2021圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系 教学案 高三数学一轮复习

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考情分析1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.本节是高考中的重点考查内容，主要涉及直线与圆的位置关系、弦长问题、最值问题等．2．常与椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也与对称性等性质结合考查．3．题型以选择、填空为主，有时也会以解答题形式出现，属中低档题.知识点一直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.直线与圆的位置关系的常用结论(1)当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形．(2)弦长公式|AB|＝|x A－x B|＝.知识点二圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．两圆相交时公共弦的方程求法：设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(×)(4)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(√)2．小题热身(1)已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m值为(D)A．±B．±C．±D．±1解析：将y＝mx代入x2＋y2－4x＋2＝0，得(1＋m2)x2－4x＋2＝0，因为直线与圆相切，所以Δ＝(－4)2－4(1＋m2)×2＝8(1－m2)＝0，解得m＝±1.(2)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(B)A．内切B．相交C．外切D．相离解析：两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．(3)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a 的取值范围为[－3,1]．解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.(4)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝2.解析：由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2.(5)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为2.解析：由得两圆公共弦所在直线为x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以所求弦长为2.考点一直线与圆的位置关系命题方向1位置关系的判断【例1】在△ABC中，若a sin A＋b sin B－c sin C＝0，则圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定【解析】因为a sin A＋b sin B－c sin C＝0，所以由正弦定理得a2＋b2－c2＝0.故圆心C(0,0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝＝1＝r，故圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0相切，故选A.【答案】 A命题方向2弦长问题【例2】(1)若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为()A.B．1 C. D.(2)(2020·海口一中模拟)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为() A．4πB．2πC．9πD．22π【解析】(1)因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于＝，所以弦长为.(2)易知圆C：x2＋y2－2ay－2＝0的圆心为(0，a)，半径为.圆心(0，a)到直线y＝x＋2a的距离d＝，由直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，|AB|＝2，可得＋3＝a2＋2，解得a2＝2，故圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π，故选A.【答案】(1)D(2)A命题方向3切线问题【例3】已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．【解】由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.(1)∵(＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴点P在圆C上．又k PC＝＝－1，∴切线的斜率k＝－＝1.∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∴|MC|＝＝，∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.∴x＝3时，切线长为1.方法技巧(1)判断直线与圆的位置关系的常见方法①几何法：利用d与r的关系.②代数法：联立方程之后利用Δ判断.③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.1．(方向1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(A)A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．2．(方向2)(2020·昆明市教学质量检测)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为(D)A．1 B．±1C. D．±解析：圆的方程可以化为x2＋(y－3)2＝3，圆心为C(0,3)，半径为，根据△ABC为等边三角形可知AB＝AC＝BC＝，所以圆心C(0,3)到直线y＝ax的距离d＝×＝，所以＝⇒2＝⇒a＝±.3．(方向2)(2020·成都市第二次诊断性检测)已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C相交于A，B两点．当∠ACB最小时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为(B)A．2 B．3C．4 D．5解析：圆的方程配方，得(x＋1)2＋(y－a)2＝1＋a2，圆心为C(－1，a)，当弦AB长度最短时，∠ACB最小，此时圆心C与定点(1,2)的连线和直线2x－y＝0垂直，所以×2＝－1，a＝3.4．(方向3)若直线y＝x＋b与曲线x＝恰有一个公共点，则b 的取值范围是(D)A．(－1,1] B．{－}C．{－，2} D．(－1,1]∪{－}解析：由x＝知，曲线表示半圆，如图所示，当－1<b≤1时，直线y ＝x＋b与半圆有一个公共点；当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，此时＝1(b<－1)，解得b＝－.考点二圆与圆的位置关系命题方向1位置关系判定【例4】分别求当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交和相切．【解】将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，则圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝，k<50.从而|C1C2|＝＝5.当|－1|<5<＋1，即4<<6，即14<k<34时，两圆相交．当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切；当|－1|＝5，即k＝14时，两圆内切．所以当k＝14或k＝34时，两圆相切．命题方向2公共弦问题【例5】已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．【解】(1)证明：由题意得，圆C1和圆C2一般方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝16，则圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，∴|r1－r2|<d<r1＋r2，∴圆C1和C2相交．(2)圆C1和圆C2的方程相减，得4x＋3y－23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3，故公共弦长为2＝2.方法技巧(1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.(3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.1．(方向1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(B)A．内切B．相交C．外切D．相离解析：∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，由几何知识得2＋()2＝a2，解得a＝2.∴M(0,2)，r1＝2.又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r2＝1，∴|MN|＝＝，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r2<|MN|<r1＋r2，∴两圆相交，故选B.2．(方向2)圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0与圆x2＋y2＋2x－13＝0相交于P，Q两点，则直线PQ的方程为x－2y＋6＝0.解析：两个圆的方程两端相减，可得2x－4y＋12＝0.即x－2y＋6＝0.。

