正比例函数图像和性质

正比例函数的图像和性质知识精要1.正比例函数的图像一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k0≠）的图像是经过原点O(0,0)和点M（1，k）的一条直线。

我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx。

2.正比例函数性质精讲名题例1.若函数y=(m-1)3-mx是正比例函数，则m= ,函数的图像经过象限。

解:m=4,图像经过第一、三象限。

例2.已知y-1与2x成正比例，当x=-1时，y=5,求y与x的函数解析式。

解：∵y-1与2x成正比例∴设y-1=k·2x （k0≠）把x=-1,y=5代入，得k=-2,∴y-1=-2·2x ∴y=-4x+1例3.已知y 与x 的正比例函数，且当x=6时y=-2(1)求出这个函数的解析式；(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，求a 的值；(4)试问，点A （-6，2）关于原点对称的点B 是否也在这个图像上？解：(1) 设y=k ·x （k 0≠）当x=6时，y=-2∴-2=6k ∴31-=k ∴这个函数的解析式为x y 31-=(2) x y 31-=的定义域是一切实数，图像如图所示：(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，∴a 314-=，∴a=-12(4)点A （-6，2）关于原点对称的点B 的坐标（6，-2），当x=6时，y=2631-=⨯- 因此，点B 也在直线x y 31-=上例4.已知点(11,y x )，(22,y x )在正比例函数y=(k-2)x 的图像上，当21x x >时，21y y <，那么k 的取值范围是多少？解：由题意，得函数y 随x 的值增大而减小，∴k-2<0,∴k<2例5.（1）已知y=ax 是经过第二、四象限的直线，且3+a 在实数范围内有意义，求a 的取值范围。

（2）已知函数y=(2m+1)x 的值随自变量x 的值增大而增大，且函数y=(3m+1)x 的值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围。

解：（1）根据题意得a<0,a+3≥0 ∴-3≤a<0 (2) 根据题意得2m+1>0,3m+1<0 解得-1/2<x<-1/3例6.已知正比例函数过A(2，-4),点P 在此正比例函数的图像上，若直角坐标平面内另有一点B （0,4），且8ABP =△S ，求：点P 的坐标。

解：设正比例函数解析式为y=k ·x （k 0≠） 已知正比例函数过A(2，-4) ∴-4=2k ，解得k=-2,∴正比例函数的解析式为y=-2x如图所示，画出直线y=-2x ，并标出A ，B 两点的位置， 分析题意，点P 的坐标要分两种情况讨论。

设点P 的坐标为(x,，-2x)1）若点P 在第二象限，则POB AOB ABP △△△S S S +=根据题意，得8=P A x BO x BO ⋅⋅+⋅⋅21218=P x ⋅⋅+⋅⋅4212421 解得P x =2 又点P 在第二象限，∴P x =-2 ∴点P 的坐标为(-2，4) 2）若点P 在第二象限，则AOB POB ABP △△△S S S -= 根据题意，得8=2421421⋅⋅-⋅⋅P x解得P x =6 又点P 在第四象限，∴P x =6 ∴点P 的坐标为(6，-12) ∴在正比例函数图像上适合条件的P 点有两个：(-2，4)，(6，-12)热身练习1．下列关系中的两个量成正比例的是（ C ）A ．从甲地到乙地，所用的时间和速度；B ．正方形的面积与边长C ．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量；D ．人的体重与身高 2．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ C ）A ．y=4x+1B ．y=2x 2C ．y=-5xD ．y=x 3．下列说法中不成立的是（D ）A ．在y=3x-1中y+1与x 成正比例；B ．在y=-2x中y 与x 成正比例 C ．在y=2（x+1）中y 与x+1成正比例； D ．在y=x+3中y 与x 成正比例4．若函数y=（2m+6）x 2+（1-m ）x 是正比例函数，则m 的值是（ A ） A ．m=-3 B ．m=1 C ．m=3 D ．m>-35．已知（x 1，y 1）和（x 2，y 2）是直线y=-3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1与y 2•的大小关系是（B ）A ．y 1>y 2B ．y 1<y 2C ．y 1=y 2D ．以上都有可能 6．下列函数中，正比例函数是：（ D ）A ．25y x=B ．25y x =－1 C ．245y x =D ．25y x =-7．形如___y=kx(k 0≠)________的函数是正比例函数．8．若x 、y 是变量，且函数y=（k+1）x k2是正比例函数，则k=___1______．9．正比例函数y=kx （k 为常数，k<0）的图象依次经过第__二、四______象限，函数值随自变量的增大而___减小______．10．已知y 与x 成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x=___-3_____． 11．已知82)3(-+=mx m y 是正比例函数，则m = 3 ．12．函数n m x m y n +--=+12)2(，当m= 0 ，n= 0 时为正比例函数；自我测试1．已知y 是x 的正比例函数，且当x=2时，y=2，求y 与x 之间的比例系数，写出函数解析式，并求当y=34时，x 的值。

