高中数学第二章平面向量单元评估验收二新人教A版必修4

2021年高中数学 第二章 平面向量阶段检测 新人教版必修4一．选择题1．已知，，则（ ）A ． B. C. D.解析：本题考查平面向量线性运算的坐标运算32(3,9)(4,10)(7,1)a b -=--=-，选C2．已知，，则（ ）A ． B. C. D.解析：本题考平面向量数量积的坐标运算，选D3．（xx ·山西大学附中高一期中）已知平面向量，且，则实数的值为 ( )A ．1B ．C ．D ．4解析：本题考查平面向量的坐标形式及向量共线的条件由，得，即，选B4．中，，，，则实数的值是（ ）A ．B ．C ．D ．解析：本题考查平面向量的坐标形式、向量的运算及向量垂直的条件由已知，得(2,3)(,1)(2,2)BC AC AB k k =-=-=-而，，即，解得，选A5．已知，并且，与的夹角为，则的值为（ ）A ．1B ．C ．D ．解析：本题考查平面向量的夹角、数量积的定义及其算律21||||cos 21()132a b a b π⋅==⨯⨯-=-，2()||112a b b a b b -⋅=⋅-=--=-6．在四边形中，AB=2,4,94a b BC a b BD a b +=--=--，其中不共线，则四边形为（）A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：本题考查向量的线性运算及共线向量，，，所以，且，所以四边形为梯形，选A7．与向量平行的单位向量为（ ）A ．B ．C ．或D ．解析：本题考查单位向量及共线向量等法1.设所求向量为，则，解得1213513x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1213513x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以或，选C法2. 与向量平行的单位向量为或11125(12,5)(,)131313||d d -=-=--，选C 8．（xx ·杭州二中高一期中）下列说法中，正确的个数为（ ）（1）；（2）若，则与的夹角是钝角；（3）若向量，能作为平面内所有向量的一组基底（4）若，则在上的投影为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：本题考查平面向量的加法的三角形法则、向量的夹角、基底及投影等概念因为，因而（1）正确；当且与反向时，，但与的夹角为，因而（2）不正确；由于，所以，所以向量，不能作为基底，所以（3）不正确；若，则与的夹角为或，所以在上的投影为，因而（4）不正确.只有（1）正确，其它均不正确，所以选A9．平面向量与的夹角为，， 则（ ）（A ） (B) (C) 4 (D)12解析：本题考查平面向量的模、夹角以及数量积由已知，222|2|||44||4421cos 6012a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯=|，∴ ，选B10．若，且、、三点在同一条直线上，则实数与的关系为（ ）A ． B. C. D.解析：本题考查向量共线、向量的线性运算及平面向量基本定理、、三点在同一条直线上， ，存在实数，使，，，而，，，所以，选B11．已知，，并且与的夹角为锐角由实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.解析：本题考查平面向量的模、数量积、向量的夹角及共线向量若与的夹角为锐角，则，，.而当与同向时，存在使，，，从而实数的取值范围为，选B12．已知点为的外心，且则（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析：本题考查平面向量的线性运算、三角形法则及数量积取BC 中点为P ，则OP ⊥BC ，向量，所以2211()()(||||)622AC AB AC AB AC AB =+⋅-=-=，选C 二．填空题13．（xx ·广东实验中学高一上期末）如图，若，，，则向量可用，表示为___________. 解析：本题考查向量的数乘、向量加法减法及三角形法则，，，填14．若，，则在上的投影为________________解析：本题考查向量的坐标运算、模的求及投影的概念，所以在上的投影为15．已知向量，满足，，，则解：由，得，，由，，得所以，填16．（由xx ·永嘉高一期中改编）给定下列命题或等式： ①②③④⑤⑥或．其中正命题的序号为解析：本题考查共线向量、向量的数乘、向量的数量积及其性质等只有④是正确的，所以填④三．解答题17．若，，求、及与夹角的余弦值。

平面向量一、选择题1．下列命题中正确的是( )( A ) 两个相等的向量的起点，方向，长度必须都相同( B) 若a，b是两个单位向量，则a＝ b( C) 若向量a和b共线，则向量a， b 的方向相同( D) 零向量的长度为0，方向是任意的2．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )( A ) ( C) AB DCAB AD BD( B )( D )AD AB ACAD CB03．在四边形ABCD 中，CB AB BA( )(A) DB (B) CA(C) CD (D) DC4．已知a，b为非零向量，且｜a＋ b｜＝| a|＋| b|，则一定有( )( A ) a＝b ( B ) a∥b，且a，b方向相同( C) a＝－b ( D ) a∥b，且a，b方向相反5．化简下列向量： ( 1) AB BC CA (2) AB AC BD CD(3) FQ QP EF EM (4) OA OB AB，结果为零向量的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题6．对于下列命题①相反向量就是方向相反的向量②不相等的向量一定不平行③相等的向量一定共线④共线的单位向量一定相等⑤共线的两个向量一定在同一条直线上其中真命题的序号为______．3 3点A 的位置向量为 ______．8．一艘船以 5 km 的速度出发向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的航行方向与水流成30°，则船的实际速度的大小为______ ，水流速度的大小为______．9．如图，在□ABCD中，AO a ，DO b ，用向量a， b 表示下列向量CB______AB =_____.10．已知平面内有□ABCD和点O，若OA a ，OB b，OC c ，OD d，则a－b＋c －d＝______．三、解答题11．化简：(1) AB AC BD(2) AB CD CB DA12．在单位圆中， B 是 OA 的中点， PQ 过 B 且 PQ∥Ox，MP⊥ Ox，NQ⊥ Ox，则在向量OM，ON，MP，NQ，OP，OQ，OB，OA，PQ 中．( 1) 找出相等的向量；( 2) 找出单位向量；( 3) 找出与OM共线的向量；( 4) 向量OM，ON的长度．13．已知正方形A BCD 的边长为1，若AB a ，BC b ，AC c ，求作向量a－b＋c，并求出 |a－b＋c｜．14．已知向量a， b 满足：| a|＝3，| a＋ b|＝5，| a－ b|＝5，求｜ b｜．向量的线性运算 ( 二 ) 一、选择题1．