空间与图形难点讲座
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字幕：PPT 33
字幕：PPT 34
（3）折中学。
几张纸片，一把剪刀，简单的工具包含丰富的内涵。图形折叠，它主要培养学生的动手操作与空间想象能力，培养学生的创新精神和实践能力。
图形的折叠实际上就是对称变换，或者说是翻折，以折痕为载体，内容丰富，变化多端，解法灵活，具有开放性。在几何教学中，充分利用图形的折叠，可以突破教学的难点。
字幕：PPT 8
2、思维特点变了，而学生的思维方法没变.
学生在小学的几何学习分为两个阶段，小学的第一学段研究简单图形主要是通过实物和模型辨认简单几何体和平面图形，感受图形变换现象，学习描述物体相对位置的一些方法，进行一些简单的测量活动.
小学的第二学段主要是了解一些简单几何体和平面图形的基本特征，进一步学习图形变换和确定物体位置的方法，进行一些观察物体、认识方向、制作模型、设计图案等活动，并侧重于面积和体积的计算.对一些图形性质的认识往往通过观察、实验操作等手段获得，在思维方法上以形象思维为主.
（2）拼中学。
初中学生喜欢动手，教学中教师要给他们创造动手的机会。
例如：七巧板是我国古代发明的一种拼图游戏，通过拼图可以发展学生的思维能力、开发智力。七巧板是由七块图形组成的，有5个三角形、1个正方形和1个平行四边形。
学生用它们可以拼出平面图形。如三角形、平行四边形、长方形、等腰梯形。
也可以拼出特殊图形，比如动物：
利用动手实践活动可以消除学生对几何的畏惧感，一开始就乐学.实践活动留给学生的感受和印象是深刻的，在学习平面几何的教学过程中，教师要充分利用实践活动，注意对学生非智力因素的开发，用具有趣味性、启发性、思考性和知识性的活动，叩开学生思维的大门.
字幕：PPT 11-18
（1）找中学.
初中数学中许多几何概念的学习，一般都可从生活实例中引入.学习概念之初，可以让学生找一找生活中见到的和概念相关的几何图形，如衣服上纽扣的形状、茶几面的形状、建筑物的形状、交通标识、国旗图案、钟表形状、花瓶形状、花瓣形状等等，让学生感受到我们周围存在着千千万万美丽而神奇的图形，帮助学生消除对几何的距离感.
专题讲座
序号
主要环节
讲座内容
（文字中加入下划线的都是PPT里面需打出的字幕内容）
时长
1
引入
字幕：PPT 1（出现讲座题目）
老师们，大家好！
数学是一门严谨的学科，它对逻辑推理能力的培养起着独特的作用，经过严格的训练，可以使人清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据，正如加里宁所说的那样：“数学是思维的体操.”初中数学中，空间与图形的学习从“图形的认识”、“图形与变换”、“图形与坐标”、“图形与证明”四个方面展开学习.空间与图形的学习更能突出对学生逻辑推理能力的培养.但逻辑推理能力的培养要有一个循序渐进的过程，不能一蹴而就，弄得不好，有可能出现大面积的分化现象.因此，对于初中数学空间与图形的学习，很多教师感到难教，学生感到难学.
在思维方法上转到以抽象思维为主.从通过观察、实验操作获得一些图形性质的认识到通过观察、实验、归纳、类比，抓不住要领，表达混乱.这是学生认为几何难学的原因之二.
字幕：PPT 9
3、学生年龄特点变了，教材及教法不适应.
初中学生的好奇心、好强心明显增加，但又不稳定，常常随着兴趣而转移.刚开始学习平面几何时，有新奇感，并表现出一定的兴趣.但几何入门阶段概念多，学生容易感到枯燥无味，加之难度不大，因而往往在学习中掉以轻心；由于部分教师驾驭教材的能力不够，不能对教材进行再加工，照本宣科，不能把知识讲活、讲出趣味，从概念到概念，从定理到定理，讲得枯燥乏味，无法激发学生的学习兴趣.老师们也常常感到起始阶段内容零碎，对这些零碎的几何知识的重要性认识不够，因而压缩教学时数，尽早进入平面几何的推理阶段.也是造成几何难学困难的一个原因.
