函数奇偶性的应用

函数的奇偶性及其应用学习目标1、掌握奇、偶函数的定义及性质2、会判断给定函数的奇偶性3、能灵活应用函数的奇偶性解决常规问题4、了解函数图像的对称性，以及其与函数周期的关系。

1、奇函数与偶函数：如函数()f x 在其定义域内，对任意x 都有()()f x f x -=-，则称该函数为奇函数；如对任意x 都有()()f x f x -=，则称该函数为偶函数。

很明显，判断一个函数是否是奇函数或偶函数，首先看其定义域是否关于原点对称。

2、奇、偶函数的图像特征：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如其图像给关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

3、奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在y 轴的两边单调性相反．(2)两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积（或商）是偶函数；两个偶函数的和、积（或商）都是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积（或商）是奇函数．4、重要结论：（1）定义域关于原点对称的任一个函数)(x f 都可以唯一写成一个奇函数)(x h 与一个偶函数)(x g 之和的形式（事实上：()()()()12h x f x f x =--，()()()()12g x f x f x =+-） （2）对于多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项系数全为零()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项系数全为零5、函数图像的中心对称性（奇函数的推广）（1）如函数()f x 恒满足()()f x a f b x c ++-=，则()f x 的图像关于点(,)22a b c +中心对称 （2）如函数()(0)ax b f x c cx d+=≠+，则()f x 的图像关于点(,)d a c c -中心对称（3）()g x 为任意函数，则()()y g x g x λμ=+--的图像关于(,0)2μλ-中心对称。

函数奇偶性在解题中的应用徐辉函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是日常考试和高考中数学的重点和热点内容之一。

它应用广泛，在高中数学的各个分支中都有着极为重要的应用，在解题过程中如果应用的好，常能使难题变易，繁题变简，起到事半功倍的效果。

1．用于求值例１：已知奇函数，则解：因为奇函数，所以对任意，都有成立．令，则有，从而可得；令，则有，从而．故．注：此解利用了若函数是奇函数，则对定义域内的任意，都有这一性质，特别地，当０在定义域内时，必有．2．用于比较大小例２．已知偶函数在区间上单调递减，试比较的大小.解：因为是偶函数，所以，故此题只需比较的大小即可．又因在区间上单调递减，而且所以，故．注：此解利用了若函数是偶函数，则对定义域内的任意x，都有这一性质．当然此题也可利用偶函数图象关于y 轴对称这一性质，首先得到在区间是单调递增的，然后再用单调性进行求解．3．用于求最值例３．如果奇函数在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么在区间[-7,-3]上是（）A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5解：由在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，有, 又是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称,故有在[-7,-3]上也是增函数，且当x=-3时，函数取得最大值，故选B.注:此解利用了奇函数图象关于原点对称这一性质.4．用于求参数的值例4.已知函数(a、b、c∈Z)是奇函数，又f(1)=2，f(2)＜3，求a、b、c的值.解：由是奇函数，知f(-x)=-f(x)，从而，即-bx+c=-(bx+c)，c=-c，∴c=0.又由f(1)=2，知，得a+1=2b①，而由f(2)＜3，知，得②由①②可解得－1＜a＜2.又a∈Z，∴a=0或a=1.若a=0，则b=，应舍去；若a=1，则b=1∈Z.∴a=1，b=1，c=0.注：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想建立方程或不等式，组成混合组，最终使问题得以解决. 当然此题也可采用取特殊值的方法得到c的值，如由f(－1)=－f(1)，可得c=0. 5．用于求函数的解析式例５．已知定义在(－∞，+∞)上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)=x2－2x+2，求函数f(x)的解析式。

思路探寻函数奇偶性是函数的重要性质之一，是指对于函数f (x )，若定义域内任意的x ，都有f (-x )=-f （x ）,则函数f (x )为奇函数；若都有f (-x )=f （x ），则该函数f (x )为偶函数.函数的奇偶性在高中数学解题中应用广泛，尤其在解不等式、求函数的值、求函数解析式时应用较多.对此，笔者就函数奇偶性在高中数学解题中的应用进行了探讨，以期对同学们解题有所助益.一、利用函数的奇偶性解不等式有些不等式问题较为复杂，很难快速找到解题的突破口，此时不妨仔细分析不等式左右两边式子的结构特征，构造恰当的函数，将不等式问题转化为函数问题，再利用函数的奇偶性去处理，这样便可使不等式问题顺利获解.例1.求证：x 1-2x ＜x 2(x ≠0).分析：此不等式若直接证明十分棘手，可结合不等式的特点构造出一个函数，利用偶函数的性质将不等式进行转化，则可以轻松证明结论.证明：设f (x )=x 1-2x -x 2(x ≠0),因为f (-x )=-x 1-2-x --x2=-x (1+12x -1)+x 2=x 1-2x -x 2=f (x ),所以f (x )为偶函数.当x ＞0时，1-x2＜0，可知f (x )＜0；当x ＜0时，-x ＞0,f (x )=f (-x )＜0,综上所述，当x ≠0时，恒有f (x )＜0，即x 1-2x ＜x 2(x ≠0).利用函数奇偶性解答不等式问题的关键在于,结合不等式的结构特征构造具有奇偶性的函数，以便利用函数的奇偶性将问题加以转化.二、利用函数的奇偶性求函数的值求函数的值问题是函数中的常见题目，常以选择题或填空题的形式出现.此类问题中常含有参数，为了快速求得函数的值，我们可以利用函数的奇偶性，将f (-x )用±f （x ）来替换，将函数式作整体处理，进而求得函数的值.这样不仅可以避免逐步讨论、求解参数的值，还可以简化运算，有利于提升解题的效率.例2.若f (x )=a x -a -x2+b ·log c (x +x 2+1)+x 2(其中a ,b ,c 为常数)，且f (-2)=5，试求f (2)的值.分析：本题直接求函数f (2)的值较为困难，可结合f (x )表达式的特点，将含x 的一部分构造成具有奇偶性的函数，利用函数的奇偶性进行处理，则不难求出函数f (2)的值.解：设g (x )=a x -a -x 2+b ·log c (x +x 2+1),则g (-x )=a -x -a x2+b ·log c (-x +(-x )2+1)=-g (x ),易知g (x )为奇函数，故有g (-2)=-g (2)，又因为f (x )=g (x )+x 2,则{f (-2)=g (-2)+4,f (2)=-g (2)+4,将两式相加可得f (-2)+f (2)=8，因为f (-2)=5，所以f (2)=3.三、利用函数的奇偶性求函数的解析式求解函数的解析式问题的方法较多，利用函数奇偶性是常用的方法.在求函数的解析式时，要首先根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，然后将f (-x )用±f （x ）来替换，这样便能快速求得函数的解析式.例3.已知f (x )与g (x )的定义域是｛x |x ∈R 且x ≠±1｝,若f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )+g (x )=1x -1.试求f (x )与g (x )的解析式.解：因为f (x )是偶函数，所以f (-x )=f (x )，因为g (x )是奇函数，所以g (-x )=-g (x )，因为f (-x )+g (-x )=1-x -1,所以f (x )-g (x )=1-x -1①.由已知可得f (x )+g (x )=1x -1②.由①+②可得2f (x )=2x 2-1(x ≠±1)，所以f (x )=1x 2-1(x ≠±1)，所以g (x )=1x -1-1x 2-1=x x 2-1(x ≠±1).若已知函数是偶函数或奇偶数，则根据函数奇偶性的定义f (-x )=-f (x )或f (-x )=f (x )进行代换，便不难求出函数的解析式.在这一过程中，我们要注意把握奇函数或偶函数的定义域.总之，对于某些较为复杂的函数问题，同学们若能从函数的奇偶性入手，往往可以拓宽解题的思路.所以，在平时的学习中，同学们要熟练掌握函数的性质.(作者单位：江苏省江浦高级中学)谈谈函数奇偶性的应用邹大博48Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

函数奇偶性的应用函数奇偶性（FunctionParity）是指一个函数可以经过一个变换，使其符号发生对称的变化的性质。

这种性质可以用于解决许多数学问题，特别是那些涉及到计算积分的问题，例如，计算圆周积分、椭圆积分等。

函数的奇偶性本质上是一种对称性质，它不是某一个函数的具体性质，而是函数人因变换后所拥有的性质。

其定义是：如果函数f(x)对于任意x，都有f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数，反之，如果f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。

一般来说，函数的奇偶性与函数的变换关系密切相关，函数的变换可以表示为改变函数的变量x的值或者改变函数的结果y值。

例如，函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)有对称性，因为当x取任意值时，它的关系式f(-x)=a(-x)2+b(-x)+c＝-ax2＋bx＋c＝-f(x)，所以函数f(x)是奇函数。

函数奇偶性具有许多应用，例如，利用它可以求解椭圆积分。

椭圆积分是由一个定义在椭圆上的函数与椭圆的面积累加求得的。

因为函数的奇偶性能满足对称性，所以可以利用这一性质，将椭圆分成两半来求解。

具体的操作是，首先用函数左半部分的面积累加求得积分值，然后再用函数右半部分的面积累加求得积分值，最后相加即可得到椭圆积分的结果。

函数奇偶性还可以用于求解圆周积分问题。

因为圆周积分一般是指求解圆周上函数的积分值，而利用函数奇偶性，可以把圆周分割成两部分，一部分是正玄轴到负玄轴的距离，另一部分是负玄轴到正玄轴的距离，从而将圆周积分转化为求解两个积分的和，从而更加容易求出解析解。

