高三数学复习圆的方程

圆系方程在平面解析几何直线与圆的教学中，向学生介绍圆系方程可为解题提供便利。

这里主研究常用的一类圆系方程。

定理1 过直线L:y=kx+b及圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的两个交点的圆系方程为：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(kx-y+b)=0 ①（其中λ为待定常数）。

首先证明方程①表示圆。

由于直线l与圆C交，故方程组：；有两组不同的实数解，消去y整理得：(k2+1)x2+(D+kE+2kb)x+b2+bE+F=0 ；Δ＝(D+kE+2kb)2-4(k2+1)(b2+bE+F)＞0 ；整理得： D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F) ②将方程①变形为：x2+y2+(D+kλ)x+(E-λ)y+λb+F=0.要证此方程表示圆，即证：(D+kλ)2+(E-λ)2-4(λb+F)＞0,即：(k2+1)λ2+(2kD-2E-4b)λ+D2+E2-4F＞0.将它看作是关于λ的一元二次不等式，要证其成立，只需证明：Δ＝(2kD-2E-4b)2-4(k2+1)(D2+E2-4F)＜0 ③而此式等价变形为： D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F).它与②完全一致，由于原方程组有两组不同的实数解，所以②式成立，故③式恒成立，方程①表示圆。

其次，证明圆①一定经过直线L与圆C的两个交点。

设两交点分别为A(x1,y1) ，B(x2,y2)，∵点A既在直线L上又在圆C上，∴kx1-y1+b=0, x12+y12+Dx1+Ey1+F=0,∴x12+y12+Dx1+Ey1+F+λ(kx1-y1+b)=0,即点A在圆①上，同理点B亦在此圆上。

故圆①经过A、B两点。

综上，定理1得证。

定理2 经过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0,的交点的圆系方程为：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(包括圆C1，不包括圆C2，其中λ为常数且λ≠-1）特别地，当λ＝-1时，即（D1-D2）x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示两圆公共弦所在直线方程。