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系知识体系必备知识1直线与圆的位置关系设圆O的半径为rr>0,圆心到直线的距离为d,那么直线与圆的位置关系可用下表表示:相离相切相交图形方法代数法Δ0 几何法d>r d=r dr1r2d=r1r2r1-r2<d<r1r2d=r1-r2d<r1-r23直线与圆相交弦长公式|AB|=24常用结论1圆的切线方程常用结论①过圆22=r2上一点0,0作圆的两条切线,那么两切点所在直线方程为00=r22直线与圆的位置关系的常用结论①当直线与圆相交时,由弦心距圆心到直线的距离,弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形②弦长公式|AB|=|A-B|=1易错点:圆与圆位置关系中的易误点判断圆与圆的位置关系不可无视内切与内含2注意点:求圆的切线易无视的情况过圆上一点作圆的切线有且只有一条;过圆外一点作圆的切线有且只有两条,假设仅求得一条,除了考虑运算过程是否正确外,还要考虑斜率不存在的情况,以防漏解根底小题1如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,那么两圆外切2“=1〞是“直线-=0与圆22=1相交〞的必要不充分条件3如果两圆的圆心距小于两半径之和,那么两圆相交4假设两圆相交,那么两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程【解析】依据直线与圆、圆与圆的位置关系,只有4正确答案:42教材改编圆22-4=0在点P1,处的切线方程为-2=0 -4=04=0 2=0【解析】选D圆的方程为-222=4,圆心坐标为2,0,半径为2,点P在圆上,设切线方程为-=-1,即--=0,所以=2,解得=,所以切线方程为-=-1,即-2=022-2=0与22-4=0的位置关系是A相交B内切C外切D内含【解析】2-12=1,22=10,1,O2021,半径分别为r1=1,r2=2因为|O1O2|=1=r2-r1,所以两圆的位置关系为内切4教材改编假设圆22=1与圆42-a2=25相切,那么常数a=________【解析】当两圆内切时,=4,解得a=0,当两圆外切时,=6,解得a=±2答案:0或±2。

【高三】2021届高考数学第一轮导学案复习：直线与圆的位置关系高三数学理科复习34----直线与圆的位置关系【高考要求】：能根据给定的线和圆的方程判断线和圆、圆和圆的位置关系，能求出圆的切线方程、公弦方程和弦长（b）【学习目标】：掌握直线与圆，圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法，能用直线与圆的方程解决一些简单的问题[知识回顾和自学查询]（一）问题1.直线和圆之间的位置关系是什么？圆圈之间的位置关系是什么？2、如何判断直线与圆，圆与圆的位置关系？3.如何求与圆相交的直线的弦长？（二）练习1.已知圆和直线时，它们与圆相交。

如果有另一个圆，那么这两个圆是外接的；当时，两个圆圈被刻上；当时，两个圆圈相交2、若圆⊙：，⊙：，则以为切点的⊙的切线方程为：⊙的切线方程为3.被圆切割的直线的弦长为4、过点m（2，4）向圆引切线，则切线方程为5.如果圆与圆相交，实数的取值范围为【例题精讲】1.在这一点上画一条直线。

当直线的斜率是什么值时，它与圆有一个公共点2、直线经过点，其斜率为，与圆相交，交点分别为（1）若，求的值；（2）如果是，请找到的值范围；（3）若为坐标原点），求3.给定圆，点坐标为（2，-1），切线穿过点，切点为（1），以求直线方程（2）求过点的圆的切线长4.已知实数满足方程（1）求的最大值和最小值；（2）求最大值和最小值（3）求的最大值和最小值【纠正反馈】1、若半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是2.如果直线和曲线之间只有一个公共点，则3、圆在点处的切线方程是4.如果点是圆弦的中点，则直线方程为5、若直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是[迁移应用程序]1、在圆内，过点最长的弦所在直线方程为2.圆心在直线上且通过点与直线相切的圆的方程为3、过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程为4.圆和直线之间的位置关系是什么5、已知两圆和相交与两点，则直线的方程为6.让圆上关于直线的点的对称点仍然在圆上，与直线相交的弦长为，求出圆的方程。

