12或13C ．14D ．14或15【解析】 14或15 提示：由题意得2002(2)1802002360n ︒<-⨯︒<︒+︒，解得111113159090n <<． 还可以列不定方程解决．【教师备选4】 如果一个凸多边形恰有三个内角是钝角，求这个多边形最多可以有多少条边． 【解析】 设这样的多边形最多边数为n ．因为有三个内角是钝角，所以这三个内角之和小于540︒且大于270︒．因为余下的(3)n -个角应是直角或锐角，所以这(3)n -个内角之和应在(3)0n -⋅︒和(3)90n -⋅︒之间，所以270(3)0(2)180540(3)90n n n ︒+-⋅︒<-⋅︒<︒+-⋅︒，解得772n <<，所以6n =．板块三 镶嵌【例7】 ⑴（山西中考）幼儿园的小朋友们打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑胶板铺活动室的地面，为了保证铺地时既无缝隙又不重叠，请你告诉他们下面形状的塑胶板可以选择的是（ ）①三角形 ②四边形 ③正五边形 ④正六边形 ⑤正八边形 A ．③④⑤B ．①②④C ．①④D ．①③④⑤⑵ 如果用一种正多边形作平面镶嵌，而且每一个正多边形的每一个顶点周围都有六个正多边形，则该正多边形的边数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 ⑴ B ．总结：能否平铺的关键是看能否围绕某一点拼成一个周角．任意的同一种三角形、同一种四边形和正六边形都能平铺． ⑵A ．提示：由正多边形的每个内角相等得360606︒=︒，则()602180n n ︒=-⨯︒，得3n =， ∴正多边形为正三角形．【例8】 （陕西省中考题改编）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺设成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360)︒时，就拼成了一个平面图形．⑴ 请根据下列图形，填写表中空格：⑵ 如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？⑶ 从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再与正八边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．【分析】 本题主要研究两个问题①如果限用一种正多边形镶嵌，可选哪些正多边形；②选用两种正多边形镶嵌，既具有开放性，又具有探索性．假定正n 边形，满足铺砌要求，那么在它的顶点接合的地方，n 个内角的和为360︒，这样将问题的讨论转化为求不定方程的正整数解．【解析】 ⑴ 108︒，120︒，()2180n n-⋅︒．⑵ 假定在接合处，一共有k 块正n 边形地砖，由于正n 边形的所有内角都相等，则()2180360n k n -⨯︒⋅=︒，即24222n k n n ==+--，因k 为整数，故()24n -，21,2,4n -=得3,4,6n =．由此可见，只有三种正多边形为正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形． ⑶ 如正方形和正八边形，草图如下．设在一个顶点周围有m 个正方形的角，n 个正八边形的角，那么m ，n 应是方程90135360⋅︒+⋅︒=︒m n 的整数解．即238m n +=的整数解．因为这个方程的整数解只有12m n =⎧⎨=⎩一组，所以符合条件的图形只有一种．【教师备选5】 （广西中考模拟）我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的瓷砖铺设成的，这样形状的瓷砖能铺成平整、无隙的地面．请问：⑴ 像上面那样铺设地面，能否全用正五边形瓷砖，为什么？⑵ 你能不能另外设计出一种用同样多边形（不一定是正多边形）的瓷砖铺地的方案？把你想到的方案画出来．⑶ 你能再设计出一个用两种不同的正多边形的瓷砖铺地的方案来吗？如能，请画出草图．【解析】 ⑴ 因为正五边形瓷砖的每一个内角为108︒，而108︒不能整除360︒，所以不能全用正五边形的瓷砖铺设地面．⑵ 同学们自然想到正三角形瓷砖及工人砌墙用的砖头——矩形（非正多边形）等，如图：事实上不规则的同一种三角形或同一种四边形瓷砖都能铺设地面． ⑶ 用两种正多边形瓷砖铺设地面的方案也是很多，下面给两种，如图：演练1⑴三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <<，若7b =，则有 个满足题意的三角形. ⑵三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形． ⑶三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c ≤≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形．【解析】 ⑴上面都是已知三角形的周长，从三角形的最大的边出发用枚举法．