拉格朗日乘数法由来

多条件极值拉格朗日乘数法推导下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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拉格朗⽇乘⼦法拉格朗⽇乘数法（Lagrange multiplier）有很直观的⼏何意义。

举个2维的例⼦来说明：假设有⾃变量x和y，给定约束条件g(x,y)=c，要求f(x,y)在约束g下的极值。

我们可以画出f的等⾼线图，如下图。

此时，约束g=c由于只有⼀个⾃由度，因此也是图中的⼀条曲线（红⾊曲线所⽰）。

显然地，当约束曲线g=c 与某⼀条等⾼线f=d1相切时，函数f取得极值。

两曲线相切等价于两曲线在切点处拥有共线的法向量。

因此可得函数f(x,y)与g(x,y)在切点处的梯度（gradient）成正⽐。

于是我们便可以列出⽅程组求解切点的坐标(x,y)，进⽽得到函数f的极值。

想法就是：能够碰到极⼤极⼩值点的必要条件是：梯度场与切空间垂直，也就是梯度场不能够有任何流形切空间上的分量，否则在切空间⽅向有分量，在流形上沿分量⽅向⾛，函数值会增加，沿反⽅向⾛，函数值会减少，不可能为局部极⼩或者极⼤值点。

⼀.⼀个基本的例⼦：假设你⽣活在三维欧⽒空间中，z⽅向的坐标数值上代表海拔⾼度。

如果你会飞，那么anyway，你想飞多⾼飞多⾼，所以你的海拔可以任意⾼也可以任意⼩，根本就没有最⼤值。

假定你是⼀个普通⼈类，你在⼀座⼭上，你的⽬标是爬到⼭顶，也就是说你希望⾃⼰的海拔⾜够⾼：当你真正到达⼭腰时，很容易“只缘⾝在此⼭中，不识此⼭真⾯⽬”，这时候如何判断是真的在往上爬呢，还是在往下⾛呢？在⾁眼所能看见的⼩范围内，你可以通过周边的局部地形来判断，假设它⼤概是这样：你就知道应该往⾼处（⼤概为红箭头⽅向）⾛，⽽不是绿箭头⽅向。

当然不⼀定⼀直沿这个⽅向直线式上升，可能还需要⾛到某个地⽅，再次做⼀下这种局部的考察，调整⼀下⽅向，保证⾃⼰能向⾼处⾛。

不过，什么是“⾼”的⼀边？这个概念究竟是如何形成的？我们知道，海拔，我们希望能够找到⼭⾯上的海拔最⾼点（⼭顶）。

梯度关于梯度⼀个很⾃然的结论就是：沿梯度⽅向是f增长最快的⽅向，反⽅向是下降最快的⽅向。

Lagrange 乘数法Lagrange Multiplier MethodLagrange（拉格朗日，1736～1813）18世纪最伟大的数学家之二，另一位是长他29岁的 Euler（尤拉，1707～1783）。

Euler 赏识 Lagrange，在1766年和 d'Alembert 一起推荐 Lagrange 为（柏林科学院）Euler 的继承人。

在他一生浩瀚的工作中，最为所有数学家熟知的发明就是 Lagrange multiplier（拉格朗日乘数）或Lagrange multiplier method，这是一个求极值的方法。

比方在两个变量的时候，我们要找f(x,y) 的极值，一个必要的条件是：但是如果x,y的范围一开始就被另一个函数g(x,y)=0 所限制，Lagrange 提出以对x和y的偏导数为 0，来代替作为在g(x,y)=0 上面寻找f(x,y) 极值的条件。

式中引入的λ是一个待定的数，称为乘数，因为是乘在g的前面而得名。

首先我们注意，要解的是x,y和λ三个变数，而虽然有三个方程式，原则上是可以解得出来的。

以f(x,y)=x，g(x,y)=x2+y2-1 为例，当x,y被限制在x2+y2-1=0 上活动时，对下面三个方程式求解答案有两组，分别是x=1，y=0，和x=-1，y=0，。