第49讲直线与圆的位置关系一、课程标准1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系2、能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.二、基础知识回顾1、直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：相交、相切、相离．(2)圆的切线方程的常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.三、自主热身、归纳总结1、若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系为()A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 位置不确定【答案】C【解析】∵圆心(0，0)到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2<1，∴a2＋b2>1，即点P(a，b)在圆外．故选C.2、直线kx－y－4k＋3＝0与圆x2＋y2－6x－8y＋21＝0的交点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 1或2【答案】C【解析】∵直线kx－y－4k＋3＝0过定点(4，3)，且点(4，3)在圆x2＋y2－6x－8y＋21＝0内，∴交点个数为2个．故选C .3、若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a)2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A . [－3，－1]B . [－1，3]C . [－3，1]D . (－∞，－3]∪[1，＋∞) 【答案】C【解析】由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a≤1.故选C .4、过点(2，3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________________． 【答案】 x ＝2或4x －3y ＋1＝0【解析】 ①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y ＝k(x －2)＋3，由圆心(1，0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0；②若切线的斜率不存在，则切线方程为x ＝2，符合题意，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.5、直线l ：3x －y －6＝0与圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则AB ＝________． 【答案】 10【解析】 由x 2＋y 2－2x －4y ＝0，得(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r ＝5，又圆心(1，2)到直线3x －y －6＝0的距离为d ＝|3－2－6|32＋（－1）2＝102，由⎝⎛⎭⎫AB 22＝r 2－d 2，得AB 2＝4×⎝⎛⎭⎫5－52＝10，即AB ＝10.6、(多选)已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( )A. 6B.5 C ．－ 6 D ．－5【答案】BD【解析】因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋－22＝1，所以a ＝±5，故选B 、D.7、(多选)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72，若直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．10【答案】AD【解析】圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72的圆心C 的坐标为(3,3)，半径r ＝62，因为直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点， 所以圆心到直线的距离为22， 则有d ＝|6－m |1＋1＝22， 解得m ＝2或10，故选A 、D.8、(2019·湖南长沙月考)设直线l ：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋3m ＝0(m ∈R )与圆(x －1)2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，C 为圆心，且△ABC 的面积等于4，则实数m ＝________. 【答案】－12或－72【解析】设CA ，CB 的夹角为θ，圆的半径为r .所以S △ABC ＝12r 2sin θ＝4sin θ＝4，得θ＝π2.易知圆心C 到直线l 的距离为2，所以|4m －1|m －12＋2m ＋12＝2，解得m ＝－12或－72.四、例题选讲考点一、直线与圆的位置关系例1、(1)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定(2)已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离 【答案】(1)A (2)C【解析】 (1)由题意知圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交． (2)因点P 在圆内，故有a 2＋b 2＜r 2，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，所以m ⊥OP ，所以直线m的斜率k m ＝－a b ，因此m ∥l .又直线l 到圆心(0,0)的距离d ＝r 2a 2＋b 2＞r 2r ＝r ，故直线l 与圆相离．故选C.变式1、(1)(2020·杭州模拟)若无论实数a 取何值时，直线ax ＋y ＋a ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0都相交，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－6)D ．(－6，＋∞)(2)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上恒有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是( ) A ．(2＋1，＋∞) B ．(2－1，2＋1) C ．(0，2－1) D ．(0，2＋1)【答案】(1) C (2)A【解析】(1)∵x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0表示圆，∴8－4b ＞0，即b ＜2.∵直线ax ＋y ＋a ＋1＝0过定点(－1，－1)，∴点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0的内部，∴6＋b ＜0，解得b ＜－6，∴b 的取值范围是(－∞，－6)．故选C.(2)计算得圆心到直线l 的距离为22＝2＞1，如图，直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1.变式2、已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长之比为1∶3的两段弧？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．【解析】(1)(方法1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4，得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k)2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*)∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(方法2)求圆心到直线的距离d ＝41＋k 2＜2解得k ＞3或k ＜－ 3. (2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为1∶3的两段弧，则劣弧MN 所对的圆心角∠MCN ＝90°，由圆C ：x 2＋(y －4)2＝4知圆心C(0，4)，半径r ＝2.在Rt △MCN 中，可求弦心距d ＝r·sin 45°＝2，故圆心C(0，4)到直线kx －y ＝0的距离||0－41＋k2＝2，∴1＋k 2＝8，k ＝±7，经验证k ＝±7满足不等式(*)，故l 的方程为y ＝±7x.方法总结：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题． 考点二 圆的弦长问题例2、已知直线ax －y ＋2－a ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝9相交于A ，B 两点，若弦AB 的长为32，求实数a 的值．【解析】 因为圆心到直线ax －y ＋2－a ＝0的距离为||2a ＋1a 2＋1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫||2a ＋1a 2＋12＋⎝⎛⎭⎫3222＝9，解得a ＝1或a ＝7.变式1、（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线3x －y ＋1－3＝0被圆x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0截得的弦长为________．（2）当直线l ：ax －y ＋2－a ＝0被圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝9截得的弦长最短时，实数a 的值为________． （3）若直线l ：ax －y ＋2－a ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝9相交于A ，B 两点，且∠ACB ＝90°，则实数a 的值为________．