当前位置：文档之家 › 《自动控制原理》线性定常连续系统的可控性判据

《自动控制原理》线性定常连续系统的可控性判据

  • 格式：pdf
  • 大小：295.04 KB
  • 文档页数：23

下载文档原格式

  / 23

合集下载

自动控制原理(二)_华中科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

自动控制原理(二)_华中科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

自动控制原理（二）_华中科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.死区特性可减小稳态误差。

参考答案:错误2.已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s),两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵分别为：（）【图片】【图片】【图片】参考答案:_3.对于线性定常系统，可控性与可达性是等价的。

参考答案:正确4.对于线性离散控制系统，可以直接应用连续系统劳斯判据判断系统稳定性。

（）参考答案:错误5.判断以下二次型函数的符号性质：【图片】参考答案:负定6.只要系统可观，则可用输出反馈（至状态微分）任意配置闭环极点使系统稳定。

参考答案:正确7.描述函数法主要研究自持震荡参考答案:正确8.具有饱和非线性元件的非线性控制系统如下图所示，下列说法正确的是：（）【图片】参考答案:当K=5时，系统稳定_当K=15时，系统自振荡频率为_当K=10时，系统存在稳定振荡点9.已知【图片】的拉氏变换为【图片】, 求【图片】的Z变换。

（）参考答案:_10.某离散控制系统【图片】（单位反馈T=0.1）当输入r(t)=t时.该系统稳态误差为∞。

参考答案:错误11.相轨迹振荡趋于原点，该奇点为。

参考答案:稳定焦点12.采样系统的闭环极点在Z平面上的分布对系统的动态响应起着决定性作用，采样系统的暂态特性主要由闭环脉冲传递函数的极点来确定。

（）参考答案:正确13.非线性系统自持振荡与有关。

参考答案:系统结构和参数14.设闭环离散系统如图所示，其中采样周期为【图片】。

【图片】则下列说法正确的是（）参考答案:作用下的稳态误差为_作用下的稳态误差为15.对于下述系统的能控能观分解后的各子系统(特征值、和互异)，以下说法正确的是：【图片】参考答案:x1。

x2-x3-x4子系统状态完全能控_x5子系统状态完全不能控16.状态反馈既不改变系统的可控性也不改变系统的可观性参考答案:错误17.对非线性系统:【图片】【图片】其在原点处渐进稳定，但不是大范围渐进稳定的。

《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性

《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性


将状态 x(t0 ) = 0 转移到 x(t f ) =x f 的控制作用，则称状态 x f 是 t0 时刻 可达的。若x f 对所有时刻都是可达的，则称状态x f 为完全可达或 一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0 可达的， 则称该系统是 t0 时刻状态完全可达的，或简称该系统是 t0 时刻可达
可观测性问题: 相应地，如果系统所有状态变量的任意形式 的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系 统可观测。反之，则称系统是不完全可观测的，或简称为系统不可 观测。
可控性与可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出 来的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少的重 要概念，而且对于许多最优控制、最优估计和自适应控制问题，也 是常用到的概念之一。
在研究可观测性问题时，输出 y 和输入 u 均假定为已知，只有初始
状态 x0 是未知的。因此，若定义
t
y(t) = y(t) − C(t) (t, )B( )u( )d − D(t)u(t) t0
则式（9-79）可写为
y(t) = C(t)(t,t0 )x0
（9-80）
这表明可观测性即x0 可由 y 完全估计的性能，由于 y 和 x0 可任意取
y = −6x2
这表明状态变量 x1 和 x2 都可通过选择控制量 u 而由始点达到原
点，因而系统完全可控。 如何判别？
但是，输出 y 只能反映状态变量 x2 ，而与状态变量 x1 既无直
接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。如何判别？
变化：（1）b1=0 ? （2）a12≠0 ？ (3) a21≠0 ?
值，所
现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性

现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性


A'
0
0
0
a0 a1 a2
0
0 可
0
0
B'
控 标
1
an1
0 1
准 形
AT=A’
BT=B’
0 0 0 1 0 0 A 0 1 0
a0
a1
C 0
0 1
0 0
a2
可观标准形
1 an1
结论：状态方程具有可观测标准形的系统一定可观测。
C 0 0
CA
0
0
V
CA2
3.2线性定常系统的可观测性
1．线性定常离散系统状态可观测性
(1) 离散系统可观测定义
x(k 1) Gx(k) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
已知输入u(0)，…，u(n－1)的情况下，通过在
有限个采样周期内测量到的输出y(0)，y(1)，…， y(n-1)，能唯一地确定任意初始状态x(0)的n个分量， 则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc B AB
满秩，即 rankSc n
An1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn
1
0
xn a0
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc' Gn1H
GH H
满秩，且 rankSc' n
亦即 Sc H GH
Gn1H 且rankSc n
离散可控性例题
线性控制理论总复习(2012)