此外，函数奇偶性还可以用于对一些复杂的函数进行拆分，将多个复杂的函数拆分为若干个相对简单的函数，从而更容易求解。

例如，可以将多项式函数拆分为多个单项式函数，这样就可以更加方便地求解多项式函数。

最后，函数奇偶性也可以用于多元函数的研究。

对于多元函数，函数的奇偶性可以帮助我们更加清晰地理解函数的性质，从而更直观地求解多元函数的结果。

函数奇偶性的应用函数的奇偶性是指函数在其定义域内是否满足奇偶性质。

在数学中，奇数代表整数除以2的余数为1，偶数代表整数除以2的余数为0。

而在函数中，奇函数代表函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数代表函数满足f(-x)=f(x)。

函数的奇偶性在数学中有着广泛的应用，如在对称性、曲线图像、解方程等方面都能够起到重要的作用。

下面将详细讨论函数奇偶性在不同应用领域的具体应用。

首先，在对称性方面，函数的奇偶性能够帮助我们判断函数关于y轴、x轴以及原点是否对称。

对于奇函数，它关于原点对称，即图像在原点处旋转180度后与原图像重合；对于偶函数，它关于y轴对称，即图像关于y轴对称；而对于一般的函数，如果既不是奇函数也不是偶函数，那么它不具备关于坐标轴的对称性。

其次，在曲线图像方面，函数的奇偶性能够帮助我们简化曲线图像的绘制和分析。

由于奇函数关于原点对称，所以当我们只需要绘制图像在原点右侧的部分，然后再将其关于原点对称得到的图像就是整个函数的图像；偶函数同样可以利用关于y轴的对称性简化图像的绘制。

这在许多实际问题中都起到了很大的帮助，特别是能够通过对图像的简化来更好地理解函数的性质。

再次，在解方程方面，我们可以利用函数的奇偶性来求解一些特定的问题。

例如，当我们需要求解一个方程f(x)=0时，如果函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)，那么我们只需要找到一组解x0，然后就能得到对称的另一组解-x0。

同样地，如果函数是偶函数，即f(-x)=f(x)，我们只需要求解非负解，然后就能得到关于y轴对称的另一组解。

这对于简化解方程的过程非常有帮助。

此外，在积分计算方面，函数的奇偶性同样提供了一种简化计算的方法。

对于奇函数而言，它的在一个对称区间内的积分等于0，因为函数在区间的正负区域对称；而对于偶函数而言，它在一个对称区间内的积分可以化简为两倍的非负积分，因为函数在区间内的曲线图像关于y轴对称。

这种简化计算的方法在数学中经常被运用，能够提高计算的效率。

奇偶性应用举例 1、判断奇偶性：2211)(x x x f -+-=2、已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f3、判断函数⎩⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x xx x f 的奇偶性。

4.已知判断)21121()(+-=x x x f 的奇偶性5.已知22()21x xa a f x ⋅+-=+是R 上的奇函数，则a =6、若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间？7、已知函数)0()(23≠++=a cx bx ax x f 是偶函数，判cx bx ax x g ++=23)(的奇偶性。

8、定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减，若)2()6(a f a f <-，则a 的取值范围是如何？9.定义在（-1，1）上的奇函数f （x ）是减函数，且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求a 的取值范围10.已知函数f (x )是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.当x ∈(－∞,0)时，f (x )=x -x 4，则 当x ∈(0.+∞)时，f (x )= .11、设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则()0<x f 的解是 .12.若f (x )为奇函数，且在(-∞,0)上是减函数，又f (-2)=0，则xf (x )<0的解集为________作业1．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．2．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为多少？为什么？3.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．。