【答案】（1） 2 6 （2）2 （3）1或7【解析】（1） 圆x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0的圆心为C(3，1)，半径r ＝3，点C 到直线3x －y ＋1－3＝0的距离d ＝3，所求弦长为l ＝2r 2－d 2＝2 6.【解析】（2） 由ax －y ＋2－a ＝0得直线l 恒过点M(1，2)．又因为点M(1，2)在圆C 的内部，当MC 与l 垂直时，弦长最短，所以k MC ·k l ＝－1，所以2－11－3×a ＝－1，解得a ＝2 .（3）由题意，得圆心C(3，1)，半径r ＝3且∠ACB ＝90°，则圆心C 到直线l ：ax －y ＋2－a ＝0的距离为22r ，即||2a ＋1a 2＋1＝322，解得a ＝1或a ＝7.变式2、（1） 过点M(1，2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝9相交于A ，B 两点，若弦AB 的长为25，则直线l 的方程为 _（2）已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2截y 轴所得线段与截直线y ＝2x ＋b 所得线段的长度相等，则b ＝________. 【答案】（1） x ＝1或3x －4y ＋5＝0（2）±5【解析】 （1）当直线l 的斜率不存在时，x ＝1，符合条件；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y－2＝k(x －1)，所以圆心到直线kx －y ＋2－k ＝0的距离为||2k ＋1k 2＋1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫||2k ＋1k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫2522＝9，解得k ＝34，即直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线l 的方程为x ＝1或3x －4y ＋5＝0.（2）记圆C 与y 轴的两个交点分别是A ，B ，由圆心C 到y 轴的距离为1，|CA |＝|CB |＝2可知，圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝± 5.方法总结：弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2. 考点三 圆的切线问题例3、（徐州一中2019届模拟）已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点P 的圆C 的切线方程； (2)求过点M 的圆C 的切线方程．【解析】 由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2.(1)因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，所以点P 在圆C 上． 又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切线的斜率k ＝－1k PC ＝1.所以过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0. (2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M 在圆C 外部． 当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3， 即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线． 当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.所以切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0.变式1、已知点P(2＋1，2－2)，点M(3，1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1) 求过点P 的圆C 的切线方程；(2) 求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． 【解析】 (1) 由题意得圆心C(1，2)，半径r ＝2.因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， 所以点P 在圆C 上． 又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切线的斜率k ＝－1k PC＝1，所以过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝x －(2＋1)，即x －y ＋1－22＝0. (2) 因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4， 所以点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0，满足题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k(x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k|k 2＋1＝2，解得k ＝34，所以切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上所述，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. 因为MC ＝（3－1）2＋（1－2）2＝ 5，所以过点M 的圆C 的切线长为MC 2－r 2＝5－4＝1.变式2、已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A(4，－1)．【解析】(1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0，则|1－2＋b|2＝10，∴b ＝1±25，∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0.(2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则|2－2＋m|5＝10，∴m ＝±52，∴切线方程为2x ＋y±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3， ∴过切点A(4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.方法总结：求圆的切线方程应注意的问题求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．五、优化提升与真题演练1、【2020年天津卷】知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r的值为_________． 【答案】5【解析】因为圆心()0,0到直线80x -+=的距离4d ==，由||AB =可得6==5r ． 故答案为：5．2、【2020年浙江卷】.设直线:(0)l y kx b k =+>，圆221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ，2C 都相切，则k =_______；b =______．【答案】 (1).(2). 3- 【解析】由题意，12,C C 1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.3、【2020年全国2卷】.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A.B.C.5D.5【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为12113255d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--==圆心到直线230x y --=的距离均为d ==；所以，圆心到直线230x y --=. 故选：B.4、【2020年全国3卷】若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D【解析】设直线l 在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.5、（2020届清华大学附属中学高三第一学期12月月考）已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ） A．2 B．2CD- 【答案】D【解析】 由题意得，圆22:1O x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径1r =. 因为OAB ∆为正三角形，则圆心O 到直线0x y m -+==即2d ==，解得2=m或2m =-，故选D. 6、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A．B．C．5+D．3+【答案】C 【解析】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C 为半径的圆上，又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --，5CD ==，∴AB 的最大值为5CD =+故选：C.7、【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===8、 (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．【解析】 (1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m 2.联立⎩⎨⎧ x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧ x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。