线性控制理论总复习(2012)

： x A(t ) x B(t )u y C (t ) x
（1）
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ： T AT (t ) T C T (t ) T T BT (t ) T
（2）
式中： —协状态, n维行向量； —输出, p维行向量；
如果其状态空间描述具有如下形式
ˆ ˆ ˆ ˆ x Ao x bou
其中：
0 0 0 1 1 ˆ Ao 1 n-1
ˆ ˆ y co x
ˆ co 0 0 1
则称此状态空间描述为能观测规范形。
25
总复习：现代控制理论
2．PBH秩判据
i I A rank n; C
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据
4．约当规范型判据
13
总复习：现代控制理论
3. 对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x Ax x(0) x0 t0 y Cx
x (t ) L1 X ( s ) L1 (s A) 1[ x0 +B U ( s )]
9
总复习：现代控制理论
第4章 线性系统的可控性与可观测性
一、线性定常连续系统的可控性判据（※） 1．秩判据
rankQc rank B AB An 1 B n
2．PBH秩判据
rank i I A B n
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据
10
总复习：现代控制理论
3．对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0 完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型
线性系统的可控性与可观测性

线性系统的可控性与可观测性

第3章 线性系统的可控性和可观测性
Image No
第三章 线性系统的可控性与可观测性
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运
动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如
可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。
在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容
是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、
可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被
证明这是系统的两个基本结构属性。
本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学
定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性
的各种准则，这的。
整理版
1
Image No
第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义 3.2 线性定常连续系统的可控性判据（※） 3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（※） 3.4 对偶原理
如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可
由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，否则就
称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
整理版
3
Image No
第3章 线性系统的可控性和可观测性
例3-1：给定系统的状态空间描述为
xx1204 05xx1212u
y 0
6
x1 x2
图3-1 系统结构图
如果对取定初始时刻 t0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1Tt,t1t0 和一个无约 束的容许控制u(t)，t [t0,t1]，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
整理版
5
第3章 线性系统的可控性和可观测性
哈尔滨工程大学 自动控制原理 第3章 线性系统的可控性与可观测性

哈尔滨工程大学 自动控制原理 第3章 线性系统的可控性与可观测性


A 4 A A 3 3 A 2 2 A 3 ( 2 A I ) 2 A 4 A 3 I
根据数学归纳法有
Ak kA (k1)I
所以：
A 100100A 99I 10 0 01 2 0 0 0 0 9 0 99 0 9
1 200
0
1
18
第3章 线性系统的可控性和可观测性
3. 2 线性定常连续系统的可控性判据(※)
一、线性定常连续系统的可控性判据（※）
1．格拉姆矩阵判据 线性定常系统
x ( t ) A x ( t ) B u ( t ) x ( 0 ) x 0t 0
完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时
刻t1>0，使如下定义的格拉姆矩阵：
W0,t1
t1eAtBBTeATtdt
则矩阵A满足其特征方程，即
( A ) A n n 1 A n 1 1 A 0 I 0
2）推论1：矩阵A的k (k≥n)次幂可表示为A的(n-1)阶多
项式
n1
Ak rmAm，kn m0
注：此推论可用以简化矩阵幂的计算。
16
第3章 线性系统的可控性和可观测性
3）推论2：矩阵指数函数可表示为A的(n-1)阶多项式
4）秩判据（※）
线性定常系统
x ( t ) A x ( t ) B u ( t ) x ( 0 ) x 0t 0
完全可控的充分必要条件是
ra n k BA B A n 1B n
其中: n为矩阵A的维数，SBAB An1B称 为系统的可控性判别阵。
注：秩判据是一种比较方便的判别方法。
19
第3章 线性系统的可控性和可观测性
9
第3章 线性系统的可控性和可观测性
第3章 可控可观与稳定性分析