专题二 函数考点5 函数奇偶性的3种判断方法及2个应用方向【方法点拨】一、处理函数奇偶性的判断及应用问题的方法 1. 函数奇偶性的判断方法 (1) 定义法：利用定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)； (2) 性质法：在公共定义域内，有“奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇x 奇=偶，偶x 偶=偶，奇x 偶=奇”. (3) 图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性. 2. 函数奇偶性的应用主要有两个方向 （1）求函数值或函数解析式：利用奇偶性将所求值或解析式对应的自变量转化到已知解析式的区间，构造方程(组).(2)求参数：由定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)得到恒等式，再利用系数相等构造方程(组). 【高考模拟】1．已知()f x 、()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，若()()22xf xg x --=，则()1g -=（ ）A ．5B ．5-C ．3D ．3-【答案】D 【分析】根据题意可得出关于()1f -、()1g -的方程组，进而可解得()1g -的值. 【解析】()()22x f x g x --=，所以，()()31128f g ---==，①，()()112f g -=，②，因为()f x 、()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，由②可得()()112f g -+-=，则有()()()()118112f g f g ⎧---=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得()13g -=-.故选：D.2．设()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，又()40f -=，则不等式()()440f x f x x+--->的解集是（ ）A ．()0,4B ．()8,4--C ．()()4,00,4- D ．()()8,40,4--⋃【答案】B 【分析】分析出函数()f x 在(),0-∞、()0,∞+上的单调性，以及()()440f f =-=，化简得出()40f x x+>，结合图象可得出关于实数x 的不等式组，由此得出原不等式的解集. 【解析】因为()f x 是R 上的奇函数，则()00f =，由于函数()f x 在(),0-∞上是减函数，则该函数在()0,∞+上也为减函数，()40f -=，则()()440f f =--=，作出函数()f x 的大致图象如下图所示：由()()440f x f x x +--->，可得()240f x x+>，由()400f x x ⎧+>⎨>⎩，可得440x x +<-⎧⎨>⎩或0440x x <+<⎧⎨>⎩，此时x ∈∅；由()400f x x ⎧+<⎨<⎩，可得4400x x -<+<⎧⎨<⎩或44x x +>⎧⎨<⎩，解得84x -<<-.因此，不等式()()440f x f x x+--->的解集是()8,4--.故选：B. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.3．函数2()x x e e f x x -+=的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性和特殊点确定正确选项. 【解析】()f x 的定义域为{}|0x x ≠，()()2x xe ef x f x x-+-==，所以()f x 为偶函数，由此排除CD 选项. ()211101e e f e e+==+>，由此排除B 选项.故选：A4．已知定义域为R 的函数()f x 满足：①图象关于原点对称；②3()2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2()log (1)f x x m =++.若2(2020)log 3f =，则m =（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】B 【分析】由①可知函数()f x 为奇函数，由②可知图象关于34x =对称，则函数()f x 为周期函数，周期为3，然后利用周期性可知()21(2020)1log 32f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭解出m 的值. 【解析】由①可知函数()f x 为奇函数，又33()22f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3(3)()2f x f x f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，即函数()f x 的周期为3，∴2213(2020)(1)log log 322f f f m ⎛⎫===+= ⎪⎝⎭，解得1m =. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的性质的综合，常见的与函数的对称性、周期性有关的结论有： ①若()()2f x f a x =-，则函数()f x 图象关于x a =对称；②若函数()()22f x f a x b +-=，则函数()f x 图象关于点(),a b 中心对称；③若函数()f x 的图象关于点(),a c 中心对称，且关于直线()x b a b =≠对称，则函数()f x 为周期函数，周期4T a b =-.5．已知(21)2()21x xa f x +-=+是奇函数，那么实数a =（ ） A ．0 B ．-1C ．2D ．1【答案】D 【分析】由奇函数的性质(0)0f =求解即可； 【解析】解：因为(21)2()21x x a f x +-=+定义域为R ，又(21)2()21x xa f x +-=+是奇函数 所以(0)0f =，即()0(21)20021a f +-==+，解得1a =.所以21()21x xf x ， ()()21221112x xx x f x f x ----===-++-，即21()21x x f x 是奇函数； 故选：D6．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+,(0)2f =，则(10)f =（ ） A ．4- B ．2-C ．2D ．4【答案】C 【分析】由已知偶函数及(1)(1)f x f x -=+，得出函数是周期函数，周期为2，由此可得结论． 【解析】解：根据题意，函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+， 则()()2f x f x -=+，又由()f x 为偶函数， 则有()()f x f x -=，则(2)()f x f x +=， 函数()f x 是周期为2的周期函数， 故(10)(0)2f f ==， 故选：C.7．下列函数在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．1()2x f x = B ．()sin f x x = C ．()cos f x x = D ．()||f x x x =-【答案】D 【分析】根据基本初等函数的基本性质判断各选项中函数的单调性与奇偶性，即可得出合乎题意的选项. 【解析】对于A 选项，函数1()2xf x =是非奇非偶函数； 故A 不正确. 对于B 选项，函数()sin f x x =在定义域内不是减函数，故B 不正确. 对于C 选项，函数()cos f x x =在定义域内不是减函数，故C 不正确.对于D 选项，()||f x x x =-,则()||()f x x x f x -=-=-，所以()f x 为奇函数.又220()0x x f x x x x x≥⎧-=-=⎨<⎩,当0x ≥时，2()f x x =-为减函数.又()f x 为奇函数，则()f x 在(]0-∞，上单调递减，且()00f = 所以()f x 在R 上单调递减，满足条件，故D 正确. 故选：D8．已知3()1f x ax bx =++，且f (5)=7，则f (－5)的值是（） A ．－5 B ．－7C ．5D ．7【答案】A 【分析】令3()g x ax bx =+利用函数的奇偶性计算可得； 【解析】解：因为3()1f x ax bx =++，令3()g x ax bx =+，()()1f x g x =+则()()()()33()g x a x b x ax bx g x -=-+⋅-=-+=-，即3()g x ax bx =+为奇函数，又()57f =，所以()()5517f g =+=，所以()56g =，所以()()556g g -=-=-，所以()()551615f g -=-+=-+=-故选：A9．若()x φ，()g x 都是奇函数，()()()2f x a x bg x ϕ=++在（0，＋∞）上有最大值5，则()f x 在（－∞，0）上有（ ） A ．最小值－5 B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3【答案】C 【分析】由于()x φ、()g x 为奇函数，得()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数，则()2f x -在（0，＋∞）上有最大值3，即可得()f x 的最值. 【解析】因为()x φ、()g x 为奇函数，∴()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数． 又()f x 有最大值5， ∴()2f x -在（0，＋∞）上有最大值3，∴()f x －2在(,0)-∞上有最小值－3，∴()f x 在(,0)-∞上有最小值－1． 故选：C10．偶函数()y f x =在1[,)2+∞内是增函数，下列不等式一定成立的是（ ） A ．(1)(2)0f f +-> B ．(1)(2)0f f +-< C ．(1)(2)0f f --> D ．(1)(2)0f f --<【答案】D 【分析】利用函数的单调性可得(1)(2)0f f -<，再利用奇偶性可得答案. 【解析】因为函数()y f x =在1[,)2+∞内是增函数，且1212>>， 所以(2)(1)(1)(2)0f f f f >⇒-<， 又因为函数()y f x =是偶函数， 所以(2)(2)f f =-， 所以(1)(2)0f f --<， 故选：D.11．若奇函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，且最小值是1，则f (x )在[-b ，-a ]上是（ ） A ．增函数且最小值是-1 B ．增函数且最大值是-1 C ．减函数且最小值是-1 D ．减函数且最大值是-1【答案】B 【分析】根据奇函数在对称区间上的单调性相同，结合选项判断即可． 【解析】因为函数f （x ）是奇函数，且在[a ，b]上是增函数，故函数在对称区间上单调性相同，即函数在[-b ，-a]上是增函数，在-1处取得最大值，由奇函数的性质得到(1)(1) 1.f f -=-=- 故选：B12．已知函数2()f x x ax b =++，且(2)f x +是偶函数，则57(1),(),()22f f f 的大小关系是（ ）A ．57()(1)()22f f f <<B ．75(1)()()22f f f <<)C ．75()(1)()22f f f <<D ．75()()(1)22f f f <<【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性及单调性即可比较大小. 【解析】由(2)f x +是偶函数可知函数2()f x x ax b =++关于直线2x =对称，所以(1)(3)f f =， 又该函数图象开口向上，当2x >时单调递增， 故57()(1)()22f f f <<， 故选：A.13．已知函数()22,x xf x -=-则不等式()()280x f f +-<的解集为（ ）A ．(-3，0)B ．(),3-∞C ．(0，3)D ．()3,+∞【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性转化为解()2(8)xf f <.【解析】因为(2,)2x x R f x x -=-∈，()()22xx f x f x --=-=-，所以()22xxf x -=-为奇函数，2x y =是增函数，2x y -=是减函数()22x x f x -=-为R 上的增函数，所以()2(8)0x f f +-<等价于()2(8)xf f <，因此28x <，即：3x <. 故选：B.14．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()21f x x =+，则(3)f 等于（ ） A ．7- B ．7C ．5-D ．5【答案】D 【分析】由奇函数定义可求解 【解析】()33215f -=-⨯+=- ()(3)35f f =--=故选：D15．已知()()22xxf x a a =-≠为奇函数，则“12m <-”是“()0f m >”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】根据奇函数的定义及充要条件的定义判断. 【解析】 因为()()22xx f x a a =-≠为奇函数，所以()()0f x f x +-=，220x x x x a a ---+-=，()()12102xxx a a ⎡⎤--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦恒成立，()21xa =，12a =， ()22x x f x -=-为R 上的减函数，且()00f =，所以()0f m >，0m <， 因此，“12m <-”是“()0f m >”的充分不必要条件. 故选:B ．16．已知y =f (x )的图象关于坐标原点对称，且对任意的x ∈R ，f (x +2)=f (-x )恒成立，当10x -≤<时，f (x )=2x ，则f (2021)=_____________. 【答案】12- 【分析】由已知条件推出函数()f x 的周期，利用函数的周期和奇偶性求值即可． 【解析】y =f (x )的图象关于坐标原点对称，则()()f x f x =--又()()2f x f x +=-，可得()()()22f x f x f x +=-=-，即()f x 的周期为4()()()()1202145051112f f f f =⨯+==--=-故答案为：12-17．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()f x g x x x a -=++，则(2)g =__________．【答案】8 【分析】由已知求得()()f x g x ---，建立方程组，可求得()3g x x =-，代入可求得答案．【解析】 因为()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以3232()()()()f x g x x x a x x a ---=-+-+=-++，即32()()f x g x x x a +=-++，又32()()f x g x x x a -=++，所以()3g x x =-，所以()3228g ==-，故答案为：-8．18．已知()f x 为奇函数，且当0x >时单调递增，(3)0f =，则不等式()0xf x <的解集__________． 【答案】(3,0)(0,3)-⋃ 【分析】把()0xf x <转化为0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩，利用()f x 的单调性、奇偶性及(3)0f =可解.【解析】由题意(3)(3)0f f -=-=，当0x >时，由()0f x <得03x <<， 根据函数为奇函数，当0x <时，函数单调递增，由()0f x >得30x -<<，所以0()0()0x xf x f x >⎧<⇔⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩，解得03x <<或30x -<<．所以不等式的解集为(3,0)(0,3)-⋃． 故答案为：(3,0)(0,3)-⋃ 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式.19．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=，又当(0,1)x ∈时，()21x f x =-，则12(log 7)f 的值等于__________．