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数项级数一致收敛（原创实用版）目录1.数项级数一致收敛的定义2.数项级数一致收敛的性质3.数项级数一致收敛的判定方法4.数项级数一致收敛的实际应用正文一、数项级数一致收敛的定义数项级数一致收敛是指，当级数的各项绝对值趋于 0 时，级数的和趋于一个确定的常数。
换句话说，如果一个级数的各项绝对值都小于某个正数ε，且级数的项数趋向于无穷，那么这个级数就是一致收敛的。
二、数项级数一致收敛的性质一致收敛的级数具有以下性质：1.有界性：级数的每一项都趋于 0，因此级数的和也有界。
2.有序性：当项数增加时，级数的和单调增加或单调减少。
3.极限存在：当级数的项数趋于无穷时，级数的和存在极限。
三、数项级数一致收敛的判定方法判断一个级数是否一致收敛，可以使用以下几种方法：1.ε-δ法：如果对于任意正数ε，总存在正数δ，使得当项数 n>δ时，级数的各项绝对值都小于ε，那么这个级数就是一致收敛的。
2.柯西准则：如果对于任意正数ε，总存在正数 N，使得当项数 n>N 时，级数的各项绝对值都小于ε，那么这个级数就是一致收敛的。
3.列恩哈德准则：如果对于任意正数ε，总存在正数 N，使得当项数n>N 时，级数的各项绝对值的倒数之和趋于 0，那么这个级数就是一致收敛的。
四、数项级数一致收敛的实际应用一致收敛的级数在数学分析中有广泛的应用，例如求和、求积分、求极限等。
在实数域、复数域以及更高级的数学领域，一致收敛的级数都是研究的重要对象。
同时，一致收敛的级数也是许多实际问题的数学模型，如求解数列的和、计算定积分等。
综上所述，数项级数一致收敛是数学分析中的一个基本概念，具有重要的理论和实际意义。
第七节 函数项级数的一致收敛性内容分布图示★ 引例(讲义例1) ★ 一致收敛的概念★ 例2 ★ 例3 ★ 魏尔斯特拉斯判别法 ★ 例4 ★ 例5 一致收敛级数的基本性质 ★ 定理2★ 定理3★ 定理4幂级数的一致收敛性★ 定理5★ 定理6 ★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题11—7 ★ 返回讲解注意：一、 一致收敛的概念：函数项级数在收敛域I 上收敛于和)(x s ，指的是它在I 上的每一点都收敛，即对任意给定的0>ε及收敛域上的每一点x ，总相应地存在自然数),(x N ε，使 得当N n >时，恒有ε<-|)()(|x s x s n .一般来说，这里的N 不仅与ε有关，而且与x 也有关. 如果对某个函数项级数能够找到这样的一个只与ε有关而不依赖于x 的自然数N ，则当N n >时，不等式ε<-|)()(|x s x s n 对于区间I 上每一点都成立，这类函数项级数就是所谓的一致收敛的级数.定义1 设函数项级数∑∞=1)(n n x u 在区间I 上收敛于和函数)(x s , 如果对任意给定的0>ε，都存在着一个与x 无关的自然数N , 使得当N n >时, 对区间I 上的一切x 恒有ε<-=|)()(||)(|x s x s x r n n ，则称该函数项级数在区间I 上一致收敛于和)(x s ，此时也称函数序列)}({x s n 在区间I 上一致收敛于)(x s .二、定理1（魏尔斯特拉斯判别法）如果函数项级数∑∞=1)(n n x u 在区间I 上满足条件：（1）);,3,2,1(|)(| =≤n a x u n n （2）正项级数∑∞=1n n a 收敛.则该函数项级数在区间I 上一致收敛. 三、 一致收敛级数的基本性质定理2 如果级数∑∞=1)(n n x u 的各项)(x u n 在区间],[b a 上都连续，且级数在区间],[b a 上一致收敛于),(x s 则)(x s 在],[b a 上也连续.定理3 设)(x u n ),3,2,1( =n 在],[b a 上连续，且级数∑∞=1)(n n x u 在区间],[b a 上一致收敛于)(x s ，则⎰xx dx x s 0)(存在，且级数∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上可以逐项积分，即])([])([)(11∑⎰⎰∑⎰∞=∞===n xx n x x n n xxdx x u dx x u dx x s (7.2)其中,0b x x a ≤<≤ 且上式右端的级数在],[b a 上也一致收敛.定理4 如果级数∑∞=1)(n n x u 在区间],[b a 上收敛于和)(x s , 它的各项)(x u n 都有连续导数)(x u n'，并且级数∑∞='1)(n nx u 在],[b a 上一致收敛，则级数∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上也一致收敛，且可 逐项求导，即有∑∑∞=∞='='⎪⎪⎭⎫⎝⎛='11)()()(n nn n x u x u x s (7.3) 四、 幂级数的一致收敛性定理5 如果幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径为,0>R 则此级数在),(R R -内的任一闭区间],[b a 上一致收敛.定理6 如果幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径为,0>R 则其和函数)(x s 在),(R R -内可导，且有逐项求导公式,)(111∑∑∞=-∞=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='n n n n n n x na x a x s逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径.例题选讲：一致收敛的概念例1（讲义例1）考察函数项级数+-++-+-+-)()()(1232n n x x x x x x x的和函数的连续性.本例表明，即使函数项级数的每一项都在[a , b ]上连续，并且级数在[a , b ]上收敛，但其和函数却不一定在[a , b ]上连续；同样也可举例说明，函数项级数的每一项的导数及积分所成的级数的和也不一定等于它们的和函数的导数及积分. 那么在什么条件下，我们才能够从级数每一项的连续性得出它的和函数的连续性，从级数的每一项的导数及积分所成的级数之和得出原级数的和函数的导数及积分呢? 要回答这个问题，就需要引入函数项级数的一致收敛性概念.例2（讲义例2）研究级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-111n n n n x n x 在区间]1,1[-上的一致收敛性.例3（讲义例3）研究级数∑∞=-0)1(n n x x 在区间[0,1]上的一致收敛性.例4（讲义例4）证明级数++++22222sin 22sin 1sin nx n x x 在),(+∞-∞上一致收敛.例5（讲义例5）判别级数∑∞=+1241n x n x在),(+∞-∞上一致收敛. 课堂练习1. 研究级数+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++111112111n x n x x x x 在区间),0[+∞上的一致收敛性.魏尔斯特拉斯（Weierstrass, Karl Wilhelm ，1815~1897)魏尔斯特拉斯德国数学家，1815年10月31日生于德国威斯特伐利亚地区的奥斯登费尔特；1897年2月19日卒于柏林。