第3章 可控可观与稳定性分析


3.1 线性定常连续系统的可控性
5、输出可控判据：
系统输出可控的充分必要条件是
Qyc CB CAB CA2 B CAn1 B D


的秩为输出变量的数目m 。即：
rankQyc m
注意： 一般而言，系统输出可控性和状态可控性之间没有什 么必然的联系，即输出可控不一定状态可控，状态可控不 一定输出可控。
系 统 可 控


系 统 不 可 控
第3 章 13
3.1
线性定常连续系统的可控性
Ax Bu ， 2、模态判据1：设线性定常系统 x
具有互不相同的实特征值，则其 状态完全可控的充分必要条件是： 系统经非奇异变换后的对角标准 型： 0 1
x 0
x B u n
解：状态方程为对角型，B阵中不含有元素全为零的行， 故系统是可控的。
∵ 模态判据1要求：互不相同的实特征值 ∴ 只能用代数判据判断
Qc [ B AB 1 2 4 , rankQ 1 3. A2 B] 1 2 4 c 1 2 4
第3 章 16
∴系统是不可控的。
第3 章
27
3.2 线性定常连续系统的可观性
解：(1) ∵ 2 0 ∴系统是可控的。 (2) 系统不可控的。 (3) 系统不可控的。
第3 章 18
3.1 线性定常连续系统的可控性 (4)
2 1 0 0 0 2 0 x 1 u x 0 0 2 1
解：(4) 系统可控的。
Ax Bu 对于系统 x y Cx Du
在有限时间区间 t [t 0 , t f ] ，存在一个无 约束的分段连续的控制输入 u(t ) ，能使任 意初始输出 y (t 0 ) 转移到任意终端输出 y(t f ) ，则称系统是输出完全可控的，简 称输出可控。
线性定常系统的可控性和可测性

线性定常系统的可控性和可测性


• 结论： 结论： 状态完全可控和可观的必要条件是： 状态完全可控和可观的必要条件是： 系统的传递函数或传递函数矩阵中不出现 相约现象。 相约现象。 或： 系统的传递函数或传递函数矩阵是不可约 的
六.线性系统可控性和可观性的对偶关系 1.对偶关系 对偶关系 • 设 • 设 • 称
S1 为系统∑（A,B,C,D 为系统∑ S2 为系统 S1 和 S2对偶 对偶.
• 对定义的说明 对定义的说明: 1). t0 时刻的状态应是任意的 也即x(t)的各 时刻的状态应是任意的,也即x(t)的各 也即x(t) 时的值无论如何给定,都存在容许 分量在 t0 时的值无论如何给定 都存在容许 控制,在 时刻将初始状态转移到零,系统方 控制,在 t1 时刻将初始状态转移到零,系统方 为可控,否则系统不可控 否则系统不可控. 为可控 否则系统不可控 2). t1 应为有限的时间 t1 的选取与 t0 有关 应为有限的时间, 有关, 趋于无穷则可控失去意义. 若 t1 趋于无穷则可控失去意义
y = [ β0
ˆ β1 ⋯ βn−1] x + du
• 其中
1 a 1 O n−1 p = An−1b ⋯ Ab b ⋮ ⋮ ⋱ a2 a3 ⋯ 1 a1 a2 ⋯ an−1 1
• 由于{A,b}对可控,故p一定是非奇异的 由于{A,b}对可控, {A,b}对可控 一定是非奇异的
0 0 ɺ = ⋮ ˆ x 0 −− −a0 1 0 ⋮ 0 0 1 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ˆ x + u 1 ⋮ ⋮ −− −an−1 1
−− −− −− −a1 −a2 ⋯
__ __ __ __ | __ ɺ = 1 0 ⋯ 0 | −a1 x + β1 u ˆ x ˆ 0 1 ⋯ 0 | −a2 β2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ | ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 | −an−1 βn−1
线性系统理论(第四章)线性系统的能控性和能观测性

