函数奇偶性运用

函数奇偶性的应用一、利用函数的奇偶性判断函数的单调性1 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．2 奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大．对于偶函数，如果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即自变量的正负不统一，应利用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间，然后再根据单调性判断．例．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M.例．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．例如果f(x)是R上的奇函数，且在[3,6]上有最大值4，最小值2，那么函数f(x)在[－6，－3]上的最大值和最小值各是多少？提示：奇函数的图象关于原点对称，联想图象可知函数f(x)在[－6，－3]上的最大值为－2，最小值为－4.例．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，且f(1)<f(2)，则必有()A．f(－1)<f(－2) B．f(－1)>f(－2)C．f(－1)＝f(1) D．f(－2)＝f(1)解析：∵f(1)<f(2)，∴－f(1)>－f(2)．又已知f(x)是奇函数，∴f(－1)>f(－2)．答案：B例函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，图象必过点A．（a, －f(a)) B．（-a, －f(a))C．（a, f(－a)) D．（-a, －f(a))例．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是________．解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)．答案：f(－π)>f(3)>f(－2)例．函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是()A．f(－2)>f(0)>f(1)B．f(－2)>f(1)>f(0)C．f(1)>f(0)>f(－2)D．f(1)>f(－2)>f(0)解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，又∵f(x)在[0，＋∞)上递增，∴f (－2)>f (1)>f (0)． 答案：B例．已知函数f (x )在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f (3)<f (1)，则( ) A ．f (－1)<f (－3) B ．f (0)>f (－1) C ．f (－1)<f (1) D ．f (－3)>f (－5)思路分析：要比较各函数值的大小，需判断函数在区间[－5,5]上的单调性，根据题意，应首先判断函数在区间[0,5]上的单调性．解析：函数f (x )在区间[0,5]上是单调函数，又3>1，且f (3)<f (1)，故此函数在区间[0,5]上是减函数． 由已知条件及奇函数性质，知函数f (x )在区间[－5,5]上是减函数． 选项A 中，－3<－1，故f (－3)>f (－1)． 选项B 中，0>－1，故f (0)<f (－1)．同理选项C 中f (－1)>f (1)，选项D 中f (－3)<f (－5)． 答案：A例．设f (x )是定义在R 上单调递减的奇函数．若x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则( ) A ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0 B ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0 C ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＝0 D ．f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)解析：利用减函数和奇函数的性质判断． ∵x 1＋x 2>0，∴x 1>－x 2.又∵f (x )是定义在R 上单调递减的奇函数， ∴f (x 1)<－f (x 2)．∴f (x 1)＋f (x 2)<0.同理，可得f (x 2)＋f (x 3)<0，f (x 1)＋f (x 2)<0.∴2f (x 1)＋2f (x 2)＋2f (x 3)<0. ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0. 答案：B例 （2009年陕西文科卷）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-．则 （ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-< Ｂ．(1)(2)(3)f f f <-< Ｃ．(2)(1)(3)f f f -<< Ｄ．(3)(1)(2)f f f <<-答案：A例 定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)·[f (x 2)－f (x 1)]>0.则当n ∈N ＋时，有( )A ．f (－n )<f (n －1)<f (n ＋1)B ．f (n －1)<f (－n )<f (n ＋1)C ．f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)D ．f (n ＋1)<f (n －1)<f (－n )思路分析：先判断出函数f (x )的单调性，再转化为同一单调区间内判断函数值的大小关系． 解析：由(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0得f (x )在x ∈(－∞，0]为增函数． 又f (x )为偶函数，所以f (x )在x ∈[0，＋∞)为减函数． 又f (－n )＝f (n )且0≤n －1<n <n ＋1，∴f (n ＋1)<f (n )<f (n －1)，即f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)． 答案：C例．若y ＝(a －1)x 2－2ax ＋3为偶函数，则在(－∞，3]内函数的单调区间为________． 解析：a ＝0，y ＝－x 2＋3结合二次函数的单调性知． 答案：增区间(－∞，0)，减区间[0,3]例 定义在区间(－∞，＋∞)上的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在区间[0，＋∞)上的图象与)(x f 的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式：（1）f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )； （2）f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )； （3）f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )； （4）f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a )． 其中成立的是（ ）A ． (1)与(4)B ． (2)与(3)C ． (1)与(3)D ． (2)与(4) 解析：根据函数)(x f 、)(x g 的奇偶性将四个不等式化简，得： （1）f (b )＋f (a )＞g (a )－g (b )； （2）f (b )＋f (a )＜g (a )－g (b )； （3）f (a )＋f (b )＞g (b )－g (a )； （4）f (a )＋f (b )＜g (b )－g (a )．再由题义，有 )(a f ＝)(a g ＞)(b f ＝)(b g ＞0)0()0(==g f ．显然（1）、（3）正确，故选C ．【技巧提示】 具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间内的单调性，因而往往与不等式联系紧密．二. 求函数的函数值和函数解析式此类问题的一般解法是：(1)“求谁则设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间内． (2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f (x )的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x )例 已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 思路分析：以偶函数的图象特征进行判断．解析：∵偶函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，∴f (x )与x 轴的四个交点也关于y 轴对称．因此，若一根为x 1，则它关于y 轴对称的根为－x 1；若一根为x 2，则它关于y 轴对称的根为－x 2，故f (x )＝0的四根之和为x 1＋(－x 1)＋x 2＋(－x 2)＝0.∴应选D.例．已知()2f x ax bx 3a b =+++是偶函数，且定义域为[],a 22a -，则____,____;a b ==例.已知函数1().21xf x a =-+，若()f x 为奇函数，则a =________。

