习题课 单调性与奇偶性的综合应用 函数的概念与性质PPT

然后根据复合函数的解析式确定图像的变换方式。
03
复合函数的性质
复合函数具有一些特殊的性质，如周期性、奇偶性、单调性等。这些性
质可以通过分析复合函数的解析式和基本初等函数的性质来得出。
03
函数在实际问题中应用
经济学中函数应用
需求分析
通过构建需求函数，描述 商品价格与需求量之间的 关系，帮助企业预测市场 变化。
不等式在解决实际问题中的应用
通过建立不等量关系式，即不等式，来求解实际问题中的范围或最优解。例如，求解经 济中的最优化问题、工程中的约束条件问题等。
方程和不等式在解决实际问题中的综合应用
有些问题既需要建立等量关系又需要建立不等量关系，这时就需要综合运用方程和不等 式来求解。例如，求解金融中的投资组合问题、物流中的运输优化问题等。
分析和设计。
04
微分学在函数研究中应用
微分学基本概念与性质
微分定义
微分是函数局部变化率的线性近似，描述了函数 在某一点附近的变化趋势。
微分性质
微分具有线性性、可加性、乘法法则等基本性质 ，这些性质在解决复杂问题时非常有用。
高阶微分
高阶微分描述函数更高层次的变化率，如加速度 、加加速度等。
微分法在函数研究中应用
函数与方程关系探讨
函数与方程的联系
方程是函数值为零的特殊情况，函数图像与x轴的交点即为方程的 解。
函数与方程的区别
函数表示一种对应关系，而方程则表示一种等量关系。
函数思想在解方程中的应用
通过构造函数，利用函数的性质（如单调性、连续性等）来求解方 程。
函数与不等式关系探讨
函数与不等式的联系
不等式可以看作是函数值大于或小于零的情况，函数图像在x轴上 方的部分对应不等式大于零的解集，下方的部分对应小于零的解

性质
偶函数的图像关于y轴对称 。
例子
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，所以 $f(x)=x^2$是偶函数。
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02
函数的单调性
单调增函数
定义
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上， 对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$上单 调增。
举例
应用
在经济学、生物学等领域中，单调增 函数常用于描述随着自变量增加，因 变量也增加的情况。
$f(x) = x^2$在区间$(0, +infty)$上 单调增。
单调减函数
定义
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$ 上，对于任意$x_1 < x_2$，都有 $f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在
通过已知的函数性质和函数关系，可以求 解未知的函数解析式。
利用奇偶性和单调性研究函数图 像
通过奇偶性和单调性，我们可以研究函数 的图像性质，如对称轴、单调区间等。
奇偶性与单调性的实际应用举例
经济领域应用
在经济学中，奇偶性和单调 性可以用于研究经济数据的 趋势和周期性变化，如GDP 、就业率等。
自然科学应用
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意$x$，都有$f(x)=-f(x)$，则称$f(x)$为 奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对 称。
例子
$f(x)=x^3$，$f(-x)=x^3=-f(x)$，所以 $f(x)=x^3$是奇函数。
偶函数
定义

(3)f(x)= (x-1) .
1 x 1 x
评析 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： (1)求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称. (2)计算f(-x)，并与f(x)比较，判断f(-x)＝f(x)或f(-x)＝-f(x)
之一是否成立.f(-x)与-f(x)的关系并不明确时，可考查其
例2：函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，满足： f(xy)=f(x)+f(y)，f(8)=3，解不等式f(x)+f(x-2)≥3
[4，+∞）
注：利用函数的单调性解不等式时，必须考虑条件和定义域
练习 1、函数f(x)在（0，+∞）上是减函数求f(a2-a+1)与 f( 3 )的大小关系
3 f(a2-a+1) ≤f( ) 4 2－mx＋5 在区间 [－2，+∞) 上是增 2、函数 f(x)＝4x 函数，求f(1) 的取值范围。 f(1) ≥25 3、设f(x)是定义域为[-1，1]上的增函数， 解不等式f(x-1)<f(x2-1). （1， 2 ]
函数图像能直观地显示函数的单调性.在单调区间上的增函 数，它的图像是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减 函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐下降的.
y
例1 、 画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像， 并指出函数的单调区间.
解：函数图像如下图所示，
当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-(x-1)2+4； 当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-(x+1)2+4.
减↓ 增↑ 减↓ 减↓ 增↑
注：
1、复合函数y=f[g(x)]的单调区间必须是其定义域的 子集 2、对于复合函数y=f[g(x)]的单调性是由函数y=f(u)及 u=g(x)的单调性确定的且规律是“同增，异减”

则f(-x)+g(-x)=(-x)2+(-x)-2=x2-x-2,
又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,
所以f(x)-g(x)=x2-x-2,②
联立①②可得f(x)=x2-2,g(x)=x.
[例3] 偶函数f(x)的定义域为R,当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,则f(-π),
f(2),f(3)的大小关系是(
)
A.f(-π)>f(2)>f(3)
B.f(-π)>f(3)>f(2)
C.f(-π)<f(2)<f(3)
D.f(-π)<f(3)<f(2)
解析:因为f(x)是定义域为R的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,
解析:(2)定义在R上的奇函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,且f(3)=0,
则f(x)在(0,+∞)上单调递增,
且f(-3)=-f(3)=0,
由f(x)>0得,-3<x<0或x>3.故选C.
当堂检测
1.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有(
A
A.f(-1)>f(2)>f(-3)
所以函数的图象关于原点对称,且关于 x=1 对称,
( )-( )
当 x1,x2∈[0,1],且 x1≠x2 时,
f(-2)=0,
其大致图象如图所示,
-
>0,即函数在[0,1]上单调递增,f(2)=f(0)=
< ≤ , - ≤ < ,
则当-3≤x≤1 时,不等式 xf(x)>0 可转化为
意分类讨论.

针对训练 4:(1)设 f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且 f(x)在[0,1)上单调递减,f(- )=1,