字幕：PPT 3
（一）空间与图形学习难点产生的主要方面
初中学生开始学习空间与图形的相关知识时确实存在很多困难，概念集中又抽象，难理解；由“数”转入“形”，难适应；推理论证逻辑性强，难下手.具体表现在：
1、不会说――不会用几何语言进行描述；
常用的几何语言，如“两两（相交）”、“任意（取）画”、“任何一个”、“有且只有”等，学生常常不能正确理解这些语言.又如“任意画一条直线垂直于已知直线”这句话中，“任意”画并不完全是“任意取”的意思.对此，学生有时分不清楚.
而初中平面几何却不但要“知其然”，还要“知其所以然”，要从逻辑关系上来认识图形的性质.在这一学段学生将探索基本图形的基本性质和相互关系，要通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；在探索图形性质中，发展合情推理，要学习有条理地思考与表达，能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；要从几个基本事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，体会证明的必要性，理解证明的基本过程.
对于学生来说，认识并了解一个几何知识的内涵和性质也许并不困难，困难的是在复杂几何图形中识别基本图形，应用相关性质解题.“找中学”还可以体现在几何知识的应用上.
《三角形中位线》的教学环节里，在学生理解了三角形中位线的定义、证明了三角形中位线定理的基础上，我设计了一道例题：
字幕：PPT 19-21
例题：如图，AF = FD = DB，FG∥DE∥BC，
本节课我们研究的主要内容是“初中数学中空间与图形学习的难点和解决策略”．
今天，我们主要从以下三个方面来进行具体研究：
字幕：PPT 2
（一）空间与图形学习难点产生的主要方面
（二）空间与图形学习难点产生的主要原因
（三）空间与图形学习难点解决的主要策略
30秒
2
（一）
《空间与图形学习难点产生的主要方面》
首先，我来谈谈初中阶段空间与图形的学习究竟难在什么地方呢？
“拼中学”还可以应用在重要几何定理的证明上。例如，在《勾股定理》的教学中，安排下面的一个学生活动：
字幕：PPT 32
动手拼一拼：用四个全等的直角三角形拼一拼，在拼出的图形中，能否同时得到两个正方形，其中一个是以斜边C为边长的正方形？
学生用课前准备的直角三角形分小组活动，教师巡视指导。活动结束后，两个小组的学生代表发言，教师把两种不同的拼法展示在黑板上，并提出新的问题：能否用两种方法表示这个以斜边C为边长的正方形的面积？
（1）请找出图中所有的中点；
（点F、点D、点、点E、点P）
提问：为什么点G是线段AE的中点？
（2）请找出图中的三角形中位线；
（三角形中位线FG、三角形中位线DP、三角形中位线PE）
提问：DE是三角形中位线吗？
（3）如果PE=1.5，你可以求出哪些线段的长度？
这个看似简单的例题，起点很低，可以满足不同层次学生的学习需求.此外，三个问题层层递进，培养学生从复杂图形中分离基本图形的能力，结论的发散又培养了学生思考问题的周密性和严谨性.
如何将几何证明推理过程书写清楚、准确，对学生是一个更大的挑战.过分专业而严密的叙述要求是不少学生无法逾越的语言表述的障碍.本来会表达的意思都被几何语言搞糊涂了.
3分
3
（二）
《空间与图形学习难点产生的主要原因》
很多学生一见几何就发怵，久而久之一部分学生放弃了几何的学习.要搞好初中数学中空间与图形的教学，了解学生学习难点产生的原因是关键.初中数学中几何难学的症结究竟在哪里呢？我认为主要由以下三方面原因造成：
字幕：PPT 37
活动二：由梯形得到三角形、平行四边形（含特殊）
学生活动3：给你一个一般的梯形，你能将其转化为我们熟悉的三角形或平行四边形吗？
教师巡视指导，学生感到困难时教师引导：分为分割图形与补全图形两类进行探索。
字幕：PPT 38
①已知一个梯形，在其内部进行分割从而转化为我们熟悉的三角形、平行四边形.
字幕：PPT 7
（二）空间与图形学习难点产生的主要原因
1、学科内容变了，而学生的学习方法没变.
