函数奇偶性的应用

函数的奇偶性及其应用学习目标1、掌握奇、偶函数的定义及性质2、会判断给定函数的奇偶性3、能灵活应用函数的奇偶性解决常规问题4、了解函数图像的对称性，以及其与函数周期的关系。

1、奇函数与偶函数：如函数()f x 在其定义域内，对任意x 都有()()f x f x -=-，则称该函数为奇函数；如对任意x 都有()()f x f x -=，则称该函数为偶函数。

很明显，判断一个函数是否是奇函数或偶函数，首先看其定义域是否关于原点对称。

2、奇、偶函数的图像特征：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如其图像给关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

3、奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在y 轴的两边单调性相反．(2)两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积（或商）是偶函数；两个偶函数的和、积（或商）都是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积（或商）是奇函数．4、重要结论：（1）定义域关于原点对称的任一个函数)(x f 都可以唯一写成一个奇函数)(x h 与一个偶函数)(x g 之和的形式（事实上：()()()()12h x f x f x =--，()()()()12g x f x f x =+-） （2）对于多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项系数全为零()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项系数全为零5、函数图像的中心对称性（奇函数的推广）（1）如函数()f x 恒满足()()f x a f b x c ++-=，则()f x 的图像关于点(,)22a b c +中心对称 （2）如函数()(0)ax b f x c cx d+=≠+，则()f x 的图像关于点(,)d a c c -中心对称（3）()g x 为任意函数，则()()y g x g x λμ=+--的图像关于(,0)2μλ-中心对称。

函数奇偶性在解题中的应用徐辉函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是日常考试和高考中数学的重点和热点内容之一。

它应用广泛，在高中数学的各个分支中都有着极为重要的应用，在解题过程中如果应用的好，常能使难题变易，繁题变简，起到事半功倍的效果。

1．用于求值例１：已知奇函数，则解：因为奇函数，所以对任意，都有成立．令，则有，从而可得；令，则有，从而．故．注：此解利用了若函数是奇函数，则对定义域内的任意，都有这一性质，特别地，当０在定义域内时，必有．2．用于比较大小例２．已知偶函数在区间上单调递减，试比较的大小.解：因为是偶函数，所以，故此题只需比较的大小即可．又因在区间上单调递减，而且所以，故．注：此解利用了若函数是偶函数，则对定义域内的任意x，都有这一性质．当然此题也可利用偶函数图象关于y 轴对称这一性质，首先得到在区间是单调递增的，然后再用单调性进行求解．3．用于求最值例３．如果奇函数在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么在区间[-7,-3]上是（）A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5解：由在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，有, 又是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称,故有在[-7,-3]上也是增函数，且当x=-3时，函数取得最大值，故选B.注:此解利用了奇函数图象关于原点对称这一性质.4．用于求参数的值例4.已知函数(a、b、c∈Z)是奇函数，又f(1)=2，f(2)＜3，求a、b、c的值.解：由是奇函数，知f(-x)=-f(x)，从而，即-bx+c=-(bx+c)，c=-c，∴c=0.又由f(1)=2，知，得a+1=2b①，而由f(2)＜3，知，得②由①②可解得－1＜a＜2.又a∈Z，∴a=0或a=1.若a=0，则b=，应舍去；若a=1，则b=1∈Z.∴a=1，b=1，c=0.注：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想建立方程或不等式，组成混合组，最终使问题得以解决. 当然此题也可采用取特殊值的方法得到c的值，如由f(－1)=－f(1)，可得c=0. 5．用于求函数的解析式例５．已知定义在(－∞，+∞)上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)=x2－2x+2，求函数f(x)的解析式。