若 3( x＋ 3a) － 2( a－x) ＝0，则向量 x＝ ( ) ( A ) 2a ( B) － 2a ( C) 7a ( D ) 7 a5 52．若AB5e， CD7e且 | AD | | BC |，则四边形ABCD 是 ( ) ( A ) 平行四边形( B ) 非等腰梯形( C)菱形( D)等腰梯形3．如图所示， D 是△ ABC 的边上的中点，则向量CD 等于()(A) BC 1BA ( B ) BC1BA 2 2(C) BC 1BA (D) BC 1 BA2 2 )4．已知向量1－ 2e2，b＝－ 2e1＋ 4e2，则向量a与b满足关系 (a＝ e( A ) b＝ 2a ( B) 共线且方向相反 ( C) 共线且方向相同(D)不平行5．下列结论中正确的个数是 ( )①若｜ b|＝2｜ a｜，则 b＝±2a ②若 a∥ b，b∥ c，则 a∥ c ③若 m a＝m b，则a＝b④ 0a＝0⑤若向量a与b共线，则一定存在一个实数，使得 a＝ b(A)0个(B)1个(C)2个(D)3 个二、填空题6．化简： 5( 3a－ 2b) ＋ 4( 2b－3a) ＝ ______．7．与非零向量a共线的单位向量为 ____________．8．数轴上的点 A，B，C 的坐标分别为2x，－ 2，x，且AB 3BC ，则x＝______；｜AB｜＝ ______．9．已知向量 a 与 b 方向相反，｜a｜＝6，｜ b|＝4，则 a＝______b．10．在□ ABCD 中，AB a ，AD b ，AN3NC ，M为BC的中点，则 MN____.三、解答题11．点 D 是△ ABC 边 BC 上一点，且BD 1 BC．设试AB a，AC b，用向量a，b表示3AD.12．已知向量a， b 满足求｜ a｜∶｜ b｜．11 1(a3b)(a b)(3a2b) ，求证：向量 a 与 b 共线，并52 513．已知｜a｜＝ 1，｜b｜＝ 2．若a＝b，求｜a－b｜的值．14．已知平面中不同的四点A，B，C，D 和非零向量a，b，且AB a2b，CD 5a6b，CD =7a-2b.( 1) 证明： A， B， D 三点共线；( 2) 若a与b共线，证明A， B， C，D 四点共线．向量的分解与向量的坐标表示一、选择题1．已知向量a＝ ( 4，2) ，向量 b＝( x，3)，且 a∥b，则x＝( )(A)9 (B)6 (C)5 (D)32．已知点 A( 0， 1) ， B( 1， 2) ， C( 3， 4) ，则AB 2BC的坐标为 ( )( A)( 3，3) ( B)( －3，－ 3) ( C)( － 3， 3) ( D)( 3，－ 3)3．已知基底 { e1，e2} ，实数 x，y 满足 ( 3x－ 4y) e1＋ ( 2x－3y) e2＝ 6e1＋ 3e2，则 x－ y 的值等于( )(A)3(B)－3(C)0(D)24．在基底 { e1，e2} 下，向量a＝e1＋ 2e2，b＝ 2e1－e2，若a∥b，则的值为()(A)0(B)－21(D)－4( C)25．设向量a＝ ( 1，－ 3) ，b＝ ( － 2，4) ，c＝ ( － 1，－ 2) ，若表示向量4a，4b－2c，2( a－c) ，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d 为( )( A)( 2，6) ( B)( －2，6)( C)( 2，－ 6) ( D)( － 2，－ 6)二、填空题6．点 A( 1，－ 2) 关于点 B 的对称点为 ( － 2， 3) ，则点 B 的坐标为 ______．7．若 M( 3，－ 2) ，N( － 5，－ 1) 且MP 1 MN，则 P 点的坐标为 ______________．28．已知点 O( 0，0) ， A( 1，2) ，B( 4，5) ，点 P 满足OP OA t AB ，当点P在x轴上时，t＝ _______．9．已知□ABCD 的三个顶点A( － 1， 3) ， B( 3， 4) ，C( 2， 2) ，则顶点D的坐标为 ______．10．向量OA(k，12) ， OB (4，5) , OB (10， k) 若A、B、C三点共线，则k＝ ______．三、解答题11．已知梯形ABCD 中，AB2DC ，M，N分别是DC，AB的中点．设 AD a，AB b 选择基底 { a，b} ，求向量DC，NM在此基底下的分解式．12．已知向量a＝( 3，－2)，b＝(－2，1)， c＝( 7，－4)，( 1) 证明：向量a， b 是一组基底；( 2) 在基底 { a，b} 下，若c＝ x a＋ y b，求实数x， y 的值．13．已知向量a＝( 1，2)， b＝(－3，x)．若 m＝2a＋ b， n＝ a－3b，且 m∥ n，求实数x的值并判断此 m 时 n 与的方向相同还是相反．14．已知点O( 0，0) ， A( 1， 4) ，B( 4，－ 2) ，线段 AB 的三等分点C，D ( 点 C 靠近 A) ．OC2OD平面向量的数量积及其运算律一、选择题1．若｜ a ｜＝ 4， | b ｜＝ 3，〈a ， b 〉＝ 135°，则 a 2 b ＝ ( )(A)6( B)(C)6 2 (D) 622．已知 | a ｜＝ 8， e 为单位向量，〈 a ， e 〉2π，则 a 在 e 方向上的正射影的数量为 ( )3(A)4 3(B)4(C) 43(D)－4 3．若向量 a ， b ， c 满足 a 2 b ＝ a 2 c ，则必有 ()( A ) a ＝ 0( B) b ＝ c( C) a ＝0 或 b ＝ c ( D ) a ⊥ ( b － c )4．若｜ a ｜＝ 1，｜ b ｜＝ 2，且 ( a ＋ b ) ⊥ a ，则〈 a ， b 〉＝ ()( A) 30° ( B) 60°( C) 120° (D)150°5．平面上三点 A ，B ，C ，若 | AB | 3，|BC | 4，|CA | 5，则 AB BC BC CA CA AB＝ ( )A ．25 ( B) －25(C)50(D)－50二、填空题6．已知 a 2 b ＝－ 4， a 在 b 方向上的正射影的数量为－8，则在｜ a ｜和 | b | 中，可求出具体数值的是 ______，它的值为 ______．7．已知 a ， b 均为单位向量， 〈 a ， b 〉＝ 60°，那么｜ a ＋ 3b | ＝ ______． 8．已知｜ a ｜＝ 4，｜ b | ＝ 1，| a － 2b | ＝ 4，则 cos 〈a ， b 〉＝ ______．9．下列命题中，正确命题的序号是______．( 1) ｜ a ｜ 2＝a 2；( 2) 若向量 a ， b 共线，则 a 2 b ＝｜ a ｜｜ b | ；( 3)( a 2 b ) 2＝ a 22 b 2；( 4) 若 a 2 b ＝ 0，则 a ＝ 0 或 b ＝ 0( 5)( a －b ) 2 ( a ＋b ) ＝｜ a ｜ 2－| b | 2；10．设向量 a ， b ， c 满足 a ＋ b ＋c ＝ 0， ( a －b ) ⊥ c ， a ⊥b ．若｜ a ｜＝ 1，则 | a ｜ 2＋｜ b ｜2＋｜ c | 2的值是 ______. 三、解答题11．已知｜ a ｜＝ 5，｜ b ｜＝ 4，〈a ， b 〉π，求 ( a ＋ b ) 2 a 和｜ a ＋ b ｜．312．