【答案】34- 【分析】由(2)()f x f x +=，得()f x 的周期为2，再判断12log 72+的范围为(1,0)-，再利用奇函数的性质可得1111222277(log 7)(log 72)(log )(log )44f f f f =+==--，然后代入()21x f x =-中可得结果 【解析】(2)()f x f x +=，()f x 是周期为2的函数，123log 72-<<-，121log 720∴-<+<，()y f x =是定义在R 上的奇函数，1111222277(log 7)(log 72)(log )(log )44f f f f =+==--27log 473(21)(1)44=--=--=-．故答案为：34-． 20．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[)0,+∞上为增函数，若112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式1(21)0f x -≤+≤的解集为___________ 【答案】3142⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，【分析】根据()f x 是定义在R 上的奇函数，且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，将不等式1(21)0f x -≤+≤，转化为()1(21)02f f x f ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，利用函数在R 上是增函数求解. 【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以()11,002f f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， 所以不等式1(21)0f x -≤+≤，即为()1(21)02f f x f ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，因为函数在[)0,+∞上为增函数，则在R 上是增函数，所以12102x -≤+≤， 解得3142x -≤≤-，所以不等式的解集为3142⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，，故答案为：3142⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，21．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2)=-f (x ).当x ∈[0，2]时，()22.f x x x =- （1）求证：f (x )是周期函数；（2）当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式； （3）计算()()()012)20(17f f f f +++⋯+. 【答案】（1）证明见解析；（2）f(x)=x2-6x+8；（3）1. 【分析】（1）把2x +看成一个整体证明()()4f x f x +=即可； （2）先求x ∈[-2，0]的解析式，再利用周期性即可； （3）利用周期性即可获解. 【解析】（1）∵f(x+2)=-f(x)，∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. （2）当x ∈[-2，0]时，-x ∈[0，2]， 由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2，∴f(x)=x2+2x. 又当x ∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数 ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得x ∈[2，4]时，f(x)=x2-6x+8.（3）f （0）=0，f （2）=0，f （1）=1，f （3）=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数，∴f （0）+f （1）+f （2）+f （3）=f （4）+f （5）+f （6）+f （7）=… =f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0， ∴f （0）+f （1）+f （2）+…+f(2017)= f （0）+f （1）=0+1=1. 22．函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5=-f ，求((5))f f .【答案】15- 【分析】先通过1(2)()f x f x +=可推断函数()f x 是以4为周期的函数，进而可求得(5)(1)f f =，(5)(1)f f -=-；根据1(2)()f x f x +=可求得1(1)(1)f f -=，进而可求得((5))f f .【解析】 1(2)()f x f x +=， 1(22)(1)5(2)f x f f x ∴++===-+，((5))(5)(1)f f f f =-=-，又111(1)(12)(1)5f f f -===--+，1((5))5f f ∴=-.23．已知函数11(),11f x ax a R x x =++∈+-． （I ）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（Ⅱ）当2a <时，证明：函数()f x 在(0,1)上单调递减． 【答案】（Ⅰ）()f x 为奇函数，证明见解析；（Ⅱ）证明见解析； 【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，然后直接利用奇偶性的定义判断； （Ⅱ）直接利用单调性的定义证明； 【解析】（Ⅰ）解：()f x 为奇函数； 证明：因为11(),11f x ax a R x x =++∈+- 所以()f x 的定义域为{|1x R x ∈≠-且1}x ≠， 1111()()()1111f x ax ax f x x x x x -=-++=-++=--+--+-， ∴函数()f x 为奇函数；（Ⅱ）证明：任取1x ，2(0,1)x ∈，设12x x <，则 212112121212()()()(1)(1)(1)(1)x x x x f x f x a x x x x x x ---=-++--++12121211()[](1)(1)(1)(1)x x a x x x x =-----++121222122(1)()[](1)(1)x x x x a x x +=----．1201x x <<<，122(1)2x x ∴+>，22120(1)(1)1x x <--<，∴1222122(1)2(1)(1)x x a x x +>>--， 1222122(1)0(1)(1)x x a x x +∴-<--．又120x x -<，12()()f x f x ∴>．∴函数()f x 在(0,1)上单调递减；24．（1）()f x 是R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，()()31f x x x =-，求x ∈R 时()f x 的解析式；（2）设()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+，求()f x 和()g x 的解析式．【答案】（1）()()()331,00,01,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩；（2）()()()()10,1,111f x x x x x =-≠-+-；()()()()10,1,111g x x x x =-≠-+-.【分析】（1）利用函数的奇偶性求得函数()f x 的解析式.（2）利用函数的奇偶性列方程组，解方程组求得()f x 和()g x . 【解析】（1）由于()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x >时，0x -<，所以()()()()3311f x f x x x x x ⎡⎤=--=--=+⎣⎦.所以()()()331,00,01,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩. （2）由于()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+， 所以()()21f x g x x x ---=-，即()()21f xg x x x--=-， 由()()()()2211f x g x x x f x g x x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-⎩，解得()()()()10,1,111f x x x x x =-≠-+-；()()()()10,1,111g x x x x =-≠-+-.25．设函数()f x 的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的12x x ≠，有f (12x x -)=12211()()()()f x f x f x f x +- . 求证：()f x 是奇函数.【答案】证明见解析 【分析】对定义域内任意x 存在1x 和2x ，使12x x x =-，同样存在1x 和2x ，使21x x x -=-，根据条件可得12()f x x -与21()f x x -的关系，即()f x 与()f x -间的关系，根据奇偶函数定义即可判断．【解析】解：函数()f x 在定义域内是奇函数．因为在定义域内，对任意x 存在1x 和2x ，使12x x x =-， 且满足1212211()()()()()f x f x f x x f x f x +-=-，由于函数()f x 的定义域关于原点对称，x -必与x 同时在定义域内， 同样存在1x 和2x ，使21x x x -=-，且满足：2121121()()()()()()f x f x f x f x x f x f x +-=-=-，即()()f x f x =--，()()f x f x ∴-=-，∴函数()f x 在定义域内是奇函数．26．()f x =为奇函数，则a 的取值范围【答案】1a ≤- 【分析】先求函数得定义域，再根据奇函数得出恒等式，进而可得结果. 【解析】()f x 定义域为11x -≤≤且0x ≠，()f x 为奇函数，所以()()-==-=f x f x 所以对11x -≤≤且0x ≠，++=---x a a x a a 恒成立 所以+=2+--x a x a a 恒成立()+2221min x a x a x a x a x +-≥⇒-≥⇒≤-=-所以1a ≤- 【点睛】关键点点睛：函数的定义域容易被忽略，本题考查了计算化简能力和逻辑推理能力，属于中档题目. 27．已知函数()()f x g x 、的定义域都是R ，而()f x 是奇函数，()g x 是偶函数. ①判断[]2()()3()F x f x g x =-的奇偶性；②如果22()3()623f x g x x x +=-+，求函数()()f x g x 、的表达式. 【答案】①偶函数；②2(),()21f x x g x x =-=+ 【分析】（1）按照定义判断即可；（2）由条件解得22()3()2()3()623f x g x f x g x x x -+-=-+=++，然后解出即可. 【解析】（1）因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数所以[][][]()222()()3()()3()()3()F x f x g x f x g x f x g x F x -=---=--=-= 所以[]2()()3()F x f x g x =-是偶函数（2）因为22()3()623f x g x x x +=-+，()f x 是奇函数，()g x 是偶函数 所以22()3()2()3()623f x g x f x g x x x -+-=-+=++ 所以可解得2(),()21f x x g x x =-=+28．2()2x x af x a-=+为奇函数，则a 的值【答案】±1 【分析】利用奇函数的定义可得()()f x f x -=-列式，化简可求出a 的值 【解析】解：因为2()2x x af x a-=+为奇函数，所以()()f x f x -=-，即2222x x x xa aa a----=-++， (2)(2)(2)(2)x x x x a a a a ---+=+-化简得21a =，得1a =±， 当1a =时，21()21x x f x （x ∈R ），此时211221()()211221x x x x xx f x f x ------===-=-+++， ()f x 为奇函数，当1a =-时，21()21x x f x +=-（0x ≠），此时211221()()211221x x x x xx f x f x --+++-===-=----，()f x 为奇函数， 所以1a =±29．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且当[)2,0x ∈-时，()2f x x x =-.（1）求函数()f x 在[2,2]-上的解析式.（2）若()229m x m f a --≥对所有[2,2]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()[)()()(]()222,0,00,0,2.x x x f x x x x x ⎧-∈-⎪⎪==⎨⎪--∈⎪⎩；（2）[]1,1-.【分析】（1）利用奇函数的定义可得函数的解析式；（2）由二次函数的性质可得函数()f x 的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数m 的取值范围． 【解析】（1）函数()f x 为定义域上的奇函数，所以()00f =，当(]0,2x ∈时，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦，所以()[)()()(]()222,0,00,0,2.x x x f x x x x x ⎧-∈-⎪⎪==⎨⎪--∈⎪⎩（2）根据题意得，函数()f x 为减函数，所以()f x 的最小值为()26f =-， 要使()229m x m f a --≥对所有[]2,2x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，即2629m am -≥--对所有[]1,1a ∈-恒成立，则()()221230,1230,g m m g m m ⎧-=+-≤⎪⎨=--≤⎪⎩即31,13,m m -≤≤⎧⎨-≤≤⎩ ∴11m -≤≤，∴实数m 的取值范围是[]1,1-. 30．已知函数()()()21,311x x xf xg x f x x x x --=++=--+. （1）判断并证明函数()g x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()g x 在(1)+∞，上的单调性； （3）若()()2227244f m m f m m -+≥-+成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）递增，证明见解析；（3）[]1,3-. 【分析】（1）函数()g x 为奇函数，计算得到()()g x g x -=-得到证明；（2）函数()g x 在()1,+∞上单调递增，设121x x <<，计算()()120g x g x -<得到证明；（3）根据函数的单调性得到不等式2227244m m m m --+≥+，计算得到答案. 【解析】（1）根据题意，()g x 为奇函数，()()21111331111x x x g x f x x x x x x x --⎛⎫=-=++-=-++ ⎪-+-+⎝⎭， 其定义域为{|1x x ≠-且0x ≠且1}x ≠，关于原点对称， 则有()()11111g x g x x x x ⎛⎫-=-++=-⎪-+⎝⎭，则函数()g x 为奇函数； （2）根据题意，函数()g x 在()1,+∞上的单调递增，设121x x <<，()()121112221111111111g x g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+++++ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()()()()()121212121111111x x x x x x x x ⎡⎤=-++⎢⎥--++⎢⎥⎣⎦，又由121x x <<，则()()120g x g x -<，则函数()g x 在()1,+∞上的单调递增， （3）根据题意，()g x 在()1,+∞上的单调递增，()()3f x g x =+在()1,+∞上的单调递增；又由()()2222271612442121m m m m m m +=-+>+=--+->，， ()()2227244f m m f m m -+≥-+，∴2227244m m m m --+≥+，解可得：13m -≤≤； 即m 的取值范围为[]1,3-. 【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x -==.。

