江苏省常熟市2019-2020学年高二下学期期中考试数学含答案
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2019－2020学年第二学期期中试卷
高二数学
2020.05
注意事项
答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1.本卷共4页，包含选择题(第1题～第12题)、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～
第22题)，本卷满分150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将答题卷交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的
规定位置。
3.请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效。选择题必须使
用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4.请保持答题卷卷面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求。
1.已知复数z＝2
1i
i(其中i是虛数单位)，则复数z的虛部为
A.－1 B.－i C.1 D.i
2.火车开出车站一段时间内，速度v(单位：m/s)与行驶时间t(单位：s)之间的关系是v(t)＝0.4t
＋0.6t2，则火车开出几秒时加速度为2.8m/s2
A.3
2sB.2s C.5
2sD.7
3s
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD与平面ABCD所成二面角的正弦值为
A.3
3B.2
2C.6
3D.1
3
4.有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有
A.240种B.144种C.72种D.24种
5.若函数f(x)＝x3－3bx＋2在区间(2，3)内单调递增，则实数b的取值范围是
A.b≤4 B.b<4 C.b≥4 D.b>4
6.如图，在圆锥PO的轴截面PAB中，∠APB＝60°，有一小球O1内切于圆锥(球面与圆锥的
侧面、底面都相切)，设小球O1的体积为V1，圆锥PO的体积为V，则V1：V的值为
A.1
3B.4
9C.5
9D.2
3
7.若函数2
xxfxaxe存在两个不同零点，则实数a的取值范围是
A.(－∞，1
e) B.(0，1
e) C.(－∞，0)∪{1
e} D.(－∞，0)∪(0，1
e)
8.从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数
为
A.252 B.216 C.162 D.228
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.以下函数求导正确的是
A.若f(x)＝2
21
1x
x，则f'(x)＝224
1x
xB.若f(x)＝e2x，则f'(x)＝e2x
C.若f(x)＝21x，则f'(x)＝1
21xD.若f(x)＝cos(2x－3)，则f'(x)＝－sin(2x－3)
10.下列关于复数的四个命题中，真命题有
A.若复数z满足z2∈R，则z∈R B.若复数z∈R，则z∈R
C.若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2zD.若复数z满足1
z∈R，则z∈R
11.以下关于函数f(x)＝x＋21
x的说法正确的是
A.函数f(x)在(0，＋∞)上不单调B.函数f(x)在定义域上有唯一零点
C.函数f(x)的最小值为3322D.x＝32是f(x)的一个极值点
12.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位
置，连结PC，则在翻折过程中，下列说法正确的是
A.PC与平面BCD所成的最大角为45°
B.存在某个位置，使得PB⊥CD
C.当二面角P－BD－C的大小为90°时，PC＝6
D.存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为3
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.复数z满足z＝3i
i(其中i是虛数单位)，则复数z的模等于。
14.设函数f(x)满足f(x)＝x2＋3f'(1)x＋1，则f(3)的值为。
15.已知四面体ABCD的所有棱长均为a，则对棱AB与CD间的距离为，该四面体
的外接球表面积为。(第一空2分，第二空3分)
16.用红、黄、蓝、绿四种颜色给右图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共
有种不同的涂色方法。(用数字回答)
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)满足z＋3i为实数，2z
i为纯虚数，其中i是虚数单位。
(1)求实数a，b的值；
(2)若复数z1＝z＋2m＋(m2－5)i在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围。
18.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ax＋bxlnx，f(x)在x＝e处的切线方程是x＋y－e＝0，其中e是自然对数的底
数。
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的极值。
19.(本小题满分12分)
某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名
方法，(用数字回答)
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；
(3)每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加。
20.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB
＝2，M是PD上一点，且BM⊥PD。
(1)求异面直线PB与CM所成角的大小：
(2)求点M到平面PAC的距离。
21.(本小题满分12分)
如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB//CD，AB＝AC＝AD＝3，PA＝CD＝
4，E为线段AB上一点，AE＝2EB，M为PC的中点。
(1)求证：EM//平面PAD；
(2)求直线AM与平面PCE所成角的正弦值。
22.(本小题满分12分)
已知f(x)＝a(x－lnx)＋221x
x(a<2)。
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝1时，证明：f(x)－f'(x)>3
2对任意的x∈[1，2]恒成立。四.解答IB:本大吨集6小股.其70分.
