当前位置：文档之家 › 《自动控制原理》线性定常连续系统的可控性判据

《自动控制原理》线性定常连续系统的可控性判据

  • 格式：pdf
  • 大小：295.04 KB
  • 文档页数：23

下载文档原格式

  / 23

合集下载

自动控制原理(二)_华中科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

自动控制原理(二)_华中科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

自动控制原理（二）_华中科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.死区特性可减小稳态误差。

参考答案:错误2.已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s),两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵分别为：（）【图片】【图片】【图片】参考答案:_3.对于线性定常系统，可控性与可达性是等价的。

参考答案:正确4.对于线性离散控制系统，可以直接应用连续系统劳斯判据判断系统稳定性。

（）参考答案:错误5.判断以下二次型函数的符号性质：【图片】参考答案:负定6.只要系统可观，则可用输出反馈（至状态微分）任意配置闭环极点使系统稳定。

参考答案:正确7.描述函数法主要研究自持震荡参考答案:正确8.具有饱和非线性元件的非线性控制系统如下图所示，下列说法正确的是：（）【图片】参考答案:当K=5时，系统稳定_当K=15时，系统自振荡频率为_当K=10时，系统存在稳定振荡点9.已知【图片】的拉氏变换为【图片】, 求【图片】的Z变换。

（）参考答案:_10.某离散控制系统【图片】（单位反馈T=0.1）当输入r(t)=t时.该系统稳态误差为∞。

参考答案:错误11.相轨迹振荡趋于原点，该奇点为。

参考答案:稳定焦点12.采样系统的闭环极点在Z平面上的分布对系统的动态响应起着决定性作用，采样系统的暂态特性主要由闭环脉冲传递函数的极点来确定。

（）参考答案:正确13.非线性系统自持振荡与有关。

参考答案:系统结构和参数14.设闭环离散系统如图所示，其中采样周期为【图片】。

【图片】则下列说法正确的是（）参考答案:作用下的稳态误差为_作用下的稳态误差为15.对于下述系统的能控能观分解后的各子系统(特征值、和互异)，以下说法正确的是：【图片】参考答案:x1。

x2-x3-x4子系统状态完全能控_x5子系统状态完全不能控16.状态反馈既不改变系统的可控性也不改变系统的可观性参考答案:错误17.对非线性系统:【图片】【图片】其在原点处渐进稳定，但不是大范围渐进稳定的。

《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性

《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性

将状态 x(t0 ) = 0 转移到 x(t f ) =x f 的控制作用，则称状态 x f 是 t0 时刻 可达的。若x f 对所有时刻都是可达的，则称状态x f 为完全可达或 一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0 可达的， 则称该系统是 t0 时刻状态完全可达的，或简称该系统是 t0 时刻可达
可观测性问题: 相应地，如果系统所有状态变量的任意形式 的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系 统可观测。反之，则称系统是不完全可观测的，或简称为系统不可 观测。
可控性与可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出 来的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少的重 要概念，而且对于许多最优控制、最优估计和自适应控制问题，也 是常用到的概念之一。
在研究可观测性问题时，输出 y 和输入 u 均假定为已知，只有初始
状态 x0 是未知的。因此，若定义
t
y(t) = y(t) − C(t) (t, )B( )u( )d − D(t)u(t) t0
则式（9-79）可写为
y(t) = C(t)(t,t0 )x0
（9-80）
这表明可观测性即x0 可由 y 完全估计的性能，由于 y 和 x0 可任意取
y = −6x2
这表明状态变量 x1 和 x2 都可通过选择控制量 u 而由始点达到原
点，因而系统完全可控。 如何判别？
但是，输出 y 只能反映状态变量 x2 ，而与状态变量 x1 既无直
接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。如何判别？
变化：（1）b1=0 ? （2）a12≠0 ？ (3) a21≠0 ?
值，所