在小学数学和初中代数的学习阶段，主要是研究数与式的计算和恒等变形，始终围绕着数量关系进行，虽然也有对图形面积的计算，但仍是对几何量的运算.在学习方法上，以模仿、反复训练为主，达到熟练掌握的目的.学生往往比较重视运算的结果，而对为什么这样计算重视不够.而初中增加了平面几何以后，研究对象由研究“数与式的运算”为主，转到研究“图形性质”为主，不但要得到结论，更要说明道理.要学习大量的几何概念和几何定理，需要逐字逐句的理解，理解定理的证明和作用；还要接触大量的几何图形，需要观察图形的特点，认识图形的性质；使用的语言由以“代数语言”为主，转到了以“几何语言”为主，要学会使用几何语言对命题进行有条理清晰的论证.学生对由数到形，由计算到推理的变化开始很不适应.这是学生认为几何难学的原因之一.
字幕：PPT 5
3、不会想――不会根据题意分析探索解题途径；
对于几何推理的思考，对学生是一个很大的挑战.学生如何将学习过的定理应用于证明过程中，如何在一个几何图形中寻找到熟悉的基本图形，如何去解决图形运动后的变化，都是在几何推理中遇到的困难.
字幕：PPT 6
4、不会写――不会合乎逻辑地有条理的写出解题过程.
字幕：PPT 40
活动三：根据折叠、分割、补全等操作方法进行归类---即梯形中常见的辅助线。
字幕：PPT 41
①平移梯形的一腰：转化为平行四边形和三角形
字幕：PPT 42
②做梯形的高线：转化为矩形和三角形
在学生一次次寻找求解的过程中，熟悉了三角形中位线的定义和性质，同时进行了“概念对比”（“三角形中位线”和“梯形中位线”）和“定理对比”（“过三角形一边的中点做另外一边的平行线，必平分第三边”和“三角形中位线定理”），用类比学习的方法很自然地让学生理解了两个概念、两个定理之间的区别和联系.
字幕：PPT 22-31
字幕：PPT 36
②四边形（含平行四边形、矩形等）
学生活动2：将特殊四边形转化成特殊梯形（以平行四边形和矩形为例）
字幕：PPT 34
（3）折中学。
几张纸片，一把剪刀，简单的工具包含丰富的内涵。图形折叠，它主要培养学生的动手操作与空间想象能力，培养学生的创新精神和实践能力。
图形的折叠实际上就是对称变换，或者说是翻折，以折痕为载体，内容丰富，变化多端，解法灵活，具有开放性。在几何教学中，充分利用图形的折叠，可以突破教学的难点。
字幕：PPT 8
2、思维特点变了，而学生的思维方法没变.
学生在小学的几何学习分为两个阶段，小学的第一学段研究简单图形主要是通过实物和模型辨认简单几何体和平面图形，感受图形变换现象，学习描述物体相对位置的一些方法，进行一些简单的测量活动.
小学的第二学段主要是了解一些简单几何体和平面图形的基本特征，进一步学习图形变换和确定物体位置的方法，进行一些观察物体、认识方向、制作模型、设计图案等活动，并侧重于面积和体积的计算.对一些图形性质的认识往往通过观察、实验操作等手段获得，在思维方法上以形象思维为主.
（2）拼中学。
初中学生喜欢动手，教学中教师要给他们创造动手的机会。
例如：七巧板是我国古代发明的一种拼图游戏，通过拼图可以发展学生的思维能力、开发智力。七巧板是由七块图形组成的，有5个三角形、1个正方形和1个平行四边形。
学生用它们可以拼出平面图形。如三角形、平行四边形、长方形、等腰梯形。
也可以拼出特殊图形，比如动物：
利用动手实践活动可以消除学生对几何的畏惧感，一开始就乐学.实践活动留给学生的感受和印象是深刻的，在学习平面几何的教学过程中，教师要充分利用实践活动，注意对学生非智力因素的开发，用具有趣味性、启发性、思考性和知识性的活动，叩开学生思维的大门.
字幕：PPT 11-18
（1）找中学.
