归纳推理与类比推理

归纳推理、类比推理第三周归纳推理、类比推理一、归纳推理(一)归纳推理：以个别或特殊性知识为前提，推出一般性结论的推理。

它包括完全归纳和不完全归纳，两者的区别在于前者考察了一类中的每一个对象，而后者只考察了一类中的部分对象。

其逻辑结构：S1是(不是)P S1是(或不是)PS2是(不是)P S2是(或不是)PS3是(不是)P S3是(或不是)P…………Sn是(不是)P Sn是(或不是)PS1、S2、S3……Sn是S类的全部对象S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象所以，所有的S是(不是)P 所以，所有的S都是(或不是)P根据前提中是否考察了事物对象与其属性之间的内在联系，不完全归纳推理分为简单枚举法和科学归纳法。

1.简单枚举归纳推理又叫做简单枚举法，它是根据一类事物对象中部分对象具有(或不具有)某种属性，推出该类对象全体都具有(或不具有)这种属性的推理。

其逻辑形式是：S1是(不是)PS2是(不是)PS3是(不是)P……Sn是(不是)P(S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象，并且没有出现反例)———————————————————————————所以，所有的S是(不是)P2.科学归纳法科学归纳推理又叫做科学归纳法，它是根据一类对象中的部分对象与其属性之间的联系具有必然性，推出该类对象的全部都具有这种属性的推理逻辑结构式S1是PS2是PS3是P……Sn是P(S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象，并且S与p之间有必然联系)——————————————————所以，所有的S是P(二)因果联系：事物之间引起和被引起的关系。

因果联系的特征有：不能颠倒的先因后果、一个原因可以引起多个结果、一个结果也可以由不同原因引起。

求因果方法：五种基本方法。

1.求同法，即寻求被研究的事物现象出现在若干不同场合，是否具有某种共同原因的方法，其特点是异中求同。

形式结构：场合先行情况被研究现象(1) A、B、C a(2) A、D、E a(3) A、F、G a………………………————————————————所以，A与a有因果联系。

归纳推理与类比推理异同点比较合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用．有利于创新意识的培养．在能力高考的要求下，推理方法就显得更加重要．在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手．合情推理包括归纳推理和类比推理一归纳推理和类比推理的联系:归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明二归纳推理和类比推理的区别:一归纳推理1归纳推理定义:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．说明：归纳推理的思维过程大致如下：2归纳推理的特点:（1归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．2由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．3归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法3归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同本质；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的．二类比推理（以下简称类比）1类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．3说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物,同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的．因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具例1如图，①，②，③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数a n=．【答案】a n=3n2-3n1【解析】仔细观察发现:图案①的花盆数为:1个,a1=1;图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个,a2=232;图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称,a3=34543;……;可以猜想:第n个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此a n=nn1…2n-1…n1n=3n2-3n1【评析】上例是利用归纳推理解决问题的归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一例2如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点．求证：为定值．分析考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1．证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCV．得=。

学法指津数学X U X F A Z H I J I N一、归纳推理1.归纳推理的定义由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳推理.它是由部分到整体，由个别到一般的推理；包括不完全归纳法和完全归纳法.归纳推理基于观察和实验，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．2.归纳推理的一般步骤①观察个别情况，发现规律；②提出猜想；③检验猜想.3.归纳推理的思维过程实验、观察概括、推广猜测一般性结论例1已知数列{}a n的首项a1=1且a n+1=a n1+a n()n=1,2,3,⋅⋅⋅.（1）写出数列{}a n的前5项；（2）试归纳出该数列的通项公式.分析分别令n=1,2,3,4，利用a n+1与a n之间的递推关系，进而求出a2，a3，a4，a5，再观察、分析、归纳，推测出a n的表达式.解（1）∵a n+1=a n1+a n()n=1,2,3,⋅⋅⋅，∴令n=1时，a2=a11+a1，又∵a1=1，∴a2=1 2.同理，可求得：a3=13，a4=14，a5=15.（2）依据（1）中数列前5项，归纳猜想：a n=1n.验证：由猜想知：a n+1=1n+1,又∵a n1+a n=1n1+1n=1n+1,∴a n+1=a n1+a n.所以猜想结论正确，即a n=1n.点拨在数列中常用归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和的公式.常规思路：对前几项结果的观察、归纳和提出猜想，再探究和发现问题，最后证明猜想结论的正确性.注意：在得出前几项的结果后，要统一它们的表达式的结构形式，以便寻找规律.例2凸n()n≥4边形有多少条对角线？分析先从几个特殊的数值入手，再根据给出的数值进行归纳猜想.解设：凸n()n≥4边形的对角线有f()n条（1）n=4时，凸四边形有2条对角线，即：f()4=2；n=5时，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，即：f()5=5=2+3；n=6时，凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，即：f()6=9=2+3+4；n=7时，凸七边形有14条对角线，比凸六边形多5条，即：f()7=14=2+3+4+5；与类比推理的水能载舟，亦能覆舟。

