北师大版数学高二-选修4-5 1.1不等式的性质学案
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高中数学 选修4-5 1.1不等式的性质学案
高考要求
掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些概念解决一些简单问题
知识点归纳
1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：
0baba 0baba 0baba
2．不等式的性质：
（1）abba ， abba （反对称性）
（2）cacbba, ，cacbba, （传递性）
（3）cbcaba，故bcacba （移项法则）
推论：dbcadcba, （同向不等式相加）
（4）bcaccba0,，bcaccba0,
推论1：bdacdcba0,0
推论2：nnbaba0
推论3：nnbaba0
不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强
题型讲解
例1 已知三个不等式：①ab>0 ②bc>ad ③ac>bd,以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成多少个正确的命题？并写出这些命题
解：可以组成下列3个命题
命题一：若ab>0，ac>bd, 则bc>ad
命题二：若ab>0，bc>ad 则ac>bd,
命题三：若ac>bd, bc>ad 则ab>0
由不等式的性质得知这三个命题均为真命题
例2有三个条件：（1）ac2>bc2；(2)ca＞cb；(3)a2>b2，其中能分别成为a>b的充分条件的个数有（ ） 打印版
高中数学 A．0 B．1 C．2 D．3
解：（1）由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故ac2>bc2是a>b的充分条件（2）c<0时，ab的充分必要条件，故答案选B
例3 若a>b>1，P=balglg， Q=21 (lg a +lg b ),R=lg(2ba),试比较P ，Q， R的大小
解：∵a>b>1，∴lg a> lg b>0，
∴balglg<2lglgba，即P
又∵ab<2ba，∴ ablg< lg(2ba)，
∴ 2lglgba< lg(2ba)，即Q
例4 设f(x)=ax2+bx,且1≤f(－1) ≤2, 2≤f(1) ≤4 ,求f(－2)的取值范围
分析：因为f(－1)=a－b, f(1)=a+b,而1≤a－b≤2, 2≤a+b≤4;又a+b与a－b中的a,b不是独立的，而是相互制约的，因此，若将f(－2)用a－b与a+b,表示，则问题得解
解：设f(－2)=m f(－1)+n f(1), (m,n为代定系数)
则4a－2b=m(a－b)+n(a+b)
即4a－2b=（m+n）a－(m－n)b,
于是得42nmnm得：m=3, n=1
∴f(－2)=3 f(－1)+ f(1)
∵1≤f(－1) ≤2, 2≤f(1) ≤4
∴5≤3f(－1)+ f(1) ≤10,
故5≤f(－2)≤10,
另法：以上解题过程简化如下：
由(1)(1)abfabf得1[(1)(1)]21[(1)(1)]2affbff
∴f(－2)=4a－2b=3 f(－1)+ f(1)
点评:严格依据不等式的基本性质和运算法则,是正确解答此类题目的保证若先将参数a,b的范围求出,而后再求f(－2)的范围,这样操作是错误的,因为解题过程没有忠实题目所给条件,即变形不等价,由所求的参数a,b的范围并不能得到已知条件所给的f(－1)及f(1)的范围,这样,已经改变了题目的条件,当然,所求的结果就不是实际的结果因此,在解题的过程中,务必尽可能保持变形的等价性,以免发生错误
例5已知a>b>c，a+b+c=0方程ax2+bx+c=0的两个实根为x1，x2
（1） 证明：－121ab；
（2） 若x12+x1x2+x22=1，求x12－x1x2+x22 打印版
高中数学 （3） 求2221xx
解：（1）a>b>c，a+b+c=0,
∴babacbaa,3,
∴a>0，1>abab1
∴121ab
(2)(方法1) a+b+c=0
∴ ax2+bx+c=0有一根为1，
不妨设x1=1,则由x12+x1x2+x22=1可得x2(x2+1)=0，
而x2=x1x2=ac<0(3c
∴x12－x1x2+x22=3
(方法2) x1+x2=－ab，x1x2=ac
由x12+x1x2+x22=(x1+x2)2－ x1x2=1222222abababaabacab=1，
∴,0,121,022abababab
∴x12－x1x2+x22= x12+x1x2+x22－2x1x2=1－2x1x2=1+3)(2aba
（3）由（2）知，
2221xx=1)1()(1122222ababaac
4)1(41,21212abab