初中数学中许多几何概念的学习，一般都可从生活实例中引入.学习概念之初，可以让学生找一找生活中见到的和概念相关的几何图形，如衣服上纽扣的形状、茶几面的形状、建筑物的形状、交通标识、国旗图案、钟表形状、花瓶形状、花瓣形状等等，让学生感受到我们周围存在着千千万万美丽而神奇的图形，帮助学生消除对几何的距离感.
专题讲座
序号
主要环节
讲座内容
（文字中加入下划线的都是PPT里面需打出的字幕内容）
时长
1
引入
字幕：PPT 1（出现讲座题目）
老师们，大家好！
数学是一门严谨的学科，它对逻辑推理能力的培养起着独特的作用，经过严格的训练，可以使人清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据，正如加里宁所说的那样：“数学是思维的体操.”初中数学中，空间与图形的学习从“图形的认识”、“图形与变换”、“图形与坐标”、“图形与证明”四个方面展开学习.空间与图形的学习更能突出对学生逻辑推理能力的培养.但逻辑推理能力的培养要有一个循序渐进的过程，不能一蹴而就，弄得不好，有可能出现大面积的分化现象.因此，对于初中数学空间与图形的学习，很多教师感到难教，学生感到难学.
在思维方法上转到以抽象思维为主.从通过观察、实验操作获得一些图形性质的认识到通过观察、实验、归纳、类比，抓不住要领，表达混乱.这是学生认为几何难学的原因之二.
字幕：PPT 9
3、学生年龄特点变了，教材及教法不适应.
初中学生的好奇心、好强心明显增加，但又不稳定，常常随着兴趣而转移.刚开始学习平面几何时，有新奇感，并表现出一定的兴趣.但几何入门阶段概念多，学生容易感到枯燥无味，加之难度不大，因而往往在学习中掉以轻心；由于部分教师驾驭教材的能力不够，不能对教材进行再加工，照本宣科，不能把知识讲活、讲出趣味，从概念到概念，从定理到定理，讲得枯燥乏味，无法激发学生的学习兴趣.老师们也常常感到起始阶段内容零碎，对这些零碎的几何知识的重要性认识不够，因而压缩教学时数，尽早进入平面几何的推理阶段.也是造成几何难学困难的一个原因.
字幕：PPT 3
（一）空间与图形学习难点产生的主要方面
初中学生开始学习空间与图形的相关知识时确实存在很多困难，概念集中又抽象，难理解；由“数”转入“形”，难适应；推理论证逻辑性强，难下手.具体表现在：
1、不会说――不会用几何语言进行描述；
常用的几何语言，如“两两（相交）”、“任意（取）画”、“任何一个”、“有且只有”等，学生常常不能正确理解这些语言.又如“任意画一条直线垂直于已知直线”这句话中，“任意”画并不完全是“任意取”的意思.对此，学生有时分不清楚.
而初中平面几何却不但要“知其然”，还要“知其所以然”，要从逻辑关系上来认识图形的性质.在这一学段学生将探索基本图形的基本性质和相互关系，要通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；在探索图形性质中，发展合情推理，要学习有条理地思考与表达，能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；要从几个基本事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，体会证明的必要性，理解证明的基本过程.
对于学生来说，认识并了解一个几何知识的内涵和性质也许并不困难，困难的是在复杂几何图形中识别基本图形，应用相关性质解题.“找中学”还可以体现在几何知识的应用上.
《三角形中位线》的教学环节里，在学生理解了三角形中位线的定义、证明了三角形中位线定理的基础上，我设计了一道例题：
字幕：PPT 19-21
例题：如图，AF = FD = DB，FG∥DE∥BC，
本节课我们研究的主要内容是“初中数学中空间与图形学习的难点和解决策略”．
今天，我们主要从以下三个方面来进行具体研究：
字幕：PPT 2
（一）空间与图形学习难点产生的主要方面
（二）空间与图形学习难点产生的主要原因
（三）空间与图形学习难点解决的主要策略
30秒
2
（一）
《空间与图形学习难点产生的主要方面》
首先，我来谈谈初中阶段空间与图形的学习究竟难在什么地方呢？
“拼中学”还可以应用在重要几何定理的证明上。例如，在《勾股定理》的教学中，安排下面的一个学生活动：
字幕：PPT 32
动手拼一拼：用四个全等的直角三角形拼一拼，在拼出的图形中，能否同时得到两个正方形，其中一个是以斜边C为边长的正方形？
学生用课前准备的直角三角形分小组活动，教师巡视指导。活动结束后，两个小组的学生代表发言，教师把两种不同的拼法展示在黑板上，并提出新的问题：能否用两种方法表示这个以斜边C为边长的正方形的面积？
（1）请找出图中所有的中点；
（点F、点D、点、点E、点P）
提问：为什么点G是线段AE的中点？
（2）请找出图中的三角形中位线；
（三角形中位线FG、三角形中位线DP、三角形中位线PE）
提问：DE是三角形中位线吗？
（3）如果PE=1.5，你可以求出哪些线段的长度？
这个看似简单的例题，起点很低，可以满足不同层次学生的学习需求.此外，三个问题层层递进，培养学生从复杂图形中分离基本图形的能力，结论的发散又培养了学生思考问题的周密性和严谨性.