现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性

现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性

A'
0
0
0
a0 a1 a2
0
0 可
0
0
B'
控 标
1
an1
0 1
准 形
AT=A’
BT=B’
0 0 0 1 0 0 A 0 1 0
a0
a1
C 0
0 1
0 0
a2
可观标准形
1 an1
结论：状态方程具有可观测标准形的系统一定可观测。
C 0 0
CA
0
0
V
CA2
3.2线性定常系统的可观测性
1．线性定常离散系统状态可观测性
(1) 离散系统可观测定义
x(k 1) Gx(k) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
已知输入u(0)，…，u(n－1)的情况下，通过在
有限个采样周期内测量到的输出y(0)，y(1)，…， y(n-1)，能唯一地确定任意初始状态x(0)的n个分量， 则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc B AB
满秩，即 rankSc n
An1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn
1
0
xn a0
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc' Gn1H
GH H
满秩，且 rankSc' n
亦即 Sc H GH
Gn1H 且rankSc n
离散可控性例题

线性控制理论总复习(2012)

线性控制理论总复习(2012)
： x A(t ) x B(t )u y C (t ) x
（1）
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ： T AT (t ) T C T (t ) T T BT (t ) T
（2）
式中： —协状态, n维行向量； —输出, p维行向量；
如果其状态空间描述具有如下形式
ˆ ˆ ˆ ˆ x Ao x bou
其中：
0 0 0 1 1 ˆ Ao 1 n-1
ˆ ˆ y co x
ˆ co 0 0 1
则称此状态空间描述为能观测规范形。
25
总复习：现代控制理论
2．PBH秩判据
i I A rank n; C
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据
4．约当规范型判据
13
总复习：现代控制理论
3. 对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x Ax x(0) x0 t0 y Cx
x (t ) L1 X ( s ) L1 (s A) 1[ x0 +B U ( s )]
9
总复习：现代控制理论
第4章 线性系统的可控性与可观测性
一、线性定常连续系统的可控性判据（※） 1．秩判据
rankQc rank B AB An 1 B n
2．PBH秩判据
rank i I A B n
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据
10
总复习：现代控制理论
3．对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0 完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型

线性系统的可控性与可观测性

线性系统的可控性与可观测性
第3章 线性系统的可控性和可观测性
Image No
第三章 线性系统的可控性与可观测性
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运
动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如
可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。
在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容
是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、
可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被
证明这是系统的两个基本结构属性。
本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学
定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性
的各种准则，这的。
整理版
1
Image No
第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义 3.2 线性定常连续系统的可控性判据（※） 3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（※） 3.4 对偶原理
如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可
由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，否则就
称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
整理版
3
Image No
第3章 线性系统的可控性和可观测性
例3-1：给定系统的状态空间描述为
xx1204 05xx1212u
y 0
6
x1 x2
图3-1 系统结构图
如果对取定初始时刻 t0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1Tt,t1t0 和一个无约 束的容许控制u(t)，t [t0,t1]，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
整理版
5
第3章 线性系统的可控性和可观测性