2021年高三数学第一轮复习单元讲座第13讲直线圆的方程教案新人教版一．课标要求：1．直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；（3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；2．圆与方程回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。

二．命题走向直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。

预测xx年对本讲的考察是：（1）2道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向；（2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程。

三．要点精讲1．倾斜角：一条直线L 向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为。

2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=t a n;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。

过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=t a n （若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。

4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。

确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。

名称 方程 说明适用条件 斜截式 y =k x +b k ——斜率b ——纵截距倾斜角为90°的直线不能用此式 点斜式 y -y 0=k(x -x 0) (x 0，y 0)——直线上已知点，k ——斜率倾斜角为90°的直线不能用此式 两点式 = (x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线上两个已知点 与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式 +=1 a ——直线的横截距 b ——直线的纵截距 过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式 Ax +By +C =0 ，，分别为斜率、横截距和纵截距 A 、B 不能同时为零直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。

第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系考纲传真1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系： d ＜r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d ＞r ⇔相离． (2)代数法：――→ 判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧＞0⇔相交＝0⇔相切＜0⇔相离 2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1＞0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2＞0).方法 位置关系 几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况相离 d ＞r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2 一组实数解 相交 |r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2 两组不同的实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解内含0≤d ＜|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解1．(人教A 版教材习题改编)直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．随a 的变化而变化『解析』 ∵直线y ＝ax ＋1恒过定点(0，1)，又点(0，1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，故直线与圆相交．『答案』 B2．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝0『解析』 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P 在圆上，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，∴|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33. ∴切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 『答案』 D3．(2012·山东高考)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离『解析』 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交． 『答案』 B4．(2012·重庆高考)设A 、B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( ) A ．1 B. 2 C.3 D ．2『解析』 由于直线y ＝x 过圆心(0，0)，所以弦长|AB |＝2R ＝2. 『答案』 D5．(2013·徐州质检)若过点A (4，0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的最小值为________．『解析』 设直线l 的方程为y ＝k (x －4)， 即kx －y －4k ＝0，当直线l 与圆相切时，k 有最大值或最小值． 由|2k －4k |k 2＋1＝1得k2＝13， ∴k ＝±33. 『答案』 －33直线与圆的位置关系在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M 、N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程． 『思路点拨』 (1)利用直线与圆相切，求出圆的半径，写出圆的方程．(2)设MN 的方程为2x －y ＋m ＝0，利用|MN |＝23，求m 值．『尝试解答』 (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离， 即r ＝41＋3＝2. 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0. 则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m |5. 由垂径分弦定理得：m 25＋(3)2＝22，即m ＝± 5.所以直线MN 的方程为：2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0.,1．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系．已知过点A (0，1)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y－3)2＝1相交于M 、N 两点．(1)求实数k 的取值范围；(2)若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值． 『解』 (1)∵直线l 过点A (0，1)且方向向量a ＝(1，k )， ∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 由|2k －3＋1|k 2＋1＜1，得4－73＜k ＜4＋73.(2)设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0， ∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1. ∴4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，∴4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1.