高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评7综合法与分析法北师大版选修4_5

第2讲 选修4－5 不等式选讲

[做小题——激活思维]

1．已知正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2的最小值为________．

[答案] 13

2．不等式|3x－1|≤2的解集为________．

[答案] －13，1

3．若关于x的不等式|x－3|＋|x－4|

[答案] (1，＋∞)

4．已知a>b>c，若1a－b＋1b－c＋nc－a≥0恒成立，则n的取值范围是________．

[答案] (－∞，4]

5．函数y＝5x－1＋10－2x的最大值为________．

[答案] 63

[扣要点——查缺补漏]

1．|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法

(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．如T2.

(2)利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想.

(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

2．不等式的证明

(1)绝对值三角不等式

||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.如T3.

(2)算术—几何平均不等式

如果a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．如T1，T4.

(3)证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点．

含绝对值不等式的解法(5年8考)

[高考解读] 绝对值不等式的解法是每年高考的热点内容，主要为含两个绝对值的不等式的求解，难度适中.

[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．

切入点：将g(x)＝|x＋1|＋|x－1|的解析式化为分段函数的形式．

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

一、选择题

1.下面对命题“函数f(x)＝x＋1x是奇函数”的证明不是综合法的是( )

A.∀x∈R且x≠0有f(－x)＝(－x)＋1－x＝－x＋1x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数

B.∀x∈R且x≠0有f(x)＋f(－x)＝x＋1x＋(－x)＋－1x＝0，∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数

C.∀x∈R且x≠0，∵f(x)≠0，∴f－xfx＝－x－1xx＋1x＝－1，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数

D.取x＝－1，f(－1)＝－1＋1－1＝－2，又f(1)＝1＋11＝2，∴f(x)是奇函数

【解析】 选项A、B、C都是从奇函数的定义出发，证明f(－x)＝－f(x)成立，从而得到f(x)是奇函数，而选项D的证明方法是错误的.

【答案】 D

2.已知a＞0，b＞0，下列不等式中不成立的是( )

A.ba＋ab≥2 B.a2＋b2≥2ab

C.b2a＋a2b≥a＋b D.1a＋1b≥2＋2a＋b

【解析】 由ba∈(0，＋∞)且ab∈(0，＋∞)，得ba＋ab≥2ba·ab，所以A成立，B显然成立，不等式C可变形为a3＋b3≥a2b＋ab2⇔(a2－b2)(a－b)≥0.

【答案】 D

3.若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )

A.1a＜1b B.a2＞b2

C.ac2＋1＞bc2＋1 D.a|c|＞b|c|

【解析】 ∵a＞b，c2＋1＞0，

∴ac2＋1＞bc2＋1. 【答案】 C

4.设a＞b＞0，m＝a－b，n＝a－b，则( )

A.m＜n B.m＞n

C.m＝n D.不能确定

【解析】 ∵a＞b＞0，

∴a＞b，∴a－b＞0，ab＞b.

(a－b)2－(a－b)2＝a＋b－2ab－(a－b)

＝2(b－ab)＜0，

∴(a－b)2＜(a－b)2，

∴a－b＜a－b，即m＜n.

平均值不等式教学设计

【教材依据】本节教学设计依据北师大2007年5月第2版的《高中数学（选修4-5）》，是第一章“不等关系与基本不等式”的第3节“§3平均值不等式”中的第一课时。

一、设计思路

1.指导思想。

本设计以素质教育精神和新课程理念为指导，充分调动学生动手实践、合作探究，以此提高课堂教学效率。

以建构主义为指导，找准学生认知的最近发展区和认知生长点，指导学生在已有认知的基础上学习、发展。

结合实践体验，引导学生意识到几何直观和类比、分析等在数学证明中的独特价值，让学生体会数学的图形之美、构造之美和结论的和谐一致之美。

2.教学目标。

知识与能力：进一步理解二元、三元平均值不等式，进而类比并了解n元平均值不等式。

方法与途径：观察、动手实践、讨论交流、总结归纳。

情感与评价：口头评价与成果交流评价相结合。拓展学生的视野，激发学生类比、分析的意识与能力。在从二元平均值不等式到三元平均值不等式的推广过程中，条件由“实数”变为了“正实数”，也以此让学生领会“量变会引起质变”的哲学观点。

现代教学手段的运用：PPT多媒体辅助手段与学案相结合。

3.教学重点与难点。

重点：二元、三原平均值不等式的理解与证明方法。

难点：类比得出三原平均值不等式，三元平均值不等式的证明思路的探索。

二、教学准备

利用几何画板提前将有关二元平均值不等式及其变式的几何证明的图像做好，分为三组在学案上印制出来，准备让学生发现这些图形中隐藏的秘密。

三、教学过程

1.体验数学发现与数学结论的不同表达形式

让学生观察第一组3个图形中有关部分面积的大小关系，揭示其中的秘密并恰当表述出来。

师生共同交流总结出：22,,2abRabab，当且仅当ab时“”成立。

让学生观察第二组2个图形中有关部分线段的长短关系，揭示其中的秘密并恰当表述出来。

有了刚才的铺垫，学生比较容易发现并表述出：,,2abRabab，当且仅当ab时“”成立.或表示为2abab。

选修4--5知识点

1、不等式的基本性质

①（对称性）abba

②（传递性）,abbcac

③（可加性）abacbc

（同向可加性）dbcadcba,

（异向可减性）dbcadcba,

④（可积性）bcaccba0,

bcaccba0,

⑤（同向正数可乘性）0,0abcdacbd

（异向正数可除性）0,0ababcdcd

⑥（平方法则）0(,1)nnababnNn且

⑦（开方法则）0(,1)nnababnNn且

⑧（倒数法则）babababa110;110

2、几个重要不等式

①222abababR，,（当且仅当ab时取""号）. 变形公式：22.2abab

②（基本不等式） 2abab abR，,（当且仅当ab时取到等号）.

变形公式： 2abab 2.2abab

用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③（三个正数的算术—几何平均不等式）33abcabc()abcR、、（当且仅当abc时取到等号）. ④222abcabbccaabR，

（当且仅当abc时取到等号）.

⑤3333(0,0,0)abcabcabc

（当且仅当abc时取到等号）.

⑥0,2baabab若则（当仅当a=b时取等号）

0,2baabab若则（当仅当a=b时取等号）

⑦banbnamambab1，（其中000)abmn，，

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.

⑧220;axaxaxaxa当时，或

22.xaxaaxa

⑨绝对值三角不等式.ababab