江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试理科数学试题及答案

1 江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试理科数学试题及答案

第Ⅰ卷（共60分）

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．.

1.已知111110985mA，则m .

2.随机变量X的分布列为10kPXk，k1，2，3，4，则3PX .

3.i为虚数单位，复数21i的共轭．．复数对应的点位于第 象限 .

4.已知函数lnfxxx，若函数fx在点00,Pxfx处切线与直线310xy平行，则0x .

5.若12199xxCC，则x .

6.61xx的展开式中的常数项为 .

7.甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为 .

8.四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有

种（用数字作答） .

9.用数学归纳法证明“12321121nnn”时，由*1,nkkkN时等式成立推证1nk时，左边应增加的项为 .

10.若201622016012201612xaaxaxaxxR，则20161222016222aaa .

11.在平面内，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1:4.类比该命题，在空间中，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为 .

12.观察下列等式： 2 12133；

781011123333；

16171920222339333333；

……

则当mn且,mnN时，313234353231333333mmmmnn

（最后结果用m，n表示） .

13.袋中混装着9个大小相同的球（编号不同），其中5只白球，4只红球，为了把红球与白球区分开来，采取逐只抽取检查，若恰好经过5次抽取检查，正好把所有白球和红球区分出来了，则这样的抽取方式共有 种（用数字作答） .

14.已知函数2ln2,03,02xxxxfxxxx的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y的对称点在1ykx的图象上，则实数k的取值范围是

.

第Ⅱ卷（共90分）

二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知z是复数，2zi，2zi均为实数（i为虚数单位），且复数2zai在复平面上对应的点在第一象限.

（1）求复数z；

（2）求实数a的取值范围.

16. 5名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生2人，女生2人. 3 （1）求两名女生相邻而站的概率；

（2）求教师不站中间且女生不站两端的概率.

17. 已知3nxx（其中15n，*nN）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列.

（1）求n的值；

（2）写出它展开式中的所有有理项.

18.射击测试有两种方案.方案一：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案二：始终在乙靶射击.某射手命中甲靶的概率为23，命中一次得3分；命中乙靶的概率为34，命中一次得2分.若没有命中则得0分.用随机变量表示该射手一次测试累次得分，如果的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击．．．．．．；否则继续射击，但一次测试最多．．打靶3次，每次射击的结果相互独立.

（1）如果该射手选择方案一，求其测试结束后所得总分的分布列和数学期望E；

（2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由.

19. 已知()1nnfxx，*nN. 4 （1）若3()()gxfx，求'(0)g的值；

（2）若23102310012310()()()()hxfxfxfxaaxaxaxax，求2a的值；

（3）若nP是(2)nfx展开式中所有无理项的二项式系数和，数列nc是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明:12121111nnncccPccc.

20.设函数()lnfxx，()()01mxngxmx.

（1）当1m时，函数()fx，()gx在1x处的切线互相垂直，求n的值；

（2）当函数()()yfxgx在定义域内不单调时，求证：3mn；

（3）是否存在实数k，使得对任意的1,2x，都有函数()kyfxx的图象在()xegxx的图象的下方？若存在，请求出最大整数k的值；若不存在，请说理由.（参考数据：ln20.6931，121.6487e）

参考答案

一、填空题 5 1. 7 2. 310 3. 四 4. 12 5. 2或3 6. 15

7. 0.65 8. 144 9. 45k 10. -1 11. 1:27 12. 22nm

13. 600 14. 1,12

二、解答题

15.（1）设zxyi（x，yR），

∴22zixyi，由题意得2y，

∴21112222422555zxixiixxiii，

由题意得4x，

∴42zi，

（2）∵2212482zaiaaai，

根据条件得21240820aaa，

解得26a，∴实数a的取值范围为2,6.

16. 5名师生站成一排照相留念共有55120A种站法，

（1）记“两名女生相邻而站”为事件A，

两名女生站在一起有22A种站法，视为一个元素与其余3个全排，有44A种排法，

所以事件A有不同站法242448AA种，

则4821205PA，

答：两名女生相邻而站的概率为25.

（2）记“教师不站中间且女生不站两端”为事件B，

事件B分两类：

①教师站两侧之一，另一侧由男生站，有11322324AAA种站法； 6 ②两侧全由男生站，教师站除两侧和正中外的另外2个位置之一，有2122228AAA种站法，

所以，事件B有种不同站法11321222322232AAAAAA，

则32412015PB.

答：教师不站中间且女生不站两端的概率为415.

17.（1）因为3nxx（其中15n，*nN）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数

分别为8nC，9nC，10nC.依题意得81092nnnCCC.

可化为!!!=28!810!109!9nnnnnn！！！，

化简得2373220nn，解得14n或23n，

∵15n，∴14n.

（2）展开式的通项1432114rrrrTCxx，

所以展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，

又014r，*rN，∴0r或6r或12r，

∴展开式中的有理项共3项是077114TCxx，66714TCx，1255131491TCxx.

18.在甲靶射击命中记作A，不中记作A；在乙靶射击命中记作B，不中记作B，其中23PA，

21133PA，34PB，31144PB.

（1）的所有可能取值为0,2,3,4.

1111034448PPABBPAPBPB， 7 131113123443448PPABBPABBPAPBPBPAPBPB 233PPA，

1333434416PPABBPAPBPB.

的分布列为：



0

2

3 4

P 148 18 23 316

112302343488316E.

（2）设射手选择方案一通过测试的概率为1P，射手选择方案二通过测试的概率为2P.

12941334848PP；

213331333273=4444444432PPPBBBPBBBPBB因为12PP，所以应该选择方案一通过测试的概率更大.

19. （1）由题意31gxx，所以2'31gxx，所以'03g.

（2）2310111hxxxx，

所以2222223410aCCCC 322233341011165CCCCC.

（3）因为12rrrnTCx，所以要得无理项，r必为奇数，

所以13512nnnnnPCCC，

要证明12121111nnncccPccc， 8 只要证明1121211121nnncccccc，用数学归纳法证明如下：

（Ⅰ）当1n时，左边=右边，

当2n时，1212121121110cccccc，

∴1,2n时，不等式成立.

（Ⅱ）假设当nk*2,kkN时，1121211121kkkcccccc成立，

则1nk时，11211211111211kkkkkcccccccc（*）

∵11121121121211212110kkkkkkkkkcccccccccccc∴结合（*）得：121121111121kkkkcccccccc成立，

∴1nk时，不等式成立.

综合（Ⅰ）（Ⅱ）可知1121211121nnncccccc对一切*nN均成立.

∴不等式12121111nnncccPccc成立 .

20.（1）当1m时，21'1ngxx，则ygx在1x处的斜率为1'14ng，

又yfx在1x处的斜率为'11f，则114n，解得5n .

（2）函数ln1mxnyfxgxxx，

则2221211'11mnxmmnxyxxxx .

∵0x，∴210xx，令221pxxmmnx，