函数奇偶性的应用函数的奇偶性是函数的重要性质，在各类考试中是考查的热点，下面对奇偶性的常见应用进行举例说明.一、求函数的解析式例1 已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋3x )，求f (x )的解析式.分析 要求f (x )在R 上的解析式，条件已给出f (x )在(0，＋∞)上的解析式，还需求当x ≤0时f (x )对应的解析式.解 因为x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－x (1＋3－x )＝－x (1－3x ). 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝x (1－3x )，x ∈(－∞，0).在f (－x )＝－f (x )中，令x ＝0，得f (0)＝0. 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (1＋3x )，x ＞0，0，x ＝0，x (1－3x )，x ＜0.评注 利用函数的奇偶性求函数的解析式是常见题型，其步骤为：(1)设，设出在未知区间上的自变量x；(2)化，即将x转化到已知区间上；(3)求，即根据函数的奇偶性求出解析式.二、求参数的值例2 已知函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，若给出一个实数a，a＜0，有f(a)＝－2，则实数a＝________.分析根据已知条件当x≥0时，函数f(x)＝x(x＋1)≥0，由于f(a)＝－2，显然需要求得x＜0的解析式.解析令x＜0，则－x＞0.所以f(－x)＝－x(1－x).又f(x)为奇函数，所以当x＜0时，有f(x)＝x(1－x).令f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0.解得a＝－1，或a＝2(舍去).答案－1评注解决本题首先根据定义域对函数的解析式进行判断，确定所求参数应该对应的解析式是求解本题的关键.三、求参数的范围例3 定义在(－2,2)上的偶函数f(x)在区间[0,2)上是减函数，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围.解因为f(x)是偶函数，所以f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|).又f(1－m)＜f(m)，所以f(|1－m|)＜f(|m|).由f(x)在区间[0,2)上是减函数，得0≤|m|＜|1－m|＜2.解得－1＜m＜12.故实数m的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. 评注 本题利用了偶函数的性质：若函数f (x )是偶函数，则恒有f (x )＝f (|x |)，从而达到简捷求解的目的.。