17.（本小秘滴分10分〉
W：（1>由为：:♦新・"*（力+ 3其为实教・所115=1-3............................ ・・2分
w @・3i (〃.3i)(2 “ i) (2“，M ♦槌 6)i 力稣厂二-京-(2TX2H) - 5
所以a- - j • ................................ 5 分
2）z = ・；-3i・ z=-j + 3i .所以* ・（2m-；） + 0w'_2）i・...................7 分
因为复散3在复平面内对应的点在第四象限.'
所以解之^3/2......................................
«2-2<0 4
18.（木小魁满分12分）
解？ （ I）由/（x） = cu+Zuhix .得/'（町=<1.四1-Inx） ■ ..........................
由/U>ilx = e处的切税方程是x”・c = 0,知切点为（e,0）,斜率为・】.10分
1分
所叱/籍二'...................................................4分
M之精(：1・............................................................6分
2) /(x) = x-xlnx. /f(r)- -Injr • ........................................7 分
令广(x)= 0，得* = I・......................................................8分
X(0.1)_________(1 ♦8)/•(同+0—
/(X)Zf及大值由表可表.当x = 1时，/（x）WWIft大值L /（》）无极小值. ...................12分
19.
9^：（1）房人都可以从这四个项口中逸报一项.芥肖4种不同的圾法.
由分步汁散原理和共I =4096和. ....................................3分
答a不同的报各方法有4096种.............................................4分
（2）每顼梁报人.11限人至多报•巩 也此“J中敏II堆人.第一个攻目有6神不同的
选法.第一个项口有5神不同的选法•弟三个攻目有4种仲司的谚法，第四个以「|有
3所不同的选法.
由分步计数原理得共白报名方法A： =6x5/43 = 360抻.....................
答8不胃的报名方法有360#.........................................
《3）每人米报-项，人人参加.旦每个顼日均有人祐加.因此籥将6人分成4组.
有C：,等=2。•冷=65种.
每坝余加一个顼日.由分步订数厥理SWJ《C： + &『）a： ■ （20 + 45）x24 = 1560时.A.答:不同的报名方法#1560神.............................................
部•（本小底满分12分〉
% ⑴ 因为 PAL 平 HAHCD. ABc^KABCD.所以 PA ± Aff.
因为底ife ABCD是矩形.所以AB LAD.7分
X分
10分
12分
XPJO-W-d. PAc f ill PAD. JDcTfiPXD.
所以AB± f面P」D・ AM th BM在平面凡始内的财ftj.
囚LPD.由三垂线定理的逆定理垃/Of 10.
又PA = AD，所以M0PD匚 *廷长DC到A•使得DC = CE,连接性/£•
司C为DE中点，又M是PD中点，所以CM 〃户£・
所以匕BPE是异而宜8|用与CM所成的角（或其补角）. .......................4分
因为 P4L 平面 ABCD. ^PALAB. PALAE. P
在 RMPAR 中，PB^JPA^AB7 =2^JS.
在 Rt^PAE 中.PE = W ♦归 * H47） = 4。, （； '浪《
XL Ri^BCE 中，AE = JflCfCU =2折.
在△唯中.co心心竺K* =呷-2% ■匝,«
2PB - PE 2乂2小4、§ 5 f
所以异血宜城P8与C”所成的的余弦为理. .............................6分
（2〉因为R4_L 平ABCD ,所以匕 4 ■ PA - ^(-^x2x4>x4 = y
.