向量 a ， b 满足 ( a － b ) 2 ( 2a ＋ b ) ＝－ 4，且 | a | ＝ 2，｜ b ｜＝ 4，求〈 a ，b 〉．13．已知 O 为△ ABC 所在平面内一点，且满足(OB OC) (OB OA) 0 ，试判断△ ABC的形状．14．已知向量 a ， b 满足：｜ a ｜＝ 1，｜ b | ＝ 2，| a － b | ＝ 7 ．( 1) 求｜ a － 2b ｜； ( 2) 若 ( a ＋ 2b ) ⊥( k a － b ) ，求实数 k 的值．向量数量积的坐标运算与度量公式一、选择题1．已知 a ＝ ( － 4， 3) ， b ＝ ( 5，6) ，则 3a 2－4a 2 b ＝()(A)83(B)63(C)57(D)232．已知向量 a ( 3, 1) ， b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 a b3 ，则 b ＝()(A)(3, 1) (B) (1,3 ) (C) (1,3 3) ( D)( 1，0)2222443．在△ ABC 中， A( 4， 6) ， B( － 4，10) ， C( 2， 4) ，则△ ABC 是 ( )( A ) 等腰三角形( B) 锐角三角形( C) 钝角三角形( D ) 直角三角形4．已知 a ＝ ( 0， 1) ，b ＝ ( 1，1) ，且〈 aπ的值为( )b ,a 〉，则实数2(A)－1(B)0(C)1(D)25．已知 a ＝ ( 1， 2) ，b ＝ ( － 2，－ 4) ， | c |5 ，若 (ab )c 5 )，则〈 a ， c 〉＝ (2( A) 30°( B) 60°( C) 120°(D)150°二、填空题，b 〉＝．若a ＋ ＝ ( － ，－1) ， － ＝，－ ，则＝，〈 a ______ ．6 b 2 a b ( 4 3) a 2 b ______7．向量 a ＝ ( 5， 2) 在向量 b ＝( － 2， 1) 方向上的正射影的数量为 ______． 8．在△ ABC 中， A( 1， 0) ， B( 3， 1) ， C( 2， 0) 则∠ BCA ＝ ____________． 9．若向量 a 与 b ＝ ( 1， 2) 共线，且满足 a 2 b ＝－ 10，则 a ＝ ______．10．已知点 A( 0，3) ，B( 1，4) ，将有向线段 AB 绕点 A 旋转角π到 AC 的位置，则点C 的2坐标为 ______. 三、解答题11．已知 a ＝ ( － 3，2) ，b ＝ ( 1，2) ，求值： | a ＋ 2b ｜，( 2a － b ) 2 ( a ＋b ) ，cos 〈a ＋ b ，a － b 〉．12．若 |a |2 13 , b ＝ ( － 2， 3) ，且 a ⊥ b ，求向量 a 的坐标．13．直角坐标系 xOy 中，已知点 A( 0，1) 和点 B( －3， 4) ，OC 为△ AOB 的内角平分线，且OC 与 AB 交于点 C ，求点 C 的坐标．14．已知 k Z ，AB ( k ，1)，AC ( 2，4)，| AB | 4 ，且△ ABC 为直角三角形， 求实数 k 的值．用心爱心专心测试十二向量的应用Ⅰ学习目标1．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量的方法解决物理中简单的力学和速度问题；能将物理问题转化为数学问题，同时会用建立起来的数学模型解释相关的物理问题．Ⅱ基础性训练一、选择题1．作用于原点的两个力f1＝( 1，1)， f2＝( 2，3)，为使它们平衡，需要增加力f3，则力 f3 的大小为 ( )( A)( 3，4) ( B)( －3，－ 4)( C) 5 (D)252．在水流速度为自西向东，10 km / h 的河中，如果要使船以10 3 km/ h的速度从河南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小和方向( )( A ) 北偏西 30°， 20 km/ h( B ) 北偏西 60°， 20 km / h( C) 北偏东 30°， 20 km/ h( D ) 北偏东 60°， 20 km / h3．若平行四边形ABCD 满足| AB AD | | AB AD |，则平行四边形ABCD 一定是 ( )(A)正方形(B)矩形(C)菱形(D)等腰梯形4．已知□ABCD 对角线的交点为O，P 为平面上任意一点，且PO =a，则PA PB PC PD ＝ ( )( A ) 2a ( B) 4a ( C) 6a ( D ) 8a5．已知非零向量AB与 AC满足(AB AC)BC 0且 AB.AC 1|AB | |AC | |AB| |AC| 2，则△ ABC为 ( )( A ) 三边均不相等的三角形( B ) 直角三角形( C) 等腰非等边三角形( D ) 等边三角形二、填空题6．自 50 m 高处以水平速度10 m/ s 平抛出一物体，不考虑空气阻力，则该物2s 时的速度的大小为 ______，与竖直向下的方向成角为，则tan＝______( g＝10 m/ s2)．7．夹角为 120°的两个力f1和 f2作用于同一点，且｜ f 1|＝｜ f2｜＝m( m＞0)，则 f1和 f2的合力 f 的大小为______， f 与 f2的夹角为____________．8．正方形ABCD 中， E，F 分别为边DC ， BC 的中点，则cos∠ EAF ＝ ____________．9．在△ ABC 中，有命题：①AB AC BC ；②若 ( AB AC) ( AB A C )0 ，则△ABC 为等腰三角形；③AB BC CA=0；④若 AB BC 0 ，则为△ABC锐角三角形．上述命题中正确的是____________( 填上你认为正确的所有序号)三、解答题10．水平电线AB 对竖直电杆BD 的拉力为300 N，斜拉索BC 的拉力为600 N，此时电杆恰好不偏斜，求斜拉索与地面成角的大小以及由此引起的电杆对地面的压力( 电杆自重不计)．11．某运动员在风速为东偏北60°， 2 m/ s 的情况下正在以 10 m/ s 的速度向东跑．若风停止，运动员用力不变的情况下，求该运动员跑步速度的大小和方向．12．对于平行四边形ABCD ，点 M 是 AB 的中点，点N 在 BD 上，且BN 1 BD．用向量3的方法证明：M， N， C 三点共线．Ⅲ拓展性训练13．在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，且 CA＝ CB， D 是 CB 的中点， E 是 AB 上一点，且AE＝2EB．求证： AD ⊥ CE．14．如图，已知点A( 4， 0) ， B( 4，4) ， C( 2， 6) ，求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标．测试十三平面向量全章综合练习一、选择题1．向量( AB MB) (BO CB) OM 化简后等于( )(A) AC (B) BC ( C) AB (D) AM2．点 A 的坐标为 ( 1，－ 3) ，向量AB的坐标为 ( 3，7) ，则点 B 的坐标为 ( ) ( A)( 4，4) ( B)( －2，4) ( C)( 2， 10) ( D)( －2，－ 10)3．