而本题提供了另一思路：b 知道了，a 的范围就确定了，对a 采用枚举法就可以把问题算出来，现在对a 从1到6枚实战演练举满足不等式77c a <<+的整数c 的个数为1234515++++=． ⑵21．⑶28．演练2⑴已知一个多边形，它的内角和等于外角和的3倍，则这个多边形的边数为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12⑵ 一个多边形内角和为1260︒，且每个内角相等，那么这个多边形的一个外角为（ ）A ．30︒B ．36︒C ．40︒D ．45︒【解析】 ⑴B⑵设边数为n ，得()21801260n -⨯︒=︒，则9n =．由于每个内角相等，则每个外角相等，故每个外角为360409︒=︒，故选C ． 演练3如图，90A B C D E F G n ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=⋅︒，求n 的值．GFEDCB AAB CDE FG【分析】 恰当连线构造“8”字型或角的转换将凹多边形内角和转化为凸多边形内角和． 【解析】 连结GF ，则A D DGF AFG ∠+∠=∠+∠，于是原式()()B C E A F EA F GB G D D G F =∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=五边形BCEFG 的内角和()52180690=-⨯︒=⨯︒，故6n =．【点评】 本题解题关键在于添加辅助线构造“8”字型，将离散的角转化到一个多边形中，辅助线起到较好的桥梁作用．演练4 一个多边形截去一个角后得到的图形的内角和为540︒，求不截去角时，多边形的内角和．EDCB AEBCDA FA B C DEFA B CDF E【解析】 可能如图三种情形：内角和可能是360︒，540︒，720︒．演练5能否同时用正三角形和正四边形镶嵌？【解析】 可以，已知正三角形和正四边形的内角分别为60︒，90︒，设一个顶点周围有m 个正三角形的角，n 个正四边方形的角，那么m ，n 应是方程6090360⋅︒+⋅︒=︒m n 的整数解，即2312m n +=的整数解．而方程有整数解32m n =⎧⎨=⎩．。

第一讲 平行线的判定及性质【课程导航】1. 两条不同的直线，若它们只有一个交点，就可以说它们相交，即两直线相交有且只有一个交点.2. 垂直是相交的特殊情况，关于垂直有两个重要的结论： ⑴过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑵直线外一点与直线上所有点连成的线段中，垂直线段最短. 3. 在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

关于平行线，应理解平行公理，即过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.4. 两条直线被第三条直线所截，得到八个角，其中有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角，这就是“三线八角”.5. 在同一平面内，不重合直线的位置关系是相交或平行.【锦囊妙计】1.能熟练地找出图形中的三线八角.2.运用平行线的性质定理： ⑴两直线平行，同位角相等； ⑵两直线平行，内错角相等； ⑶两直线平行，同旁内角互补；⑷如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 3.运用平行线的判定定理： ⑴同位角相等，两直线平行； ⑵内错角相等，两直线平行； ⑶同旁内角互补，两直线平行；⑷在同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行； ⑸在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.【典型例题】例1．已知：如图，∠BED ＝85°，∠B ＝35°，∠D ＝50°，求证：AB ∥CD ．思路点拨：过点E 作EF ∥AB ，则∠BEF ＝∠B ＝35°，易得∠FED ＝50°，所以∠FED ＝∠D ，即可证明EF ∥CD ，则AB ∥CD .解答：证明：过点E 作EF ∥AB ，∴∠BEF ＝∠B ＝35°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠BED ＝85°，∠D ＝50°，∴∠FED ＝50°，∴∠FED ＝∠D ＝50°，∴EF ∥CD （内错角相等，两直线平行），∴AB ∥CD （同一平面内，平行于同一直线的两直线平行）．点评：此题考查平行线的判定和性质：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；同一平面内，平行于同一直线的两直线平行．要灵活应用．例2．如图，∠AEM ＝∠DGN ,∠1＝∠2,证明EF ∥GH .思路点拨：证明两条直线平行，需找同位角或内错角相等或同旁内角互补，想办法将题目中的相等角转化成我们需要的角即可。