如何将几何证明推理过程书写清楚、准确，对学生是一个更大的挑战.过分专业而严密的叙述要求是不少学生无法逾越的语言表述的障碍.本来会表达的意思都被几何语言搞糊涂了.
3分
3
（二）
《空间与图形学习难点产生的主要原因》
很多学生一见几何就发怵，久而久之一部分学生放弃了几何的学习.要搞好初中数学中空间与图形的教学，了解学生学习难点产生的原因是关键.初中数学中几何难学的症结究竟在哪里呢？我认为主要由以下三方面原因造成：
字幕：PPT 37
活动二：由梯形得到三角形、平行四边形（含特殊）
学生活动3：给你一个一般的梯形，你能将其转化为我们熟悉的三角形或平行四边形吗？
教师巡视指导，学生感到困难时教师引导：分为分割图形与补全图形两类进行探索。
字幕：PPT 38
①已知一个梯形，在其内部进行分割从而转化为我们熟悉的三角形、平行四边形.
字幕：PPT 7
（二）空间与图形学习难点产生的主要原因
1、学科内容变了，而学生的学习方法没变.
在小学数学和初中代数的学习阶段，主要是研究数与式的计算和恒等变形，始终围绕着数量关系进行，虽然也有对图形面积的计算，但仍是对几何量的运算.在学习方法上，以模仿、反复训练为主，达到熟练掌握的目的.学生往往比较重视运算的结果，而对为什么这样计算重视不够.而初中增加了平面几何以后，研究对象由研究“数与式的运算”为主，转到研究“图形性质”为主，不但要得到结论，更要说明道理.要学习大量的几何概念和几何定理，需要逐字逐句的理解，理解定理的证明和作用；还要接触大量的几何图形，需要观察图形的特点，认识图形的性质；使用的语言由以“代数语言”为主，转到了以“几何语言”为主，要学会使用几何语言对命题进行有条理清晰的论证.学生对由数到形，由计算到推理的变化开始很不适应.这是学生认为几何难学的原因之一.
字幕：PPT 5
3、不会想――不会根据题意分析探索解题途径；
对于几何推理的思考，对学生是一个很大的挑战.学生如何将学习过的定理应用于证明过程中，如何在一个几何图形中寻找到熟悉的基本图形，如何去解决图形运动后的变化，都是在几何推理中遇到的困难.
字幕：PPT 6
4、不会写――不会合乎逻辑地有条理的写出解题过程.
字幕：PPT 40
活动三：根据折叠、分割、补全等操作方法进行归类---即梯形中常见的辅助线。
字幕：PPT 41
①平移梯形的一腰：转化为平行四边形和三角形
字幕：PPT 42
②做梯形的高线：转化为矩形和三角形
在学生一次次寻找求解的过程中，熟悉了三角形中位线的定义和性质，同时进行了“概念对比”（“三角形中位线”和“梯形中位线”）和“定理对比”（“过三角形一边的中点做另外一边的平行线，必平分第三边”和“三角形中位线定理”），用类比学习的方法很自然地让学生理解了两个概念、两个定理之间的区别和联系.
字幕：PPT 22-31
字幕：PPT 36
②四边形（含平行四边形、矩形等）
学生活动2：将特殊四边形转化成特殊梯形（以平行四边形和矩形为例）