已知向量a＝ ( －2， 4) ，b＝ ( － 1，－ 2) ， c＝( 2，3)，则( a＋ b) 2 ( a－ c)的值为( )(A)10 (B)14 ( C) －10 (D)－144．已知向量a＝ ( 2，t) ，b＝ ( 1， 2) ．若 t＝ t1时，a∥b； t＝ t 2时，a⊥b，则 ( ) ( A ) t1＝－ 4， t2＝－ 1 ( B ) t1＝－ 4， t2＝ 1( C) t1＝ 4， t2＝－ 1 ( D ) t1＝ 4， t2＝ 15．若点 O 是△ ABC 所在平面内一点，满足OA OB OB OC OC OA ，则点O是△ABC 的 ( )( A ) 三个内角的角分线的交点( B ) 三条边的垂直平分线的交点( C) 三条中线的交点( D ) 三条高线的交点二、填空题6．河水的流速为 2 m/ s，一只小船想要以垂直于河岸方向10 m/ s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度的大小应为______________．7．数轴上的点A，B，点 A 的坐标为－ 3，且向量AB的长度为5，则点 B 的坐标为 ______．8．已知p＝ ( － 2， 2) ，q＝ ( 1，3) ，则p在q方向上的正射影的数量为______．9．已知向量a＝( 2，3)， b＝(－1，2)，若( a＋b)⊥( a＋ b)，则实数＝______．10．给出下列命题：①a b b; a2a②｜ a|－｜ b|＜｜ a－ b｜；③ |a2b|＝|a｜｜b|；④ ( b2 c) a－ ( c2 a) b与c垂直；⑤已知 a，b 是非零向量，若| a＋ b|＝｜ a－ b｜，则a⊥ b；a2＝ b2．⑥已知 a， b 是两个单位向量，则所有正确的命题的序号为____________ ．三、解答题11．已知点A( － 2， 1) ， B( 1，3) ．求线段 AB 中点 M 和三等分点P， Q 的坐标．12．已知 | a｜＝ 2， | b｜＝ 4，〈a，b〉2π．求｜a－b｜和〈a，a－b〉的余弦值．313．已知向量a＝( 1，2)， b＝( x，1)．( 1) 求与 a 垂直的单位向量的坐标；( 2) 求｜ b－2a｜的最小值以及此时 b 的坐标；( 3) 当 x 为何值，a＋ 2b与b－ 2a平行，并确定它们此时是同向还是反向．14．如图，以原点O 和 A( 5，2) 为两个顶点作等腰直角△OAB，使∠ B＝ 90°．求点 B 的坐标和 AB 的坐标．参考答案第二章平面向量测试七向量的线性运算 ( 一 )一、选择题1．D 2．C 3．C 4．B 5．C二、填空题6．③7．“东偏北 60°， 6 km”或“北偏东30°， 6 km ” 8． 10 km / h 5 3 km/ h9．b－a；a＋b10．0三、解答题11．解： ( 1) CD；( 2) 原式＝(AB BC CD) DA AD DA ＝0．12．解： ( 1) MP NQ OB ；( 2) OP,OQ,OA；( 3) ON,PQ ；( 4)|OM | | ON | 3 213．解：AB a, BC b, AC c ，所以DB a b，BE AC c, DE DB BE a b c ，｜ a－ b＋ c｜＝2．14．解：设AB a, AD b ，做□ABCD．则 AC a b, DB a b ，可得 AC BD 5 ，所以□ABCD为矩形，|b | | AD | 52 32＝4．测试八 向量的线性运算 ( 二 )一、选择题1．D 2．D 3．A 4． B 5． A二、填空题6． 3a － 2b 7．a 8．－ 4； 6 9． a 3b 10． 1 b 1a| a |244三、解答题11．答： AD2 a 1b .33712．略解：化简得 9a ＝ 7b ，即 ab ，所以 a ∥ b ；｜ a ｜∶｜ b ｜＝ 7∶ 9．91，λ＝ 113．略解：由题意，得｜ a ｜＝｜ λ｜｜ b ｜，∴ ｜ λ｜＝，22｜ a － b ｜＝｜ λ－ 1｜｜ b ｜＝ 2｜ λ－ 1｜＝ 1 或 3．14． (1) 证明：∵ BDCD CB 2a 4b ，∴ BD 2 AB ，∴ AB // BD ，因为二者均经过点 B ，所以 A ， B ， C 三点共线． (2)证明：∵ a 与 b 共线，设 a ＝ λb ，∴ BD ( 2 4)b , CD (7 2)b∵CD0, BD 0 ∴7λ－ 2≠0， 2λ＋ 4≠0．∴ BD 24CD ，7 2∴ BD // CD ，所以 B ， C ， D 三点共线，又 A ，B ， D 三点共线．所以 A ， B ，C ， D 四点共线．测试九 向量的分解与向量的坐标表示一、选择题1．B 2． B 3．A 4．D 5．D 二、填空题6．( 1,1)7．( 1, 3) 8． t2 9．( －2，1) 10．－ 2 或 112 223三、解答题11．答： DC1b ; NM a1b ．2412． ( 1) 证明：∵32 ，∴ a 与 b 不平行，所以向量 a ， b 是一组基底．213x 2 y 7,x 1, ( 2) 略解： ( 7，－ 4) ＝ x( 3，－ 2) ＋ y( － 2， 1) ，y4,所以2.2x y13．略解： m ＝( － 1， 4＋x) ， n ＝( 10， 2－ 3x) ，因为 m ∥ n ，所以－ ( 2－ 3x) － 10( 4＋ x) ＝0， x ＝－ 6，此时 m ＝ ( － 1，－ 2) ， n ＝ ( 10， 20) ，有 n ＝－ 10m ，所以 m 与 n 方向相反．14．略解： ( 1) OC OA AC OA 1(1,4)1(2,2) ．AB (3, 6)3 3OD OA AD OA 2AB (1,4)2(3, 6) (3,0) ．3 3( 2) OC 2OD ( 2,2) 2(3,0) (8,2) ．OE OB OC 2OD ( 4, 2) (8,2) (12,0) ．测试十平面向量的数量积及其运算律一、选择题1．D 2．D 3．D 4．C 5．B二、填空题6．｜b｜； 1 7．13 8．19．①⑤10． 42 4提示：10．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b，又 ( a－b) ⊥c，∴ (a－b) 2 (－a－b)＝0，2 2∴－｜ a｜－ a2 b＋a2 b＋｜ b｜＝0，∴｜b｜＝｜a｜＝1．又 c＝－ a－ b，222 2 ∴｜ c｜＝｜－ a－ b｜＝(－ a－ b) 2 (－ a－ b)＝｜ a｜＋2a2 b＋｜ b｜＝2．另外，可以结合图示，分析解决问题．三、解答题11．解：a2 b＝ 10， ( a＋b) 2 a＝a2＋a2 b＝ 35，|a b | ( a b) 2 a 2 2a b b2 61 .12．解：由题意得2a 2－a2 b－b2＝－ 4，所以 2a2－a2 b－b2＝－ 4，得a2 b＝－4，cos 〈a，b〉 a b 1, 〈a，b〉＝120°| a || b | 213．略解：因为(OB OC) (OB OA) 0 ，所以CB AB=0，从而CB AB ，△ABC 为直角三角形．14．略解： ( 1) ｜a－b｜2＝a2－ 2ab＋b2＝ 7，所以a2 b＝－ 1，｜ a－2b｜2＝ a2－4ab＋4b2＝21，即|a2b | 21．