函数奇偶性的应用函数奇偶性（FunctionParity）是指一个函数可以经过一个变换，使其符号发生对称的变化的性质。

这种性质可以用于解决许多数学问题，特别是那些涉及到计算积分的问题，例如，计算圆周积分、椭圆积分等。

函数的奇偶性本质上是一种对称性质，它不是某一个函数的具体性质，而是函数人因变换后所拥有的性质。

其定义是：如果函数f(x)对于任意x，都有f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数，反之，如果f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。

一般来说，函数的奇偶性与函数的变换关系密切相关，函数的变换可以表示为改变函数的变量x的值或者改变函数的结果y值。

例如，函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)有对称性，因为当x取任意值时，它的关系式f(-x)=a(-x)2+b(-x)+c＝-ax2＋bx＋c＝-f(x)，所以函数f(x)是奇函数。

函数奇偶性具有许多应用，例如，利用它可以求解椭圆积分。

椭圆积分是由一个定义在椭圆上的函数与椭圆的面积累加求得的。

因为函数的奇偶性能满足对称性，所以可以利用这一性质，将椭圆分成两半来求解。

具体的操作是，首先用函数左半部分的面积累加求得积分值，然后再用函数右半部分的面积累加求得积分值，最后相加即可得到椭圆积分的结果。

函数奇偶性还可以用于求解圆周积分问题。

因为圆周积分一般是指求解圆周上函数的积分值，而利用函数奇偶性，可以把圆周分割成两部分，一部分是正玄轴到负玄轴的距离，另一部分是负玄轴到正玄轴的距离，从而将圆周积分转化为求解两个积分的和，从而更加容易求出解析解。