线性系统理论(第四章)线性系统的能控性和能观测性


An1B] T S 0
rankS n 系统状态不能控，与已知矛盾。
同理可证充分性。
例 线性定常连续系统的状态方程如下，判断其能控性。
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
x
x u0 0 0 1 Nhomakorabea0
1
0 0 5 0 2 0
系统的特征值： 1 2 0 ,3 5 ,4 5
当 1 2 0 时：
② 系统能控：如果状态空间中的所有非零状态都是在 t0 时 刻可控的，则称系统在 t0 时刻是完全可控，简称系统在 时刻 t0 可控。如果系统对任意初始时刻 t0 完全可控， 则称系统一致可控。
③系统不完全能控：如果对给定得初始时刻 t0 Tt ，如果状
态空间中存在一个或一些非零状态在 t0 时刻是不可控的，则 称系统在 t0 时刻是不完全可控的，也称系统是不可控的。
x0TWC (0, t1)x0
t1 0
x0T
eAt
BBT
eAT t
x0
dt
t1 0
BT
eAT t
x0
2
dt
0,
BT eATt x0 0
x(t1) eAt1 x0
t1 eA(t1t) Bu(t) d t 0
0
x0
et1 -At1
0
Bu(t) d t
x0
2
x0T x0
[
et1 -At1
An1B] T S 0
T Ai B 0； i 0，1，2， ，n 1 应用凯-哈定理 An , An1 均可表示为A 的 n-1 阶多项式
T Ai B 0； i 0，1，2，3,
对 t1 0
(1)i T
Ai t i i!
线性定常连续系统的可控性和可观性

线性定常连续系统的可控性和可观性


其中X 为n×1阶矢量,U 为r×1阶矢量,G 为n×n 阶矩阵,H 为
n×r 阶可控矩阵,那么离散系统(5-14)可控的充要条件是可控
判别阵:
的秩等于n。
第5章 系统的可控性和可观性
例5-5-已知某离散系统的系统矩阵G 和输入矩阵H 分别
为
试分析系统可控性。
解
我们可以从 M 阵的前3个列明显看出,Rank(M)=3=n,即
注意:Σc1 中的βi 与Σc2 中的βi 不是同一数值。
第5章 系统的可控性和可观性
Σc1 的模拟结构图如图5-4所示,Σc2 的模拟结构图如图5-5
所示。
图5-4 可控Ⅰ型模拟结构图
第5章 系统的可控性和可观性
图5-5-可控Ⅱ型模拟结构图
第5章 系统的可控性和可观性
Σc1(Ac1,bc1,Cc1)和Σc2(Ac2,bc2,Cc2)之所以称为可控型,主要
先看式(5-33):
第5章 系统的可控性和可观性
第5章 系统的可控性和可观性
再看式(5-34),两边同时左乘Tc2 ,得新关系Tc2 bc2=b。将
式(5-30)的Tc2和式(5-26)
的bc2代入,很容易就得以证明。
再看式(5-35),有
实际上,该式只给出Cc2的计算公式,Cc2没有像Ac2,bc2那样的固
第5章 系统的可控性和可观性
定理5.7 系统完全可观的充要条件是可观判别阵
的秩为n。
第5章 系统的可控性和可观性
例5-6 判别系统
的可观性。
解
因为 Rank(M)=2=n,所以系统可观。
第5章 系统的可控性和可观性
5.4 离散时间系统的可观性
定义5.4 考虑如下线性定常离散系统:
92线性连续系统的可控性和可观测性

92线性连续系统的可控性和可观测性

如果矩阵A(t)和B(t)以及向量u(t)的每个元素都是t 的分段连续函数,则状态方程存在唯一解。
u(t)为分段连续的条件,在工程上是很容易满足的。
3. 线性定常连续系统的状态可控性判据
线性定常连续系统(A,B) x(t) Ax(t) Bu(t)
状态可控性判据有许多不同形式,包括 格拉姆矩阵判据 秩判据 模态判据
因此代入
n1
eAt k (t) Ak k 0
x(0) t1 eA Bu( )d 0
得：
x(0)
t1 0
n1
k ( ) Ak Bu( )d
n1

Ak B
t1 0

k
(
)u(
)d
k 0
k 0
令：
t1 0

k
(
)u(
满秩,
Qc=[B AB … An-1B]
rankQc=rank[B AB … An-1B]=n
证明 在证明可控性判据之前,下面首先证明线性定常系统状 态完全可控等价于下述方程对任意的初始状态x(0)有控制 输入u(t)的解。
x(0) t1 eA Bu( )d 0
证明如下:
x(t0)
能在有限时间[t0,t1]内把系统状 态从初始状态x(t0)控制到原点,即x(t1)=0,
则称t0时刻的状态x(t0)可控;
若对t0时刻的状态空间中的所有状态都可控,则称系统 在t0时刻状态完全可控;简称为系统可控。
对上述状态可控性的定义有如下讨论:
1. 控制时间[t0,t1]是系统状态由初始状态转移到原点所需的 有限时间。
系统可控性指的是控制作用对被控系统的状态和输出 进行控制的可能性。