( 2) 由已知得 ( a＋ 2b) 2 ( k a－b) ＝ 0，即 k a2－ab＋ 2k ab－ 2b2＝ 0，得 k＝－ 7．测试十一向量数量积的坐标运算与度量公式一、选择题1．A 2．B 3．D 4．A 5．C提示：5．设c＝ ( x，y) ，由 | c | 5 ，得x2＋y2＝5,,①，由 ( a b ) c55 5，得 ( 1, 2) ( x, y)，∴ x 2 y,, ②222由①②解得 c( 1 3, 13) ，或 c ( 1 3, 13) ．22 2213) 时， cos 〈a c5 1 ， 当c (3, 1， 〉222a c5 52|a || c |∴〈 a ，c 〉＝ 120°，另一种情况，计算结果相同．二、填空题6．－ 5； 135° 7． 8 510． ( － 1，4) 或 ( 1，2)58．135° 9． ( － 2，－ 4)提示：10．设 C( x ， y) ，则 AB(1,1), AC ( x, y 3) ，由 AC ⊥ AB 得， AB AC 0 ，即 x ＋ y － 3＝ 0,, ①又 | AB | AC ， ∴ 2＝ x 2＋ ( y － 3) 2,, ②． 结合①②，解得，x 1,x 1y 或y 4 ∴ C( 1， 2) 或 C( －1，4) ．2,三、解答题11．答： |a 2b |37 ；( 2a － b ) 2 ( a ＋ b ) ＝22； cos a b , ab 55.12．解：设 a ＝ ( x ，y) ，则2x 3 y 0 x 6 x6 x2y252，解得：y 4 或，所以 a ＝( 6，4) 或y 4a ＝ ( －6，－ 4) ．13．解：设 C( x ， y) ，则 OC( x, y) ，由已知可得： 〈 OA,OC 〉＝〈 OB, OC 〉AC // ABx y 113 则，所以，解得OC OCOB OC 3 4 x, y，2yxy2|OA ||OB|55所以 C( 1, 3)．2 214．解：由 | AB |4 得 k 2≤ 15，∵ k ∈ Z ，∴ k ＝－ 3，－ 2，－ 1， 0， 1， 2，3，·2k 4 0 所以 k ＝－ 2；当 A ＝ 90°时， AB ACAB ·BC 0，BC （2 - k ，3）当 C＝ 90°时，，所以 2( 2－ k) ＋12＝ 0， k＝ 8( 舍 ) ．AC·BC 0，BC （2 - k，3）综上 k＝－ 1 或－ 2 或 3．测试十二向量的应用一、选择题1．C2．A3．B4．B5．D提示：ABm, AC5．设n ，则｜m｜＝｜n｜＝1，|AB| |AC|由已知 (m n) BC 0 ．∴ m BC n BC，∴ m BC cos(x B)n BC cos C ∴c osB＝ c osC，又B、C∈( 0，)∴B＝ C．又由已知 m n 1，2∴ m n cos A 1 2∴ cos A 1，又（0，π）2∴A＝ 60°∴△ ABC 为等边三角形．二、填空题18．46. 10 5m/s;7． m， 60°，9．②③2 5三、解答题10．答：＝ 60°；300 3N．11．解：如图，建立平面直角坐标系，作□ABCD，设|OC | 2,| OB | 10，则C( 1，3 )，B( 10， 0) ，CB (9, 3)，得 |CB| 2 21 9.17m/s，tan AOB3．9由计算器计算得∠ AOB≈ 10. 89°．该运动员跑步速度的大小为9. 17 m/ s，方向为东偏南约10. 89°．MN // MC量，再证明二者具有关系 MN MC 即可．设AB e 1 ， AD e 2 ，则 BDe 1 e 2 ， BN1e 1 1e 2 ．3 3MC1e 1 e 2 ， MN MB BN 1e 1 ( 1e 11e 2 ) 1 e 1 1e 2 ．22 33 6 3所以 MN1MC ，所以 M ， N ，C 三点共线．313．证明：设此等腰直角三角形的直角边长为a ，AD CE( AC CD) (CA AE) AC CA AC AECD CA CD AE|AC|2| AC || AE | cos45 0 |CD || AE |cos45a 22 a 21 a 20 所以 AD ⊥ CE ．33或以点 C 为原点， CA ， CB 所在的直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则 A( a ， 0) ， D (0, 1 a), E(1 a, 2a), AD ( a, 1 a), CE ( 1 a, 2a),23 3233可得出 AD CE1 a2 1 a 20 ，所以 AD ⊥CE ．3 314．解：设 P( x ， y) ，则 OP (x, y) ， OB ＝ ( 4， 4) ，由 OP,OB ，共线得 4x －4y ＝ 0，,, ①，AP ( x 4, y) ， AC ＝ ( － 2， 6) ，由 AP, AC 共线得 6( x － 4) － y( － 2) ＝0,, ②，由①②解得， P( 3， 3) ．测试十三 平面向量全章综合练习一、选择题 1．A2．A3．B4．C5．D二、填空题6． 2 26m/s7．－8 或 2 2 109．1710．④⑤⑥8．59三、解答题11．解： ABOB OA (3,2) ，OM1(OB OA) ( 1,2),所以 M (1,2)，2 22OPOA1AB (1, 5) ，所以 p( 1, 5), OQ OA 2AB (0, 7) ，3 3 33 3 7所以 Q(0, ) ．2 7 ， cos 〈 a ， a -b 〉2712．答：｜ a -b ｜7.13．略解： ( 1) 设单位向量为 e ＝ k( － 2， 1) ＝ ( － 2k ， k) ，因为 | e | ＝ 1，得 k55，2 5 52 5 5e (5 , 5 ) 或 e ( 5 , 5 ) ．(2)|b 2 | ( x 2) 29 ，当 x ＝ 2 时， | b － 2a ｜最小值为 3，此时 b ＝ ( 2，1) ．a ( 3) x 1 ，反向．214．解：设 B( x ， y) ，则 AB( x 5, y 2), OBAB OB 0(x, y) ，由已知得，| AB| |OB|x( x5) y( y 2) 0x 3x2 7所以，解得 2 或 2 ，x2y2( x 5)21( y 2)2y 1 7 y 2 32 2 所以 B(3,7)或 B(7,3)，AB ( 3, 1)或 AB ( 7,3)，222 22 22 2用心 爱心 专心。

