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《保险精算学》笔记：生存年金第一节生存年金简介一、生存年金的定义和分类1、生存年金的定义：以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）支付一次保险金的保险类型。
2、生存年金的分类（1）延付年金、初付年金（2）连续年金、离散年金（3）定期年金、终身年金（4）非延期年金、延期年金（5）被保险人支付的保费年金、保险人支付的保险赔付年金3、生存年金与确定性年金的关系（1）确定性年金：支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）。
（2）生存年金与确定性年金的联系：都是每隔一段时间的系列付款（3）生存年金与确定性年金的区别：确定性年金的支付期数是确定的，而生存年金的支付期数是不确定的（以被保险人生存为条件）二、生存年金的用途1、被保险人保费交付常使用生存年金的方式2、某些场合保险人理赔时支付的保险金采用生存年金的方式，特别在：养老保险、残疾保险、抚恤保险、失业保险等场合。
第二节与生存相关联的一次性支付一、年期生存保险定义现龄岁的人在投保年后仍然存活，可以在第年末获得生存赔付的保险称为年期生存保险。
这就是我们在第三章讲到的纯生存保险。
单位元数的年期生存保险的趸缴纯保费为。
在生存年金研究中习惯用表示该保险的精算现值二、相关公式及意义理解：一、连续生存年金简介1、定义：在保障时期内，以被保险人生存为条件，连续支付年金的保险。
2、分类：终身（永久）连续生存年金、定期连续生存年金延期连续生存年金、非延期连续生存年金3、连续生存年金精算现值估计方法u 当期支付技巧：考虑未来连续支付的现时值之和u 综合支付技巧：考虑年金在因死亡或到期而结束时的总值。
二、终身连续生存年金精算现值的估计1、综合支付技巧步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支付的年金的现值之和步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年金期望值，即终身连续生存年金精算现值，记作：2、当期支付技巧步骤一：计算在时刻所支付的当期年金的现值步骤二：计算该当期年金现值按照可能支付的时间积分，得到期望年金现值3、相关公式1、综合支付技巧2、当期支付技巧3、相关公式四、延期连续生存年金精算现值的估计1、延期年终身生存年金：当活到岁之后，每年可获1单位元数的连续支付的延期年金，其精算现值记作也等价于2、延期年年定期生存年金：当在岁与岁之间存活时，每年可获1单位元数的连续支付的延期年金，其精算现值记作也等价于第四节离散生存年金一、离散生存年金简介1、定义：在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时间支付一次年金的保险。
生存年金是人寿保险中一种基本产品形态，是以被保险人在年金期内生存为领取条件的年金。
同时，人寿保险的保费交付也多采取生存年金的方式，以被保险人在保费交付期内生存为条件定期交付。
nx E 是在利率和生者利下n 年的折现系数，1nxE 是在利率和生者利下n 年的累积系数。
理论上，按照年金的时期，分为定期年金和终身年金；按照年金的起付点和购买日的关系，可以分为即期年金和延期年金；按照年金起付点和计算精算现值时点的关系，可以分为首期付年金和期末付年金；按照年金给付额是否变动，分为等额年金和变额年金等。
另外，年金和寿险精算现值存在某种关系，掌握这种关系对精算计算很有帮助。
年付一次生存年金的精算现值(1) 终身生存年金 期首付0k x kxk avp ∞==∑ 期末付1x kxk a E ∞==∑(2) 定期生存年金 期首付11:0n n k x x nkx nx x nk k xN N a vp E D --+==-===∑∑期末付11:x x n x n xN N a D +++-=(3) 延期终身年金 期首付 x n x n xN a D += 期末付1x n x n xN a D ++=(4) 延期定期年金 期首付:x m x m nmx nxN N a D +++-= 期末付11:x m x m n mx n xN N a D +++++-=(5) 标准终身递增年金 期首付 ()x x xS Ia D = 期末付 ()1x x xS Ia D +=(6) 标准定期递增年金 期首付():x x n x nx nxS S n N Ia D ++--⨯= 期末付()111:x x n x n x nxS Sn NIa D +++++--⨯=。