此外，函数奇偶性还可以用于对一些复杂的函数进行拆分，将多个复杂的函数拆分为若干个相对简单的函数，从而更容易求解。

例如，可以将多项式函数拆分为多个单项式函数，这样就可以更加方便地求解多项式函数。

最后，函数奇偶性也可以用于多元函数的研究。

对于多元函数，函数的奇偶性可以帮助我们更加清晰地理解函数的性质，从而更直观地求解多元函数的结果。

函数的奇偶性的应用题型归纳一、 求函数值例1、已知函数5)(24+++=x cx ax x f ，若f （－3）＝－3，求f （3）的值。

分析：若将f （－3）＝－3展开，显然无法求出a ，c 的值，只能将81a ＋9c 视为整体 来求f （3），进一步观察函数结构，可构造函数解题。

解：设5)(24++=cx ax x g ，则g （x ）为偶函数，且g （x ）＝f （x ）－x ，因为)()()(),()(x x f x g x g x g ---=-=-，所以x x f x x f -=---)()()(，所以x x f x f 2)()(=--，所以6)3()3(=--f f ，又因为3)3(-=-f ，所以.3)3(=f二、 求函数解析式 例2、已知f （x ）是R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，求f （x ） 的解析式。

分析：要求f （x ）在R 上的解析式，条件已给出f （x ）在),0(+∞上的解析式，还需求当0≤x 时f （x ）对应的解析式。

解：方)0,(-∞∈x ，),0(+∞∈-x ，所以)1()1()(33x x x x x f --=-+-=-因为f （x ）是R 上的奇函数，所以)1()()(3x x x f x f -=--=，)0,(-∞∈x ，在)()(x f x f -=-中，令x ＝0，得f （0）＝0，所以⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=0),1(0,00),1()(33x x x x x x x x f 即⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0),1(0),1()(33x x x x x x x f 点评：利用函数的奇偶性求解析式是常见题型，其步骤为：（1）设，即将自变量x 设在未知区间上；（2）化，即将x 转化到已知区间上；（3）求，即根据函数的奇偶性求出解析式。

另外，若奇函数f （x ）在原点处有定义，则f （0）＝0.三、 比较大小例3、已知f （x ）是偶函数，且在区间[0，1]上是单调增函数，比较)0(),1(),5.0(f f f -- 的大小。

函数奇偶性的应用函数的奇偶性是指函数在其定义域内是否满足奇偶性质。

在数学中，奇数代表整数除以2的余数为1，偶数代表整数除以2的余数为0。

而在函数中，奇函数代表函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数代表函数满足f(-x)=f(x)。

函数的奇偶性在数学中有着广泛的应用，如在对称性、曲线图像、解方程等方面都能够起到重要的作用。

下面将详细讨论函数奇偶性在不同应用领域的具体应用。

首先，在对称性方面，函数的奇偶性能够帮助我们判断函数关于y轴、x轴以及原点是否对称。

对于奇函数，它关于原点对称，即图像在原点处旋转180度后与原图像重合；对于偶函数，它关于y轴对称，即图像关于y轴对称；而对于一般的函数，如果既不是奇函数也不是偶函数，那么它不具备关于坐标轴的对称性。

其次，在曲线图像方面，函数的奇偶性能够帮助我们简化曲线图像的绘制和分析。

由于奇函数关于原点对称，所以当我们只需要绘制图像在原点右侧的部分，然后再将其关于原点对称得到的图像就是整个函数的图像；偶函数同样可以利用关于y轴的对称性简化图像的绘制。

这在许多实际问题中都起到了很大的帮助，特别是能够通过对图像的简化来更好地理解函数的性质。

再次，在解方程方面，我们可以利用函数的奇偶性来求解一些特定的问题。

例如，当我们需要求解一个方程f(x)=0时，如果函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)，那么我们只需要找到一组解x0，然后就能得到对称的另一组解-x0。

同样地，如果函数是偶函数，即f(-x)=f(x)，我们只需要求解非负解，然后就能得到关于y轴对称的另一组解。

这对于简化解方程的过程非常有帮助。

此外，在积分计算方面，函数的奇偶性同样提供了一种简化计算的方法。

对于奇函数而言，它的在一个对称区间内的积分等于0，因为函数在区间的正负区域对称；而对于偶函数而言，它在一个对称区间内的积分可以化简为两倍的非负积分，因为函数在区间内的曲线图像关于y轴对称。