2.3.4 平面向量共线的坐标表示(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( ) A ．12 B ．2 C ．－12D ．－2【解析】 m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，由m a ＋4b 与a －2b 共线，有－(2m －4)＝4(3m ＋8)，解得m ＝－2，故选D ．【答案】 D2．已知A ，B ，C 三点共线，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )【导学号：00680053】A ．－13B ．9C ．－9D ．13【解析】 设C (6，y )，∵AB →∥AC →， 又AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)， ∴－8×(y ＋6)－3×8＝0， ∴y ＝－9. 【答案】 C3．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，且a ∥b ，则锐角θ等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．75°【解析】 由a ∥b ，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0，即cos θ＝±22，而θ是锐角，故θ＝45°.【答案】 B4．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(m,4)，且a∥b ，那么2a －b ＝( ) A ．(4,0) B ．(0,4) C ．(4，－8)D ．(－4,8)【解析】 由a∥b 知4＋2m ＝0，∴m ＝－2,2a －b ＝(2，－4)－(－2,4)＝(4，－8)．故选C ．【答案】 C5．如果向量a ＝(k,1)，b ＝(4，k )共线且方向相反，则k 等于( ) A ．±2 B ．2 C ．－2D ．0【解析】 由a ，b 共线得k 2＝4，又两个向量的方向相反，故k ＝－2.故选C ． 【答案】 C 二、填空题6．已知向量a ＝(－2,3)，b∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．【解析】 由b∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2，又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫0，72或⎝⎛⎭⎪⎫73，07．向量a ＝(1，－2)，向量b 与a 共线，且|b |＝4|a |，则b ＝________. 【解析】 因为b ∥a ，令b ＝λa ＝(λ，－2λ)， 又|b |＝4|a |，所以(λ)2＋(－2λ)2＝16(1＋4)，故有λ2＝16，解得λ＝±4，∴b ＝(4，－8)或(－4,8)．【答案】 (4，－8)或(－4,8) 三、解答题8．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为A (0，－1)，B (3,2)，C (1,3)，D (－1,1)，证明：四边形ABCD 是梯形. 【导学号：70512034】【证明】 ∵AB →＝(3,3)，CD →＝(－2，－2)， ∴AB →＝－32CD →，∴AB →∥CD →，AB ∥CD ．又AD →＝(－1,2)，BC →＝(－2,1)， 且－1×1－2×(－2)＝3≠0， ∴AD →与BC →不平行，即AD 与BC 不平行， ∴四边形ABCD 是梯形．9．已知向量AB →＝(4,3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足点P ，B ，D 三点共线，求y 的值． 【解】 (1)设B (x 1，y 1)， ∵AB →＝(4,3)，A (－1，－2)， ∴(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，∴B (3,1)．同理可得D (－4，－3)，设BD 的中点M (x 2，y 2)， 则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. (2)PB →＝(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )， BD →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．∵P ，B ，D 三点共线，∴PB →∥BD →， ∴－4＋7(1－y )＝0， ∴y ＝37.[能力提升]1．若AB →＝i ＋2j ，DC →＝(3－x )i ＋(4－y )j (其中i ，j 的方向分别与x ，y 轴正方向相同且为单位向量).AB →与DC →共线，则x ，y 的值可能分别为( )A ．1,2B ．2,2C ．3,2D ．2,4【解析】 因为AB →＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y )， 又AB →∥DC →，所以4－y －2×(3－x )＝0， 即2x －y －2＝0，验知B 合适． 【答案】 B2．已知四边形ABCD 是边长为6的正方形，E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且BF ∶FC ＝2∶1，AF 与EC 相交于点P ，求四边形APCD 的面积．【解】 以A 为坐标原点，AB →为x 轴建立直角坐标系，如图所示，∴A (0,0)，B (6,0)，C (6,6)，D (0,6)，F (6,4)，E (3,0)，设P (x ，y )，AP →＝(x ，y )， AF →＝(6,4)，EP →＝(x －3，y )，EC →＝(3,6)．由点A ，P ，F 和点C ，P ，E 分别共线，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －6y ＝0，x －－3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝3，∴S 四边形APCD ＝S 正方形ABCD －S △AEP －S △CEB ＝36－12×3×3－12×3×6＝452.。

2．3.4 平面向量共线的坐标表示[提出问题已知下列几组向量：(1)a ＝(0,2)，b ＝(0,4)；(2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)；(3)a ＝(－1,4)，b ＝(2，－8)；(4)a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. 问题1：上面几组向量中，a 与b 有什么关系？ 提示：(1)(2)中b ＝2a ；(3)中b ＝－2a ；(4)中b ＝－a . 问题2：以上几组向量中，a ，b 共线吗？ 提示：共线． [导入新知]平面向量共线的坐标表示[向量共线的坐标表示的推导 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)≠0， 则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R)．上式若用坐标表示，可写为a ∥b ⇔(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)， 即a ∥b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[例1] (1)b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13 C ．1D ．2(2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)，判断AB 与CD 是否共线．如果共线，它们的方向是相同还是相反？