哈尔滨工程大学 自动控制原理 第3章 线性系统的可控性与可观测性

哈尔滨工程大学 自动控制原理 第3章 线性系统的可控性与可观测性

A 4 A A 3 3 A 2 2 A 3 ( 2 A I ) 2 A 4 A 3 I
根据数学归纳法有
Ak kA (k1)I
所以：
A 100100A 99I 10 0 01 2 0 0 0 0 9 0 99 0 9
1 200
0
1
18
第3章 线性系统的可控性和可观测性
3. 2 线性定常连续系统的可控性判据(※)
一、线性定常连续系统的可控性判据（※）
1．格拉姆矩阵判据 线性定常系统
x ( t ) A x ( t ) B u ( t ) x ( 0 ) x 0t 0
完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时
刻t1>0，使如下定义的格拉姆矩阵：
W0,t1
t1eAtBBTeATtdt
则矩阵A满足其特征方程，即
( A ) A n n 1 A n 1 1 A 0 I 0
2）推论1：矩阵A的k (k≥n)次幂可表示为A的(n-1)阶多
项式
n1
Ak rmAm，kn m0
注：此推论可用以简化矩阵幂的计算。
16
第3章 线性系统的可控性和可观测性
3）推论2：矩阵指数函数可表示为A的(n-1)阶多项式
4）秩判据（※）
线性定常系统
x ( t ) A x ( t ) B u ( t ) x ( 0 ) x 0t 0
完全可控的充分必要条件是
ra n k BA B A n 1B n
其中: n为矩阵A的维数，SBAB An1B称 为系统的可控性判别阵。
注：秩判据是一种比较方便的判别方法。
19
第3章 线性系统的可控性和可观测性
9
第3章 线性系统的可控性和可观测性

第3章 可控可观与稳定性分析


3.1 线性定常连续系统的可控性
5、输出可控判据：
系统输出可控的充分必要条件是
Qyc CB CAB CA2 B CAn1 B D


的秩为输出变量的数目m 。即：
rankQyc m
注意： 一般而言，系统输出可控性和状态可控性之间没有什 么必然的联系，即输出可控不一定状态可控，状态可控不 一定输出可控。
系 统 可 控


系 统 不 可 控
第3 章 13
3.1
线性定常连续系统的可控性
Ax Bu ， 2、模态判据1：设线性定常系统 x
具有互不相同的实特征值，则其 状态完全可控的充分必要条件是： 系统经非奇异变换后的对角标准 型： 0 1
x 0
x B u n
解：状态方程为对角型，B阵中不含有元素全为零的行， 故系统是可控的。
∵ 模态判据1要求：互不相同的实特征值 ∴ 只能用代数判据判断
Qc [ B AB 1 2 4 , rankQ 1 3. A2 B] 1 2 4 c 1 2 4
第3 章 16
∴系统是不可控的。
第3 章
27
3.2 线性定常连续系统的可观性
解：(1) ∵ 2 0 ∴系统是可控的。 (2) 系统不可控的。 (3) 系统不可控的。
第3 章 18
3.1 线性定常连续系统的可控性 (4)
2 1 0 0 0 2 0 x 1 u x 0 0 2 1
解：(4) 系统可控的。
Ax Bu 对于系统 x y Cx Du
在有限时间区间 t [t 0 , t f ] ，存在一个无 约束的分段连续的控制输入 u(t ) ，能使任 意初始输出 y (t 0 ) 转移到任意终端输出 y(t f ) ，则称系统是输出完全可控的，简 称输出可控。

线性定常系统的可控性和可测性


• 结论： 结论： 状态完全可控和可观的必要条件是： 状态完全可控和可观的必要条件是： 系统的传递函数或传递函数矩阵中不出现 相约现象。 相约现象。 或： 系统的传递函数或传递函数矩阵是不可约 的
六.线性系统可控性和可观性的对偶关系 1.对偶关系 对偶关系 • 设 • 设 • 称
S1 为系统∑（A,B,C,D 为系统∑ S2 为系统 S1 和 S2对偶 对偶.
• 对定义的说明 对定义的说明: 1). t0 时刻的状态应是任意的 也即x(t)的各 时刻的状态应是任意的,也即x(t)的各 也即x(t) 时的值无论如何给定,都存在容许 分量在 t0 时的值无论如何给定 都存在容许 控制,在 时刻将初始状态转移到零,系统方 控制,在 t1 时刻将初始状态转移到零,系统方 为可控,否则系统不可控 否则系统不可控. 为可控 否则系统不可控 2). t1 应为有限的时间 t1 的选取与 t0 有关 应为有限的时间, 有关, 趋于无穷则可控失去意义. 若 t1 趋于无穷则可控失去意义
y = [ β0
ˆ β1 ⋯ βn−1] x + du
• 其中
1 a 1 O n−1 p = An−1b ⋯ Ab b ⋮ ⋮ ⋱ a2 a3 ⋯ 1 a1 a2 ⋯ an−1 1
• 由于{A,b}对可控,故p一定是非奇异的 由于{A,b}对可控, {A,b}对可控 一定是非奇异的
0 0 ɺ = ⋮ ˆ x 0 −− −a0 1 0 ⋮ 0 0 1 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ˆ x + u 1 ⋮ ⋮ −− −an−1 1
−− −− −− −a1 −a2 ⋯
__ __ __ __ | __ ɺ = 1 0 ⋯ 0 | −a1 x + β1 u ˆ x ˆ 0 1 ⋯ 0 | −a2 β2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ | ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 | −an−1 βn−1

