高中数学 北师大版选修4-5几个重要的不等式第二章
- 格式：doc
- 大小：1.67 MB
- 文档页数：67
1
§1 柯西不等式
1.1 简单形式的柯西不等式
学习目标
1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式.
2.会用柯西不等的代数形式和向量形式证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值.
预习自测
1.柯西不等式
若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号成立⇔ad＝bc.
2.柯西不等式的向量形式
设α，β为平面上的两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.
自主探究
1.如何证明：a1，a2，b1，b2∈R时，(a21＋a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2?
提示 (a21＋a22)(b21＋b22)－(a1b1＋a2b2)2≥0
⇔a21b21＋a22b22＋a21b22＋a22b21－a21b21－a22b22－2a1b1a2b2≥0
⇔a21b22－2a1b1a2b2＋a22b21≥0
⇔(a1b2－a2b1)2≥0.
上式中等号成立⇔a1b2＝a2b1.
2.设平面上两个向量为α＝(a1，a2)，β＝(b1，b2)，你能证明|α||β|≥|α·β|吗？
提示 ∵cos〈α，β〉＝α·β|α||β|＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22，
∴cos2〈α，β〉＝（a1b1＋a2b2）2（a21＋a22）（b21＋b22）≤1，
2 即(a21＋a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2，
a21＋a22·b21＋b22≥|a1b1＋a2b2|.
∴|α||β|≥|α·β|，等号成立的充要条件为α＝λβ (λ≠0).
典例剖析
知识点1 利用柯西不等式证明不等式
【例1】 已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤11.
证明 由于2x＋y＝23(3x)＋12(2y).
由柯西不等式(a1b1＋a2b2)2≤(a21＋a22)(b21＋b22)得
(2x＋y)2≤232＋122(3x2＋2y2)
≤43＋12×6＝116×6＝11，
∴|2x＋y|≤11，∴2x＋y≤11.
【反思感悟】 柯西不等式(a21＋a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2⇔a21＋a22 b21＋b22≥|a1b1＋a2b2|，应用时关键是对已知条件的变形.
1.已知a，b，c，d∈R，x>0，y>0，且x2＝a2＋b2，y2＝c2＋d2，求证：xy≥ac＋bd.
证明 由柯西不等式知：
ac＋bd≤a2＋b2c2＋d2＝x2·y2＝xy.
∴xy≥ac＋bd.
【例2】 (二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2∈R，用代数的方法证明 x21＋y21＋x22＋y22≥ （x1－x2）2＋（y1－y2）2.
证明 (x21＋y21＋x22＋y22)2
＝x21＋y21＋2x21＋y21 x22＋y22＋x22＋y22
≥x21＋y21＋2|x1x2＋y1y2|＋x22＋y22
≥x21＋y21－2(x1x2＋y1y2)＋x22＋y22
＝x21－2x1x2＋x22＋y21－2y1y2＋y22＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
3 ∴x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2
【反思感悟】 在平面中设α＝(x1，y1)，β＝(x2，y2)，则α±β＝(x1±x2，y1±y2)，由向量加法的三角形法则知：
|α|＋|β|≥|α＋β|⇔x21＋y21＋x22＋y22≥
（x1＋x2）2＋（y1＋y2）2，由向量减法的几何意义知：
|α|＋|β|≥|α－β|⇔x21＋y21＋x22＋y22≥
（x1－x2）2＋（y1－y2）2.
2.利用柯西不等式证明：a2＋b28≥a＋b42.
证明 a＋b42＝a4＋b42≤(a2＋b2)142＋142＝a2＋b28.
知识点2 利用柯西不等式求函数的最值
【例3】 求函数y＝5x－1＋10－2x的最大值.
解 函数的定义域为{x|1≤x≤5}.
y＝5x－1＋25－x≤52＋2x－1＋5－x
＝27×2＝63当且仅当55－x＝2x－1
即x＝12727时取等号，故函数的最大值为63.
【反思感悟】 解题的关键是对函数解析式进行变形，使形式上适合应用柯西不等式，还要注意求出使函数取得最值时的自变量的值.
3.已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值.