这种简化计算的方法在数学中经常被运用，能够提高计算的效率。

函数单调性与奇偶性综合运用例1；设定义在[−3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a−1)＜f(a)时，求a的取值范围.解：∵f(a−1)＜f(a) ∴f(|a−1|)＜f(|a|)而|a−1|，|a|∈[0，3].例2；定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)−f(−a)＞g(a)−g(−b)；②f(b)−f(−a)＜g(a)−g(−b)；③f(a)−f(−b)＞g(b)−g(−a)；④f(a)−f(−b)＜g(b)−g(−a).答案：①③.例3；设a为实数，函数f(x)=x2+|x−a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x−a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x＜a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为.小练习；选择题1．下面说法正确的选项( )A．函数的单调区间就是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间上为增函数的是( )A．B．C．D．3．已知函数为偶函数，则的值是( )A. B. C. D.4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A．B．C．D．5．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )A．增函数且最小值是B．增函数且最大值是C．减函数且最大值是D．减函数且最小值是6．函数f(x)是定义在[−6，6]上的偶函数，且在[−6，0]上是减函数，则( )A. f(3)+f(4)＞0B. f(−3)−f(2)＜0C. f(−2)+f(−5)＜0D. f(4)−f(−1)＞0 7．若函数在上是单调函数，则的取值范围是( ) A．B．C．D．8．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是( )A．＞B．＜C．D．填空题1．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图，则不等式的解是____________.2．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，______.3．若函数在上是奇函数，则的解析式为________. 4．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为−1，则__________.5．若函数在上是减函数，则的取值范围为__________.6．若在区间上是增函数，则的取值范围是________.解答题1. 已知函数f(x)=x2−2ax+a2−1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[−1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a).解：(1)∵f(x)=(x−a)2−1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a＜−1时，如图1，g(a)=f(−1)=a2+2a2°当−1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=−13°当a＞1时，如图3，g(a)=f(1)=a2−2a，如图2. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x−2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x−2)≤3可转化为：f[x(x−2)]≤f(8).3. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0＜x1＜x2，∵0＜x1＜x2，∴x1−x2＜0，x1·x2＞0(1)当时0＜x1·x2＜1，∴x1·x2−1＜0∴f(x1)−f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.难点：x1·x2−1的符号的确定，如何分段.4．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.解：，则，5．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数；(2)函数是奇函数.证明：(1)设，则，而∴∴函数是上的减函数;(2)由得即，而∴，即函数是奇函数.6．设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数且，求和的解析式.解：∵是偶函数，是奇函数，∴，且而，得，即，∴，.7．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，(1)求；(2)解不等式. 解：(1)令，则(2)，则.8．已知函数的最大值不大于，又当，求的值. 解：，对称轴，当时，是的递减区间，而，即与矛盾，即不存在；当时，对称轴，而，且即，而，即∴.。

函数奇偶性的应用函数的奇偶性是函数的重要性质，在各类考试中是考查的热点，下面对奇偶性的常见应用进行举例说明.一、求函数的解析式例1 已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋3x )，求f (x )的解析式.分析 要求f (x )在R 上的解析式，条件已给出f (x )在(0，＋∞)上的解析式，还需求当x ≤0时f (x )对应的解析式.解 因为x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－x (1＋3－x )＝－x (1－3x ). 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝x (1－3x )，x ∈(－∞，0).在f (－x )＝－f (x )中，令x ＝0，得f (0)＝0. 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (1＋3x )，x ＞0，0，x ＝0，x (1－3x )，x ＜0.评注 利用函数的奇偶性求函数的解析式是常见题型，其步骤为：(1)设，设出在未知区间上的自变量x；(2)化，即将x转化到已知区间上；(3)求，即根据函数的奇偶性求出解析式.二、求参数的值例2 已知函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，若给出一个实数a，a＜0，有f(a)＝－2，则实数a＝________.分析根据已知条件当x≥0时，函数f(x)＝x(x＋1)≥0，由于f(a)＝－2，显然需要求得x＜0的解析式.解析令x＜0，则－x＞0.所以f(－x)＝－x(1－x).又f(x)为奇函数，所以当x＜0时，有f(x)＝x(1－x).令f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0.解得a＝－1，或a＝2(舍去).答案－1评注解决本题首先根据定义域对函数的解析式进行判断，确定所求参数应该对应的解析式是求解本题的关键.三、求参数的范围例3 定义在(－2,2)上的偶函数f(x)在区间[0,2)上是减函数，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围.解因为f(x)是偶函数，所以f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|).又f(1－m)＜f(m)，所以f(|1－m|)＜f(|m|).由f(x)在区间[0,2)上是减函数，得0≤|m|＜|1－m|＜2.解得－1＜m＜12.故实数m的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. 评注 本题利用了偶函数的性质：若函数f (x )是偶函数，则恒有f (x )＝f (|x |)，从而达到简捷求解的目的.。