圆与圆的位置关系圆O 1的方程为：x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心坐标为(2，1)． (1)若圆O 1与圆O 2相外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2相交于A 、B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 『思路点拨』 (1)根据两圆外切求出圆O 2的半径，便可写出圆O 2的方程．(2)设出圆O 2方程，求出直线AB 的方程，根据点O 1到直线AB 的距离，列方程求解．『尝试解答』(1)∵圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，∴圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2，又|O1O2|＝（2－0）2＋（1＋1）2＝22，∴r2＝|O1O2|－r1＝22－2，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8 2.(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r22，又圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，两式相减得两圆公共弦AB所在的直线方程为：4x＋4y＋r22－8＝0，作O1H⊥AB于H，则|AH|＝12|AB|＝2，∵r1＝2，∴|O1H|＝r21－|AH|2＝2，又|O1H|＝|4×0＋4×（－1）＋r22－8|42＋42＝|r22－12|42，∴|r22－12|42＝2，得r22＝4或r22＝20，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.,1．圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项即可得到．3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．『解析』由题意⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O1A⊥OA.又∵|OA|＝5，|O1A|＝25，∴|OO1|＝5，又A、B关于OO1对称，所以AB为Rt△OAO1斜边上高的2倍，∴|AB|＝2×5×255＝4.『答案』4圆的切线与弦长问题(1)(2012·北京高考)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．(2)(2012·江西高考)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．『思路点拨』(1)求出圆心到直线的距离，利用“弦心距、半弦长、半径”构成直角三角形求解．或者求出直线与圆的交点，根据弦长公式求解．(2)利用数形结合、结合圆的切线的性质，分析点P满足的条件．『尝试解答』(1)法一∵x2＋(y－2)2＝4，∴圆心坐标为(0，2)．又点(0，2)到直线y－x＝0的距离为22＝2，且圆的半径为2，由“弦心距、半弦长、半径”构成直角三角形可知，弦长为24－2＝2 2.法二将y＝x代入x2＋(y－2)2＝4，解得y＝0或y＝2，故直线y＝x与圆x2＋(y－2)2＝4的两交点坐标为A(0，0)，B(2，2)．故|AB|＝2 2.(2)直线与圆的位置关系如图所示，设P(x，y)，则∠APO＝30°，且OA＝1.在直角三角形APO中，OA＝1，∠APO＝30°，则OP＝2，即x2＋y2＝4.又x＋y－22＝0，联立解得x＝y ＝2，即P (2，2)．『答案』 (1)22 (2)(2，2),1．过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法(1)几何方法：当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由圆心到直线的距离等于半径求解．(2)代数方法：当斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆方程，得一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出．2．求圆的弦长的常用方法：(1)几何法；(2)代数方法．(1)过点(2，3)且与圆(x －3)2＋y 2＝1相切的直线方程为________．(2)已知圆C 过点(1，0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．『解析』 (1)由于(2－3)2＋32＝10＞1，故点(2，3)在圆外，当斜率不存在时，直线方程x ＝2满足题意；当斜率存在时，设直线方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋3＝0.∵直线与圆相切， ∴|3k －2k ＋3|k 2＋1＝1，∴k ＝－43.∴4x ＋3y －17＝0.∴所求直线方程为x ＝2或4x ＋3y －17＝0. (2)设圆心坐标为(a ，0)(a ＞0)．由题意(|a －1|2)2＋2＝(a －1)2解得a ＝3或a ＝－1(舍)．故圆心坐标为(3，0)，又所求直线的斜率为－1，故所求直线的方程为y ＝－(x －3)， 即x ＋y －3＝0.『答案』 (1)x ＝2或4x ＋3y －17＝0 (2)x ＋y －3＝0一点建议直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．解题时应根据具体条件选取合适的方法．两种方法计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：运用根与系数关系及弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝（1＋k2）[（x A＋x B）2－4x A x B].三个性质解决直线与圆的问题时常用到的圆的三个性质：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．从近两年的高考看，直线、圆的位置关系是高考的必考内容，特别是直线与圆的位置关系的判断或求参数的值是每年考查的重点，题型以选择题、填空题为主，属中低档题目．思想方法之十六用转化思想求参数的最大值(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k 的最大值是________．『解析』圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4，0)．由题意知(4，0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2. 整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值为43.『答案』 43易错提示：(1)理解不清题目的条件关系，无从入手．(2)不能把问题转化为圆心M (4，0)到直线y ＝kx －2的距离，探求不到d ≤2的关系． 防范措施：(1)解决直线与圆的关系问题应画出草图，数形结合帮助分析题意，找到解决问题的突破口．(2)把已知圆C 的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标，分析题目中条件的相互关系，联系相关知识点，把看似繁杂的问题转化为所熟知的点到直线的距离问题．1．(2013·西安质检)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－33，33)B ．(－33，0)∪(0，33) C ．『－33，33』 D ．(－∞，－33)∪(33，＋∞) 『解析』 曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1，曲线C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ，当m ＝0时，曲线C 2：y ＝0，此时C 1与C 2，显然只有两个交点，不合题意，故m ≠0； 当m ≠0时，要保证曲线C 1与C 2有四个不同的交点，只需直线y ＝mx ＋m 与曲线C 1有两个不同的交点即可，∴|2m |m 2＋1＜1， 即m 2＜13，又m ≠0，∴－33＜m ＜0或0＜m ＜33.『答案』 B2．(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．『解析』 由题意知A (1m ，0)，B (0，1n )，圆的半径为2，且l 与圆的相交弦长为2，则圆心到弦所在直线的距离为 3.∴1m 2＋n 2＝3⇒m2＋n 2＝13， S △AOB ＝12|1m ||1n |＝|12mn |≥1m 2＋n 2＝3，即三角形面积的最小值为3.『答案』 3。