解：∵y 是x 的正比例函数，设函数解析式为y=kx(k ≠0)∵当x=2时，y=2k=2 ，解得k=2 ∴函数解析式为y=2x当y=34时，即2x=34，解得x=62.2．已知正比例函数y=(5-2k)x 的图像经过第二、四象限，求k 的取值范围。

解：∵正比例函数y=(5-2k)x 的图像经过第二、四象限∴5-2k<0，解得25k >3.已知2y-3与4x+5成正比例，且当x=1时，y=15，求y 与x 的函数关系式。

解：∵2y-3与4x+5成正比例设解析式为 2y-3=k(4x+5) (k ≠0)将x=1，y=15代入解析式，得2×15-3=（4×1+5）k,解得k=3 ∴解析式为2y-3=3×(4x+5) ，即y=6x+94.函数y=(k-2)2)2(-k x是正比例函数，且y 的值随着x 的减小而增大，求k 的值。

解：∵函数y=(k-2)2)2(-k x是正比例函数，∴k-2≠0且（k-2）2=1,解得k=3 或 k=1∵y 的值随着x 的减小而增大 ∴ k-2<0，解得k<2 ∴k=15.已知y=(k-2)x+2k +k-6为正比例函数。

（1） 求k 的值及函数解析式 （2） 当x 取什么值时，函数的值为43 解：(1)∵y=(k-2)x+2k +k-6为正比例函数∴⎩⎨⎧=-+≠-06022k k k ，解得k=-3∴函数解析式为y= -5x(2)∵y= -5x=43 ，解得x=203-6.一个正比例函数的图像经过点A （-1，3），B(-a ，-a-1)，求a 的值。

解：设正比例函数的解析式为 y=kx (k ≠0)∵函数的图像经过点A （-1，3），B(-a ，-a-1) 代入解析式，得到⎩⎨⎧-=---=ka a k13解得k= -3，a=41- ∴a 的值为41-7.已知点P （2a ，3b ）且a 与b 互为相反数，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点H ；如果15POH =△S 。

求：(1)直线OP 的解析式；(2)点P 的坐标。

解：∵点P （2a ，3b ）且a 与b 互为相反数∴点P 也可表示为（2a,-3a ），点P 在第二或第四象限（如图） ∵15POH =△S ∴21∣2a ∣•∣-3a ∣=15，解得a=±5 点P 坐标为（25，-35）或（-25，35）设直线OP 解析式为y=kx （k ≠0），将点P 坐标带入，解得k=-23∴直线OP 解析式为y=-23x8.点燃的蜡烛，长度按照与时间成正比例缩短，一支长21cm 的蜡烛，点燃6分钟后，缩短3.6cm.设蜡烛点燃x 分钟后，缩短y cm ，求y 的函数解析式和x 的取值范围。

解：∵y 与x 成正比例，设y 与x 的函数解析式为y=kx (k ≠0)根据题意，将x=6，y=3.6代入解析式，得 k=66.3=53 ∴函数解析式为y=53x ∵y ≤21，∴x ≤35 ∵x ≥0，∴x 的取值范围是0≤x ≤35.9.已知正比例函数图像过点（-2,5），过图像上一点A 作y 轴的垂线，垂足为B 的坐标为（0，-3）；（1）求函数解析式 （2）在直角坐标平面内画出函数图像； （3）求A 点坐标及AOB △S解：(1)设正比例函数解析式为y=kx(k ≠0)将（-2，5）代入解析式，解得k=25- ∴函数解析式为y=25-x(2)函数图像见图：(3)将y=-3代入解析式，得x=56,∴A 点坐标（56，-3）AOB △S =21×56×3=5910.已知直线y=kx 过点（21-，3），A 为y=kx 图像上的一点，过点A 向x 轴引垂线，垂足为点B ，AOB △S =5(1) 求函数解析式(2) 在直角坐标平面内画出函数图像； (3) 求A 点、B 点的坐标。

解：(1) 设正比例函数解析式为y=kx(k ≠0)将（21-，3）代入解析式，解得k=6-∴函数解析式为y=6-x (2)函数图像见下图：(3) ∵AOB △S =5，∴5x 21=⋅A A y ，即5x 6x 21=-⋅A A ，解得x A =±315 ∴A （315，152-），B （315，0）或A （－315，152），B （－315，0）11.已知在正比例函数f(x)=(2m-3)722-m x 中，y 随x 的值减小而减小。

（1） （1）求m 的值； （2） （2）求f(32); （3） （3）在直角坐标平面内画出函数图像，并根据图像说明，当x 取何值时，2-≤y 解：(1)∵f(x)=(2m-3)722-m x为正比例函数∴2m 2-7=1且2m-3≠0解得m=±2∵y 随x 的值减小而减小∴2m-3>0,解得m>1.5∴m=2,函数解析式为f(x)=x (2)将x=32代入解析式，得 f(32)=32 (3)函数图像：由函数图象可知，当x ≤-2时，y ≤-2。