一、关于函数的奇偶性的定义：定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：（1）)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；（2）)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；（3）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： ()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±- 二、函数的奇偶性的几个性质：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f （0）=0.（4）奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相反（5）奇函数+奇函数=奇函数 偶函数+偶函数=偶函数奇函数*奇函数=偶函数 偶函数*偶函数=偶函数 奇函数*偶函数=奇函数三、函数的奇偶性的判断利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，步骤如下：（1） 首先确定函数的定义域，并判其定义域是否关于原点对称；（2）确定f(－x)与f(x)的关系；（3）作出相应结论：1、判断下列函数的奇偶性（1）()(f x x =- （2）22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩(3)()f x =1122-⋅-x x (4)()f x = (5)f(x)＝2-x +x -2 解：（1）由101x x+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数 （2）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数（3）∴f(x)是偶函数.事实上函数的定义域为{-1，1}，将=)(x f 1122-⋅-x x化简得f(x)=0.∴f(x)既是偶函数，又是奇函数.（4）奇函数 （5）此函数定义域为｛2｝，故f(x)是非奇非偶函数。

专题17 函数奇偶性的应用题组4 函数奇偶性的应用1.已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于（）A.－1B.1C.0D.2【答案】A【解析】因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋（－2）＝－1.故选A.2.已知函数f（x）的定义域为（3－2a，a＋1），且f（x＋1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A.2B.C.4D.6【答案】A【解析】因为函数f（x）的定义域为（3－2a，a＋1），所以在函数f（x＋1）中，3－2a<x＋1<a＋1，则函数f（x＋1）的定义域为（2－2a，a），又因为f（x＋1）为偶函数，所以2－2a＝－a，a＝2，故选A.3.已知函数f（x）＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，则f（x）在区间（2,5）上是（）A.增函数B.减函数C.有增有减D.增减性不确定【答案】B【解析】∵f（x）为偶函数，∴m＝0，∴f（x）＝－x2＋3，开口向下，对称轴为y轴，∴f（x）在（2,5）上是减函数.4.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数，a＋b的值是（）A.0B.C.1D.－1【答案】B【解析】∵函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数，∴a－1＝－2a，b＝0，解得a＝，b＝0，∴a＋b＝，故选B.5.已知f（x）＝ax2＋bx＋1是定义在[3a－2,2a＋]上的偶函数，则5a＋3b等于（）A.B.C.0D.－【答案】A【解析】∵f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），即ax2＋bx＋1＝ax2－bx＋1，∴b＝0.又f（x）的定义域为[3a－2,2a＋]，∴3a－2＋2a＋＝0，∴a＝.故5a＋3b＝.6.若函数f（x）＝为奇函数，则a等于（）A.1B.2C.D.－【答案】A【解析】由题意得f（－x）＝－f（x），则＝＝－，则－4x2＋（2－2a）x＋a＝－4x2－（2－2a）x＋a，所以2－2a＝－（2－2a），所以a＝1.7.