高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。

以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。

一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

复习课：圆的标准方程和一般方程教学目标重点：掌握圆的标准方程和一般方程，能根据题目条件选择恰当的形式求圆的方程，理解圆的一般方程和标准方程之间的关系，并能互化.灵活运用圆的几何性质解决问题.了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.难点：与圆有关的综合题的求解方法.能力点：等价转化的数学思想、数形结合的数学思想的应用,逻辑推理能力的培养和训练. 自主探究点：了解参数方程的概念，理解圆的参数方程,利用参数方程解决求最值问题. 易错点：运算出现错误，对问题分析不全面导致漏解. 学法与教具1.学法：学生动脑、动手总结规律,梳理知识，解决问题.2.教具：投影仪. 一、【知识梳理】1.圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件：如三个点,半径和圆心(两个坐标)等. 2.圆的方程(1)标准式：222()()x a y b r -+-= ，其中r 为圆的半径，(,)a b 为圆心. (2)一般式：22220 (40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，其中圆心为(,)22D E--，半径(3)过圆与直线（或圆）交点的圆系方程：i) 22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=，ii) 2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(1-=λ时为一条过两圆交点的直线，该方程不包括圆C 2）(4)二元二次方程220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件：220,0,40A B C D E AF =≠=+->.二、【范例导航】题型1：求圆的方程【例1】(1)求经过点(5,2),(3,2)A B ,圆心在直线230x y --=上的圆的方程;(2)求圆心在直线30x y -=上，与y 轴相切，且被直线y x =截得的弦长为. 【分析】本题可以设圆的标准方程，建立关于圆心(,)a b 和半径r 的三个方程构成的方程组. 【解析】（1）解法一：设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=根据题意可得222222(5)(2)(3)(2)230a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪--=⎩，解得45a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所求圆的方程为22(4)(5)10x y -+-=.解法二：因为圆过(5,2),(3,2)A B 两点，所以圆心在线段AB 的中垂线4x =上，又因为圆心在直线230x y --=上，联立解得4,5a b ==.进而求得圆的半径r 圆方程为：22(4)(5)10x y -+-=.(2)因为圆与y 轴相切，且圆心在直线30x y -=上， 故圆方程可设为222(3)()9x b y b b -+-=又因为直线y x =截圆得弦长为则有2229b +=，解得1b =±， 故所求圆方程为：22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=【点评】求圆的方程时，根据题目条件选择合适的方程形式，同时注意圆的几何性质的充分利用，如在第（1）问解法二中，利用圆心在线段AB 的中垂线上，可以使简化运算.第（2）问求解时注意两组结果.变式训练：求半径为4，与圆22:4240A x y x y +---=相切，且和直线0y =相切的圆的方程.【解析】由题意，设所求圆的方程为圆222:()()C x a y b r -+-=．圆C 与直线0y =相切，且半径为4，所以圆心C 的坐标为1:(,4)C a 或2:(,4)C a -． 又已知圆22:4240A x y x y +---=的圆心A 的坐标为(2,1)，半径为3． 若两圆相切，则两圆心之间的距离437CA =+=或431CA =-=.(1) 当1:(,4)C a 时，222(2)(41)7a -+-=，或222(2)(41)1a -+-= (无解)，故可得2a =±∴所求圆方程为22(2(4)16x y -++-=或22(2(4)16x y --+-=． (2) 当2:(,4)C a -时，222(2)(41)7a -+--=，或222(2)(41)1a -+--= (无解)，故2a =±∴所求圆的方程为22(2(4)16x y -+++=或22(2(4)16x y --++=． 【点评】对本题，易发生以下误解：(1)忽略圆心在x 轴下方的情形，（2）只考虑两圆相外切的情况.题型2：轨迹问题【例2】（1）已知点M 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离的比为12，求点M 的轨迹方程. (2) 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【分析】第（1）问用直接法求轨迹方程，第（2）问用相关点代入法求轨迹方程，所得轨迹都是圆. 【解析】（1）设所求轨迹上任意一点(,),M x y 根据题意：12MOMA =，即：2MO MA =，即= 故所求轨迹方程为：22(1)4x y ++=.（2）设AB 的中点(,)M x y ，点00(,)A x y ，则004232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得 002423x x y y =-⎧⎨=-⎩,又因为A 在圆周上运动，故可得：22(241)(23)4x y -++-=，所求轨迹方程为：2233()()122x y -+-=.【点评】本题是比较简单的两道题目，分别用了直接法和相关点代入法求轨迹方程，旨在让学生复习求轨迹方程的方法，同时更进一步了解哪些点的运动轨迹是圆。

芯衣州星海市涌泉学校圆的方程课题圆的方程备注三维目的掌握圆的方程的几种形式，能纯熟求圆方程，能利用几何性质解决圆的弦长问题培养学生的数形结合思想和良好的思维品质重点圆的方程的几种形式，能利用几何性质解决圆的弦长问题难点能纯熟求圆方程，能利用几何性质解决圆的弦长问题辨析(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(√)(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(×)(5)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是.(×)考点自测1．x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)2．假设点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，那么实数a的取值范围是()A．－1<a<1 B．0<a<1C．a>1或者者a<－1 D．a＝±13．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，那么a的取值范围是()A．a<－2或者者a> B．－<a<0C．－2<a<0 D．－2<a<4．圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，那么圆C的方程为______________．知识梳理1．圆的定义2．确定一个圆最根本的要素是圆心和半径．3．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)为圆心，r 为半径．4．圆的一般方程5．确定圆的方程的方法和步骤6．点与圆的位置关系例题选讲题型一求圆的方程例1根据以下条件，求圆的方程．(1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．变式训练假设圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，那么圆C的标准方程为____________．题型二与圆有关的最值问题例2实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)的最大值和最小值；(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．变式训练两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，那么△PAB面积的最大值与最小值分别是()题型三与圆有关的轨迹问题例3设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．变式训练点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．高考链接如图，圆心坐标为(，1)的圆M与x轴及直线y＝x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切且与x轴及直线y＝x分别相切于C、D两点．(1)求圆M和圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．每日一练1，在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．,2，求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．3，过三点A〔1,3〕，B〔4,2〕，C〔1,-7〕的圆交于y轴于M、N两点，那么MN=〔A〕26〔B〕8〔C〕46〔D〕10后记。