20三维总复习数学---第三节 圆的方程

的方程与专题复习(直线与圆.圆与圆的位置关系.轨迹问题)知识梳理浙江省诸暨市学勉屮学(311811)郭天平圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。

一、有关圆的基础知识要点归纳1.圆的定义：平而内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆.定点即为圆心，定长为半径.2.圆的标准方程①圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得(x-r/)2+(y-/7)2 =r2(r>0), 其屮圆心坐标为(％),半径为r；当a = O,h = O时，即圆心在原点时圆的标准方程为x2 + y2 =厂2 ；②圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。

3.圆的一般方程①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，x2 + y2 + Dx + + F = 0(D2 + E2 - 4F >0)；②圆的一般方程的特点：(1) x2,y2项系数相等且不为()；(2)没有小这样的二次项③二元二次方程Ax2+Bxy + Cy2 +Dx + £y + F = 0表示圆的必要条件是4=C H 0 且B = Q；二元二次方程+ Bxy + Cy2 +Dx + Ey + F =0表示圆的充要条件是A = C^0且3 = 0 且D2 +E2-4AF>04.圆的参数方程圆的参数方程是由中间变量0将变量x, y联系起来的一个方程.[x = r cos e①鬪心在原点，半径为厂的圆的参数方程是：｛.八(0为参数);[y = rsin^/ 、\x = a + r cos 0②圆心在(a,b),半径为旷的圆的参数方程是：｛(〃为参数);[y = b + rsin05.圆方程之间的互化x2 +y2 +Dx + Ey + F =0(D2 +E2-4F>0)配方(E、2D2 + E2 -4F< D<=>X + —+x + —即圆心< 2丿L 2丿4 1 22厂=丄S +E： -4F o 利用(rcos0)2 +(rsin^)2 = r2得j“ °十'°°"矽为参数)2 \y = b + rsind6.确定圆方程的条件圆的标准方程、圆的一燉方程及参数方程都冇三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。

定点
定长
定义
叫做圆
圆心：________
(a，b)
标准
2
2
2
(x－a) ＋(y－b) ＝r (r>0)
半径：________
方程
r
一般 2 2
x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
方程
D
E
(－ ，－ )
圆心：________
2
2
D2 +E2 −4F
半径：________
2
2.点与圆的位置关系
1．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋
(y－y1)(y－y2)＝0.
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝25
答案：A
B．(x－3)2＋(y－1)2＝25
C．(x－3)2＋(y＋1)2＝5
D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝25
解析：设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
因为圆C经过点A(－1，－4)，B(6，3)，且圆心在直线x－y－4＝0上，
−1 − 2 + −4 − 2 = 2
轴上的圆的方程为(
)
A．(x＋1)2＋y2＝3
B．(x＋1)2＋y2＝5
C．(x＋2)2＋y2＝4
D．(x＋2)2＋y2＝8
答案：D
解析：设圆心为(a，0)，由题意得：

|1-|
则 ≤3,解得
√2
1-3√2≤u≤1+3√2,所以 x-y 的最大值为 1+3√2.
= 2 + 3cos,
(方法 2)由 x +y -4x-2y-4=0,得(x-2) +(y-1) =9,令
0≤θ<2π,
= 1 + 3sin,
2
2
所以 x-y=1+3cos θ-3sin
1+3√2.故选 C.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.( × )
(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.( × )

(3)方程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0 表示圆心为 - 2 ,- ,半径为
P的轨迹方程为(
)
A.x2+y2=32
B.x2+y2=16
C.(x-1)2+y2=16
D.x2+(y-1)2=16
(2)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点A(2,3)作圆C的任意弦,则这些弦的中点P
的轨迹方程为
.
答案 (1)B (2)
3 2
2 5
+(y-2) =
2
4
解析 (1)设 P(x,y),则由题意可得 2 (-2)2 + 2 =
圆心: (a,b)
标准
确定圆的标准方程的三个要素:圆心
方程
半径: r

①形如μ= y 形b 式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
xa
②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如 x a2 形y 式b的2 最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值
问题.
举一反三
3. 已知圆C：x 32 y ,点4A2 (-11,0),B(1,0),点P为圆上的动
故大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小 时………………………………………………………………12′ 学后反思 在解决有关的实际问题时，关键要明确题意，根据所给条件建 立直角坐标系，建立数学基本模型，将实际问题转化为数学问题解决.
举一反三
5. 有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之 一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍.已知 A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：运费 和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在 的曲线方程，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点.
解 以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向，
正北方向为y轴正方向建立直角坐标系，
如图，则现在台风中心B的坐标为（-300，0）.
根据题意可知,t小时后B的坐标为
（-300+40tcos 45°,40tsin 45°）,
即（-300+202 t,20 2t）…………………………….3′ 因为以台风中心为圆心，以250千米为半径长的圆上和圆内的区域将遭受
(1)
xy的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设
=y k,即y=kx. x
当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时2k 0 3