若函数f（x）＝ax2＋（a－2b）x＋a－1是定义在（－a,0）∪（0,2a－2）上的偶函数，则f等于（）A.1B.3C.D.【答案】B【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，则－a＋2a－2＝0，解得a＝2.又偶函数不含奇次项，所以a －2b＝0，即b＝1，所以f（x）＝2x2＋1.于是f＝f（1）＝3.8.函数f（x）＝x|x＋a|＋b满足f（－x）＝－f（x）的条件是（）A.ab＝0B.a＋b＝0C.a＝bD.a2＋b2＝0【答案】D【解析】由已知，得－x|－x＋a|＋b＝－x|x＋a|－b，∴a＝b＝0，即a2＋b2＝0.9.已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）＋g（1）＝2，f（1）＋g（－1）＝4，则g（1）等于（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】∵f（x）是奇函数，∴f（－1）＝－f（1）.又g（x）是偶函数，∴g（－1）＝g（1）.∵f（－1）＋g（1）＝2，∴g（1）－f（1）＝2.①又f（1）＋g（－1）＝4，∴f（1）＋g（1）＝4.②由①②，得g（1）＝3.10.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f（1）＋g （1）等于（）A.－3B.－1C.1D.3【答案】C【解析】分别令x＝1和x＝－1可得f（1）－g（1）＝3和f（－1）－g（－1）＝1，因为函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f（－1）＝f（1），g（－1）＝－g（1），即f（－1）－g（－1）＝1⇒f（1）＋g（1）＝1，则⇒⇒f（1）＋g（1）＝1，故选C.11.已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x＋1）＝（1＋x）f （x），则f的值是（）A.0B.C.1D.【答案】A【解析】因为xf（x＋1）＝（1＋x）f（x），令x＝，则f（）＝5×，令x＝，则f＝3×f，令x＝－，则f＝－f，又已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，所以f－f＝0，所以f＝f＝f＝0，又令x＝－1，f（0）＝0，所以f＝f（0）＝0.12.已知f（x）＝x5－ax3＋bx＋2，且f（5）＝17，则f（－5）的值为（）A.－13B.13C.－19D.19【答案】A【解析】设g（x）＝x5－ax3＋bx，则g（x）为奇函数.f（x）＝g（x）＋2，f（5）＝g（5）＋2＝17.∴g（5）＝15，故g（－5）＝－15.∴f（－5）＝g（－5）＋2＝－15＋2＝－13.13.设f（x）是奇函数，当x∈[0，＋∞）时，f（x）≤m（m<0），则f（x）的值域是（）A.[m，－m]B.（－∞，m]C.[－m，＋∞）D.（－∞，m]∪[－m，＋∞）【答案】D【解析】当x≥0时，f（x）≤m；当x≤0时，－x≥0，所以f（－x）≤m，因为f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x）≤m，即f（x）≥－m.14.若偶函数f（x）在区间[3,6]上是增函数且f（6）＝9，则它在区间[－6，－3]上（）A.最小值是9B.最小值是－9C.最大值是－9D.最大值是9【答案】D【解析】因为f（x）是偶函数且在区间[3,6]上是增函数，所以f（x）在区间[－6，－3]上是减函数.因此，f（x）在区间[－6，－3]上最大值为f（－6）＝f（6）＝9.15.若φ（x），g（x）都是奇函数，f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3在（0，＋∞）上有最大值10，则f（x）在（－∞，0）上有（）A.最小值－4B.最大值－4C.最小值－1D.最大值－3【答案】A【解析】由已知对任意x∈（0，＋∞），f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3≤10.对任意x∈（－∞，0），则－x∈（0，＋∞）.又∵φ（x），g（x）都是奇函数，∴f（－x）＝aφ（－x）＋bg（－x）＋3≤10，即－aφ（x）－bg（x）＋3≤10，∴aφ（x）＋bg（x）≥－7，∴f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3≥－7＋3＝－4.16.