精品资料欢迎下载函数的单调性和奇偶性的综合应用知识要点：对称有点对称和轴对称：O点对称：对称中心O轴对称：数的图像关奇函于原点成点对称，偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形。

1、函数的单调性：应用：若y f ( x) 是增函数， f ( x1 )应用：若y f ( x) 是减函数， f ( x1 )f (x2 )x1x2 f (x2 )x1x2相关练习：若 y f (x) 是R上的减函数，则 f (1) f ( a2 2 a 2 )2、熟悉常见的函数的单调性：y kx b 、y k、 y ax2bx cb在 (x相关练习：若 f ( x) ax ，g ( x),0) 上都是减函数，则 f (x)ax 2bx 在 (0,) 上是函x数（增、减）3、函数的奇偶性：定义域关于原点对称， f (x) f (x) f (x) 是偶函数定义域关于原点对称， f (x) f ( x) f ( x) 是奇函数（当然，对于一般的函数，都没有恰好f ( x) f ( x) ，所以大部分函数都不具有奇偶性）相关练习：（ 1）已知函数f ( x)ax2bx4a1是定义在 [a 1,2a] 上的奇函数，且 f (1) 5 ，求 a 、bb(2) 若f ( x)(K2) x2( K1)x 3 是偶函数，则 f ( x) 的递减区间是。

(3) 若函数 f ( x) 是定义在R 上的奇函数，则 f (0)。

(4)函数 y f (x) 的奇偶性如下：画出函数在另一半区间的大致图像奇函数偶函数奇函数奇函数y y y yo x o x o x o x精品资料欢迎下载例题分析：4、单调性和奇偶性的综合应用【类型 1转换区间】相关练习：（ 1）根据函数的图像说明，若偶函数y f ( x) 在 (,0) 上是减函数，则 f ( x) 在 (0,) 上是函数（增、减）(2)已知 f ( x) 为奇函数，当x0时， f ( x)(1x) x ，则当x0 时， f (x)=(3)R 上的偶函数在(0,) 上是减函数， f (3) f ( a2a 1 )4(4) 设f (x)为定义在（(,) 上的偶函数，且 f (x) 在 [0,) 为增函数，则 f (2) 、 f () 、f (3) 的大小顺序是（）A. f () f (3) f (2)B. f () f (2) f (3)C. f () f (3) f (2)D. f () f (2) f (3)(5)如果奇函数 f (x) 在区间 [3,7] 上的最小值是5，那么 f ( x) 在区间 [ 7, 3]上 ()A.最小值是 5B. 最小值是－５C. 最大值是－５D. 最大值是 5(6)如果偶函数 f (x) 在 [3,7] 上是增函数，且最小值是－５那么 f (x) 在 [ 7,3]上是( )A.增函数且最小值为－５B. 增函数且最大值为－５C.减函数且最小值为－５D. 减函数且最大值为－５(7)已知函数 f ( x) 是定义在R 上的偶函数，且在(, 0)上 f (x) 是单调增函数，那么当x10 ， x20 且x1x20 时，有（）A. f (x1) f ( x2 )B. f ( x1 ) f (x2 )C. f ( x1) f ( x2 )D. 不确定(8)如果 f ( x) 是奇函数，而且在开区间( ,0) 上是增函数，又 f (2)0 ，那么 x f ( x) 0的解是（）A. 2 x 0 或 0 x2B. 2 x 0 或 x 2C. x 2 或 0 x 2D. x 3 或 x 3(9)已知函数f ( x)为偶函数，xR ，当 x0 时，f ( x)单调递增，对于x1，x2，有| x1|| x2|，则（）A. f ( x1)f ( x2)B.f ( x1) f ( x2)C.f ( x1)f ( x2 ) D. | f ( x1 ) | | f ( x2 ) |精品资料 欢迎下载5、单调性和奇偶性的综合应用【类型 2利用单调性解不等式】(1 相关练习： (1)已知y f ( x)是( 3,3)上的减函数，解不等式f (x 3) f (2 x)1 ,)2(0, 2 (2) 定义在( 1,1)上的奇函数f ( x)是减函数，且满足条件 f (1 a) f (1 2a) 0)，求 a的取值范围。