现代控制理论经典习题

第一周绪论1、我国人民哪些发明属于在经典控制理论萌芽阶段的发明？（AB）A指南车B水运仪象台C指南针D印刷术2、经典控制理论也可以称为（BD）A现代控制理论B自动控制理论C近代控制理论D古典控制理论3、以下哪些内容属于现代控制理论基础的内容？（AB）A李雅普诺夫稳定性理论B极小值原理C频率响应法D根轨迹法4、传递函数模型假设模型初值不为零。

（X）5、传递函数描述的是单输入单输出的外部描述模型。

（X）6、线性系统理论属于现代控制理论的知识体系中数学模型部分。

（，）7、最优控制理论属于现代控制理论的知识体系中估计方法部分。

（X）8、控制科学的意义下，现代控制理论主要研究（数学建模）和（控制理论方法）的科学问题。

9、现代控制理论在整个控制理论发展中起到了（承上启下）的作用。

10、除了稳定性外，现代控制理论基础还考虑系统（能控性）和（能观测性）两个内部特性。

一、现代控制理论作为一门科学技术，已经得到了广泛的运用。

你还知道现代控制理论具体应用到哪些具体实际的例子么？第二周状态空间描述下的动态方程1、关于输出方程，下列哪些说法是正确的？（BD）A输出方程中状态变量必须是一阶的B输出方程中不含输入的任何阶倒数C输出方程中输入变量可以是任意阶的D输出方程中不含状态变量的任何阶倒数2、关于系统的动态方程，下列哪些说法是正确的？（AB）A系统的状态方程的状态变量的个数是惟一的B系统输出方程的输入输出变量是惟一的C系统输出方程的输入输出变量是不惟一的D系统的状态方程的状态变量是惟一的3、对于一个有多个动态方程表示的系统，下列说法正确的是？（AC）A这些动态方程一定是等价的B这些动态方程经过线性变化后，不能转化为一个动态方程C这些动态方程经过线性变化后，可以转化为一个动态方程D这些动态方程不一定是等价的4、选取的状态向量是线性相关的（X）5、状态向量的选取是不唯一的（/）6、状态向量的个数是不唯一的（X）7、输出方程的选取是不唯一的（/）8、（系统的输出量与状态变量、输入变量关系的数学表达式）称为输出方程。

自动控制原理(黄家英)第二版课后答案-7汇编


u( t ) Ri i( t ) C
x1
简记为
x1
(t )
duC ( dt
x 1
L
di( t dt
t)
)
x2
uC ( t )
y
LC d 2
x 2
状态方程 x
x
x Ax Bu
uC ( t dt 2
1
2
输入输出方程
)
RC
duC ( dt
t
)
uC
(
t
)
u(
C1RL
1 L
0
x1 x2
x1 x2
0 1 LC
u
该方法具有一般性,可用于 输入输出高阶微分方程
y 1
0
x1 x2
输出方程
13
同一系统不同状态变量之间的关系？
前例R-L-C网络的两种 状态变量为
x
i
uc
和
x
uc u c
令
~x
uc u c
则
~x
uc
u c
uc i C
0 1 i 1C0 uc
对于 n阶系统，有 n个状态变量 x1 ( t ), x 2 ( t ), , x n ( t )
x1(t)
x
2
(t)
x(t)
x3
(t)
x n(t)
称为状态向量 构成n维状态空间
x(t0 ) x1
x3 x(t1 ) x(t )
x2
3维状态空间
随时间变化产生状态轨迹
6
例: R-L-C串联网络 （输入u，输出uc）
x1
y(t)
y 1 0
0
x

