第8讲 鸽巢原理

鸽巢原理的六种理解法
鸽巢原理，也被称为鸽巢抽屉原理，是一种基本的数学原理，可以用于解决多种问题。

以下是关于鸽巢原理的六种理解方法：
1. 直观理解：想象一下有n个鸽巢（抽屉）和多于n只鸽子（物体），每
个鸽巢中至少有一只鸽子。

这意味着至少有一个鸽巢中有多于一只鸽子。

2. 公式理解：物体数÷鸽巢数=商……余数，至少个数=商+1。

如果要将k
个物体放入n个鸽巢中，如果k>n，那么至少有一个鸽巢中放有两个或两
个以上的物体。

3. 举例理解：如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子。

这就是把鸽子看作物体，鸽笼看作抽屉，由此可以理解鸽巢原理。

4. 反证法理解：以第一抽屉原理的证明为例，如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n×1，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。

也就是说，如果每个抽屉内的物体数都不超过1，那么总物体数最多为n，
与题目中给出的总物体数超过n矛盾，因此至少有一个抽屉里的物体数不少于2。

5. 极限思想理解：想象有无数多的鸽子要飞进有限数量的鸽巢中。

即使每个鸽巢已经飞进了一只鸽子，仍然会有鸽子要飞进去，使得至少有一个鸽巢内至少有两只鸽子。

6. 应用理解：鸽巢原理有许多实际应用，如计算组合数学问题、解决几何分割问题、找出重复元素等。

这些应用都基于一个简单的思想：通过限制某些条件或关系，使得至少有一个特定的元素或情况是重复的或满足特定条件的。

以上就是关于鸽巢原理的六种理解方法，希望对你有所帮助。

把10个苹果放进9个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．这个看上去很显然的现象，在数学中我们把它称作抽屉原理．一般地，我们有如下结论：以9个抽屉为例：把9个苹果放进9个抽屉，这时苹果个数不多于抽屉个数，如果苹果平均放进抽屉中，则每个抽屉都只放了1个苹果．但如果把10个苹果放进9个抽屉，这时苹果个数多于抽屉个数，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．因为即使每个抽屉都放1个苹果时，也只能放进199×=（个）苹果，剩下的1个苹果再放进任何一个抽屉，都会使该抽屉中有2个苹果．类似的，把99个苹果放进9个抽屉，苹果个数多于抽屉个数，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．事实上，我们还可以发现：如果这99个苹果平均放进9个抽屉中，每个抽屉里放99911÷=（个）苹果，如果放得不平均，则肯定有某个抽屉里的苹果多于11个．但如果把100个苹果放进9个抽屉，即使每个抽屉都放11个苹果，只能放99个苹果，剩下1个苹果再放进抽屉中，一定会使得某个抽屉至少有12个苹果．我们把“抽屉原理I”加以推广，就可以得到一个更全面的抽屉原理．抽屉原理也称“鸽巢原理”或“狄利克莱原理”，是19世纪德国数学家狄利克莱最早提出的，在组合数学中有着非常重要的地位．抽屉原理I把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．抽屉原理II把m个苹果放入n个抽屉（m大于n），结果有两种可能：（1）如果m n÷没有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m n÷”个苹果；（2）如果m n÷有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m n÷的商再加1”个苹果．在前面的分析过程中，我们实际上已经用到了“最不利原则”．这是一种从反面考虑问题的思想，也是抽屉原理问题中非常重要的思考方法．在10个苹果放进9个抽屉的例子中，为了证明“能够找到一个抽屉，里面至少放了2个苹果”，我们利用“最不利原则”的思想，假设结论不成立，即“每个抽屉都放了少于2个的苹果”，由此得到9个抽屉将至多放9个苹果，与题目要求的10个苹果矛盾，因此得到原来的结论是成立的．100个苹果放进9个抽屉的例子也是同样的道理．分析 如果没有满足“有5条相同品种的鱼”的要求，最“倒霉”的情况是什么？换句话说，当结论不成立时，最多可能有多少条鱼？只要比这个“最多的”还要多，结论就肯定成立了．练习1.一个布袋里有7种不同颜色的彩球，每种颜色的彩球都有很多，那么至少要拿出多少个彩球，才能保证其中有6个相同颜色的彩球？分析 仍旧考虑问题的反面，当本题中的结论不成立时，最多能取出多少个球？捞出多少条鱼，才能保证其中有有中摸球，请问：例题2练习2.爷爷给小明买了一盒糖，这些糖分为苹果味、桔子味和菠萝味三种口味，每种口味各30颗．