组合数学第二章

容斥原理可用于解决两类问题 • 1）同时满足若干性质 • 2）至少满足若干性质中的一个
• 解决第二类问题的方法： 直接设 Ai 满足第i个性质
A ∪ A2 ∪ A3 1 = A + A2 + A3 − A ∩ A2 − A ∩ A3 − A2 ∩ A3 + A ∩ A2 ∩ A3 1 1 1 1
• [例] 在13个人中一定有至少两个人出 生在同一个月。 • [例] 有N 对已婚夫妇，为保证能够有 一对夫妇被选出，至少要从这2N个人中 选出多少个人？
鸽笼原理的变形
1、如果把N个物体放到N个盒子里，每个 盒子都不空，那么每个盒子里都恰好有 一个物体。 2、如果把N个物体放到N个盒子里，每个 盒子里最多只有一个物体，那么每个盒 子里都有一个物体。
错位排列
• 问题：在1,2,…,n全排列中, 所有的i 都不在第i个位置排列个数是多少 错位排列公式： 错位排列公式：
n n nn Dn = n!− (n − 1)!+ (n − 2)!− … + (− 1) 0! 1 2 n
1 1 1 1 D n = n! 1 − + − + … + ( − 1) n 1! 2! 3! n!
Qn = Dn + Dn −1
D n +1 Qn = n
Qn = (n −1)Qn−1 + (n − 2)Qn−2
• [例] 6个小孩排队，重新排队使得每 个人后边都不是原来的小孩
禁位园排列
• 问题： n个人坐园桌，重新排列后要求每 个人左边不再坐原来的人
•[ห้องสมุดไป่ตู้] 6个小孩坐旋转木马，重新坐 使得前面坐的不是原来的小孩
禁位排列
• 问题：xi是集合{1,2,…,n}的子集,在1,2,…,n 全排列中，满足第k个位置放的数ik: ik ∉ xk (k = 1,2, … n) 的排列个数 • n个男士和n个女士跳舞，每次跳舞的舞伴 都和前面的不一样，第三次跳舞的舞伴和 前两次都不同，那么有多少种选择方法？
• [例] 如图6×6的棋
鸽巢原理的推广
• 定理 把 m1 + m2 + … + mn − n + 1 个物体放 个盒子中， 到n个盒子中，则或者第一个盒子至少有 个盒子中 m1个物体，或者第二个盒子至少有 2个 个物体，或者第二个盒子至少有m 物体， ，或者第n个盒子至少有 个盒子至少有m 物体，…，或者第 个盒子至少有 n个物 体，
张 李 刘 王
数 英 物 化
排队（禁位）
• 问题： n个人排队，重新排列后要求 每个人前面不再是原来的人
n −1 n −1 n −1 n n −1 Qn = n!− ！ ！ ！ （ ） 1 (n −1) + 2 (n − 2) − 3 (n − 3) +…+ −1 n −11 ！
• [例] 任意M个整数作成的数列，一定有 相邻若干个整数之和可被M整除 • [例] 有一位国际象棋大师用11周的时间 来准备一场锦标赛，他决定每天至少下 一盘棋，每周最多12盘棋，证明一定有 连续的若干天共下了21盘棋。
作业
求由数字1 ,9所组成的全排列 1、 求由数字1，2，… ,9所组成的全排列 恰好有4 中，恰好有4个数字在其自然位置上的排 列个数 从整数1 中任选51个整数， 2、 从整数1，2，…，100中任选51个整数， ，100中任选51个整数 证明在选取的这些整数中必存在两个整 其中之一可被另一个整数整除。 数，其中之一可被另一个整数整除。
第二章
容斥原理和鸽 巢原理 §1 容斥原理
[例] 把1,2,…,n作全排列,计算1 不在第一个位置的排列个数 [例] 1到600中所有整数不能被6 整除的个数
• 在集合S中考虑计算问题 设A在S中的补集为 A 则： 所以
A+ A= S
A
A=S−A
• [例] 在1,2,…,n所有排列里, 1不 在第一个位置且2不在第二个位 置的排列个数 • [例] 1到600中所有整数不能被5、 6、8整除的个数
• [例] 对K17的边染上红、蓝、黑色三种 颜色，那么它或者有红色三角形，或者 有蓝色三角形，或者有黑色三角形。 • R(3，3，3)=17
D n = nD n −1 + ( − 1)
n
Dn = (n − 1)(Dn −1 + Dn −2 )
D1=0，D2=1 ，
• [例] 在一个聚会上10位绅士查看他们 的帽子，有多少种方式使得这些绅士 中没有人能够拿到他们来时的帽子？ • [例]某型号发动机的8个火花塞，从汽 缸中被取出清洗，问有多少种方式能 够将它们放回到汽缸中去，使得没有 火花塞重新被放回到原先被取出时的 汽缸？
• [例] 求S= {3·a ,4·b ,5·c}的10组 合 • [ ] 求S= {∞·a ,∞·b ,∞·c} 10 [例] S= ,∞·c}的10组 合
• [例]一个学校只有三门课程：数 学、物理、化学。已知修这三门 课的学生分别有170、130、120 人；同时修数学、物理两门课的 学生45人；同时修数学、化学的 20人；同时修物理化学的22人。 同时修三门的3人。问这学校共 有多少学生？