《自动控制原理》线性定常系统的线性变换及结构分解


1n−1
n−1 2
n−1 n
(9-170)
3)设A阵具有m重实数特征值1，其余为(n − m) 个互异实数特征
值，但在求解Api = 1 pi (i = 1,2,, m) 时仍有m个独立实特征向量P1, P2 ,, Pm ，
则仍可使A阵化为对角阵 。（Ver6书没有）
P = p1 p2 pm pm+1 pn
系统。其动态方程分别为
•
S1 : x = Ax + Bu, y = Cx
(9—186)
•
S2 : z = AT z + C T v, w = BT z
(9—187)
其中，x，z均为n维状态向量；u.w 均为P 维向量；y, v 均为q维向量。
注意到系统与对偶系统之间，其输入、输出向量的维数是相交换的。
这表明变换前与变换后系统的传递矩阵完全相同，系统的传递矩阵 对于非奇异线性变换具有不变性。
3．变换后系统可控性不变
变换后系统可控性矩阵的秩为
rankS ' = rank P −1B (P −1 AP)P −1B (P −1 AP)2 P −1B (P −1 AP)n−1 P −1B = rank P −1B P −1 AB P −1 A2 B P −1 An−1B = rankP−1 B AB A2 B An−1B = rank B AB A2 B An−1B = rankS
三．非奇异线性变换的不变特性 从前面的研究中可以看到，为了便于研究系统固有特性，常常
需要引入非奇异线性变换，例如，将A阵对角化或约当化，需进行P 变换；将 A,b化为可控标准型，需进行 P−1 变换；将 A, c 化为可观测
标准型，需进行PT 变换。虽然这些变换中的p阵各不相同，但都是

自动控制原理第四版习题答案

02
鲁棒控制系统的设计目标是使系统在不确定性和干扰作用下 仍能保持其稳定性和性能。
03
鲁棒控制理论中常用的方法有鲁棒性分析、鲁棒控制器设计 等。
06
习题答案解析
第1章习题答案解析
1.1
简述自动控制系统的基本组成。答案：一个典型的自动控制系统由控制器、受控对象、执行器、传感 器等部分组成。
1.2
简述开环控制系统和闭环控制系统的区别。答案：开环控制系统是指系统中没有反馈环节的系统，输 出只受输入的控制，结构相对简单；而闭环控制系统则有反馈环节，输出对输入有影响，结构相对复 杂。
20世纪60年代末至70年代，主要研究多变量线 性时不变系统的最优控制问题，如线性二次型最 优控制、极点配置等。
智能控制理论
20世纪80年代至今，主要研究具有人工智能的 控制系统，如模糊逻辑控制、神经网络控制等。
02
控制系统稳定性分析
稳定性定义
01
内部稳定性
系统在平衡状态下受到扰动后，能 够回到平衡状态的性能。
步骤
时域分析法包括对系统进行数学建模、 系统稳定性分析、系统性能分析和系 统误差分析等步骤。
缺点
时域分析法需要对系统的数学模型进 行详细的分析，对于复杂系统的分析 可能会比较困难。
频域分析法
步骤
频域分析法包括对系统进行数学建模、系 统稳定性分析和系统性能分析等步骤。
定义
频域分析法是在频率域中对控制系 统进行分析的方法。它通过对系统 的频率响应进行分析，来描述系统
它通过分析系统的频率响 应，并根据频率响应的性 质来判断系统的稳定性。
如果频率响应曲线超出奈 奎斯特圆，则系统是不稳 定的。
根轨迹法
根轨迹法是一种图解方法，用 于分析线性时不变系统的稳定

第四章 线性定常系统的可控性和可测性


• 若系统哪怕只有一个状态变量在任意初始
时刻 t0 时的值不能由系统输出唯一地确定, 则称系统状态不完全可观.
2.可观性判据
• 判据定理1.
• 线性定常系统
x Ax Bu y Cx Du
• 或简称为∑(A,B,C,D) • 状态可观的充要条件是可观性矩阵 必须满秩,即 rank (QO ) n
2.单变量系统的可观标准形
• 定理2.设系统∑(A,b,c,d)可观,则可通过等价变 ˆ换 x p 1 x 将其化成如下可观标准形式. 0 0 | a 0
__ 1 ˆ x 0 0 __ 0 1 0 __ __ 0 0 1 | __ 1 | a1 ˆ x u | a2 2 | | an 1 n 1
y 0
ˆ 1 n1 x du
• 其中
1 a 1 O n 1 p An 1b Ab b a2 a3 1 a1 a2 an 1 1
• 由于{A,b}对可控,故p一定是非奇异的
改变B阵为 2 0T时,则 x1 可控,而 x2 是控制u通过 x1
而达到间接控制 x2 的目的.
• 显然,由于状态之间的关联性以及状态对系
统特性的不同影响作用,所以可控性是十分
重要的.
(2)可观性
• 可观性指的是,从系统的输出中能否观测到
系统的内部信息,或者说能否量测到状态信 息的一种特性,这无论对于了解系统的运行 情形还是取得状态信息用作控制都是完全 必要的.
• 可控性判据定理二(对角形) • 线性定常系统∑(A,B)具有互不相同的特征