小明特别喜欢吃苹果味的，他闭着眼睛，至少需要摸出多少颗糖，才能保证一定能拿到1颗苹果味的？至少需要摸出多少颗糖，才能保证能拿到两种口味的糖？分析 结论的反面是什么？在不满足结论的情况下，最多能摸出多少只袜子？练习3.袋子里白袜子、黑袜子、红袜子各10只，现在闭着眼睛从袋子中摸袜子，请问：（1）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（2）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）9只绿袜子放入一个布袋里．请问：（两只袜子颜色相同即为一双）草花和方块证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有那么最少要取出多少张牌？分析 本题中我们要保证“至少包含三种花色”和“这三种花色的牌至少都有3张”这两个条件，如果不能同时保证这两个条件，那么最多可能取出多少张牌？练习4.口袋中装有4种不同颜色的珠子，每种都是100个．要想保证从袋中摸出3种不同颜色的珠子，并且每种至少10个，那么至少要摸出多少个珠子？分析 摸出的4枚棋子的颜色情况都有哪几种？如果结论不成立，最多摸了几次？练习5.库房里有一批篮球、排球和足球，体育老师让一些学生去拿球，每人任意拿两个球．至少选出多少名拿球的学生，才能保证至少有4人拿的球完全相同？两种颜色）才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（不必考虑每次摸出的4例题5国王让阿凡提在里至少放一粒米，无论怎么放都至少有多少个米粒？题本讲知识点汇总一、抽屉原理I ：把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．二、抽屉原理II ：把m 个苹果放入n 个抽屉（m 大于n ），结果有两种可能：（1）如果m n ÷没有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m n ÷”个苹果；（2）如果m n ÷有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m n ÷的商再加1”个苹果．三、在抽屉原理问题中常常会用到“最不利原则”的思想．四、需要自己构造抽屉的问题．作业1.口袋里装有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各5个．小华闭着眼睛从口袋里往外摸球，每次摸出1个球．他至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？2.小钱的存钱罐中有四种硬币：1分、2分、5分、1角，这四种硬币分别有5个、10个、15个、20个．小钱闭着眼睛向外摸硬币，他至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中至少有两种不同的面值？至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中既有5分硬币也有1角硬币？3.如果筷子颜色有黑色、白色、黄色、红色、蓝色五种，每种各有10根．在黑暗中取出一些筷子，为了搭配出两双颜色相同的筷子，最少要取多少根才能保证达到要求？为了搭配出两双颜色不同的筷子，最少要取多少根才能保证达到要求？（两根颜色相同的筷子搭配成一双筷子）4.盒子里一共有四种不同形状的零件，分别有9、10、11和12个，至少要从中摸出多少个零件，才能保证有3种不同形状的零件，并且这三种零件中每种至少有3个？5.中午放学，食堂里有五种菜供学生们选择，每人只能选两种不同的菜．至少有多少名学生，才能保证其中至少有5名学生选择的菜完全相同？。

鸽巢原理（抽屉原理）的详解抽屉原理百科名⽚桌上有⼗个苹果，要把这⼗个苹果放到九个抽屉⾥，⽆论怎样放，我们会发现⾄少会有⼀个抽屉⾥⾯放两个苹果。

这⼀现象就是我们所说的“抽屉原理”。

抽屉原理的⼀般含义为：“如果每个抽屉代表⼀个集合，每⼀个苹果就可以代表⼀个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定⾄少有⼀个集合⾥有两个元素。

” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽⼦笼，养鸽⼈养了6只鸽⼦，那么当鸽⼦飞回笼中后，⾄少有⼀个笼⼦中装有2只鸽⼦”）。

它是组合数学中⼀个重要的原理。

第⼀抽屉原理原理1：把多于n+1个的物体放到n个抽屉⾥，则⾄少有⼀个抽屉⾥的东西不少于两件。

证明（反证法）：如果每个抽屉⾄多只能放进⼀个物体，那么物体的总数⾄多是n，⽽不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。