对应的是x2+y2-1=0 这个圆的左、右两个端点。

它们的x坐标分别是 1和 -1，一个是最大可能，另一个是最小可能。

读者可能认为为何不把x2+y2-1=0 这个限制改写为、来代入得到，然后令对θ的微分等于 0 来求解呢？对以上的这个例子而言，当然是可以的，但是如果g(x,y) 是相当一般的形式，而无法以x,y的参数式代入满足，或是再更多变量加上更多限制的时候，旧的代参数式方法通常是失效的注1。

这个方法的意义为何？原来在g(x,y)=0 的时候，不妨把y想成是x的隐函数，而有g(x,y(x))=0，并且f(x,y) 也变成了f(x,y(x))。

拉格朗日乘法法则一、引言拉格朗日乘法法则（Lagrange Multiplier）是数学中的一种优化方法，用于求解约束条件下的最优值。

它由意大利数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日于18世纪提出，是数学分析中的重要工具之一。

拉格朗日乘法法则在经济学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

二、拉格朗日乘法法则的基本原理拉格朗日乘法法则解决的问题通常可以表述为如下形式的优化问题：在给定一些约束条件下，求解目标函数的最大值或最小值。

假设我们有一个目标函数f(x)，其中x是一个n维向量，同时有m个约束条件g_i(x)=0（i=1,2,…,m）。

拉格朗日乘法法则的基本原理是，在最优解点处，目标函数的梯度与约束函数的梯度成比例。

三、拉格朗日乘法法则的推导拉格朗日乘法法则的推导主要分为以下几个步骤：1. 构造拉格朗日函数首先，我们构造一个新的函数L(x, λ)，称为拉格朗日函数，其定义为L(x, λ) = f(x) + λ * g(x)，其中λ是拉格朗日乘子（Lagrange Multiplier）。

2. 求解拉格朗日函数的梯度接下来，我们对拉格朗日函数求偏导数，并令其为零。

即∇L(x, λ) = 0，其中∇表示梯度算子。

3. 解方程组将∇L(x, λ) = 0 展开，得到一组方程。

通过求解这个方程组，可以得到x的值和λ的值。

4. 检验最优解最后，我们需要检验求得的解是否为最优解。

这可以通过计算目标函数在解点处的值以及约束条件是否满足来进行。

四、举例说明为了更好地理解拉格朗日乘法法则的应用，我们举一个简单的例子来说明。

假设我们要在给定的条件下求解函数f(x, y) = x^2 + y^2 的最小值，其中约束条件为 g(x, y) = x + y - 1 = 0。

首先，我们构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) + λ * g(x, y) = x^2 + y^2 + λ * (x + y - 1)。

二元拉格朗日乘数法原理
拉格朗日乘数法是一种用于优化问题求解的数学方法，常用于解决约束条件下
的极值问题。

二元拉格朗日乘数法是拉格朗日乘数法的一个特例，适用于只有两个变量的问题。

在二元拉格朗日乘数法中，我们考虑一个优化问题，即寻找使目标函数在一定
约束条件下取得最大或最小值的变量取值。

假设目标函数为f(x, y)，约束条件为
g(x, y) = 0。

为了使用拉格朗日乘数法解决这个问题，我们首先构建拉格朗日函数L(x, y, λ)，其形式为：
L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y)
其中，λ是拉格朗日乘数。

我们的目标是要最小化或最大化拉格朗日函数L(x, y, λ)。

我们对拉格朗日函数进行求导。

对于x和y，分别求偏导数，并令其等于0，
得到：
∂L/∂x = ∂f/∂x - λ∂g/∂x = 0
∂L/∂y = ∂f/∂y - λ∂g/∂y = 0
同时，我们还需考虑约束条件：
g(x, y) = 0
通过求解上述方程组，即可得到可能的最优解。