线性系统的可控性和可观性

线性系统的可控性和可观性摘要：线性系统的可控性和可控性是线性系统最基本的概念。

本文从这个基本概念着手，介绍了线性系统的可控标准形和可观标准形，并且对系统可控性和可观性的判据做了详细的介绍。

本文的研究有利于对线性系统可控性和可观性的知识体系有一个比较好的了解，对进一步学习现代控制理论提供一个扎实的基础，同时通过对相关知识的归纳总结，为以后的学习研究提供了一个好的方法。

通过对其中大量高等数学的学习与应用，可以提高应用高等数学解决相关问题的意识与能力。

关键词:线性系统；可控性；可观性Linear system controllability and observabilityHou Shibo Liu Yingrui Wang linlin Lin HuanAbstact: Controllability of linear systems and control is the most basic concepts of linear systems. This paper started from this basic concept, introduced the form of linear system controllability and observability of the standard normal form, and the system controllability and observability criterion for a detailed description. This study is beneficial to the linear system controllability and observability of knowledge have a better understanding of the further study of modern control theory provides a solid foundation, through summarized the relevant knowledge for the future of learning Study provides a good method. Through which a large number of learning and application of advanced mathematics, applied mathematics can improve awareness of the problem solving and capacity-related.Key words: Linear system ；Controllable ；Observability0 引言在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

