毕奥 萨伐尔定律
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2( R 2
x )2
3 2
0m
2 (R2
x )2
3 2
圆电流圆心处磁场：
I
B 0
0 2R
3. 无限长载流直螺线管内的磁场：
B nI 0
电流的磁矩：
P I Sn
m
31
4
2. 运动电荷的磁场 -----电流元磁场的本质
运动电荷
形成
电流
磁场
5
设电流元 Idl，横截面积S，单位体积内有n个
定向运动的正电荷, 每个电荷电量为q，定向速度
为v。
dl
单位时间内通
过横截面S的电量 I
I
即为电流强度I:
I qnvS
电流元在P点产生的磁感应强度
dB 0 qnvS d l sin
R
I
dB dB'
d P
y
x
dB
0dI 2R
0 Id 2 2R
R P
由对称性：By dBy 0
B
B x
dB sin
沿 x 方向
0
I sind 0 2 2R
I 0
2R
15
2. 载流圆线圈轴线上的磁场
设有圆形线圈L，半径为R，通以电流I。
I dl
•
r
d B
dB
R
IO
x
P
d B//
由上式：
B 的方向为 v r 的方向
P
7
矢量式：
B
0 4
qv r
r3
•
r
+
v
q>0
r
v
q0
运动电荷除激发磁场外，同时还在其周围 空间激发电场。
E
1
4 0
q r3
r
q
P r vB
E
8
B
0 4
qv r
r3
E
1
4 0
q r3
r
B
0
0v
E
运动电荷所激发的电场和磁场是紧密联系的。
2R
0
dl
0I sin
2r2
R
I dl
R
IO
r
d B
dB
x
P
d B//
B
0I sin
2r 2
R
r2
R2
x 2 , sin
R r
(R2
R
x
2
)
1 2
B
0 IR 2
2(R2
x
2
)
3 2
0 2
(R2
IS x2)32
S R2
B
0 IR 2
2(R2
x2
)3 2
0 2
(R2
IS
x2
)3 2
19
9
§11-3 毕 — 沙定律及其应用(续)
求解电流的磁场分布基本思路：
将电流视为电流元 （或典型电流）的 集合
电流元（或典型 电流）磁场公式 和磁场叠加原理
电流磁 场分布
应用举例： 讨论一些典型电流的磁场分布
10
1. 载流长直导线的磁场
I
设有长为L的载流直
导线，通有电流I。计算 d l
与导线垂直距离为d的p L
3/2
0 NIR2
2 R 2
3R
2
3/2
4
4
0 NI
2R
43 17 3 /
2
43 53
0.712
0 NI
R
O1 Q1 P Q2 O2
R R
R
28
在线圈轴线上其他各点，磁感应强度的量值都介 乎B0、BP 之间。由此可见，在P点附近轴线上的场 强基本上是均匀的，其分布情况约如图所示。图 中虚线是每个圆形载流线圈在轴线上所激发的场 强分布，实线是代表两线圈所激发场强的叠加曲 线。
r2
由几何关系有：
dl
L
sin cos r d sec
lr
l d tan dl d sec2 d
B 0 I d l sin
L 4 r 2
O
d 1
P
2d
B
0
4
2 I cos d
1 d
0I 4d
sin
2
sin
1
13
B
0I 4d
sin
2
sin
1
考虑三种情况：
B 0nI / 2
实 际上，L>>R
0nI
B
时，螺线管内部的
0 nI
磁场近似均匀，大
2
小为 0nI
A1
O
A2
A2
25
例题11-1 亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆 霍兹线圈产生所需的不太强的均匀磁场。特征是由 一对相同半径的同轴载流线圈组成，当它们之间的 距离等于它们的半径时，试计算两线圈中心处和轴 线上中点的磁感应强度。从计算结果将看到，这时 在两线圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。
讨论：
1. 定义电流的磁矩 P I Sn
m
S : 电流所包围的面积
规定正法线方向：n
圆电流磁矩：Pm
与 I 指向成右旋关系 I R2n
圆B电 流轴2(线R20上IR磁x2i场2 )3：2
P 0m
2
(R2
x )2
3 2
2. 圆心处磁场
Pm
n
S I
x0
B0
0I
2R
;
N匝:
B0
N0 I
2R
20
R A2
又 R2 l 2 R2 csc2
B
L
0R2nI d l
2(R2 l 2 )3/
2
l dl
0 nI 2 sin d
2
1
0
2
nI (cos
2
cos
1 )
24
B
0nI
2
(cos
2
cos 1) A1
讨论：
1 r
2
p
dB
（1）螺线管无限长 1 , 2 0
B 0nI
（2）半无限长螺线管的端点圆心处
解 设两个线圈的半径为R， 各有N匝，每匝中的电流均 为I，且流向相同（如图）。 两线圈在轴线上各点的场强 方向均沿轴线向右，在圆心 O1、O2处磁感应强度相等 ， 大小都是
O1 Q1 P Q2 O2
R
R
26
R
B0
0 NI
2R
2
0 NIR2
R2 R2 3/2
0 NI 1 1 0.677 0 NI
r2
3
dB
P
r
d B 0 I d l sin
4
r2
其 中 0=410-7N•A-2 ，
dl
称为真空中的磁导率。
I
磁感应强度的矢量式：
d
0 4
Idl r r3
(1116)
Biot-Savart定律 的微分形式
B 0
4
I dl r L r3
Biot-Savart定律的积分形式
(11 17)
A1
2
p
dB
R A2
l dl
由于每匝可作平面线圈处理， ndl匝线圈可作
Indl的一个圆电流，在P点产生的磁感应强度：
d
B
0R2nI d l
2(R2 l 2 )3/
2
B
L
dB
L
0R2nI d l
2(R2 l 2 )3/
2
23
l R cot d l R csc2 d A1
1 r
2
p
dB
3. 画 B x曲线
IR2
B
0
2(R2
x )2
3 2
i
练习： Bo ?
I
R
o
B0
0I
8R
B
o
x
R
I
o
B0
30 I
8R
0I 4R
21
3. 载流直螺线管内部的磁场
设 螺线 管 的 半径 为 R， 电 流 为 I， 每 单位 长 度 有线圈n匝。
1 r
A1
2
p
dB
R
A2
l dl
22
1 r
(1)导线无限长，即
1
2
2
2
B 0I 2d
(2)导线半无限长，场点与一端 的连线垂直于导线
B 0I 4d
(3)P点位于导线延长线上，B=0
I
dl
L
lr
O
d 1
P
2d
B
I
B
14
练习：半径R,无限长半圆筒金属面通电 流I，求轴线上 B
解：通电半圆筒面
电流线(无限长直电流)集合
dI
dI
R
dI I Rd Id
点的磁感强度。取Z轴沿 载流导线，如图所示。
l
O
r
d 1
P
2d
B
11
I
按毕奥—萨伐尔定律有：
dB
0 4
I dl r
r3
所有dB的方向相同， 所以P点的 B 的大小为：
dl L
l
O
r
d 1
P
2d
B
B d B 0 I d l sin
L
L 4 r 2
12
I
B
dB
L
0 L 4
I d l sin
O1
Q1