需要注意的是，二元拉格朗日乘数法只能得到局部最优解，而不一定能得到全
局最优解。

因此，在应用该方法时，需要考虑问题的特殊性，并进行适当的验证。

二元拉格朗日乘数法是一种用于解决带约束条件的二元优化问题的方法。

通过
构建拉格朗日函数，并对其进行求导，我们可以得到可能的最优解。

然而，需要注意该方法得到的是局部最优解，而非全局最优解。

拉格朗日乘数法背后的故事The story behind the Lagrange multiplier method is one of perseverance, creativity, and determination. Lagrange multipliers were first introduced by Joseph-Louis Lagrange in the late 18th century as a way to optimize functions subject to constraints. Lagrange was a brilliant mathematician and physicist who was known for his groundbreaking work in calculus, mechanics, and astronomy. He faced numerous challenges and setbacks throughout his career, but his persistence and innovative thinking ultimately led to the development of the Lagrange multiplier method.拉格朗日乘数法背后的故事是关于坚韧、创造力和决心的。

拉格朗日乘数最初是由18世纪末的约瑟夫-路易斯·拉格朗日提出的，作为一种优化函数在约束条件下的方法。

拉格朗日是一位杰出的数学家和物理学家，以他在微积分、力学和天文学领域的开创性工作而闻名。

在他的职业生涯中，他面临了许多挑战和挫折，但他的坚持和创新思维最终导致拉格朗日乘数法的发展。

The Lagrange multiplier method is a powerful tool that allows mathematicians and scientists to solve optimization problems with constraints by incorporating them into the objective functionthrough the use of Lagrange multipliers. This method has applications in a wide range of fields, including economics, engineering, physics, and biology. By introducing Lagrange multipliers, Lagrange was able to transform the way optimization problems were approached and solved, paving the way for further advancements in mathematical optimization.拉格朗日乘数法是一种强大的工具，允许数学家和科学家通过使用拉格朗日乘数将约束条件纳入客观函数中来解决带有约束的优化问题。

拉格朗日乘数法阅读目录2. 数学实例3. 拉格朗日乘数法的基本形态4. 拉格朗日乘数法与KKT条件拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）之前听数学老师授课的时候就是一知半解，现在越发感觉拉格朗日乘数法应用的广泛性，所以特意抽时间学习了麻省理工学院的在线数学课程。

新学到的知识一定要立刻记录下来，希望对各位有些许帮助。

1. 拉格朗日乘数法的基本思想作为一种优化算法，拉格朗日乘子法主要用于解决约束优化问题，它的基本思想就是通过引入拉格朗日乘子来将含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的无约束优化问题。

拉格朗日乘子背后的数学意义是其为约束方程梯度线性组合中每个向量的系数。

如何将一个含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的无约束优化问题？拉格朗日乘数法从数学意义入手，通过引入拉格朗日乘子建立极值条件，对n个变量分别求偏导对应了n个方程，然后加上k个约束条件（对应k个拉格朗日乘子）一起构成包含了（n+k）变量的（n+k）个方程的方程组问题，这样就能根据求方程组的方法对其进行求解。

解决的问题模型为约束优化问题：min/max a function f(x,y,z), where x,y,z are not independent and g(x,y,z)=0.即：min/max f(x,y,z)s.t. g(x,y,z)=02. 数学实例首先，我们先以麻省理工学院数学课程的一个实例来作为介绍拉格朗日乘数法的引子。

麻省理工学院数学课程实例]求双曲线xy=3上离远点最近的点。

解：首先，我们根据问题的描述来提炼出问题对应的数学模型，即：min f(x,y)=x2+y2（两点之间的欧氏距离应该还要进行开方，但是这并不影响最终的结果，所以进行了简化，去掉了平方）s.t. xy=3.根据上式我们可以知道这是一个典型的约束优化问题，其实我们在解这个问题时最简单的解法就是通过约束条件将其中的一个变量用另外一个变量进行替换，然后代入优化的函数就可以求出极值。