∴－31)1(432ab
∴3,02221xx
小结:在不等式的性质中，要特别注意下面4点：
1不等式的传递性：若a>b,b>c, 则a>c,这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意打印版
高中数学 不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b,后，就误认为能得到a>c
2同向不等式可相加但不能相减，即由a>b,c>d，可以得出a+c>b+d,
但不能得a—c>b—d
3不等式两边同时乘以一个数或式时，只有该数或式保证为正，才能得到同向的不等式，否则不能保证所乘之数或式为正，则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方向；不等式两边同偶次乘方时，也要特别注意不等式的两边必须是正
总之，不等式的概念和性质是本章内容的基础，是证明不等式和解不等式的主要依据，必须透彻理解，特别要注意同向不等式可相加，也可相乘，但相乘时，两个不等式都需大于零 处理分式不等式时不要随便将不等式两边乘以含有字母的分式，如果需要去分母，一定要考虑所乘的代数式的正负
作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应引起高度注意
学生练习
1．已知a
Aa11 Da2>b2
答案: D
2．已知命题甲：acc，b>d，则甲是乙的（ ）
A充分非必要条件 B必要非充分条件 C 充要条件 D非充分非必要条件
答案: D
3．若|a+c|<|b|，则（ ）
A－b
答案: C
4．设a=2, b=7－3, c=6－2，则a, b, c的大小顺序是（ ）
Ac
答案: B
5 若0
Ababa22>ba B1122ab>22ab Ca＋a1>b＋b1 Da>ab
答案：B
提示：∵00
6．若b<0
Aac>bd Bca>db Ca＋c>b＋d Da－c>b－d
答案: C
7．已知1
AMN DM与N大小不确定
答案: C 打印版
高中数学 提示: M－N＝－x2＋4x－3=－(x－2)2－1, x∈(1, 3), M－N>0
8．已知ab≠0，则ab>1是ba<1的（ ）条件
A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件D非充分非必要条件
答案: A
提示:∵ab≠0，ab>1 ,若a>0, b>0,则b>a>0,
∴ba<1; 若a<0, b<0,则b
9．若a, b, c都是正数，且a
Aba
答案: A
10 下列函数中，其最小值为2的函数是（ ）
Ay=x＋x1 By=sinθ＋secθ(0
Cy=21222xx Dy=sinθ＋cscθ(0
答案：D
11．设a, b为实数，且a＋b=3，则2a＋2b的最小值是（ ）
A6 B42 C22 D26
答案: B
提示: ∵a＋b=3, ∴2a＋2b≥2ba2=42
12．已知k为实数, 方程x2＋(k＋3i)x＋4＋ki=0有实根的充要条件是
Ak≥4 B－32≤k≤32 Ck=±32 Dk≠0
答案: C
提示: ∵方程x2＋(k＋3i)x＋4＋ki=0有实根，∴x2＋kx＋4＝0,且3x＋k=0, x=－3k, 代入到x2＋kx＋4＝0中解得k=±32
13．若实数x, y满足x2＋y2－2x＋4y=0，则x－2y的最大值是（ ）
A5 B10 C9 D5＋25
答案: B 打印版
高中数学 提示: 方程x2＋y2－2x＋4y=0化为(x－1)2＋(y＋2)2=5, (x, y)为圆上一点，设x=1＋5sinα,y=－2＋5cosα, 则x－2y=5＋5sin(α＋φ), ∴最大值为10
14．若0
A21 Bb C2ab Da2＋b2
答案: B
提示: b>a, b>21, 2a<1, 2ab
15．若f (x)=|lgx|，且当af C>f B，则下列各式中（ ）成立
A(a－1)(c－1)>0 Bac=1 Cac>1 Dac<1
答案: D
提示: 用图象分析, a<1, b<1, c>1,又f A>f C，a1>c, ∴ac<1
16．不等式ab＋ba>2成立的充要条件是
答案: ab>0且a
17．若a>0, b>0, a＋b=1，比较大小：1212ba 22
答案: ≤
18．已知lgx＋lgy=2，则x1＋y1的最小值是
答案: 51
提示: xy=100, x1＋y1≥2xy1=51
19．当x≠0时,421xx的最大值是
答案: 21
20．若直角三角形的周长为2，则它的最大面积是
答案: 3－22
提示: 设斜边为 c, a=csinα, b=ccosα, a＋b＋c=2, c(1＋sinα＋cosα)=2, c[1＋2sin(α＋4)]=2, c≤212=2(2－1), S△=41c2sin2α≤41c2=3－22
21．若2x2＋3y2=64，则x2＋y2的最大值是