思路探寻函数奇偶性是函数的重要性质之一，是指对于函数f (x )，若定义域内任意的x ，都有f (-x )=-f （x ）,则函数f (x )为奇函数；若都有f (-x )=f （x ），则该函数f (x )为偶函数.函数的奇偶性在高中数学解题中应用广泛，尤其在解不等式、求函数的值、求函数解析式时应用较多.对此，笔者就函数奇偶性在高中数学解题中的应用进行了探讨，以期对同学们解题有所助益.一、利用函数的奇偶性解不等式有些不等式问题较为复杂，很难快速找到解题的突破口，此时不妨仔细分析不等式左右两边式子的结构特征，构造恰当的函数，将不等式问题转化为函数问题，再利用函数的奇偶性去处理，这样便可使不等式问题顺利获解.例1.求证：x 1-2x ＜x 2(x ≠0).分析：此不等式若直接证明十分棘手，可结合不等式的特点构造出一个函数，利用偶函数的性质将不等式进行转化，则可以轻松证明结论.证明：设f (x )=x 1-2x -x 2(x ≠0),因为f (-x )=-x 1-2-x --x2=-x (1+12x -1)+x 2=x 1-2x -x 2=f (x ),所以f (x )为偶函数.当x ＞0时，1-x2＜0，可知f (x )＜0；当x ＜0时，-x ＞0,f (x )=f (-x )＜0,综上所述，当x ≠0时，恒有f (x )＜0，即x 1-2x ＜x 2(x ≠0).利用函数奇偶性解答不等式问题的关键在于,结合不等式的结构特征构造具有奇偶性的函数，以便利用函数的奇偶性将问题加以转化.二、利用函数的奇偶性求函数的值求函数的值问题是函数中的常见题目，常以选择题或填空题的形式出现.此类问题中常含有参数，为了快速求得函数的值，我们可以利用函数的奇偶性，将f (-x )用±f （x ）来替换，将函数式作整体处理，进而求得函数的值.这样不仅可以避免逐步讨论、求解参数的值，还可以简化运算，有利于提升解题的效率.例2.若f (x )=a x -a -x2+b ·log c (x +x 2+1)+x 2(其中a ,b ,c 为常数)，且f (-2)=5，试求f (2)的值.分析：本题直接求函数f (2)的值较为困难，可结合f (x )表达式的特点，将含x 的一部分构造成具有奇偶性的函数，利用函数的奇偶性进行处理，则不难求出函数f (2)的值.解：设g (x )=a x -a -x 2+b ·log c (x +x 2+1),则g (-x )=a -x -a x2+b ·log c (-x +(-x )2+1)=-g (x ),易知g (x )为奇函数，故有g (-2)=-g (2)，又因为f (x )=g (x )+x 2,则{f (-2)=g (-2)+4,f (2)=-g (2)+4,将两式相加可得f (-2)+f (2)=8，因为f (-2)=5，所以f (2)=3.三、利用函数的奇偶性求函数的解析式求解函数的解析式问题的方法较多，利用函数奇偶性是常用的方法.在求函数的解析式时，要首先根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，然后将f (-x )用±f （x ）来替换，这样便能快速求得函数的解析式.例3.已知f (x )与g (x )的定义域是｛x |x ∈R 且x ≠±1｝,若f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )+g (x )=1x -1.试求f (x )与g (x )的解析式.解：因为f (x )是偶函数，所以f (-x )=f (x )，因为g (x )是奇函数，所以g (-x )=-g (x )，因为f (-x )+g (-x )=1-x -1,所以f (x )-g (x )=1-x -1①.由已知可得f (x )+g (x )=1x -1②.由①+②可得2f (x )=2x 2-1(x ≠±1)，所以f (x )=1x 2-1(x ≠±1)，所以g (x )=1x -1-1x 2-1=x x 2-1(x ≠±1).若已知函数是偶函数或奇偶数，则根据函数奇偶性的定义f (-x )=-f (x )或f (-x )=f (x )进行代换，便不难求出函数的解析式.在这一过程中，我们要注意把握奇函数或偶函数的定义域.总之，对于某些较为复杂的函数问题，同学们若能从函数的奇偶性入手，往往可以拓宽解题的思路.所以，在平时的学习中，同学们要熟练掌握函数的性质.(作者单位：江苏省江浦高级中学)谈谈函数奇偶性的应用邹大博48Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

函数奇偶性的应用函数奇偶性（FunctionParity）是指一个函数可以经过一个变换，使其符号发生对称的变化的性质。

这种性质可以用于解决许多数学问题，特别是那些涉及到计算积分的问题，例如，计算圆周积分、椭圆积分等。

函数的奇偶性本质上是一种对称性质，它不是某一个函数的具体性质，而是函数人因变换后所拥有的性质。

其定义是：如果函数f(x)对于任意x，都有f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数，反之，如果f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。

一般来说，函数的奇偶性与函数的变换关系密切相关，函数的变换可以表示为改变函数的变量x的值或者改变函数的结果y值。

例如，函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)有对称性，因为当x取任意值时，它的关系式f(-x)=a(-x)2+b(-x)+c＝-ax2＋bx＋c＝-f(x)，所以函数f(x)是奇函数。