[解] (1)A(2)AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)， ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB ，CD 共线． 又∵CD ＝－2AB ，∴AB ，CD 方向相反． 综上，AB 与CD 共线且方向相反． [类题通法] 向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a ＝λb (b ≠0)推出a ∥b . (2)利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解． [活学活用]1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0答案：C2．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当实数k 为何值时，(ka ＋b )∥(a －3b )？这两个向量的方向是相同还是相反？答案：当k ＝－13时，(ka ＋b )∥(a －3b )，并且它们的方向相反.[例2] (1)若点A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，2，C (x,1)共线，则x ＝________. (2)设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，求当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线． [解] (1)9(2)若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC 共线， 则存在实数λ，使得AB ＝λAC . ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(10－k ，k －12)．∴(4－k ，－7)＝λ(10－k ，k －12)，即⎩⎪⎨⎪⎧4－k ＝λ－k ，－7＝λk －，解得k ＝－2或k ＝11.∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线． [类题通法]三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成： ①证明向量平行；②证明两个向量有公共点． [活学活用]已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )． (1)求实数x 的值，使向量AB 与CD 共线；(2)当向量AB 与CD 共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？ 答案：(1)x ＝±2(2)当x ＝－2时，A ，B ，C ，D 四点在一条直线上[例3][解] 由O ，P ，B 三点共线，可设OP ＝λOB ＝(4λ，4λ)，则AP ＝OP －OA ＝(4λ－4,4λ)．连接OC ，则AC ＝OC －OA ＝(－2,6)．由AP 与AC 共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP ＝34OB ＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．[类题通法]向量共线在几何中的应用及注意事项 向量共线在几何中的应用，可分为两个方面： (1)已知两向量共线，求点或向量的坐标； (2)证明或判断三点共线、直线平行．解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行．[活学活用]已知直角坐标平面上四点A (1,0)，B (4,3)，C (2,4)，D (0,2)，求证：四边形ABCD 是等腰梯形． 证明：由已知得，AB ＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，CD ＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB 与CD 共线． ∵AD ＝(－1,2)，BC ＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)， (－1)×1－2×(－2)≠0，∴AD 与BC 不共线． ∴四边形ABCD 是梯形．∵BC ＝(－2,1)，AD ＝(－1,2)， ∴|BC |＝5＝|AD |，即BC ＝AD . 故四边形ABCD 是等腰梯形．9.错用两向量共线的条件致误[典例] 已知P 1(2，－1)，P 2(－1,3)，P 在直线P 1P 2上，且|1P P |＝23|2PP |.则P 点的坐标为________．[解析] (1)当1P P 与2PP 同向时， 则有1P P ＝232PP ，设P 点坐标为(x ，y )，1P P ＝(x －2，y ＋1)，2PP ＝(－1－x,3－y )．∴(x －2，y ＋1)＝23(－1－x,3－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋23－1＋23，y ＝－1＋23×31＋23，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝35.故P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35. (2)当1P P 与2PP 反向时，则有1P P ＝－232PP ，设P 点坐标为(x ，y )，∴(x －2，y ＋1)＝－23(－1－x,3－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－23－1－23，y ＝－1－23×31－23，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－9.故P 点坐标为(8，－9)．综上可得，P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35或(8，－9)．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35或(8，－9) [易错防范]1．本题易由|1P P |＝23|2PP |只得出1P P ＝232PP 的结论，从而得出P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35的错误答案．2．解决两向量共线问题时，要注意两非零向量a 与b 共线有同向共线和反向共线两种情况，不要发生遗漏．[成功破障]平面上有A (2，－1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC ＝12BC ，连接DC延长至E ，使|CE |＝14|ED |，则点E 的坐标为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－7[随堂即时演练]1．下列各组的两个向量，共线的是( )A ．a 1＝(－2,3)，b 1＝(4,6)B ．