经典的奥数难题

2023年全国高中生数学奥赛高难题目难题一：立体几何
已知一个右方金字塔的顶点A位于平面xOy上，A的坐标为(5,6,0)，底面是一个边长为10的正方形，且底面中心O的坐标为(5,6,0)。

金字
塔的高度为12，求：
1. 金字塔底面四个顶点的坐标；
2. 金字塔的体积。

难题二：复数运算
若复数z满足z^4 + 15z^2 + 36 = 0，则求z的所有可能值。

难题三：概率与统计
已知A、B两个事件的发生概率分别为P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，且
P(A∪B) = 0.7。

求：
1. P(A∩B)的值；
2. 若事件A和事件B相互独立，求P(A|B)和P(B|A)的值。

难题四：数列
已知数列{an}满足a1 = a2 = 1，且an+2 = an+1 + 2an对于n≥1成立。

求：
1. a5的值；
2. 数列{an}的通项公式；
3. 求该数列的前10项和。

难题五：函数与导数
已知函数f(x) = (x+1)e^x，在定义域上是递增函数。

求：
1. f'(x)的值；
2. 函数f(x)在定义域上的最小值点；
3. 函数f(x)的图像在x轴和y轴上与坐标轴围成的面积。

注意：以上题目均为高难度题目，需要运用数学知识和思维能力进行解答。

考生可以根据自己的实际情况选择解答题目，建议合理分配时间，不要卡在某一道题目上耽误整体答题进度。

祝各位考生取得优异成绩！。

世界上最难的奥数题
1. 哥德巴赫猜想：这是一个著名的数学问题，其内容为：任何一个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和。

尽管有很多数字已经被证明符合这个猜想，但至今还没有一个通用的证明方法。

2. 孪生素数猜想：这是一个关于素数的猜想，内容为：存在无穷多个素数p，使得p+2也是素数。

尽管已经找到了一些符合这个猜想的数字，但证明依然是一个难题。

3. 3x+1问题：这是一个著名的数学问题，内容为：对于任意正整数n，如果它是偶数，则将其除以2；如果它是奇数，则将其乘以3并加1。

重复这个过程，最终总会得到1。

但至今还没有人能够证明这一点。

4. 陶乐斯-狄克逊定理：这是一个关于素数和的定理，内容为：对于任意正整数n，存在一个常数c，使得当p是第n个素数时，p与p+c 之间的所有素数之和等于p*(p+c)/2。

尽管已经有一些证据支持这个定理，但证明仍然是一个难题。

奥数智力题一、题目1. 有一口深4米的井，井壁非常光滑。

井底有只青蛙总是往井外跳，但是，这只青蛙每次最多能跳3米，你觉得这只青蛙几次能跳到井外去呢？为什么呢？答案：永远跳不出去。

解析：因为井壁非常光滑，青蛙每次跳3米后又会落回井底，所以它永远也跳不到井外。

2. 一个数去掉首位是13，去掉末位是40。

请问这个数是多少？答案：四十三。

解析：中文数字“四十三”，去掉首位“四”是“十三”，去掉末位“三”是“四十”。

3. 有一个数字，去掉二变成十五，去掉五变成二十，去掉十变成二五。

请问这个数字是多少？答案：二十五。

解析：“二十五”去掉“二”是“十五”，去掉“五”是“二十”，去掉“十”是“二五”。

4. 30除以二分之一再加上10等于多少？答案：70。

解析：30除以二分之一等于60，60加上10等于70。

5. 1、2、3所能组成的最大数是多少？答案：3的21次方。

解析：3的21次方比1、2、3组成的其他数字都要大。

6. 烧一根不均匀的绳，从头烧到尾总共需要1个小时。

现在有若干条材质相同的绳子，问如何用烧绳的方法来计时一个小时十五分钟呢？答案：先烧一根绳的两头，这根绳烧完是半小时。

再烧另一根绳的一头，同时开始计时，等第一根绳烧完，点燃第二根绳的另一头，第二根绳烧完就是15分钟，再加上一根绳烧完的半小时就是一小时十五分钟。

解析：利用绳子燃烧的不均匀性和同时点燃不同位置的方法来计时。

7. 老师用篮子拿来了五个苹果，准备分给五个小朋友，每个小朋友分一个，但是篮子里还要留一个，请问怎么分？答案：把最后一个苹果连同篮子一起给一个小朋友。

解析：这样既满足每个小朋友分到一个苹果，又能让篮子里还有一个苹果。

8. 有两个空房间，一间房间有三盏灯，另一个房间有三个开关，每一个开关只能打开一盏灯，如果你只可以进每个房间一次，那你要如何知道那个开关控制哪盏灯？答案：先打开一个开关，等几分钟后关闭，再打开另一个开关，然后进入有灯的房间，亮着的灯由第二次打开的开关控制，摸一下另外两盏不亮的灯，发热的由第一次打开的开关控制，剩下的由没动过的开关控制。