函数奇偶性具有许多应用，例如，利用它可以求解椭圆积分。

椭圆积分是由一个定义在椭圆上的函数与椭圆的面积累加求得的。

因为函数的奇偶性能满足对称性，所以可以利用这一性质，将椭圆分成两半来求解。

具体的操作是，首先用函数左半部分的面积累加求得积分值，然后再用函数右半部分的面积累加求得积分值，最后相加即可得到椭圆积分的结果。

函数奇偶性还可以用于求解圆周积分问题。

因为圆周积分一般是指求解圆周上函数的积分值，而利用函数奇偶性，可以把圆周分割成两部分，一部分是正玄轴到负玄轴的距离，另一部分是负玄轴到正玄轴的距离，从而将圆周积分转化为求解两个积分的和，从而更加容易求出解析解。

此外，函数奇偶性还可以用于对一些复杂的函数进行拆分，将多个复杂的函数拆分为若干个相对简单的函数，从而更容易求解。

例如，可以将多项式函数拆分为多个单项式函数，这样就可以更加方便地求解多项式函数。

最后，函数奇偶性也可以用于多元函数的研究。

对于多元函数，函数的奇偶性可以帮助我们更加清晰地理解函数的性质，从而更直观地求解多元函数的结果。

函数奇偶性的应用函数的奇偶性是指函数在其定义域内是否满足奇偶性质。

在数学中，奇数代表整数除以2的余数为1，偶数代表整数除以2的余数为0。

而在函数中，奇函数代表函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数代表函数满足f(-x)=f(x)。

函数的奇偶性在数学中有着广泛的应用，如在对称性、曲线图像、解方程等方面都能够起到重要的作用。

下面将详细讨论函数奇偶性在不同应用领域的具体应用。

首先，在对称性方面，函数的奇偶性能够帮助我们判断函数关于y轴、x轴以及原点是否对称。

对于奇函数，它关于原点对称，即图像在原点处旋转180度后与原图像重合；对于偶函数，它关于y轴对称，即图像关于y轴对称；而对于一般的函数，如果既不是奇函数也不是偶函数，那么它不具备关于坐标轴的对称性。

其次，在曲线图像方面，函数的奇偶性能够帮助我们简化曲线图像的绘制和分析。

由于奇函数关于原点对称，所以当我们只需要绘制图像在原点右侧的部分，然后再将其关于原点对称得到的图像就是整个函数的图像；偶函数同样可以利用关于y轴的对称性简化图像的绘制。

这在许多实际问题中都起到了很大的帮助，特别是能够通过对图像的简化来更好地理解函数的性质。

再次，在解方程方面，我们可以利用函数的奇偶性来求解一些特定的问题。

例如，当我们需要求解一个方程f(x)=0时，如果函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)，那么我们只需要找到一组解x0，然后就能得到对称的另一组解-x0。

同样地，如果函数是偶函数，即f(-x)=f(x)，我们只需要求解非负解，然后就能得到关于y轴对称的另一组解。

这对于简化解方程的过程非常有帮助。

此外，在积分计算方面，函数的奇偶性同样提供了一种简化计算的方法。

对于奇函数而言，它的在一个对称区间内的积分等于0，因为函数在区间的正负区域对称；而对于偶函数而言，它在一个对称区间内的积分可以化简为两倍的非负积分，因为函数在区间内的曲线图像关于y轴对称。

这种简化计算的方法在数学中经常被运用，能够提高计算的效率。

奇偶性应用举例 1、判断奇偶性：2211)(x x x f -+-=2、已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f3、判断函数⎩⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x xx x f 的奇偶性。

4.已知判断)21121()(+-=x x x f 的奇偶性5.已知22()21x xa a f x ⋅+-=+是R 上的奇函数，则a =6、若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间？7、已知函数)0()(23≠++=a cx bx ax x f 是偶函数，判cx bx ax x g ++=23)(的奇偶性。

8、定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减，若)2()6(a f a f <-，则a 的取值范围是如何？9.定义在（-1，1）上的奇函数f （x ）是减函数，且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求a 的取值范围10.已知函数f (x )是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.当x ∈(－∞,0)时，f (x )=x -x 4，则 当x ∈(0.+∞)时，f (x )= .11、设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则()0<x f 的解是 .12.若f (x )为奇函数，且在(-∞,0)上是减函数，又f (-2)=0，则xf (x )<0的解集为________作业1．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．2．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为多少？为什么？3.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．。