设lk1 lk2 ... lkn1 l
21
3.14 鸽巢原理的推广
设k1<k2<…<kn+1 ,已知条件中al是不同的实数， 则有如下结论
ak1 ak2 ... akn1
(A)
如若不然，设ki<kj,有aki<akj, 从akj开始向后的最长的单调增序列为l，从aki 开始向后的最长的单调增序列也是l， 如果把元素aki加到从akj开始的长度为l的单 调增序列的前面，构成从aki开始的长度为l+1的 单调增序列，这和l是从aki向后的最长单调增序 列的假设矛盾。
1
3.12 鸽巢原理
1、366个人中必然有至少两人生日相 同(不包括闰年)； 2、抽屉里散放着10双手套，从中任意 抽取11只，其中至少有两只是成双的； 3、某次会议有n位代表参加，则至少 有两个人认识的人数是一样的； 4、任给5个整数，其中至少有3个数的 和被3除尽；
2
3.12 鸽巢原理
鸽巢原理：n个鸽子巢，若有n+1只鸽子在里面， 则至少有一个巢里的鸽子数不少于2。 抽屉原理：如果把n+1个物体放到n个抽屉里， 则必有一个抽屉里至少放了两个物体。
4
3.13 鸽巢原理举例
例3.13.2 设a1,a2,…,am。是正整数的序列，则 至少存在整数k和L, 1≤k≤L≤m,使得和 ak+ak+1+…+aL是m的倍数。
证明：
构造一个序列s1=a1,s2=a1+a2,s3=a1+a2+a3,…, sm=a1+a2+…+am ,则s1<s2<…<sm
有两种可能：
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3.14 鸽巢原理的推广
序列(A)是一个单调减子序列，这就证明了若 不存在n+1个元素的单调增子序列，便存在一个 有n+1个元素的单调减子序列。
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3.14 鸽巢原理的推广
例3.14.9：随意地给正十边形的10个顶点编 上号码1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,求证：必有一个顶 点及与之相邻的两顶点之和不小于17。 证明：以A1,A2,A3,…,A10表示正十边形的10 个顶点，
C(10,1)+C(10,2)+…+C(10,9)+C(10,10)=210-1=1023
必有两组年龄和相同
29-1=511
11
3.13 鸽巢原理举例
例3.13.6 A={1,2,…,99},X是A的子集，X=10， 试证：可以找到X的两个非空真子集Y和Z，Y∩Z=，使 得Y的元素之和和Z的元素之和相等。
1 2 ··· ··· ···
A C
…... ...
19 20
B
1 2
··· ·· ··
…...
19 20
19 20
第i格
...
...
19 20 1 ·· ·· ··
第 i +19格
...
18
1 2 ··· ··· ··
3.14 鸽巢原理的推广
1 2
A C
1 2
…... ... ...
··· ··· ··
6
3.13 鸽巢原理举例
不超过m-1的正整数只有m-1个，其中至少 存在一对rL与rk,满足rL=rk。即sL和sk满足 sk≡sL(mod m)
设L>k。 sL=a1+a2+…+ak+ak+1+…+aL -) sk=a1+a2+…+ak sL-sk= ak+1+…+aL sL-sk=0 (mod m) 也就是说：sL-sk= ak+1+…+aL是m倍数。
存在h和k，有 sk=sh+39,1≤h,k≤100 则：sk-sh=39 即：a1+a2+…+ak-(a1+a2+…+ah)=39也就是 ah+1+ah+2+…+ak=39
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3.13 鸽巢原理举例
例3.13.5 一间屋内有10个人,其中没有人超 过60岁(只能是整数),证明:总能够找出两组人(两 组不含相同的人)，各组中人的年龄和是相同的。 题中10是否能换成更小的数？ 各组的年龄值在什么范围？ 1--600 有多少组？
3
3.13 鸽巢原理举例
3.13.1 任取11个数，求证其中至少有两个 数它们的差是10的倍数。 证明： 一个数是不是10的倍数取决于这个数的个位 数是不是0，是0就是10的倍数； 一个数的个位数只可能是0,1,...,9十个数， 任取11个数，其中必有两个数个位数相同， 那么这两个数的差的个位数必然是0。
(1)若有一个sh是m的倍数，那么上式成立。
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3.13 鸽巢原理举例
序列s1=a1,s2=a1+a2,s3=a1+a2+a3,…, sm=a1+a2+…+am ,则s1<s2<…<sm
(2)设在上面的序列中没有任何一个元素 是m的倍数， 令sh≡rh(mod m),其中h=1,2,3,…,m。 假定上面的序列中所有的项都非m的倍数， 也就是r1,r2,…,rm无一为0，而且所有rh均小于 m。
··· ··· ···
19 20
...