线性系统理论(第四章)线性系统的能控性和能观测性


An1B] T S 0
rankS n 系统状态不能控，与已知矛盾。
同理可证充分性。
例 线性定常连续系统的状态方程如下，判断其能控性。
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
x
x u0 0 0 1 Nhomakorabea0
1
0 0 5 0 2 0
系统的特征值： 1 2 0 ,3 5 ,4 5
当 1 2 0 时：
② 系统能控：如果状态空间中的所有非零状态都是在 t0 时 刻可控的，则称系统在 t0 时刻是完全可控，简称系统在 时刻 t0 可控。如果系统对任意初始时刻 t0 完全可控， 则称系统一致可控。
③系统不完全能控：如果对给定得初始时刻 t0 Tt ，如果状
态空间中存在一个或一些非零状态在 t0 时刻是不可控的，则 称系统在 t0 时刻是不完全可控的，也称系统是不可控的。
x0TWC (0, t1)x0
t1 0
x0T
eAt
BBT
eAT t
x0
dt
t1 0
BT
eAT t
x0
2
dt
0,
BT eATt x0 0
x(t1) eAt1 x0
t1 eA(t1t) Bu(t) d t 0
0
x0
et1 -At1
0
Bu(t) d t
x0
2
x0T x0
[
et1 -At1
An1B] T S 0
T Ai B 0； i 0，1，2， ，n 1 应用凯-哈定理 An , An1 均可表示为A 的 n-1 阶多项式
T Ai B 0； i 0，1，2，3,
对 t1 0
(1)i T
Ai t i i!

线性定常连续系统的可控性和可观性


其中X 为n×1阶矢量,U 为r×1阶矢量,G 为n×n 阶矩阵,H 为
n×r 阶可控矩阵,那么离散系统(5-14)可控的充要条件是可控
判别阵:
的秩等于n。
第5章 系统的可控性和可观性
例5-5-已知某离散系统的系统矩阵G 和输入矩阵H 分别
为
试分析系统可控性。
解
我们可以从 M 阵的前3个列明显看出,Rank(M)=3=n,即
注意:Σc1 中的βi 与Σc2 中的βi 不是同一数值。
第5章 系统的可控性和可观性
Σc1 的模拟结构图如图5-4所示,Σc2 的模拟结构图如图5-5
所示。
图5-4 可控Ⅰ型模拟结构图
第5章 系统的可控性和可观性
图5-5-可控Ⅱ型模拟结构图
第5章 系统的可控性和可观性
Σc1(Ac1,bc1,Cc1)和Σc2(Ac2,bc2,Cc2)之所以称为可控型,主要
先看式(5-33):
第5章 系统的可控性和可观性
第5章 系统的可控性和可观性
再看式(5-34),两边同时左乘Tc2 ,得新关系Tc2 bc2=b。将
式(5-30)的Tc2和式(5-26)
的bc2代入,很容易就得以证明。
再看式(5-35),有
实际上,该式只给出Cc2的计算公式,Cc2没有像Ac2,bc2那样的固
第5章 系统的可控性和可观性
定理5.7 系统完全可观的充要条件是可观判别阵
的秩为n。
第5章 系统的可控性和可观性
例5-6 判别系统
的可观性。
解
因为 Rank(M)=2=n,所以系统可观。
第5章 系统的可控性和可观性
5.4 离散时间系统的可观性
定义5.4 考虑如下线性定常离散系统:
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

