江苏省常熟市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(附解析)

江苏省常熟市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）

一、填空题：请把答案填写在答题卷相应的位置上.

1.直线的倾斜角为________.

【答案】

【解析】

【分析】

将直线方程化为斜截式，利用直线斜率与倾斜角的关系求解即可.

【详解】因为，

所以，设直线的倾斜角为，

则，，故答案为.

【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.

2.若扇形的弧长为，圆心角为，则此扇形的半径是________.

【答案】2

【解析】

【分析】

设扇形的半径为，利用弧长公式列方程求解即可.

【详解】设扇形的半径为，因为扇形的弧长为，圆心角为，

所以故答案为.

【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于简单题.

3.正方体中，异面直线和所成角的余弦值是________.

【答案】

【解析】

【分析】

由，可得异面直线和所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.

【详解】

因为，所以异面直线和所成角，

设正方体的棱长为，

则直角三角形中，，

，故答案为.

【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角，先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.

4.两平行直线与之间的距离为________.

【答案】

【解析】

【分析】

化为，利用平行线的距离公式可得结果.

【详解】化为，

由平行线的距离公式可得，

两平行直线与之间的距离为，

故答案为.

【点睛】本题主要考查两平行线的距离公式，属于基础题.利用两平行线的距离公式解题时，一定要注意两直线方程中的系数分别相等.

5.过点且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为________.

【答案】

【解析】

【分析】

设直线方程为，将点代入所设方程，求出的值即可得结果.

【详解】因为两坐标轴上的截距互为倒数，所以截距不为零，

可设直线方程为，

因为过点，

所以，解得，

所以，所求直线方程为，化为，

故答案为.

【点睛】本题主要考查直线的截距式方程及其应用，属于基础题.利用截距式方程解题时，一定要注意讨论截距是否为零.

6.若将边长为的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，则所得圆柱的侧面积为________.

【答案】

【解析】

【分析】

由圆柱的定义可得所得圆柱的高与底面半径都是2,利用圆柱的侧面积公式可得结果.

【详解】将边长为的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，

所得圆柱的高与底面半径都是2，

所以其侧面积为，故答案为.

【点睛】本题主要考查圆柱的定义与侧面积公式，属于基础题.圆柱的侧面积公式为.

7.已知三个不同的点，，在同一条直线上，则的值是________.

【答案】

【解析】

【分析】

由求得，利用二倍角的余弦公式可得结果.

【详解】因为三个不同的点，，在同一条直线上，

所以，解得，

所以，故答案为.

【点睛】本题主要考查三点共线的性质，以及二倍角公式的应用，属于中档题.三点共线的性质：若共线，则.

8.将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用三角函数图象的平移变换法则求得函数的解析式，将代入即可得结果.

【详解】函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，

得到函数,

所以,故答案为,

【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.

9.在中，角，，所对的边分别为，，，，，当的面积等于时，________.

【答案】

【解析】

【分析】

由的面积等于求得，再利用余弦定理可得结果.

【详解】因为的面积等于，

所以，

由余弦定理可得，故答案为.

【点睛】本题主要考查三角形面积公式、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

10.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，有如下四个命题：

①若，，则；②若，，则；

③若，，则；④若，，则.

其中真命题为________（填所有真命题的序号）.

【答案】①③

【解析】

分析：①，根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确；②，根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误；③，根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确；④，根据线面、面面平行与垂直的性质判断命题错误．

详解：对于①，当l⊥α，l⊥β时，根据线面垂直的性质和面面平行的定义知α∥β，①正确；

对于②，l⊥α，α⊥β时，有l∥β或l⊂β，∴②错误；

对于③，l∥α，l⊥β时，根据线面平行的性质与面面垂直的定义知α⊥β，∴③正确；

对于④，l∥α，α⊥β时，有l⊥β或l∥β或l⊂β或l与β相交，∴④错误．

综上，以上真命题为①③．

故答案为：①③

点睛：（1）本题主要考查空间线面位置关系的判断证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)类似这种位置关系的判断题，可以举反例或者简单证明，这两种方法要灵活选择.

11.点到直线的距离的最大值为________.

【答案】

【解析】

【分析】

先判断过定点，可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离，从而可得结果.

【详解】化简可得 ，

由，

所以过定点，

点到直线的距离的最大值就是

点与点的距离为，

故答案为.

【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙.

12.如图，在边长为2的正方体中，为楼的中点，则二面角的正切值是________.

【答案】

【解析】

【分析】

作与连接，可证明，就是二面角的平面角，利用直角三角形的性质可得结果.

【详解】

作与，可得，

连接，

因为平面，所以，

又因为，所以平面，

因为平面，所以，

就是二面角的平面角，

，故答案为.

【点睛】求线面角的两种方法：1、传统法，根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，但这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；2、向量法，对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解.

13.在正三楼柱中，，，点为侧棱上的一个动点，当最小时，三棱锥的体积为________.

【答案】

【解析】

【分析】

将平面与平面展开到一个平面（），连接交于，则此时最小，判断为的中点，利用结合棱锥的体积公式可得结果.

【详解】

将平面与平面展开到一个平面（），

如图连接交于，则此时最小，

由，可得是的中点，

因为是正三棱柱，

所以平面平面，

所以到的距离就是到平面的距离，

即到平面的距离为，

所以，

故答案为,

【点睛】解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，空间几何体的性质与平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法解答.

14.已知关于的方程 在区间上共有个互不相同的实数根，当取得最小值时，实数的取值集合为________.

【答案】

【解析】

分析】

画出在的图象，设，则，作出 的图象， 分类讨论，分别根据图象判断解的情况，求出每种情况下不同实数根和的值，从而可得结果.

【详解】原式化为，

画出在的图象，如图，

设，则，作出 的图象如图，

由图象可知，，

当时，，由的图象可知的两个解关于对称，

；

当时，在上有两个解，

分别有两个关于对称的两个根，

；

当时，或，有的解，的解为，

当时，在上只有一个解，有4个解，关于对称，；

当时， ，有的解， ，

综上所述，取得最小值时，，实数的为或2，

故答案为.

【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质、简单的三角方程，考查了数形结合思想以及分类讨论思想

的应用，属于难题. 分类讨论思想的常见类型

⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；

⑵问题中的条件是分类给出的；

⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；

⑷涉及几何问题时，位置的变化需要分类讨论的.

二、解答题：请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

15.如图，在斜三棱柱中，，，分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求证：.

【答案】（1）见证明；（2）见证明

【解析】

【分析】

（1）连结，，由三角形中位线定理可得，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得，结合由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质可得结论.