19 20 1 ·· ·· ··
...
19 20
1、假想着A如图所示从左向右一格一格移动。
2、在移动到最后时。每一个bj都遍历了a1,a2,…,a20。 因为A中有10个0和10个1，每一个bj都有10位次对应相等。 3、在20次的移动过程中共有10×20=200位次对应 相等。
第3章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 2.8 2.9 2.10 *2.11 2.12 2.13 2.14 *2.15 De Morgan定理 容斥原理 容斥原理举例 棋盘多项式与有限制的排列 有禁区的排列 广义的容斥原理 广义容斥原理的应用 第二类Stirling数的展开式 欧拉函数(n) n对夫妻问题 Mobius反演定理 鸽巢原理 鸽巢原理举例 鸽巢原理的推广 Ramsey数
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3.13 鸽巢原理举例
3.13.3,A是{1,2,...,2n}中任意n+1个数， 试证至少存在一对a,b∈A使得a与b互素。 证明：
相邻数互素；
从A中任意取n+1个数，必有两个数相邻， 相邻数互素； 设这n+1个数为a1,a2,…,an+1，如果两两不 相邻； 构造序列a1,a1+1,a2,a2+1,…an,an+1,an+1， 是2n+1个不同的正整数；
现在有9列，根据鸽巢原理，必有至少两列它们 的涂色方式完全相同。
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3.14 鸽巢原理的推广
3.57,n是大于等于3的整数，则下列数的集合： {2-1,22-1,23-1,...,2n-1-1}中存在一数被n除尽。 首先这是n-1个奇数，假如n是偶数时，不可能 成立；
当n=4时，数列为{1，3，7}不可能被4除尽。
X的任意子集的元素之和小于X的所有子集 的数目时！
设E是X的任意子集。 S(E)≤n+(n-1)+(n-2)+…+(n-8)=9n-36 也就是说X的任何子集的元素和都小于或等于9n-36
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3.13 鸽巢原理举例
X的任何子集的元素和都小于或等于9n-36 X的非空子集的数目？ C(9,1)+C(9,2)+…+C(9,9) =29-1=511
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推论3.9
3.14 鸽巢原理的推广
例3.14.8：设A= a1a2·a20是10个0和10个1组 · · 成的20位２进制数。B=b1b2·b20是任意的20位2进 · · 制数。C=b1b2·b20b1b2·b20= C1C2·C40,则存在某个 · · · · · · i,1≤i≤21,使得CiCi+1·Ci+19与a1a2·a20至少有10 · · · · 位对应数字相同。
与已知条件矛盾。
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3.13 鸽巢原理举例
例3.13.4 设a1,a2,…,a100是由1和2组成的序列， 已知从其中任意一个数开始的连续10个数的和不超 过16，即对于1≤i≤91,恒有ai+ai+1+…+ai+9≤16 则至少存在h和k，k>h,使得 ah+1+…+ak=39 证明： 作序列s1=a1, s2=a1+a2,…, s100=a1+a2+…+a100。由于 每个ai都是正整数，因此： s1< s2<…< s100 s100=(a1+a2+…+a10)+ (a11+a12+…+a20)+… +(a91+a92+…+a100) 根据条件：s100≤10×16=160
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3.13 鸽巢原理举例
共200项。
作序列s1,s2 ,…,s100 ,s1+39, s2+39,…, s100+39, 最后一项s100+39≤160+39=199。 但序列共200项。是从1到199的正整数。根据鸽巢 原理，其中必有两项相等。 但前100项严格单调递增，后100项也严格单调递 增。
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3.14 鸽巢原理的推广
3.57,n是大于1的奇数，则下列数的集合： {2-1,22-1,23-1,...,2n-1-1,2n-1}中至少存在一数被 n除尽。 证： {2-1,22-1,23-1,...,2n-1-1,2n-1}整除n可得n个 余数， 除以n的余数共有0,1,2,…,n-1个。 如果{2-1,22-1,23-1,...,2n-1-1,2n-1}除以n所 得余数互不相等,则结论成立。