抽屉原理原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉⾥，则⾄少有⼀个抽屉⾥有不少于m+1的物体。

证明（反证法）：若每个抽屉⾄多放进m个物体,那么n个抽屉⾄多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。

原理3 ：把⽆穷多件物体放⼊n个抽屉，则⾄少有⼀个抽屉⾥有⽆穷个物体。

原理1 、2 、3都是第⼀抽屉原理的表述。

第⼆抽屉原理把（mn－1）个物体放⼊n个抽屉中，其中必有⼀个抽屉中⾄多有（m—1）个物体。

证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共⾄少有mn个物体，与题设⽭盾，故不可能。

应⽤基本介绍应⽤抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作⽤。

许多有关存在性的证明都可⽤它来解决。

例1：同年出⽣的400⼈中⾄少有2个⼈的⽣⽇相同。

解：将⼀年中的365天视为365个抽屉，400个⼈看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：⾄少有2⼈的⽣⽇相同. 400/365=1…35,1+1=2　⼜如：我们从街上随便找来13⼈，就可断定他们中⾄少有两个⼈属相相同。

“从任意5双⼿套中任取6只，其中⾄少有2只恰为⼀双⼿套。

鸽巢原理公式鸽巢原理，又称为抽屉原理，是离散数学中的一个重要概念。

它指出，如果有n+1个物品放入n个容器中，那么至少有一个容器中必然有两个或两个以上的物品。

这个原理虽然看似简单，却有着广泛的应用，尤其在计算机科学、密码学、概率论等领域中有着重要的意义。

鸽巢原理的数学表达形式为，如果有n个鸽子要放到m个巢里，且n>m，那么至少有一个巢里会有两只或两只以上的鸽子。

这个原理的应用非常广泛，下面我们来看一些具体的例子。

首先，我们来看一个简单的例子。

假设有10个抽屉，11个苹果要放入这些抽屉中，根据鸽巢原理，至少有一个抽屉中会有两个或两个以上的苹果。

这是因为11个苹果要放入10个抽屉中，必然会有一个抽屉中放不下，而另外一个抽屉中则会有两个苹果。

再来看一个与密码学相关的例子。

在密码学中，鸽巢原理被用来解释为什么哈希算法会出现碰撞。

哈希算法是一种将任意长度的输入消息转换为固定长度输出的算法。

由于输入的长度是任意的，而输出的长度是固定的，所以必然会出现多个输入对应到同一个输出的情况，这就是哈希碰撞。

而鸽巢原理可以很好地解释这个现象，即无论输入的消息有多长，都会映射到有限的输出空间中，因此必然会出现多个输入对应到同一个输出的情况。

此外，鸽巢原理还在概率论中有着重要的应用。

例如，在生日悖论中，如果有23个人在一起，那么至少有两个人生日相同的概率超过一半。

这个悖论就是利用了鸽巢原理，将365个可能的生日看作是“鸽子”，而将23个人看作是“巢”，通过计算可以得出至少有两个人生日相同的概率。

总的来说，鸽巢原理是一个简单而重要的数学概念，它在离散数学、计算机科学、密码学、概率论等领域中有着广泛的应用。

通过理解和运用鸽巢原理，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高自己的数学建模和问题解决能力。

希望大家能够在学习和工作中灵活运用鸽巢原理，发现更多有趣的应用和问题。

第八讲鸽巢原理一、知识梳理“数学广角”这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。

和以往的义务教育教材相比，这部分内容是新增的内容。

教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”，使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“鸽巢问题”加以解决。

在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题。

在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪个物体（或人）。

这类问题依据的理论我们称之为“抽屉原理”。

“抽屉原理”最先是19世纪的德国数学家狄利克雷运用于解决数学问题的，所以又称“狄利克雷原理”，也称之为“鸽巢问题”。

“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。

但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结论。

因此，“鸽巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。

二、方法归纳鸽巣原理是一个重要又基本的组合原理, 在解决数学问题时有非常重要的作用。

①什么是鸽巣原理, 先从一个简单的例子入手, 把3个苹果放在2个盒子里, 共有四种不同的放法, 如下表无论哪一种放法, 都可以说“必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果”。