容斥原理
A1 ∩ A2 ∩…∩ An = S − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ Aj − ∑ Ai ∩ Aj ∩ Aj +…
• [例] 在字母M 、A、T、H、I、 S、F、U、N的排列中MATH、 IS和FUN都不连续出现在排列中， 这样的排列有多少？
• [例] 在0~99999中有多少同时含 有数字2、5、8的整数
n−1 n
其中ri为有i个车落入禁位的方法数
作业
1、有张、王、刘、李四位教师和数学、物理、化学、 有张、 李四位教师和数学、物理、化学、 英语四门课程，已知张和李都不能教数学和英语， 英语四门课程，已知张和李都不能教数学和英语， 王不能教化学，刘不能教物理和化学， 王不能教化学，刘不能教物理和化学，若要为每人 安排一门他能教的课程，且一门课程只能被一人教， 安排一门他能教的课程，且一门课程只能被一人教， 试问有多少种不同的安排方案？ 试问有多少种不同的安排方案？
Cn = Dn −1 − Cn −1
Cn = (n − 3)Cn−1 + 2(n − 2)Cn−2 + (n − 2)Cn−3
§2鸽巢原理 鸽巢原理
• 鸽巢原理的最简单形式 如果把N+1个物体放到 个物体放到N 如果把 个物体放到 个盒子里面， 个盒子里面，那么有一个盒 子里面至少有两个物体。 子里面至少有两个物体。
则称R是具有参数p1，p2的Ramsey数，并记 作R(p1，p2；2) ,其中参数2表示2元子集。 通常省掉2，而简记为R(p1，p2) • R(3，3)=6 其表示：1） K6→ 同色K3 或者另一色的K3 2） K5→同色K3 ，另一色的K3
• R(2，n)=n • R(3，4)=9 • R(m，n)= R(n，m)
n n n n −1 n 0 + ( −1) n Cn = (n − 1)!− ( n − 2)！ ( n − 3)！ ( n − 4)！ … + − 1 + − + （ ） ！ 1 2 3 n − 1
• 推论1 若将n(r-1)+1个物体放入n个盒子中，至 少有一个盒子不会少于r个物体。 • 推论2 如果n个正整数m1，m2，…，mn的平均 数
m1 + m 2 + … + m n > r −1 n
，则m1，m2，…，mn中至 m m … m
少有一个正整数大于等于r
• 推论3 如果n个非负整数m1，m2，…，mn的平 均数
• [例] 从1到200中任选101个数，证明其 中有两个数，其中之一可被另一个整数 其中之一可被另一个整数 整除。 整除。 • [例] m和n是互素的两个正整数，ab也为 正整数且满足0≤a ≤ m-1、 0≤b ≤ n-1。证 明存在一个正整数x,其被m除余a,被n除余 b.
• [例] 从1到200中任选101个数，证明其 中有两个数，其中之一可被另一个整数 其中之一可被另一个整数 整除。 整除。
作业
1、 求由a、b、c、d四个字母构成的10位 符号串中，a、b、c同时出现的符号串数 目。 2、 求a、b、c、d、e、f六个字母的全排列 中不允许出现ace和df的排列数。
[例] 求x1+x2+x3+x4=18,满足1≤x1 ≤ 5， 2≤ x2 ≤ 4， 0≤ x3 ≤ 5， 3≤ x4 ≤ 9，的非 负整数解的个数
m1 + m 2 + … + m n < r +1 n
，则m1，m2，…，mn中
至少有一个整数小于r+1
• [例] 一篮子水果装有苹果、香蕉、桔子 为了保证篮子内或者至少8苹果，或者至 少6香蕉，或者至少9个桔子。则放入篮 子中的水果至少是多少个
Ramsey数
• 完全图Kn: 任何两个点之间都有边连接的 图
盘，车不放指定的位 置的方法数
车的禁位排列
S − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ A j − ∑ Ai ∩ A j ∩ Ak + … + (−1) n ∑ Ai ∩ A j ∩ … ∩ An
S − r1 (n −1) + r2 (n − 2) − r3 (n − 3) + …+ (−1) rn−11 + (−1) rn 0 ！ ！ ！ ！ ！
• [例] 任意6个人中有3个互相认识或者 有3个互相不认识 可翻译为：K6→ 同色K3 或者另一色的K3
• Ramsey数定义 设p1，p2是任意给定的 定义 正整数，而且p1，p2≥2.如果存在一个最 小的正整数R,使得一个R元集合S的所有2 元子集被任意划分成两个集合：X和Y， 且至少下面两件事中有一件成立： ⑴ 存在S的一个p1元子集， 使它的所有2元 子集都属于X ⑵ 存在S的一个p2元子集， 使它的所有2元 子集都属于Y