小学六年级奥数难题100道及答案(完整版)1. 一个数的2/3加上4等于这个数的1/2，求这个数。

解：设这个数为x，根据题意可得方程：(2/3)x + 4 = (1/2)x。

解得x = -24。

2. 一个水池，第一天放水1/3，第二天放水1/4，第三天放水1/5，第四天放水1/6，最后剩下15立方米的水，求水池原来有多少立方米的水。

解：设水池原来有x立方米的水，根据题意可得方程：x * (1 - 1/3 - 1/4 - 1/5 - 1/6) = 15。

解得x = 60。

3. 一个长方形的长比宽多4厘米，周长是32厘米，求长方形的长和宽。

解：设长方形的长为x厘米，宽为y厘米。

根据题意可得方程组：x - y = 4；2x + 2y = 32。

解得x = 10，y = 6。

所以长方形的长为10厘米，宽为6厘米。

4. 一个数的3倍减去5等于这个数的2倍加上7，求这个数。

解：设这个数为x，根据题意可得方程：3x - 5 = 2x + 7。

解得x = 12。

5. 一个三角形的三边长分别为a、b、c，已知a + b > c，a + c > b，b + c > a，求三角形的面积。

解：根据海伦公式，三角形的面积S = sqrt[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)]，其中p = (a + b + c) / 2。

将已知的三边长代入公式即可求得三角形的面积。

6. 一个数的5倍减去8等于这个数的3倍加上12，求这个数。

解：设这个数为x，根据题意可得方程：5x - 8 = 3x + 12。

解得x = 10。

7. 一个正方形的边长增加2厘米，面积增加20平方厘米，求原来正方形的边长。

解：设原来正方形的边长为x厘米，根据题意可得方程：(x + 2)^2 - x^2 = 20。

解得x = 4。

所以原来正方形的边长为4厘米。

8. 一个数的4倍加上6等于这个数的3倍加上18，求这个数。

奥数难题及答案奥数难题1：一台拖拉机5小时耕地40公顷，照这样的速度，耕72公顷地需要几小时? 奥数难题答案要求耕72公顷地需要几小时，我们就要先求出这台拖拉机每小时耕地多少公顷?(1)每小时耕地多少公顷?405=8(公顷)(2)需要多少小时?728=9(小时)答：耕72公顷地需要9小时。

奥数难题2：纺织厂运来一堆煤，如果每天烧煤1500千克，6天可以烧完。

如果每天烧1000千克，可以多烧几天?奥数难题答案要想求可以多烧几天，就要先知道这堆煤每天烧1000千克可以烧多少天;而要求每天烧1000千克，可以烧多少天，还要知道这堆煤一共有多少千克。

(1)这堆煤一共有多少千克?15006=9000(千克)(2)可以烧多少天?90001000=9(天)(3)可以多烧多少天?9-6=3(天)。

奥数难题3：同学们到车站义务劳动，3个同学擦12块玻璃。

(补充不同的条件求问题，编成两道不同的两步计算应用题)。

奥数难题答案补充1：“照这样计算，9个同学可以擦多少块玻璃?”(1)每个同学可以擦几块玻璃?123=4(块)(2)9个同学可以擦多少块?49=36(块)答：9个同学可以擦36块。

补充2：“照这样计算，要擦40块玻璃，需要几个同学?”(1)每个同学可以擦几块玻璃?123=4(块)(2)擦40块需要几个同学?404=10(个)答：擦40块玻璃需要10个同学。

奥数难题4：小华每分拍球25次，小英每分比小华少拍5次。

照这样计算，小英5分拍多少次?小华要拍同样多次要用几分?奥数难题答案(1)小英每分拍多少次?25-5=20(次)(2)小英5分拍多少次?205=100(次)(3)小华要几分拍100次?10025=4(分)答：小英5分拍100次，小华要拍同样多次要用4分。

奥数难题5：刘老师搬一批书，每次搬15本，搬了12次，正好搬完这批书的一半。

剩下的书每次搬20本，还要几次才能搬完?奥数难题答案(1)12次搬了多少本?1512=180(本)搬了的与没搬的正好相等(2)要几次才能把剩下的搬完?18020=9(次)答：还要9次才能搬完。