•
x = A x+ Bu
其中
J1
A =
( nn )
J2
B
Jl
， (n p)
=
B
1
B2
B
l
J i1
Bi1
Ji
=
( i i )
Ji2
B
J
i i
，i ( i p)
=
Bi2
Bii
i
Jik
(rik rki )
=
1
i
1
b
1ik
,
1
Bik
rankS0 = 1 = q ，故输出可控。
五．线性定常连续系统的可观测性判据
考虑输入u=0时系统的状态方程和输出方程
•
x = Ax, x(0) = x0 ,t 0, y = Cx
其中，x为n维；y为q维；A和C分别为 和 的常值矩阵。
（9-124）
1．秩判据 线性定常连续系统（9-124）完全可观测的充分必要
)
x1
+
1u L
•
x2
=
−1 C
( R1
1 +
R2
−
R3
1 +
R4
)x2
可控性矩阵为
S = [b
1
Ab]
=
L 0
−
1 L2
( R1R2 R1 + R2
+
R3 R4 R3 + R4
)
0
rankS = 1 n ，系统不可控，u 不能控制 x2, x2 是不可控状态变量。
例9-21 判别下列系统的可控性：
n−1
u Ce At1 x0 = −C Am B m (t1 ) − Du(t1 ) m=0
= − CBu0 (t1 ) − CABu1 (t1 ) − − CAn−1Bun−1 (t1 ) − Du(t)
u0 (t1 )
u1 (t1 )
= − CB CAB CAn−1B D
试判定系统的可控性 解 由于
b B b 1
=
r11
r12
=
1 0
0
b
r13
0 2 0
0 0 4
b B ，
2
=
r
21
=
1 0
b r22
2 3
0 3
B b = = 3 0 0
3
r 31
矩阵
B 1
和
B
2
都是行线性无关的，B
3
的元素不全为零，故系统完全
可控。
问题1：可控规范型/标准型 的判别？ 问题2：某个状态变量是否可控 的判别 ？ 系统/某个状态变量
系统(9-98)完全可控的充分必要条件是，在式(9-132)中，B 不包含
元素全为零的行。 证明 可用秩判据予以证明，推证过程略。
2) 约当规范型判据
若：矩阵A的特征值为1(1重),2( 2重), ,l (l重)，且 1 + 2 + + l = n。 则：由线性变换可将式(9—107)化为约当规范型
( R2 R1 + R2
−
R3
R4 +
R4
) x1
−1 C
( R1
1 + R2
−
R3
1 +
R4 )x2
其可控性矩阵为
S = [b
1
Ab]
=
L
0
−
1 L2
( R1R2 R1 + R2
+
R3 R4 R3 + R4
)
−
1 LC
( R4 R3 + R4
−
R2 R1 + R2
)
当 R4 R2
R3 + R4 R1 + R2
=
i
1
,
C C 1
ik
(qrki )
=
1ik
C 2ik
Crik
C 且(ri1
+ ri2
+ + rii )
i
=i
，由 ik (k
= 1,2,,i ) 的第一列所组成的矩阵
Ci
= C 1i1
C 1i2
C 1ii
对 i = 1,2,,l 均为列线性无关。
例 9-28 已知系统的约当规范型如下，试判断系统的可观测性。
没有什么必然的联系。
例9-14 已知系统的状态方程和输出方程为
• 0 1 1 x = −1 − 2x + −1u
y = 1 0x
试判断系统的状态可控性和输出可控性。
解 系统的状态可控性矩阵为
S = B
AB
=
1 − 1
− 1
1
S = 0, rankS 2 ，故状态不完全可控。
输出可控性矩阵为
S0 = CB CAB D = 1 −1 0
条件是 或
rank CT
C
rank
CA
=n
CA
n−1
AT CT ( AT )2 CT
( AT )n−1CT = n
（9-129） （9-130）
式(9-129)和式(9-130)中的矩阵均称为系统可观测性判别阵，简称