a 2＝(1，－2)，b 2＝(7,14)C ．a 3＝(2,3)，b 3＝(3,2)D ．a 4＝(－3,2)，b 4＝(6，－4) 答案：D2．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB 平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2,1) B ．(－6，－3) C ．(－1,2) D ．(－4，－8)答案：D3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝________. 答案：124．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________. 答案：235．已知A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)． ∵AE ＝13AC ，∴AE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∴(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，故E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23.∵BF ＝13BC ，∴BF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1， ∴(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，故F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.∴EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又∵4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，∴EF ∥AB .[课时达标检测]一、选择题1．若a ＝(6,6)，b ＝(5,7)，c ＝(2,4)，则下列命题成立的是( ) A ．a －c 与b 共线 B ．b ＋c 与a 共线 C ．a 与b －c 共线D ．a ＋b 与c 共线答案：C2．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向 答案：D3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb 与a －2b 共线，则mn等于( ) A ．－12 B.12C ．－2D ．2答案：A4．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，且2a ＋b －3c ＝0，则c 等于( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，73 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，73 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－73 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－73 答案：C5．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos θ，－14，且a ∥b ，则锐角θ等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或60° 答案：A 二、填空题6．已知AB ＝(6,1)，BC ＝(x ，y )，CD ＝(－2，－3)，若BC ∥DA ，则x ＋2y 的值为________．答案：07．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 答案：－18．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.答案：(－6,21) 三、解答题9．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题： (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1) ＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2) ＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)． (2)∵a ＝mb ＋nc ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )． ∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89.(3)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.10．已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB 与CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解：AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．∵(－2)×(－6)－3×4＝0， ∴AB 与CD 共线且方向相反．11．如图所示，已知△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC ＝14OA ，OD ＝12OB ，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．解：∵OC ＝14OA ＝14(0,5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.∵OD ＝12OB ＝12(4,3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32， ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM ＝(x ，y －5)， CM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74， AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72.∵AM ∥AD ，∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.① ∵CM ∥CB ， ∴74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0， 即7x －16y ＝－20.②联立①②，解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.。