2.1.1归纳推理、类比推理习课3课时

§2.1.1合情推理第1课时归纳推理教学目标：1．了解归纳推理的概念和归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳进行一些简单的推理；2．通过本节内容的学习，包括欣赏一些伟大猜想产生的过程，体会并认识如何利用归纳推理去猜测和发现一些新事实，得出新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向的作用；3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。

教学重点：归纳推理及方法的总结；教学难点：归纳推理的含义及其具体应用．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠—“歌德巴赫猜想”。

世界近代三大数学难题之一。

哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。

1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。

如6＝3＋3，12＝5＋7等等。

公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

(b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想。

欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。

从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。

当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 =3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。

有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。

通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想．平 面图形中的面积与空间图形中的体积常常是类比的两类 对象． 类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性 或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性 质，得出一个明确的命题猜想．
跟踪训练2 在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1， 则在空间中，给出四面体性质的猜想．
的半径；经过圆心且垂直 半径；经过球心且垂直于切
于切线的直线必经过切点 面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的 经过切点且垂直于切面的直
直线必经过圆心
线必经过球心
圆的性质 圆的周长 c＝πd 圆的面积 S＝πr2
球的性质 球的表面积 S＝πd2 球的体积 V＝43πr3
跟踪训练1 将平面图形与空间图形作类比，按可作类比的属性填空.
命题方向 事物相似性与一致性的理解 例1 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合； 球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合．这两 个定义很相似．于是我们猜想圆与球会有某些相似的 性质．试将平面上的圆与空间中的球进行类比．
解：圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的 属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应 关系：弦 ↔ 截面圆， 直径 ↔ 大圆， 周长 ↔ 表面积， 圆面积 ↔ 球体积， 等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所示：
3．等差数列{an}中，an>0，公差 d>0，则有 a4·a6>a3·a7， 类比上述性质，在等比数列{bn}中，若 bn>0，q>1，写出 b5，b7，b4，b8 的一个不等关系________．
【解析】 将乘积与和对应，再注意下标的对应， 有 b4＋b8>b5＋b7. 【答案】 b4＋b8>b5＋b7

S1 是P S2是P S3 是P
…… Sn是P
S 1 ，S 2 ，S3 ……S n 是S类的部分对象， 它们与P之间有因果联系 所以，所有S都是P 。
❖ 科学归纳推理与简单枚举归纳推理的区别 ①推理根据不同。
简单枚举归纳推理是以经验认识为根据； 科学归纳推理则是以科学分析为主要根据。
②前提数量的多少对于结论的意义不同。
求同法的逻辑形式可表示为：
场合 相关的先行情况
被研究现象
（1） A，B，C ，D
a
（2） A，B，E ，H
a
（3） A，F，E ，D
a
……
所以，情况A是现象a的原因。
例如，人们在生活中观察到，
新降的雪有40%～50%的空气间隙，若 有堆积，就能保持地表温度；
棉花疏松多孔，具有保温功能；
泡膜塑料中间有很多小孔间隙，也能保温 不传热。
第二节 完全归纳推理和不完全归纳推理
❖ 一 完全归纳推理 ❖ 高斯的故事 ❖ 1+2+3+4+‥‥‥+100=？
①太平洋已经被污染；大西洋已经被污染；印 度洋已经被污染；北冰洋已经被污染；（太 平洋、大西洋、印度洋、北冰洋是地球上的 全部大洋）所以，地球上的所有大洋都已被 污染。
②张一有出息；张二有出息；张三有出息； （张一、张二、张三是张老汉仅有的三个孩 子）所以，张老汉的孩子都有出息。
（2）逻辑形式： S 1 是（或不是）P S 2 是（或不是）P S 3 是（或不是）P
…… S n 是（或不是）P （S1 ，S2 ，S3 ……S n是S类的部分对象，枚举中
未遇反例）
所以，所有S都是（或不是）P 上式中的 1 ，S 2 ，S 3 ……S n 可以表示S类

12.1.1 合情推理（1）---归纳推理学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程学习探究探究任务一：考察下列示例中的推理问题1:.1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……1000=29+971，, …… 猜测：问题2：铜、铁、铝、金、银等金属能导电，归纳出：问题3：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……归纳出n 边形的内角和是新知1归纳推理：有某类事物的部分对象具有的特征，推出该类事物的 叫做归纳推理。

简言之：，归纳推理是 的推理归纳推理的一般步骤1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。

2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。

典型例题例1观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23， 1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25， ……你能猜想到一个怎样的结论？变式1 观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， …… 你能猜想到一个怎样的结论？例2.已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式例3.在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？例4.设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。

动手试试练1..练2. 观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？三、总结提升学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.知识拓展四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.当堂检测1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f xf x ff x+==+*x N∈（），猜想(f x）的表达式为（）.A.4()22xf x=+B.2()1f xx=+C.1()1f xx=+D.2()21f xx=+课后作业1.已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=(1)2n n+，观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，……试归纳出上述求和的一般公式。