诚西郊市崇武区沿街学校第三中学2021届高考数学一轮复习直线与圆的位置关系〔3〕教案教学目的：根据直线和圆的方程，可以纯熟的写出它们的交点坐标；能通过比较圆心到直线的间隔和半径之间的大小判断直线和圆的位置关系；理解直线和圆的方程组成的二元二次方程组的解的对应关系．重点难点：通过方程组的解来研究直线和圆的位置关系；及圆的几何性质在解题中应用．例1：直线:5120l x y a ++=与圆22:20C x y x +-=〔1〕假设l 与圆C 相切，求a 的值；〔2〕假设l 与圆C 相交，求a 的取值范围；〔3〕假设l 与圆C 相离，求a 的取值范围；〔4〕假设l 被圆C 截得的弦长为1013，求a 的值；变式1：假设直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围 变式2：在平面直角坐标系中，圆224xy +=上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的间隔为1，务实数c 的取值范围 变式3：在平面直角坐标系中，圆222(0)xy r r +=>上有且仅有四个点到直线125260x y -+=的间隔为1，务实数r 的取值范围 例2：圆满足①在y 轴上截得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为13∶；③圆心到直线02=-y x l ：的间隔为55，求该圆的方程 数学〔理〕即时反响作业编号：013直线与圆的位置关系二1． 过P(1，2)和圆C ：x2＋y2＋kx+2y ＋k2=0作C 的切线有两条，那么k 的取值范围是2、假设直线062=++y ax 和直线0)1()1(2=-+++a y a a x 垂直，那么a 的值是______.3、210p q +-=，那么直线30px y q -+=恒过定点A__________4、假设方程02)2(222=++++a ax y a x a 表示圆，那么a 的值是5、动点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x ，那么〔1〕21--x y 的最大值是________〔2〕y x +2的最小值是_______________. 6、假设直线1+=kx y 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点，且∠POQ＝120°〔其中O 为原点〕，那么k 的值是7、圆22(1)4x y -+=内一点(2,1)P ，那么过P 点最短弦所在的直线方程是___________8、圆和直线6100x y --=相切于点(4,1)-，且经过点(9,6)，求圆的方程9、假设圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y-=和x 轴相切，求该圆的标准方程 10.求与圆22:(5)3C x y ++=相切，且在坐标轴上的截距相等的直线方程11．过点)33(- -，M 的直线l 被圆021422=-++y y x 截得的弦长为54，求直线l 的方程． 12．点O 为坐标原点，圆C 过点(1,1)和点(2,4)-，且圆心在y 轴上〔1〕求圆C 的标准方程；〔2〕假设过点(1,0)P 的直线l 与圆C 有公一一共点，求直线l 的斜率k 的取值范围；〔3〕假设过点(1,0)P 的直线l 与圆C 交于,A B 两点，且||AB =，试求直线l 的方程。

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第158页［基础梳理］1．直线与圆的位置关系与判断方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系．①d〈r⇔直线与圆相交；②d＝r⇔直线与圆相切；③d〉r⇔直线与圆相离．(2)代数法：联立方程，消去x（或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac.①Δ〉0⇔直线与圆相交；②Δ＝0⇔直线与圆相切；③Δ〈0⇔直线与圆相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1）2＋(y－b1)2＝r错误!(r1〉0)，圆O2＋（y－b2＝r2方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d〉r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解续表相交｜r1－r2｜〈d〈r1＋r2两组不同的实数解内切d＝｜r1－r2｜(r1≠r2）一组实数解内含0≤d〈|r1－r2|(r1≠r2）无解位置关系内含内切相交外切外离公切线条数01234圆的方程两种设法技巧：（1）经过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆的方程表示为（x2＋y2＋Dx＋Ey＋F）＋λ(Ax＋By＋C）＝0.（2）经过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的两个交点的圆的方程表示为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0。