可观测性阵。 证明 略
例9-15 判断下列系统的可观测性
•
x = Ax + Bu, y = Cx
时，rankS = 2 = n
，系统可控。但是，当电桥处于平
衡状态，即 R1R4 = R2 R3 态方程变为。
时， R3 = R1 R3 + R4 R1 + R2
及 R4 = R2 成立，这时状
R3 + R4 R1 + R2
•
x1
=
− 1 ( R1R2 L R1 + R2
+
R3 R4 R3 + R4
控制函数 u(t),t [t0 ,t1]，能使任意初始输出y(t0 ) 转移到任意最终输出y(t1) ， 则称此系统是输出完全可控，简称输出可控。
输出可控性判据 设线性定常连续系统的状态方程和输出方程
为 • x = Ax + Bu, x(0) = x0 ,t [0,t1]
y = Cx + Du
(9-118) (9-119)
分析：
•
原系统：x = Ax + Bu, y = Cx
•
x = Px 变换后：x = Ax + Bu, y = Cx
•
变换关系 x = Ax + Bu, y = Cx
变换后系统可控性矩阵的秩为：
rankS ' = rank P −1B (P −1 AP)P −1B (P −1 AP)2 P −1B = rank P −1B P −1 AB P −1 A2 B P −1 An−1B = rankP−1 B AB A2 B An−1B = rank B AB A2 B An−1B = rankS
◼ 补充要求：要求对系统的每个状态变量能判别其可控可观性
◼ 小组大作业备选题：
◆ 线性定常系统状态点可控性可观性的定义及判别方法研究 ◆ 线性定常系统每个状态变量可控可观性的定义及及判别方法 ◆ 线性定常系统状态点、每个状态变量和系统整体可控可观性及相互关系
解 根据判断法则可定出下列矩阵
2 0 0
1 0
0
c 111
c112
c113
=
0 0
1 0
0, 3
c 112
c122
=
2 3
0, 1
c 131
=
7 0
显然它们都是列线性无关的，c 131
的元素不全为零，故系统完全可
观测。
◼ 与可控性类似，有以下问题
问题1：可观规范型/标准型 的判别？
问题2：某个状态变量是否可观 的判别 ？
1 0
−1 1
1 −1
0 2
=
2, rankV
=
2
=
n，故系统统可观测。
推论：非奇异线性变换不改变系统的可控性
作业：试证明可观标准型描述的系统是完全可观的
2．约当规范型判据 线性定常连续系统(9-140)完全可观测的充 分必要条件分两种情况：
1) 对角线规范型判据 当矩阵A的特征值 1, 2 ,, n 两两相异时，由式(9-124)线性变
un−1 (t1 )
un (t1 )
（9-121）
令
S0 = CB CAB CAn−1B D
（9-122）
S0 为 [q (n +1) p] 矩阵，称为输出可控性矩阵。输出可控的充分必要
条件是，输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数 ，即
rankS0 = q
(9-123)
需要注意的是，状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者
(P −1 AP)n−1 P −1B
作业：试证明可控标准型描述的系统是完全可控的
例9-10 桥式网络如图9-26（20) 所示，试用可控性判据判断其可控性。 解 该桥式电路得微分方程为
iL = i1 + i2 = i3 + i4
R4i4 + uC = R3i3
R1i1 + uC = R2i2
L
diL dt
9-4 线性系统的可控性与可观测性
三、线性定常连续系统的可控性判据
考虑线性定常连续系统的状态方程
•
x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x0 ,t 0
(9-83)