解 2x2＋3y2＝[(2x)2＋(3y)2]122＋132×65
≥652x·12＋3y·132＝65(x＋y)2＝65.
课堂小结
1.二维形式的柯西不等式
(a21＋a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2，当且仅当a1b2＝a2b1时等号成立.
2.推论：(1)(a＋b)·(c＋d)≥(ac＋bd)2；
4 (2)a21＋a22·b21＋b22≥|a1b1＋a2b2|；
(3)a21＋a22·b21＋b22≥|a1b1|＋|a2b2|.
3.柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|，当且仅当存在实数λ≠0，使α＝λβ时等号成立.
4.二维形式的三角不等式
(1)a21＋a22＋b21＋b22≥（a1＋b1）2＋（a2＋b2）2(或
a21＋a22＋b21＋b22≥ （a1－b1）2＋（a2－b2）2)；
(2)（a1－b1）2＋（a2－b2）2＋（b1－c1）2＋（b2－c2）2≥
（a1－c1）2＋（a2－c2）2.
随堂演练
1.写出空间直角坐标系中柯西不等式的代数形式.
解 (a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)
≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
当且仅当a1b1＝a2b2＝a3b3时等号成立.
2.写出空间代数形式的三角不等式.
解 有两种形式分别对应定理3、定理4.
定理3为a21＋a22＋a23＋b21＋b22＋b23
≥（a1＋b1）2＋（a2＋b2）2＋（a3＋b3）2
定理4为（a1－b1）2＋（a2－b2）2＋（a3－b3）2＋
（b1－c1）2＋（b2－c2）2＋（b3－c3）2
≥（a1－c1）2＋（a2－c2）2＋（a3－c3）2.
3.已知a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1.
求证：ax＋by＋cz≤1.
证明 由柯西不等式得：
(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2.
∵a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，∴|ax＋by＋cz|≤1.
∴ax＋by＋cz≤1.
5
一、选择题
1.下列说法：
①二维形式的柯西不等式中a，b，c，d没有取值限制.
②二维形式的柯西不等式中a，b，c，d只能取数，不能为代数式.
③柯西不等式的向量式中取等号的条件是α＝β.
其中正确的个数有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.0个
解析 由柯西不等式的概念知，只①正确，a，b，c，d是实数，没有其取值限制.
答案 A
2.函数y＝2x＋91－2xx∈0，12的最小值是( )
A.20 B.25
C.27 D.18
解析 y＝2x＋91－2x＝[2x＋(1－2x)]2x＋91－2x
＝[(2x)2＋(1－2x)2]2x2＋91－2x2
≥2x·2x＋1－2x91－2x2＝(2＋3)2＝25.
答案 B
3.设a、b∈(0，＋∞)，且a≠b，P＝a2b＋b2a，Q＝a＋b，则( )
A.P>Q B.P≥Q
C.P
解析 ∵a2b＋b2a(a＋b)＝ab2＋ba2[(a)2＋(b)2]
≥ab·b＋ba·a2＝(a＋b)2，
6 ∵a>0，b>0，∴a＋b>0.∴a2b＋b2a≥（a＋b）2a＋b＝a＋b.
又∵a≠b，而等号成立的条件是ab·a＝ba·b，
即a＝b，∴a2b＋b2a>a＋b.即P>Q.
答案 A
二、填空题
4.设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，则2a＋2b＋2c的最小值是________.
解析 ∵(a＋b＋c)2a＋2b＋2c＝[(a)2＋(b)2＋(c)2]2a2＋2b2＋2c2
≥a·2a＋b·2b＋c·2c2＝18.∴2a＋2b＋2c≥2.
答案 2
5.若a2＋b2＋c2＝2，x2＋y2＋z2＝4，则ax＋by＋cz的取值范围是__________.
解析 ∵(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2，
∴(ax＋by＋cz)2≤8，∴－22≤ax＋by＋cz≤22.
答案 [－22，22]
6.设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________.
解析 运用柯西不等式求解.
根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为5.
答案 5
三、解答题
7.若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值，并求出最小值点.
解 由柯西不等式(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1，
∴4x2＋9y2≥12.
当且仅当2x·1＝3y·1，即2x＝3y时取等号.