•
x = A x+ Bu
其中
J1
A =
( nn )
J2
B
Jl
， (n p)
=
B
1
B2
B
l
J i1
Bi1
Ji
=
( i i )
Ji2
B
J
i i
，i ( i p)
=
Bi2
Bii
i
Jik
(rik rki )
=
1
i
1
b
1ik
,
1
Bik
rankS0 = 1 = q ，故输出可控。
五．线性定常连续系统的可观测性判据
考虑输入u=0时系统的状态方程和输出方程
•
x = Ax, x(0) = x0 ,t 0, y = Cx
其中，x为n维；y为q维；A和C分别为 和 的常值矩阵。
（9-124）
1．秩判据 线性定常连续系统（9-124）完全可观测的充分必要
)
x1
+
1u L
•
x2
=
−1 C
( R1
1 +
R2
−
R3
1 +
R4
)x2
可控性矩阵为
S = [b
1
Ab]
=
L 0
−
1 L2
( R1R2 R1 + R2
+
R3 R4 R3 + R4
)
0
rankS = 1 n ，系统不可控，u 不能控制 x2, x2 是不可控状态变量。
例9-21 判别下列系统的可控性：
n−1
u Ce At1 x0 = −C Am B m (t1 ) − Du(t1 ) m=0
= − CBu0 (t1 ) − CABu1 (t1 ) − − CAn−1Bun−1 (t1 ) − Du(t)
u0 (t1 )
u1 (t1 )
= − CB CAB CAn−1B D
试判定系统的可控性 解 由于
b B b 1
=
r11
r12
=
1 0
0
b
r13
0 2 0
0 0 4
b B ，
2
=
r
21
=
1 0
b r22
2 3
0 3
B b = = 3 0 0
3
r 31
矩阵
B 1
和
B
2
都是行线性无关的，B
3
的元素不全为零，故系统完全
可控。
问题1：可控规范型/标准型 的判别？ 问题2：某个状态变量是否可控 的判别 ？ 系统/某个状态变量
系统(9-98)完全可控的充分必要条件是，在式(9-132)中，B 不包含
元素全为零的行。 证明 可用秩判据予以证明，推证过程略。
2) 约当规范型判据
若：矩阵A的特征值为1(1重),2( 2重), ,l (l重)，且 1 + 2 + + l = n。 则：由线性变换可将式(9—107)化为约当规范型
( R2 R1 + R2
−
R3
R4 +
R4
) x1
−1 C
( R1
1 + R2
−
R3
1 +
R4 )x2
其可控性矩阵为
S = [b
1
Ab]
=
L
0
−
1 L2
( R1R2 R1 + R2
+
R3 R4 R3 + R4
)
−
1 LC
( R4 R3 + R4
−
R2 R1 + R2
)
当 R4 R2
R3 + R4 R1 + R2
=
i
1
,
C C 1
ik
(qrki )
=
1ik
C 2ik
Crik
C 且(ri1
+ ri2
+ + rii )
i
=i
，由 ik (k
= 1,2,,i ) 的第一列所组成的矩阵
Ci
= C 1i1
C 1i2
C 1ii
对 i = 1,2,,l 均为列线性无关。
例 9-28 已知系统的约当规范型如下，试判断系统的可观测性。
没有什么必然的联系。
例9-14 已知系统的状态方程和输出方程为
• 0 1 1 x = −1 − 2x + −1u
y = 1 0x
试判断系统的状态可控性和输出可控性。
解 系统的状态可控性矩阵为
S = B
AB
=
1 − 1
− 1
1
S = 0, rankS 2 ，故状态不完全可控。
输出可控性矩阵为
S0 = CB CAB D = 1 −1 0
条件是 或
rank CT
C
rank
CA
=n
CA
n−1
AT CT ( AT )2 CT
( AT )n−1CT = n
（9-129） （9-130）
式(9-129)和式(9-130)中的矩阵均称为系统可观测性判别阵，简称
可观测性阵。 证明 略
例9-15 判断下列系统的可观测性
•
x = Ax + Bu, y = Cx
时，rankS = 2 = n
，系统可控。但是，当电桥处于平
衡状态，即 R1R4 = R2 R3 态方程变为。
时， R3 = R1 R3 + R4 R1 + R2
及 R4 = R2 成立，这时状
R3 + R4 R1 + R2
•
x1
=
− 1 ( R1R2 L R1 + R2
+
R3 R4 R3 + R4
控制函数 u(t),t [t0 ,t1]，能使任意初始输出y(t0 ) 转移到任意最终输出y(t1) ， 则称此系统是输出完全可控，简称输出可控。
输出可控性判据 设线性定常连续系统的状态方程和输出方程
为 • x = Ax + Bu, x(0) = x0 ,t [0,t1]
y = Cx + Du
(9-118) (9-119)
分析：
•
原系统：x = Ax + Bu, y = Cx
•
x = Px 变换后：x = Ax + Bu, y = Cx
•
变换关系 x = Ax + Bu, y = Cx
变换后系统可控性矩阵的秩为：
rankS ' = rank P −1B (P −1 AP)P −1B (P −1 AP)2 P −1B = rank P −1B P −1 AB P −1 A2 B P −1 An−1B = rankP−1 B AB A2 B An−1B = rank B AB A2 B An−1B = rankS
◼ 补充要求：要求对系统的每个状态变量能判别其可控可观性
◼ 小组大作业备选题：
◆ 线性定常系统状态点可控性可观性的定义及判别方法研究 ◆ 线性定常系统每个状态变量可控可观性的定义及及判别方法 ◆ 线性定常系统状态点、每个状态变量和系统整体可控可观性及相互关系
解 根据判断法则可定出下列矩阵
2 0 0
1 0
0
c 111
c112
c113
=
0 0
1 0
0, 3
c 112
c122
=
2 3
0, 1
c 131
=
7 0
显然它们都是列线性无关的，c 131
的元素不全为零，故系统完全可
观测。
◼ 与可控性类似，有以下问题
问题1：可观规范型/标准型 的判别？
问题2：某个状态变量是否可观 的判别 ？
1 0
−1 1
1 −1
0 2
=
2, rankV
=
2
=
n，故系统统可观测。
推论：非奇异线性变换不改变系统的可控性
作业：试证明可观标准型描述的系统是完全可观的
2．约当规范型判据 线性定常连续系统(9-140)完全可观测的充 分必要条件分两种情况：
1) 对角线规范型判据 当矩阵A的特征值 1, 2 ,, n 两两相异时，由式(9-124)线性变
un−1 (t1 )
un (t1 )
（9-121）
令
S0 = CB CAB CAn−1B D
（9-122）
S0 为 [q (n +1) p] 矩阵，称为输出可控性矩阵。输出可控的充分必要
条件是，输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数 ，即
rankS0 = q
(9-123)
需要注意的是，状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者
(P −1 AP)n−1 P −1B
作业：试证明可控标准型描述的系统是完全可控的
例9-10 桥式网络如图9-26（20) 所示，试用可控性判据判断其可控性。 解 该桥式电路得微分方程为
iL = i1 + i2 = i3 + i4
R4i4 + uC = R3i3
R1i1 + uC = R2i2
L
diL dt
9-4 线性系统的可控性与可观测性
三、线性定常连续系统的可控性判据
考虑线性定常连续系统的状态方程
•
x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x0 ,t 0
(9-83)