第三章思维的逻辑形式（中）- 65 - 第四章思维的逻辑形式（下）——归纳推理和类比推理第一节归纳推理一、归纳推理的概述(一)什么是归纳推理例如：铁是导电的，铜是导电的，金是导电的，银是导电的，锡是导电的，（铁、铜、金、银、锡等都是金属）所以，所有金属都是导电的。

这种以个别或特殊性知识为前提得出以普遍性的知识为结论的推理，就是归纳推理。

由于它的结论知识超出了前提知识的范围，归纳推理的前提与结论之间的联系是或然性的，不是必然性的。

也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，这是一种或然性推理。

人们认识事物，总离不开要运用这种归纳推理。

我们从经验中得到的知识，总是关于个别事物的知识，我们只有在这些关于个别事物的知识的基础上进行概括，才能得到关于某种事物的一般性的认识，并进而把握这一类事物的共同本质和规律性，以指导人们去正确地进行实践活动。

否则，离开了对一类事物中一个个具体的、个别事物的认识，要想获得对这一类事物的一般性认识是根本不可能的。

即使勉强得出了关于事物的一般性认识，也是无源之水、无本之木，是根本不可靠的，不能用以正确指导人们的实践活动。

(二)归纳推理与演绎推理的关系归纳推理在人的思维中占有重要位置。

归纳推理的结论既是对前提中已有知识的概括，从个别上升为一般；又是对前提中已有知识的外推，扩展到新的范围。

所以，归纳推理是人们寻求新结果、探索新知识的重要工具。

但是它不能保证从真前提一定得到真结论。

“归纳和演泽，正如分析和综合一样，是必然相互系着的。

不应当牺牲一个而把另一个捧到天上去，应当把每一个都用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系，它们的相互补充。

”归纳推理和演绎推理之间有着密切的联系，两者是交互应用、互相过渡和互相补充的。

归纳推理与演绎推理之间的联系主要表现为：演绎离不开归纳，演绎推理的大前提是由归纳推理提供的。

归纳离不开演绎，归纳推理在准备前提，观察和搜集经验材料时需要一定的理论、原则作为指导。

类比推理和归纳推理的相同点
类比推理和归纳推理是两种常用于根据观察和证据得出结论或做出预测的推理。

虽然它们有一些相似之处，但它们也有一些重要的区别。

类比推理和归纳推理之间的一个相似之处在于，两者都涉及使用观察和证据来得出结论或做出预测。

在类比推理中，这是通过比较两个或多个相似的情况或对象并使用相似性得出关于其中一个的结论来完成的。

在归纳推理中，这是通过观察一组观察中的模式或趋势并使用模式或趋势对未来观察进行概括或预测来完成的。

类比推理和归纳推理之间的另一个相似之处是两者都涉及逻辑和批判性思维的使用。

在这两种类型的推理中，结论或预测都是基于考虑所有相关观察和证据的逻辑论证。

尽管有这些相似之处，类比推理和归纳推理之间也有一些重要的区别。

主要区别之一是结论或预测的范围。

在类比推理中，结论仅限于所考虑的特定情况或对象，而在归纳推理中，结论或预测旨在更普遍，适用于更广泛的情况或对象。

类比推理和归纳推理之间的另一个区别是对结论或预测的置信度。

在类比推理中，结论通常基于少量观察或示例，并且可能不如通过归纳推理得出的结论可靠或确定，归纳推理基于大量观察或示例。

总之，类比推理和归纳推理是两种类型的推理，用于根据观察和证据得出结论或做出预测。

两者都涉及逻辑和批判性思维的使用，并涉及使用观察和证据来支持结论或预测。

但是，两者之间也有一些重要的区别，包括结论或预测的范围以及对结论或预测的置信度。