这个结论是在“任意放法”的情况下, 得出的一个“必然结果”。

类似的, 如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子。

如果有6封信, 任意投入5个信箱里, 那么一定有一个信箱至少有2封信我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体，把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣, 可以得到鸽巣原理最简单的表达形式①利用公式进行解题：物体个数÷鸽巣个数=商……余数至少个数=商+12、摸2个同色球计算方法。

①要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。

物体数＝颜色数×（至少数－1）＋1②极端思想：用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有两个球是同色的。

第一节鸽巢原理关于鸽巢原理的阐释，粗略地说就是如果有许多鸽子飞进不够多的鸽巢内，那么至少要有一个鸽巢被两个或多个鸽子占据。

一、鸽巢原理的简单形式1、定理1：如果要把n+1个物体放进n个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或更多的物体。

证明：用反证法进行证明。

如果这n个盒子中的每一个都至多含有一个物体，那么物体的总数最多是n，这与有n+1个物体矛盾。

所以某个盒子至少有两个物体。

2、定理1的说明：无论是鸽巢原理还是它的证明，都不能具体找出含有两个或更多物体的盒子。

它只是证明这样的盒子存在，即如果人们检査每一个盒子.那么他们会发现有的盒子里面放有多个物体。

另外，当只有n个（或更少）物体时，是无法保证鸽巢原理的结论的。

这是因为可以在n个盒子的每一个里面放进一个物体。

所以鸽巢原理成立的条件是至少为n+1个物体。

3、鸽巢原理的两个简单应用应用1：在13个人中存在两个人，他们的生日在同一个月份里。

应用2：设有n对己婚大妇。

至少要从这2n个人中选出多少人才能保证能够选出一对夫妇？为了在这种情形下应用鸽巢原理，考虑n个房间，其中一个房间对应一对夫妇。

如果选择n十1个人并把他们中的每一个人放到他们夫妻所对应的那个房间中去，那么就有一个房间含有两个人；也就是说，已经选择了一对已婚夫妇。

选择n个人使他们当中一对夫妻也没有的两种方法是选择所有的丈夫和选择所有的妻子，因此，n+1是保证能有一对夫妇被选中的最小的人数。

4、从应用2得出的两个推论推论1：如果将n个物体放入n个盒子并且没有一个盒子是空的，那么每个盒子恰好有一个物体。

说明：以应用2为例，选择n个人，如果其中有一对夫妻，那么必然有一个房间是空的，为了保证没有空房间，则必须从每对夫妻中选一个人，即恰好从每对夫妻中选一个人。

推论2:如果将n个物体放入n个盒子并且没有盒子被放入多于一个的物体，那么每个盒子里恰好有一个物体。

说明：以应用2为例，选择n个人，每个房间只能是夫妻中的一个人，2n个人，恰好每个从每对夫妻当中选择一个人。

鸽巢原理的发现过程
鸽巢原理一般指抽屉原理，是组合数学中一个重要的原理。

如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中，其中必定有一个集合里至少有两个元素。

鸽巢问题是由鸽巢原理引出的问题，鸽巢问题是组合数学中一个重要的原理，鸽巢原理又名狄利克雷抽屉原理、鸽笼原理。

其中一种简单的表述法为：若有n个笼子和n+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少2只鸽子。

另一种为：若有n个笼子和kn+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少k+1只鸽子。

鸽巢原理一般指的是鸽子洞原理，是组合数学中的一个重要原理。

鸽子洞原理的含义:如果每个抽屉代表一个集合，每个苹果代表一个元素，如果n个集合中有n+1个元素，那么其中一个集合中至少要有两个元素。

抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。

把八个苹果任意地放进七个抽屉里，不论怎样放，至少有一个抽屉放有两个或两个以上的苹果。

抽屉原则有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。

它是组合数学中一个重要的原理。