函数奇偶性的应用基础知识1．判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法(1)__定义__法：若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断f (－x )是否等于±f (x )，或判断f (x )±f (－x )是否等于零，或判断f (x )f (－x )(f (－x )≠0)是否等于±1，等等．(2)__图像__法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y 轴)对称．(3)__性质__法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论要注意各函数的定义域)2．F 1(x )＝f (x )＋f (－x )为偶函数，F 2(x )＝f (x )－f (－x )为奇函数．(注：F 1(x )、F 2(x )的定义域是关于原点对称的区间)3．奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相__同__；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相__反__.基础自测1．已知偶函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( A )A ．⎝⎛⎭⎫13，23B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：由题意得|2x －1|<13，∴－13<2x －1<13，∴13<x <23，故选A ．2．若函数f (x )＝x 3，则函数g (x )＝f (－2x )在其定义域上是( D ) A ．单调递增的偶函数 B ．单调递增的奇函数 C ．单调递减的偶函数D ．单调递减的奇函数 解析：∵f (x )＝x 3，∴g (x )＝f (－2x )＝－8x 3.又g (－x )＝8x 3＝－g (x )，∴g (x )为奇函数．又∵f (x )＝x 3为增函数，∴g (x )＝－8x 3为减函数．3．已知函数f (x )是奇函数，x >0时，f (x )＝1，则f (－2)＝( C ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．±1解析：设x <0，则－x >0，f (－x )＝1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴－f(x)＝1，f(x)＝－1(x<0)．∴f(－2)＝－1.4．偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图像如图，则函数f(x)的增区间为__[－1,0]和[1，＋∞)__.解析：由图像可知当x＞0时，f(x)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图像关于y轴对称．∴f(x)在[－1,0]上单调递增，在(－∞，－1]上单调递减．故f(x)的增区间为[－1,0]和[1，＋∞)．5．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，求实数a的值．解析：∵函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，∴|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|，∴a＝0.关键能力·攻重难类型利用奇偶性求函数值┃┃典例剖析__■典例1(1)已知函数f(x)＝ax3＋bx－6，且f(－2)＝8，则f(2)＝__－20__.(2)已知f(x)，g(x)均为R上的奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上的最大值为8，则在区间(－∞，0)上的最小值为__－4__.思路探究：(1)可构造g(x)＝ax3＋bx，利用g(x)的奇偶性求解．(2)因为f(x)和g(x)的具体表达式并没有给出，因此应充分利用“f(x)，g(x)均为R上的奇函数”这一条件，构造一个新函数来间接求解．解析：(1)方法一令g(x)＝ax3＋bx，易知g(x)是奇函数，从而g(－2)＝－g(2)．由f(x)＝g(x)－6，得f(－2)＝g(－2)－6＝8，∴g(－2)＝14，∴g (2)＝－g (－2)＝－14， ∴f (2)＝g (2)－6＝－14－6＝－20. 方法二 由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝a ×(－2)3＋b ×(－2)－6 ①，f (2)＝a ×23＋b ×2－6 ②，①＋②得f (2)＋f (－2)＝－12. 又f (－2)＝8，∴f (2)＝－20.(2)由f (x )，g (x )均为R 上的奇函数，知af (x )＋bg (x )为R 上的奇函数．由F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(0，＋∞)上的最大值为8，得F (x )－2＝af (x )＋bg (x )在(0，＋∞)上的最大值为6.根据奇函数的性质可知F (x )－2＝af (x )＋bg (x )在(－∞，0)上的最小值为－6，故F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(－∞，0)上的最小值为－6＋2＝－4. 归纳提升：利用函数奇偶性求函数值的解题思路已知f (a )求f (－a )的思路：判断f (x )的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f (a )与f (－a )的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求出f (－a )． ┃┃对点训练__■1．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)＝__3__. 解析：由题意知f (－1)＋g (1)＝－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝f (1)＋g (1)＝4，两式相加，解得g (1)＝3.类型 含有参数的函数的奇偶性的判断 ┃┃典例剖析__■典例2 设a 为实数，讨论函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1的奇偶性． 思路探究：以a 是否为0进行分类讨论． 解析：当a ＝0时，f (x )＝x 2＋|x |＋1， ∴f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1 ＝x 2＋|x |＋1＝f (x )，∴当a ＝0时，函数f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (1)＝2＋|1－a |，f (－1)＝2＋|1＋a |， 假设f (1)＝f (－1)，则|1－a |＝|1＋a |，(1－a )2＝(1＋a )2，∴a ＝0，这与a ≠0矛盾，假设f (－1)＝－f (1)，则2＋|1＋a |＝－2－|1－a |这显然不可能成立(∵2＋|1＋a |>0，－2－|1－a |<0)，∴f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，∴当a ≠0时，函数f (x )是非奇非偶函数．归纳提升：判断含参数的函数的奇偶性时，应注意对参数进行分类讨论，若函数为非奇非偶函数时，可用特值法进行判断． ┃┃对点训练__■2．已知函数f (x )＝x 2＋ax ，常数a ∈R ，讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．解析：当a ＝0时， f (x )是偶函数； 当a ≠0时， f (x )是非奇非偶函数．函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于原点对称． 当a ＝0时， f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (1)＝1＋a ，f (－1)＝1－a ， ∴f (－1)≠f (1)，∴f (x )不是偶函数． f (－1)＋f (1)＝2≠0， ∴f (－1)≠－f (1)， ∴f (x )不是奇函数．∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．类型 函数奇偶性与图像的对称性的综合应用 ┃┃典例剖析__■典例3 (1)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，2)上是增函数，且f (x ＋2)为偶函数，则( A ) A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3)(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )的图像关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝__0__.解析：(1)因为f (x ＋2)为偶函数，所以其图像关于y 轴对称，由于f (x ＋2)的图像可由f (x )的图像向左平移2个单位长度得到，故f (x )的图像关于直线x ＝2对称．因为函数f (x )在(－∞，2)上是增函数，所以f (x )在(2，＋∞)上是减函数，所以f (－1)＝f (5)＜f (4)＝f (0)＜f (3)． (2)由f (x )是R 上的奇函数，得f (0)＝0.∵f (x )的图像关于直线x ＝12对称，于是f (x )＝f (1－x )，∴f (1)＝f (0)＝0，f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝0，f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝0，f (4)＝f (－3)＝－f (3)＝0，f (5)＝f (－4)＝－f (4)＝0，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0.归纳提升：(1)解决函数奇偶性与图像的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再判断函数图像的对称轴或对称中心，也可利用图像变化关系得出函数图像的对称性．总之，要充分利用已知条件进行适当转化． (2)关于函数的对称性函数f (x )若对于任意x ∈R ，a 是常数， ①关于直线x ＝a 对称：⇔f (a ＋x )＝f (a －x )(f (2a －x )＝f (x ))， ②关于点(a ，b )对称：⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b (f (2a －x )＋f (x )＝2b )， 特别地：关于点(a,0)对称，则f (a ＋h )＝－f (a －h )． ┃┃对点训练__■3．求证：函数f (x )＝x －1x ＋1的图像关于(－1,1)对称．[证明] 任取h ∈R ，因为f (－1＋h )＝－1＋h －1－1＋h ＋1＝－2＋h h ，f (－1－h )＝－1－h －1－1－h ＋1＝－2－h－h ＝2＋hh，所以f (－1＋h )＋f (－1－h )＝－2＋h h ＋2＋h h ＝2.所以函数f (x )＝x －1x ＋1的图像关于(－1,1)对称．易混易错警示 忽略题目中的隐含条件致错 ┃┃典例剖析__■典例4 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b 是定义在区间[－2b,3b －1]上的偶函数，则函数f (x )的值域为__[1,5]__.错因探究：此处易忽略函数的定义域关于坐标原点对称这一隐含条件． 解析：∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即a ＝0. 又f (x )的定义域为[－2b,3b －1]，∴－2b ＋3b －1＝0，∴b ＝1. ∴f (x )＝x 2＋1，x ∈[－2,2]， ∴函数f (x )的值域为[1,5]．误区警示：f (x )是奇(偶)函数，包含两个条件：①定义域关于坐标原点对称；②f (－x )＝－f (x )(f (－x )＝f (x ))．切记不能漏掉①. 学科核心素养 奇偶性与单调性的综合应用1．比较大小问题，一般解法是利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化为与在同一单调区间上的自变量的函数值有关，然后利用单调性比较大小． 2．抽象不等式问题的解题步骤如下：(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； (2)利用单调性脱去符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题．需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f ”时，需要转化为含有符号“f ”的形式，如0＝f (1)，f (x －1)＜0，则f (x －1)＜f (1)；偶函数中f (x )＝f (|x |)的灵活应用． ┃┃典例剖析__■典例5 已知函数f (x )是定义在(－2,2)上的奇函数且是减函数，若f (m －1)＋f (1－2m )≥0，求实数m 的取值范围．思路探究：利用函数的单调性、奇偶性，化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2<m －1<2－2<1－2m <2，得－12<m <32.由函数f (x )是定义在(－2,2)上的奇函数及f (m －1)＋f (1－2m )≥0，得f (m －1)≥f (2m －1)． ∵函数f (x )在(－2,2)上是减函数， ∴m －1≤2m －1，得m ≥0. ∴实数m 的取值范围是[0，32)．课堂检测·固双基1．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，则f (－2)、f (－π)、f (3)的大小关系是( A ) A ．f (－π)>f (3)>f (－2) B ．f (－π)>f (－2)>f (3) C ．f (－π)<f (3)<f (－2)D．f(－π)<f(－2)<f(3)解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，∴f(2)<f(3)<f(π)，即f(－π)>f(3)>f(－2)．2．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则(A) A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定解析：∵x2>－x1>0，f(x)是R上的偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)．又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．3．偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则f(－4)__≥__f(a2＋4)(a∈R)．(填：>、<、≥、≤)解析：由f(x)是偶函数可知f(－4)＝f(4)．∵a2≥0，∴a2＋4≥4.又∵f(x)在[0，＋∞)上是减函数，∴f(4)≥f(a2＋4)，即f(－4)≥f(a2＋4)．4．函数f(x)＝x(ax＋1)在R上是奇函数，则a＝__0__.解析：由奇函数定义知f(－x)＝－f(x)，∴－x(－ax＋1)＝－x(ax＋1)，∴2ax2＝0，x∈R恒成立，∴a＝0.A级基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分)1．已知f(x)为奇函数，在区间[3,6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝(A)A．－15B．－13C．－5D．5解析：本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值．因为函数在[3,6]上是增函数，所以f(6)＝8，f(3)＝－1，又函数f(x)为奇函数，所以2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×8＋1＝－15，故选A．2．若偶函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( D ) A ．f (－32)<f (－1)<f (2)B ．f (－1)<f (－32)<f (2)C ．f (2)<f (－1)<f (－32)D ．f (2)<f (－32)<f (－1)解析：因为f (x )为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，又－2<－32<－1，且函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数，所以f (－2)<f (－32)<f (－1)，即f (2)<f (－32)<f (－1)，故选D ．3．定义在R 上的奇函数f (x )，满足f ⎝⎛⎭⎫12＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf (x )＞0的解集为( B )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＜－12或x ＞12B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 0＜x ＜12或－12＜x ＜0C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 0＜x ＜12或x ＜－12D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12＜x ＜0或x ＞12 解析：∵函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (－12)＝0，∴当x ∈(－∞，－12)∪(0，12)时，f (x )＞0，当x ∈(－12，0)∪(12，＋∞)时，f (x )＜0.若xf (x )＞0，则x 与f (x )同号，则x ∈(－12，0)∪(0，12)．4．已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝( B ) A ．π3B ．2π3C ．π6D ．5π6解析：由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x－2)，所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3.故选B ． 5．设定义在R 上的奇函数f (x )满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 2－x 1<0，且f (2)＝0，则不等式3f (－x )－2f (x )5x ≤0的解集为( C )A ．(－∞，－2]∪(0,2]B ．[－2,0]∪[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,0)∪(0,2]解析：∵在(0，＋∞)上，f (x 1)－f (x 2)x 2－x 1<0，∴f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为奇函数， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递增．又f (2)＝0，则f (－2)＝0，示意图如图所示．∴3f (－x )－2f (x )5x ＝－5f (x )5x ＝－f (x )x ≤0，∴f (x )x ≥0，∴x ≥2或x ≤－2. 二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知f (x )在R 上是奇函数，且f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时， f (x )＝2x 2，则f (7)等于__－2__.解析：∵x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，∴f (1)＝2. 又∵x ∈R, f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (－3＋4)＝f (－3)＝f (1)＝2， ∴f (3)＝－2.∴f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝－2.7．f (x )是定义在R 上的奇函数，且单调递减，若f (2－a )＋f (4－a )<0，则a 的取值范围为__a <3__.解析：∵f (2－a )＋f (4－a )<0，∴f (2－a )<－f (4－a )． 又∵f (x )为奇函数， ∴－f (4－a )＝f (a －4)， ∴f (2－a )<f (a －4)． 又∵f (x )是单调递减函数， ∴2－a >a －4，∴a <3.8．已知f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x >0时，f (x )的图像如图所示，则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为__(－3,0)∪(0,3)__.解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∴x [f (x )－f (－x )]＝2x ·f (x )<0.∴x 与f (x )异号，由题图及f (x )图像关于原点对称知，－3<x <0或0<x <3. 三、解答题(共20分)9．(6分)已知函数f (x )与g (x )满足f (x )＝2g (x )＋1，且g (x )为R 上的奇函数，f (－1)＝8，求f (1)．解析：∵f (－1)＝2g (－1)＋1＝8， ∴g (－1)＝72.又∵g (x )为奇函数，∴g (－1)＝－g (1)． ∴g (1)＝－g (－1)＝－72.∴f (1)＝2g (1)＋1＝2×(－72)＋1＝－6.10．(7分)已知函数f (x )是偶函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，求满足f (x －1)<0的x 的取值范围．解析：设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－x －1， ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， 即f (x )＝－x －1(x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 (x ≥0)－x －1 (x <0).∴f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 (x ≥1)－x (x <1). 当x ≥1时，由f (x －1)＝x －2<0，得x <2，∴1≤x <2；当x <1时，由f (x －1)＝－x <0，得x >0，∴0<x <1，综上可知，满足f (x －1)<0的x 的取值范围为{x |0<x <2}．11．(7分)已知函数f (x )＝x 2＋a x，且f (1)＝2. (1)判断并证明函数f (x )在其定义域上的奇偶性；(2)证明：函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数；(3)求函数f (x )在区间[2,5]上的最大值和最小值．解析：(1)由题意知f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是奇函数．证明如下：∵f (x )＝x ＋a x ，f (1)＝1＋a ＝2，∴a ＝1，∴f (x )＝x ＋1x. 又f (－x )＝－x －1x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． (2)证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且1<x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1＝(x 2－x 1)＋x 1－x 2x 2x 1＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2.∵1＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>1，1x 1x 2<1,1－1x 1x 2>0， ∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )在(1，＋∞)上为增函数．(3)∵f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴在区间[2,5]上，f (x )min ＝f (2)＝2＋12＝52，f (x )max ＝f (5)＝5＋15＝265.。