拉格朗日乘数向量拉格朗日乘数向量拉格朗日乘法是一种数学工具，用于求解带有约束条件的优化问题。

它由法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日于18世纪末提出，并在数学和物理领域中得到广泛应用。

拉格朗日乘数向量是拉格朗日乘法的一个核心要素。

在许多优化问题中，我们需要在一定的约束条件下寻找函数的最大值或最小值。

假设我们要求解一个多元函数的最大值，且有一组约束条件。

通过引入一个拉格朗日乘数向量来构建拉格朗日函数，我们可以将这个问题转化为一个无约束条件下的优化问题。

拉格朗日乘数向量是一个包含约束条件乘子的向量，用于建立拉格朗日函数。

拉格朗日函数是原函数与所有约束条件的线性组合。

通过对拉格朗日函数进行求导，并令其等于零，我们可以得到一组方程，即拉格朗日方程。

这些方程的解即为原优化问题的极值点。

在实际问题中，拉格朗日乘数向量可以帮助我们解决许多复杂的优化问题。

例如，在经济学中，我们常常需要在预算约束下最大化效用函数；在物理学中，我们需要在约束条件下求解力学系统的最优路径。

这些问题都可以通过引入拉格朗日乘数向量来得到解决。

拉格朗日乘数向量的优美之处在于它的几何解释。

在二维空间中，拉格朗日乘数向量可以看作是约束条件曲线和原函数曲线的切线方向相同的点的坐标。

而在高维空间中，拉格朗日乘数向量的几何解释更加抽象，但依然遵循相似的原理。

拉格朗日乘数向量所代表的概念深刻地影响了数学和自然科学的发展。

它为我们提供了一种通用的方法来解决约束条件下的优化问题。

无论是经济学、物理学还是工程学，拉格朗日乘数向量都扮演着重要的角色。

它不仅帮助我们解决了实际问题，也为我们提供了一种思考和建模的工具。

总之，拉格朗日乘数向量是拉格朗日乘法的核心要素，为我们解决约束条件下的优化问题提供了有力的工具。

它的数学理论和几何解释使它在各个领域都得到了广泛应用。

通过运用拉格朗日乘数向量，我们能够更好地理解和解决我们所面临的复杂问题，并为未来的研究和应用提供了更广阔的可能性。

拉氏乘子法
拉格朗日乘子法（Lagrange multiplier method）也称为拉格朗日乘数法或拉格
朗日乘子法，是一种优化问题的常用解法，通常用于处理约束条件的问题。

其基本思想是将原优化问题转化为一个带有约束条件的无约束极值问题，通过引入拉格朗日乘子求解约束条件。

设优化问题为$\min_{x} f(x)$，其中$x\in\mathbb{R}^n$，同时满足约束条件
$g_i(x)\leq 0$和$h_j(x)=0$，其中$g_i(x)$和$h_j(x)$是给定的函数。

构造拉格朗日函数：
$$L(x,\lambda,\mu)=f(x)+\sum_{i}\lambda_ig_i(x)+\sum_{j}\mu_jh_j(x)$$
其中，$\lambda_i\geq 0$和$\mu_j$是拉格朗日乘子。

对
$L(x,\lambda,\mu)$求偏导数：
$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x}=0 \ \frac{\partial L}{\partial
\lambda_i}=0 \ \frac{\partial L}{\partial \mu_j}=0 \end{cases}$$
解上述方程组即可求得最优解$x^$和拉格朗日乘子$\lambda^$和$\mu^$。

其中，$\lambda_i^$表示第$i$个约束条件的松弛变量（slack variable），用于表
达当约束条件不满足时的惩罚项。

拉格朗日乘子法的优点是能够直接处理约束条件问题，并且可以推广至不等式约束、等式约束和混合约束等多种情形。

缺点是当约束条件数量较大时，方程组可能变得非常复杂且难以求解。

拉格朗日条件极值法
拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。

这种方法将一个有n个变量与k个约束条件的最优化问题转换为一个有n+k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。

这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。

此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。

条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。