奇函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式是f（x）＝x（1－x），则在（－∞，0）上f（x）的函数解析式是（）A.f（x）＝－x（1－x）B.f（x）＝x（1＋x）C.f（x）＝－x（1＋x）D.f（x）＝x（x－1）【答案】B【解析】设x<0，则－x>0，因为函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式是f（x）＝x（1－x），所以f（－x）＝－x（1＋x），又函数f（x）是奇函数，即f（－x）＝－f（x），则当x<0时，f（x）＝－f（－x）＝x（1＋x）.故选B.17.若f（x）＝（m－1）x2＋6mx＋2是偶函数，则f（0），f（1），f（－2）从小到大的排列是________.【答案】f（－2）<f（1）<f（0）【解析】∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立，即（m－1）x2－6mx＋2＝（m－1）x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f（x）＝－x2＋2.∵f（x）的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞）上单调递减，∴f（2）<f（1）<f（0），即f（－2）<f（1）<f（0）.18.设函数f（x）＝为奇函数，则实数a＝________.【答案】－1【解析】∵f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即＝－，∴2a＝－2，解得a＝－1.19.已知y＝f（x）＋x2是奇函数且f（1）＝1，若g（x）＝f（x）＋2，则g（－1）＝________.【答案】－1【解析】∵y＝f（x）＋x2是奇函数，∴f（－x）＋（－x）2＝－[f（x）＋x2]，∴f（x）＋f（－x）＋2x2＝0，∴f（1）＋f（－1）＋2＝0.∵f（1）＝1，∴f（－1）＝－3.∵g（x）＝f（x）＋2，∴g（－1）＝f（－1）＋2＝－3＋2＝－1.20.设f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝2，且f（x＋1）＝f（x＋6），则f（10）＋f（4）＝________. 【答案】－2【解析】因为f（x＋1）＝f（x＋6），所以f（x）＝f（x＋5）.因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0，则f（10）＝f（5）＝f（0）＝0，f（4）＝f（－1）＝－f（1）＝－2.所以f（10）＋f（4）＝－2.21.已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0,2）时，f（x）＝2x2，则f（7）＝________. 【答案】－2【解析】f（7）＝f（3＋4）＝f（3）＝f（－1＋4）＝f（－1），∵f（x）为奇函数，∴f（－1）＝－f（1），∵1∈（0,2），∴f（1）＝2×12＝2，∴f（7）＝－f（1）＝－2.22.已知函数f（x）＝ax3＋bx＋4（a，b均不为零），且f（5）＝10，则f（－5）＝________.【答案】－2【解析】令g（x）＝ax3＋bx（a，b均不为零），易知g（x）为奇函数，从而g（5）＝－g（－5）.因为f（x）＝g（x）＋4，所以g（5）＝f（5）－4＝6，所以f（－5）＝g（－5）＋4＝－g（5）＋4＝－2.23.已知函数f（x）＝ax3－bx＋1，a，b∈R，若f（－1）＝－2，则f（1）＝__________.【答案】4【解析】∵f（x）＝ax3－bx＋1，∴f（－x）＝a（－x）3－b（－x）＋1＝－ax3＋bx＋1，得f（x）＋f（－x）＝（ax3－bx＋1）＋（－ax3＋bx＋1）＝2，令x＝1，得f（1）＋f（－1）＝2，∵f（－1）＝－2，∴f（1）＝2－f（－1）＝2＋2＝4.24.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数.当x<0时，f（x）＝x2－4，则x>0时，f（x）的解析式为________，不等式f（x）<0的解集为___________.【答案】f（x）＝－x2＋4（－2,0）∪（2，＋∞）【解析】当x>0时，－x<0，所以f（－x）＝（－x）2－4＝x2－4，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝x2－4＝－f（x），所以f（x）＝－x2＋4，即x>0时，f（x）＝－x2＋4.