谁有最难的奥数题及答案奥数，即奥林匹克数学竞赛，是一项国际性的数学竞赛活动，其题目通常具有较高的难度和创新性。

下面是一道被认为是难度较高的奥数题目及其解答过程：题目：在一个圆形的水池中，有一只青蛙。

青蛙每次跳跃的距离是固定的，设为\( d \)。

水池的直径是\( 2r \)。

如果青蛙从水池的边缘开始跳，它能否跳到水池的中心点？解答：首先，我们需要了解圆的几何特性。

圆的中心点到边缘的任意一点的距离是半径\( r \)。

青蛙每次跳跃的距离是\( d \)。

1. 如果\( d \)大于或等于\( r \)，青蛙可以直接跳到中心点，因为中心点到边缘的距离不会超过\( d \)。

2. 如果\( d \)小于\( r \)，问题变得更复杂。

我们需要考虑青蛙能否通过连续跳跃到达中心点。

这里涉及到一个数学问题，即“青蛙跳问题”，它与著名的“蚂蚁爬树问题”类似。

3. 我们可以通过数学归纳法来解决这个问题。

首先，青蛙可以跳到水池边缘的任意一点。

然后，我们假设青蛙能够跳到距离中心点\( k \)次跳跃的地方，即\( k \cdot d \)。

接下来，我们需要证明青蛙能够跳到\( (k+1) \cdot d \)。

4. 如果\( (k+1) \cdot d \)小于\( r \)，青蛙可以直接跳到这个点。

如果\( (k+1) \cdot d \)大于\( r \)，青蛙需要找到一个点，使得从这个点跳到\( (k+1) \cdot d \)的距离小于或等于\( d \)。

这可以通过在圆上找到一个合适的点来实现，使得从这个点到中心点和从这个点到青蛙当前位置的距离之和等于\( (k+1) \cdot d \)。

5. 通过数学证明，我们可以得出结论：只要\( d \)是\( r \)的有理数倍，即存在整数\( m \)和\( n \)使得\( d = \frac{m}{n} \cdot r \)，青蛙就能够跳到中心点。

这是因为有理数可以表示为两个整数的比，青蛙可以通过有限次跳跃到达任何有理数倍的半径距离。

四年级奥数题难题大全一、和差问题1. 甲、乙两箱共有水果60千克，如果从甲箱中取出5千克放到乙箱中，则两箱水果一样重。

求两箱原来各有水果多少千克？- 解析：两箱水果调整后一样重时，每箱重60÷2 = 30千克。

那么原来甲箱有30+5 = 35千克，乙箱有30 - 5=25千克。

2. 四年级有3个班，一班和二班的平均人数是44人，二班和三班的平均人数是43人，三班和一班的平均人数是42人。

这三个班各有多少人？- 解析：一班和二班总人数为44×2 = 88人，二班和三班总人数为43×2 = 86人，三班和一班总人数为42×2 = 84人。

把这三个和相加，就是三个班总人数的2倍，即(88 + 86+84)÷2=129人。

那么三班人数为129 - 88 = 41人，一班人数为129 - 86 = 43人，二班人数为129 - 84 = 45人。

二、倍数问题3. 有两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有69个。

从第一堆中拿多少个棋子到第二堆，就能使第二堆棋子数是第一堆的3倍？- 解析：两堆棋子总数为87 + 69 = 156个。

当第二堆棋子数是第一堆的3倍时，把棋子总数分成4份，第一堆占1份，第二堆占3份。

此时第一堆有156÷(3 + 1)=39个。

所以从第一堆拿到第二堆的棋子数为87 - 39 = 48个。

4. 被除数、除数、商三个数的和是212，已知商是2。

被除数和除数各是多少？- 解析：因为商是2，设除数为x，被除数就是2x。

根据题意可得2x+x +2=212，3x=210，x = 70。

被除数为2×70 = 140。

三、年龄问题5. 父亲今年47岁，儿子今年21岁。

多少年前父亲的年龄是儿子年龄的3倍？- 解析：父子年龄差为47 - 21 = 26岁。

当父亲年龄是儿子年龄的3倍时，儿子年龄为26÷(3 - 1)=13岁。

所以是21 - 13 = 8年前。

5年级超级难的奥数题奥数（奥林匹克数学竞赛）是一项全国性的数学竞赛活动，旨在提高学生的数学素养，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

奥数题目难度大，需要学生在有限的时间内独立思考，并给出答案。

下面将列举一些超级难的奥数题目，以及它们的解答过程。

1.小李有一堆小方块，每个小方块上标有一个整数，小李想把这些小方块组成一个9x9的大正方形，使得每一行、每一列和每个对角线上的数字和都相等，问小李应该如何组成这个大正方形？这个题目是一道典型的数学推理题，首先我们可以列出一个9x9的九宫格，然后考虑如何分配各个方块上的数字。