[四基自测]1．（基础点:直线与圆的位置关系）直线y＝x＋6与圆x2＋y2－2y－4＝0的位置关系为（)A．相离B．相切C．相交且不过圆心 D.相交过圆心答案：A2．(基础点：圆与圆的位置关系）两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切 D.内含答案：B3．（基础点：圆的弦长)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点,则｜AB｜＝________．答案：104．（易错点:求圆的切线方程)已知直线l：y＝k(x＋错误!）和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．答案：0或3授课提示：对应学生用书第158页考点一直线与圆的位置关系挖掘1直线与圆位置关系的判断/ 自主练透[例1](1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D。

城东蜊市阳光实验学校第三中学2021届高考数学一轮复习直线与圆的位置关系〔3〕教案教学目的：掌握直线与圆的位置关系，会解决与圆的切线方程、弦长等有关直线与圆的问题 教学重点与难点：圆的有关性质的运用教学过程：一、根底知识梳理：1、直线0=++c By Ax l ：与圆022=++++F Ey Dx y x2、⊙1O :222R y x =+⊙2O :222)()(R b y a x =-+-,那么以),(00y x M 为切点的⊙1O 的切线方程为________________；⊙2O 的切线方程为________________3、在直线与圆的相交弦的有关问题中常抓住弦心距、半径、弦长的一半构成的三角形二、例题讲解：例1：m R ∈，直线2:(1)4l mx m y m -+=和圆22:84160C x y x y +-++= 〔1〕判断直线l 与圆C 的位置；〔2〕直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？ 例2：圆0622=+-++m y x y x 和直线032=-+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥〔O 为坐标原点〕，求该圆的圆心坐标和半径.变式题：直线02=++m y x 交圆03622=+-++y x y x 于P 、Q 两点，问m 为何值时，以PQ 为直径的圆过原点.例3：在平面直角坐标系xoy 中，圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆〔1〕假设直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为，求直线l 的方程；〔2〕设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线12l l 和，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.小结：数学〔理〕即时反响作业编号：014直线与圆的位置关系三1、点(),P a b 在直线01=++y x 上，那么22222+--+b a b a 的最小值为 2、设A 为圆1)1(22=+-y x 上动点，PA 是圆的切线，且|PA|=1，那么P 点的轨迹方程为__________3、一束光线从点A(－1,1)出发经x 轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是4、圆的方程为22680x y x y +--=．设该圆过点(35)，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积为____________5、在平面直角坐标系中，圆224xy +=上有且仅有两个点到直线1250x y c -+=的间隔为1，那么实数c 的取值范围是_____________ 6、直线1y ax =+与圆22230x y x +--=的交点的个数为____________7、直线1y kx =+与圆2290x y kx y ++--=的两个交点关于y 轴对称，那么k =___ 8、经过点(1,1)C -和(1,3)D ，圆心在x 轴上的圆的标准方程是______________12、设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数)(2)(2R x b x x x f ∈++=的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C求：〔1〕务实数b 的取值范围；〔2〕求圆C 的方程；〔3〕问圆C 是否经过某定点〔其坐标与b 无关〕？请证明你的结论。

第4节直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求1。

能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3。

初步了解用代数方法处理几何问题的思想.知识梳理1.直线与圆的位置关系设圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2,直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C （a，b）到直线l的距离为d，由错误!消去y(或x），得到关于x（或y）的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ〈0Δ＝0Δ〉0几何观点d〉r d＝r d〈r2.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R，r(R＞r），两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：位置关系外离外切相交内切内含图形量的关系d＞R＋rd＝R＋rR－r＜d＜R＋rd＝R－rd＜R－r公切线条数43210[常用结论与微点提醒]1.圆的切线方程常用结论（1）过圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y ＝r2.(2)过圆(x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点P(x0，y0）的圆的切线方程为（x0－a)(x－a)＋(y0－b)（y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2。

直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长｜AB｜＝2错误!。

（2）代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M,N，将直线方程代入圆的方程中，消去y,得关于x的一元二次方程,求出x M＋x N和x M·x N，则｜MN|＝错误!·错误!.诊断自测1。

判断下列结论正误（在括号内打“√"或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交"的必要不充分条件。