当x<0时，f（x）<0，即x2－4<0，解得－2<x<2，又因为x<0，所以－2<x<0；当x>0时，f（x）<0，即4－x2<0，解得x<－2或x>2，又因为x>0，所以x>2.综上可得f（x）<x的解集是（－2,0）∪（2，＋∞）.25.定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x，（1）试画出f（x），x∈[－3,5]的图象；（2）求f（37.5）；（3）常数a∈（0,1），y＝a与f（x），x∈[－3,5]的图象相交，求所有交点横坐标之和.【答案】（1）∵f（x）为奇函数，∴f（x＋2）＝f（－x），∴f（x）关于直线x＝1对称.由f（x）在[0,1]上的图象反复关于（0,0），x＝1对称，可得f（x），x∈[－3,5]的图象如图.（2）由图可知f（x＋4）＝f（x），∴f（37.5）＝f（4×9＋1.5）＝f（1.5）＝f（0.5）＝.（3）由图可知，当a∈（0,1）时，y＝a与f（x），x∈[－3,5]有4个交点，设为x1，x2，x3，x4（x1<x2<x3<x4）. 由图可知＝－1，＝3.∴x1＋x2＋x3＋x4＝－2＋6＝4.26.已知函数f（x）＝，g（x）＝f（）.（1）在图中的坐标系中补全函数f（x）在其定义域内的图象，并说明你的作图依据；（2）求证：f（x）＋g（x）＝1（x≠0）.【答案】（1）∵f（x）＝，∴f（x）的定义域为R.又对任意x∈R，都有f（－x）＝＝＝f（x），∴f（x）为偶函数，故f（x）的图象关于y轴对称，其图象如图.（2）∵g（x）＝f（）＝＝（x≠0），∴f（x）＋g（x）＝＋＝＝1，即f（x）＋g（x）＝1（x≠0）.27.已知函数f（x）＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，且其定义域为[m－1,2m].（1）求m，n的值；（2）求函数f（x）在其定义域上的最大值.【答案】（1）∵函数f（x）＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，∴函数的定义域关于原点对称，又∵函数f（x）的定义域为[m－1,2m].∴m－1＋2m＝0，解得m＝，又由f（－x）＝mx2－nx＋3m＋n＝f（x）＝mx2＋nx＋3m＋n，可得n＝0.（2）由（1）得函数的解析式为f（x）＝x2＋1，定义域为[－，].其图象是开口向上，且以y轴为对称轴的抛物线，当x＝±时，f（x）取最大值.28.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝. （1）求a，b，c的值；（2）试判断函数f（x）在区间上的单调性并证明.【答案】（1）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），∴－ax－＋c＝－ax－－c，∴c＝0，∴f（x）＝ax＋.又∵f（1）＝，f（2）＝，∴∴a＝2，b＝.综上，a＝2，b＝，c＝0.（2）由（1）可知f（x）＝2x＋.函数f（x）在区间上为减函数.证明如下：任取0<x1<x2<，则f（x1）－f（x2）＝2x1＋－2x2－＝（x1－x2）＝（x1－x2）∵0<x1<x2<，∴x1－x2<0,2x1x2>0,4x1x2－1<0.∴f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2）.∴f（x）在上为减函数.29.已知函数f（x）＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5].（1）当a＝－1时，求函数f（x）的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－5,5]上是单调函数.【答案】（1）当a＝－1时，f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1.∵x∈[－5,5]，故当x＝1时，f（x）的最小值为1，当x＝－5时，f（x）的最大值为37.（2）函数f（x）＝（x＋a）2＋2－a2的图象的对称轴为x＝－a.∵f（x）在[－5,5]上是单调的，∴－a≤－5或－a≥5.即实数a的取值范围是a≤－5或a≥5.30.已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝2x－x2，求y＝f（x）的解析式. 【答案】设x<0，则－x>0，因为f（x）是奇函数，所以当x<0时，f（x）＝－f（－x）＝－[2（－x）－（－x）2]＝2x＋x2.因为y＝f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0.所以f（x）＝。