可以通过试错的方法进行尝试，列出各种可能的组合。

通过不断的尝试和推理，最终可以找到一个合适的组合方案。

2.甲、乙、丙三人同时向一个箱子里投入若干个小球，规定第一个人投入一个，以后每人都可以投入若干个，但是每次最多只能投入前一个人投入的一半。

如果箱子装满时，箱中有小球15个，问：三人一共为箱子投入了多少个小球？这个题目需要考虑到数列的规律，要求解甲、乙、丙三人投入小球的个数。

可以通过列出递推关系式，递推求解的方法来进行解答。

3.如果a、b、c是正整数，且满足a^2+b^2=c^2，求出所有可能的a、b、c的组合。

这是一道典型的勾股数题目，需要通过列举所有可能的正整数组合来解答。

可以利用勾股数的性质进行递推和排除法来进行解答。

4.小明用一张长15cm、宽8cm的纸片做一个平面图形，这个图形恰好可以分割成多个形状完全一样的小平面图形，问：这个图形可以剪出来多少个小平面图形？这个题目其实是一道面积和分割的题目，需要考虑到平面图形的面积及其分割的方法。

可以通过计算图形的面积，并利用分割方法进行解答。

以上列举了几个典型的奥数题目，这些题目需要学生在有限的时间内独立思考并给出解答。

解答这些题目需要学生具备较强的数学推理和解决问题的能力，同时需要不断地尝试和思考来寻找最优的解决方法。

这些超级难的奥数题目挑战了学生的数学思维，帮助他们在解题过程中提高数学素养，培养解决问题的能力。

三年级奥数难题一、计算类。

1. 计算：1 + 2 + 3+ (100)- 解析：这是一个等差数列求和的问题。

等差数列求和公式为(首项 +尾项)×项数÷2。

首项a_1 = 1，尾项a_n=100，项数n = 100。

所以(1 +100)×100÷2=5050。

2. 计算：99×99 + 99。

- 解析：根据乘法分配律a× c + b× c=(a + b)× c，这里a = b=99，c = 99。

原式可化为99×(99 + 1)=99×100 = 9900。

3. 计算：125×88。

- 解析：把88拆分为8×11，则125×88 = 125×8×11=1000×11 = 11000。

二、数字规律类。

4. 找规律填数：1，1，2，3，5，8，（），（）- 解析：这是斐波那契数列，从第三项起，每一项都等于前两项之和。

所以5+8 = 13，8 + 13=21，括号内应填13和21。

5. 观察数列：1，4，9，16，25，（），（）- 解析：这个数列是平方数数列，1 = 1^2，4=2^2，9 = 3^2，16=4^2，25 = 5^2，那么后面两个数分别是6^2=36，7^2 = 49。

三、年龄问题类。

6. 爸爸今年35岁，小明今年5岁，几年后爸爸的年龄是小明的3倍？- 解析：设x年后爸爸的年龄是小明的3倍。

(35 + x)=3×(5 + x)，展开式子得到35+x=15 + 3x，移项3x - x=35 - 15，2x = 20，解得x = 10。

所以10年后爸爸的年龄是小明的3倍。

7. 妈妈年龄是小红年龄的5倍，奶奶年龄是小红年龄的9倍，已知奶奶比妈妈大32岁，求三人年龄。

- 解析：设小红年龄为x岁，则妈妈年龄为5x岁，奶奶年龄为9x岁。

奥数题（高难度）题目一：设a、b、c为互不相等的正整数，求满足下列条件的正整数a、b、c的个数：1）$a+b+c=20$2）$3(a+b+c)<ab+bc+ca$解析：为了求出满足条件的正整数a、b、c的个数，我们可以先列出所有可能的组合，然后逐个验证满足条件的组合个数。

设a、b、c为互不相等的正整数，且满足条件1），即$a+b+c=20$。

根据条件2）$3(a+b+c)<ab+bc+ca$，我们可以重新写成$3(a+b+c)-ab-bc-ca<0$。

为了简化问题，我们将条件2）进行展开计算，得到$3a+3b+3c-ab-bc-ca<0$。

为了求出正整数a、b、c的个数，我们可以考虑使用二重循环来列举所有可能的组合。

我们可以设定二重循环的范围为：$1 \leq a \leq18$，$1 \leq b \leq 19-a$。

其中，第一个循环的范围是1到18，是因为满足$a+b+c=20$的条件下，最大的数是18。

第二个循环的范围是1到19-a，是因为要保证b和c都是互不相等的正整数。

在每次循环中，我们首先计算出c的值，即$c=20-a-b$。

然后，我们判断是否满足条件2）$3a+3b+3c-ab-bc-ca<0$。

如果满足该条件，则说明找到了满足条件的组合，计数器加一。

最后，我们输出计数器的值，即为满足条件的正整数a、b、c的个数。

代码实现如下：```count = 0for a in range(1, 19):for b in range(1, 20 - a):c = 20 - a - bif 3*a + 3*b + 3*c - a*b - b*c - c*a < 0:count += 1print("满足条件的正整数a、b、c的个数为：", count)```根据以上代码，我们可以得到满足条件的正整数a、b、c的个数为：54个。

通过以上求解过程，我们可以发现，对于较复杂的问题，我们可以通过列举所有可能的情况，并逐个验证的方法，来得到满足条件的解。