最不利原则，即考虑最差的情况，让最差的情况都发生，则其他情况也就一定会发生。

从最不利的状况去考虑问题。

高考数学冲刺复习鸽巢原理考点解析在高考数学的复习冲刺阶段，鸽巢原理作为一个重要的考点，常常让同学们感到困惑又好奇。

那么，究竟什么是鸽巢原理？它在高考中会以怎样的形式出现？又该如何进行有效的复习和应对呢？接下来，让我们一起深入探讨这个有趣又实用的数学原理。

一、鸽巢原理的基本概念鸽巢原理，又称抽屉原理，它是组合数学中的一个重要原理。

简单来说，如果有 n 个鸽子要放进 m 个巢里，且 n ＞ m，那么至少有一个巢里会有两个或两个以上的鸽子。

例如，把 3 个苹果放进 2 个抽屉，必然有一个抽屉里至少有 2 个苹果。

这个看似简单的道理，却蕴含着深刻的数学思想，并且在解决很多数学问题时都能发挥出意想不到的作用。

二、鸽巢原理的常见形式1、简单形式如果要把 n ＋ 1 个物体放进 n 个盒子，那么至少有一个盒子里会有两个或更多的物体。

2、加强形式把多于 m × n 个物体放进 n 个盒子，那么至少有一个盒子里会有 m ＋ 1 个或更多的物体。

三、高考中鸽巢原理的常见题型1、存在性问题这类问题通常会给定一些条件，然后让我们证明存在某种情况。

例如：“在 1 到 100 这 100 个自然数中，任意选取 51 个数，证明其中一定存在两个数，它们的差是 50。

”我们可以将 1 到 100 分成 50 组：（1, 51)，（2, 52)，，（50, 100)。

选取 51 个数，相当于把 51 个鸽子放进 50 个巢里，根据鸽巢原理，必然有一组中的两个数都被选中，它们的差就是 50。

2、最小值问题比如：“从 1 到 20 中，至少要选取多少个数，才能保证其中一定有两个数的和是 21？”我们可以将 1 到 20 分成 10 组：（1, 20)，（2, 19)，，（10, 11)。

要保证有两个数的和是 21，我们需要选取 11 个数，因为如果只选 10个数，有可能刚好每个组只选了一个数。

3、排列组合问题在一些排列组合的题目中，鸽巢原理也能帮助我们快速找到解题的思路。

每个小组4支笔，3个笔筒，在小组里摆一摆，看看是怎样放的，有几种不同的放法，然后完成导学卡《一》《2》小组汇报。

《3》综合同学们刚才的汇报，共有四种摆法屏显：《4，0，0》《3，1，0》《2，2，0》《2，1，1》这种方法就叫枚举法。

是数学中最常见的一种方法。

仔细观察每一种放法：都有一个笔筒中至少有几只笔？《生答》《不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进2支笔。

》师：“总有一个”什么意思？“至少”又是什么意思？那你们怎样理解这句话？小结：不管怎样放，其中一定有一个笔筒里最少放的是2支笔，或者比2支笔多。

在这里面，出现了最少数是2；师：再仔细观察这4种放法，哪一种摆法能最清晰；最快的找到最少数是2呢？《生答》《摆法3带有偶然性》师：这种摆法是把4支笔平均分，每个笔筒里放一支，不让任何一个笔筒里面空着，这样笔筒里面放的笔才能最少，而另一只笔不管怎样放，都一定能保证总有2支笔在同一个笔筒里。

至少数2就这样找到了。

其实，这是一种平均分。

既然是平均分，在数学上就能用一种算式来表示，怎样列式？《生答》师板书。

4；3；1；1 表示什么?《板书：4÷3=1……1 至少数2》至少数2就是1+1=2《4》如果把5支笔放进4个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进《》支笔。

如果把6支笔放进5个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进《》支笔。

如果把100支笔放进99个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进《》支笔。

师：随着笔筒和笔的数量增多，用列举的方法就很难解释，而用“平均分”的方法就很容易。

如果把n+1枝笔放进n个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进2枝笔。

师：只要放的笔数比笔筒数多1，这个规律就一定存在，如果让你给它起个名字，该叫什么呀？《生说》少有2支铅笔。

为什么呢？“总有”和“至少”是什么意思？学生通过操作发现规律→理解关键词的含义→探究证明→认识“鸽巢问题”的学习过程来解决问题。

(1)操作发现规律：通过吧4支铅笔放进3个笔筒中，可以发现：不管怎么放，总有1鸽笔筒里至少有2支铅笔。