函数奇偶性的应用一、利用函数的奇偶性判断函数的单调性1奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致,偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．2奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比拟大小中作用很大．对于偶函数,如果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上,即自变量的正负不统一,应利用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间,然后再根据单调性判断．例．假如奇函数f<x>在[a,b]上是增函数,且有最大值M,如此f<x>在[－b,－a]上是增函数,且有最小值－M.例．假如偶函数f<x>在<－∞,0>上是减函数,如此f<x>在<0,＋∞>上是增函数．例如果f<x>是R上的奇函数,且在[3,6]上有最大值4,最小值2,那么函数f<x>在[－6,－3]上的最大值和最小值各是多少？提示：奇函数的图象关于原点对称,联想图象可知函数f<x>在[－6,－3]上的最大值为－2,最小值为－4.例．假如函数y＝f<x><x∈R>是奇函数,且f<1><f<2>,如此必有<>A．f<－1><f<－2> B．f<－1>>f<－2>C．f<－1>＝f<1> D．f<－2>＝f<1>解析：∵f<1><f<2>,∴－f<1>>－f<2>．又f<x>是奇函数,∴f<－1>>f<－2>．答案：B例函数y＝f<x><x∈R>是奇函数,图象必过点A．〔a,－f<a>> B．〔-a,－f<a>>C．〔a,f<－a>> D．〔-a,－f<a>>例．设f<x>是R上的偶函数,且在[0,＋∞>上单调递增,如此f<－2>,f<－π>,f<3>的大小顺序是________．解析：∵f<x>是R上的偶函数,∴f<－2>＝f<2>,f<－π>＝f<π>,又f<x>在[0,＋∞>上递增,而2<3<π,∴f<π>>f<3>>f<2>,即f<－π>>f<3>>f<－2>．答案：f<－π>>f<3>>f<－2>例．函数f<x>是R上的偶函数,且在[0,＋∞>上单调递增,如此如下各式成立的是<>A．f<－2>>f<0>>f<1>B．f<－2>>f<1>>f<0>C．f<1>>f<0>>f<－2>D．f<1>>f<－2>>f<0>解析：∵f<x>是R上的偶函数,∴f<－2>＝f<2>,又∵f<x>在[0,＋∞>上递增,∴f<－2>>f<1>>f<0>．答案：B例．函数f<x>在区间[－5,5]上是奇函数,在区间[0,5]上是单调函数,且f<3><f<1>,如此<>A．f<－1><f<－3> B．f<0>>f<－1>C．f<－1><f<1> D．f<－3>>f<－5>思路分析：要比拟各函数值的大小,需判断函数在区间[－5,5]上的单调性,根据题意,应首先判断函数在区间[0,5]上的单调性．解析：函数f <x >在区间[0,5]上是单调函数,又3>1,且f <3><f <1>,故此函数在区间[0,5]上是减函数．由条件与奇函数性质,知函数f <x >在区间[－5,5]上是减函数．选项A 中,－3<－1,故f <－3>>f <－1>．选项B 中,0>－1,故f <0><f <－1>．同理选项C 中f <－1>>f <1>,选项D 中f <－3><f <－5>．答案：A例．设f <x >是定义在R 上单调递减的奇函数．假如x 1＋x 2>0,x 2＋x 3>0,x 3＋x 1>0,如此< >A ．f <x 1>＋f <x 2>＋f <x 3>>0B ．f <x 1>＋f <x 2>＋f <x 3><0C ．f <x 1>＋f <x 2>＋f <x 3>＝0D ．f <x 1>＋f <x 2>>f <x 3>解析：利用减函数和奇函数的性质判断．∵x 1＋x 2>0,∴x 1>－x 2.又∵f <x >是定义在R 上单调递减的奇函数,∴f <x 1><－f <x 2>．∴f <x 1>＋f <x 2><0.同理,可得f <x 2>＋f <x 3><0,f <x 1>＋f <x 2><0.∴2f <x 1>＋2f <x 2>＋2f <x 3><0.∴f <x 1>＋f <x 2>＋f <x 3><0.答案：B例〔2009年某某文科卷〕定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠,有2121()()0f x f x x x -<-．如此〔〕A ．(3)(2)(1)f f f <-<Ｂ．(1)(2)(3)f f f <-<Ｃ．(2)(1)(3)f f f -<<Ｄ．(3)(1)(2)f f f <<-答案：A例 定义在R 上的偶函数f <x >满足：对任意的x 1,x 2∈<－∞,0]<x 1≠x 2>,有<x 2－x 1>·[f <x 2>－f <x 1>]>0.如此当n ∈N ＋时,有< >A ．f <－n ><f <n －1><f <n ＋1>B ．f <n －1><f <－n ><f <n ＋1>C ．f <n ＋1><f <－n ><f <n －1>D ．f <n ＋1><f <n －1><f <－n >思路分析：先判断出函数f <x >的单调性,再转化为同一单调区间内判断函数值的大小关系．解析：由<x 2－x 1>[f <x 2>－f <x 1>]>0得f <x >在x ∈<－∞,0]为增函数．又f <x >为偶函数,所以f <x >在x ∈[0,＋∞>为减函数．又f <－n >＝f <n >且0≤n －1<n <n ＋1,∴f <n ＋1><f <n ><f <n －1>,即f <n ＋1><f <－n ><f <n －1>．答案：C例．假如y ＝<a －1>x 2－2ax ＋3为偶函数,如此在<－∞,3]内函数的单调区间为________．解析：a ＝0,y ＝－x 2＋3结合二次函数的单调性知．答案：增区间<－∞,0>,减区间[0,3]例定义在区间<－∞,＋∞>上的奇函数)(x f 为增函数,偶函数)(x g 在区间[0,＋∞>上的图象与)(x f 的图象重合,设a ＞b ＞0,给出如下不等式：〔1〕f <b >－f <－a >＞g <a >－g <－b >；〔2〕f <b >－f <－a >＜g <a >－g <－b >；〔3〕f <a >－f <－b >＞g <b >－g <－a >；〔4〕f <a >－f <－b >＜g <b >－g <－a >．其中成立的是〔 〕A ． <1>与<4>B ． <2>与<3>C ． <1>与<3>D ． <2>与<4>解析：根据函数)(x f 、)(x g 的奇偶性将四个不等式化简,得：〔1〕f <b >＋f <a >＞g <a >－g <b >；〔2〕f <b >＋f <a >＜g <a >－g <b >；〔3〕f <a >＋f <b >＞g <b >－g <a >；〔4〕f <a >＋f <b >＜g <b >－g <a >．再由题义,有 )(a f ＝)(a g ＞)(b f ＝)(b g ＞0)0()0(==g f ．显然〔1〕、〔3〕正确,应当选C ．[技巧提示]具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间内的单调性,因而往往与不等式联系严密．二. 求函数的函数值和函数解析式此类问题的一般解法是：<1>"求谁如此设谁〞,即在哪个区间求解析式,x 就设在哪个区间内．<2>要利用区间的解析式进展代入．<3>利用f <x >的奇偶性写出－f <x >或f <－x >,从而解出f <x >例 函数y ＝f <x >是偶函数,其图象与x 轴有四个交点,如此方程f <x >＝0的所有实根之和是< >A ．4B ．2C ．1D ．0思路分析：以偶函数的图象特征进展判断．解析：∵偶函数y ＝f <x >的图象关于y 轴对称,∴f <x >与x 轴的四个交点也关于y 轴对称．因此,假如一根为x 1,如此它关于y 轴对称的根为－x 1；假如一根为x 2,如此它关于y 轴对称的根为－x 2,故f <x >＝0的四根之和为x 1＋<－x 1>＋x 2＋<－x 2>＝0.∴应选D.例．()2f x ax bx 3a b =+++是偶函数,且定义域为[],a 22a -,如此____,____;a b == 例.函数1().21x f x a =-+,假如()f x 为奇函数,如此a =________. 例. 设f x a a b x x x x xc ()log ()=-+⋅+++-2122〔其中a,b,c 为常数〕,且f()-=25,试求f<2>的值. 解：设g x a a b x x x xc ()log ()=-+⋅++-212,易证g<x>是奇函数,故 于是f g f g ()()()()()()-=-+=--+⎧⎨⎩22412242两式相加得：f f ()()282853=--=-=,即f()23=例：8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ,那么=)2(f例.f <x >是偶函数,且当x >0时,f <x >＝x 3＋2x －3,求f <x >在x <0时的解析式．解：∵f <x >是偶函数,∴f <－x >＝f <x >,∵x <0,∴－x >0,∴f <－x >＝<－x >3＋2<－x >－3＝－x 3－2x －3.∴f <x >＝－x 3－2x －3<x <0>．例.函数f<x>在〔0,+∞〕上的解析式是f<x>=2x+1,根据如下条件求函数在〔-∞,0〕上的解析式.〔1〕f<x>是偶函数；〔2〕f<x>是奇函数.例设f<x>是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f x x x ()lg()=+-+1212.试求此函数的解析式.解：〔1〕当x ＝0时,f f f ()()()000=-=-,于是f()00=；〔2〕当x<0时,->x 0,如此f x x x ()lg()()-=-+--+1212,由于f<x>是定义在R 上的奇函数,如此此函数的解析式为例．f <x >是R 上的奇函数,且当x >0时,f <x >＝－x 2＋2x ＋2.<1>求f <x >的解析式；<2>画出f <x >的图象,并指出f <x >的单调区间．解<2>先画出y ＝f <x ><x >0>的图象,利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f <x ><x <0>的图象,其图象如如下图所示 由图可知,其增区间为[－1,0>与<0,1],减区间为<－∞,－1]与[1,＋∞>例．f <x >是奇函数,且当x >0时,f <x >＝x |x －2|,求x <0时,f <x >的表达式．解：∵x <0,如此－x >0,∴f <－x >＝<－x >|<－x >－2|.又∵f <x >为奇函数,∴f <x >＝－f <－x >＝－<－x >|<－x >－2|＝x |x ＋2|.故当x <0时,f <x >＝x |x ＋2|. 于原点对称,f<a>求f<－a>,可尝试利用函数的奇偶性．f<x>＝u<x>＋1,f<－x>＝u<－x>＋1,∴ f<x>＋f<－x>＝u<x>＋u<－x>＋2．∵ u<x>是奇函数,u<x>＋u<－x>＝0,∴ f<x>＋f<－x>＝2,如此例. 设x ∈-()11，,f<x>是奇函数,g<x>是偶函数,f x g x x x ()()lg()+=-+21,求f<x>的表示式.解：f<x>是奇函数,有f x f x ()()-=-；g<x>是偶函数,有g x g x ()()-=,如此即f x g x x x f x g x x x ()()lg()()()lg()+=-+-+=---⎧⎨⎩2121 两式相减得f x x x x()lg()=+-+21211例 设x∈<－1,1>,f<x>是偶函数,g<x>是奇函数,且f<x>＋g<x>＝－2lg<1＋x>,求10f<x>和10g<x>的表达式．解：法一：与上例同法二：∵x∈<－1,1>关于原点对称,又f<x>是偶函数f<－x>＝f<x>,g<x>是奇函数g<－x>＝－g<x>,设f<x>＋g<x>＝－2lg<1＋x>＝F<x>,如此F<－x>＝－2lg<1－x>,而F<－x>＝f<－x>＋g<－x>＝f<x>－g<x>,∴2f<x>＝F<x>＋F<－x>＝－2[lg<1＋x>＋lg<1－x>]＝－2lg<1－x 2>．又2g<x>＝F<x>－F<－x>＝－2[lg<1＋x>－lg<1－x>]三. 解不等式例．假如函数f <x >满足f <－x >＝－f <x >,又在<0,＋∞>上单调递增,且f <3>＝0,如此不等式x ·f <x ><0的解集是________．解析：∵f <－x >＝－f <x >,∴f <x >为奇函数,如此f <x >的简图如右图所示．∴当x <0时,f <x >>0,如此x ∈<－3,0>；当x >0时,f <x ><0,如此x ∈<0,3>．答案：<－3,0>∪<0,3>例. 〔2004年某某卷〕设奇函数f<x>的定义域是［-5,5］.当x ∈[]05，时,f<x>的图象如图1,如此不等式f<x><0的解是______________.图1解：根据奇函数图象关于原点成中心对称的性质,画出函数y f x =()在区间［-5,5］上的图象如图2,易知不等式f x ()<0的解是()(]-⋃2025，，.图2四. 函数的奇偶性的综合应用题解决有关函数的奇偶性、单调性以与求字母取值X 围的综合问题时,一般先利用奇偶性得出区间上的单调性,再利用单调性脱去函数的符号"f 〞,转化为解不等式<组>的问题．需要注意的是：在转化时,自变量必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号"f 〞时,需转化为含符号"f 〞的形式．例 函数f <x >是定义域为实数集R 的偶函数,且在区间[0,＋∞>上是增函数,假如f <m >≥f <－2>,某某数m 的取值X 围．解：函数f <x >是实数集R 上的偶函数,且在[0,＋∞>上是增函数,所以f <x >在<－∞,0>上是减函数．当m <0时,由f <m >≥f <－2>,知m ≤－2；当m ≥0时,由f <m >≥f <－2>,f <－2>＝f <2>,可得f <m >≥f <2>,知m ≥2.故所求的m 的取值X 围为<－∞,－2]∪[2,＋∞>．例 函数f <x >是奇函数〔x ≠0〕,当x ∈〔0,+∞〕时是增函数,假如(1)f =0,求不等式1()2f x -〈0的解集.思路分析：由f <x >的奇偶性与函数在<0,＋∞>上的单调性,不难得出f <x >在<－∞,0>上的单调性．再将不等式两边化为函数值的形式,利用单调性便可脱去函数记号"f 〞,于是问题转化为解不等式． 答案13(,)22⋃1(,)2-∞-例 偶函数)(x f 在定义域为R ,且在〔－∞,0]上单调递减,求满足)3(+x f ＞)1(-x f 的x 的集合．解析：偶函数)(x f 在〔－∞,0]上单调递减,在［0,＋∞〕上单调递增．根据图象的对称性,)3(+x f ＞)1(-x f 等价于 |3|+x ＞|1|-x ．解之,1->x ,∴ 满足条件的x 的集合为〔－1,＋∞〕．例 y ＝f<x>是定义在<－1,1>上的偶函数,且f<x>在<0,1>上是增函数,假如f<a －2>－f<4－a 2>＜0,试确定a 的取值X 围．解 因f<x>是定义在<－1,1>上的偶函数,故它在关于原点对称的两个区间<0,1>和<－1,0>上具有相反的单调性．而f<x>在<0,1>上是增函数,于是f<x>在<－1,0>上为减函数,且f<4－a 2>＝f<a 2－4>．根据f<a －2>＜f<4－a 2>＝f<a 2－4>,考虑几种情况：<1>当a －2和a 2－4都在<0,1>上时,有<2>当a －2和a 2－4都在<－1,0>上时,有<3>当a －2和a 2－4分别在<－1,0>、<0,1>或<0,1>、<－1,0>时,相应的不等式组无解．例 f <x >是定义在[－1,1]上的奇函数,对任意a 、b ∈[－1,1],当a ＋b ≠0时,都有错误!>0.<1>假如a >b ,试比拟f <a >与f <b >的大小；<2>解不等式f <x －错误!><f <2x －错误!>．解：<1>假如a >b ,如此a －b >0,依题意有错误!>0成立,∴f <a >＋f <－b >>0.又∵f <x >是奇函数,∴f <a >－f <b >>0,即f <a >>f <b >．<2>由<1>可知f <x >在[－1,1]上是增函数．如此所求不等式等价于错误!例：定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减,假如)123()12(22+-<++a a f a a f ,如此a 的取值X 围是如何？ 例. 函数f x ax bx c a b ()()=++>>2100，是奇函数,当x>0时,f<x>有最小值2,其中b N ∈+,且f()152<〔1〕试求f<x>的解析式；〔2〕问函数f<x>的图象上是否存在关于点〔1,0〕对称的两点,假如存在,求出点的坐标；假如不存在,说明理由. 解：知函数y f x a b =>>()()00，是奇函数,f x f x ()()-=-,如此c ＝0 由于f x a b x bx a b ()=+≥122,所以a b =2,又a b =2,又f a b ()1152=+<,于是25202b b -+< 解得122<<b ,又b N ∈+ 所以b ＝1,a ＝1 所以f x x x()=+1 〔2〕设点〔x 0,y 0〕存在关于点〔1,0〕对称点〔20-x ,y 0〕,此两点均在函数y x x=+21的图象上,如此y x y x x 002002012212=+-=-+-，() 联立以上两式得x x 020210--=,即x 012=±,从而,当x 012=+时,得y 022=；当x 012=-时,得y 022=- 即存在点〔1222+，〕,〔1222--，〕关于点〔1,0〕对称.。