沪教版九年级上册数学第二十四章 相似三角形 含答案

第二十四章相似三角形数学九年级上册-单元测试卷-沪教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点G在CA的延长线上，GB=GE，若BE+CG=10，，则AF的长为（）A.1B.C.D.22、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，则C到直线AF的距离是（）A. B. C. D.23、下列各组线段（单位：cm）中，成比例的是（）．A.1，2，3，4B.6，5，10，15C.3，2，6，4D.15，3，4，104、下列命题中正确的有( )①有一个角等于80°的两个等腰三角形相似；②两边对应成比例的两个等腰三角形相似；③有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；④底边对应相等的两个等腰三角形相似．A.0个B.1个C.2个D.3个5、图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A.点PB.点OC.点MD.点N6、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AD为△ABC的角平分线，CE是△ABC的中线，AD 、CE相交于点F，则的值为（）A. B. C. D.27、如图，已知AB∥CD∥EF ， AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（）A. B. C. D.8、如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是( )A.点AB.点BC.点CD.点D9、若＝2，则=（）A. B. C. D.210、如图，ABC中，正方形DEFG的顶点D，G分别在AB，AC上，顶点E，F在BC 上．若△ADG、△BED、△CFG的面积分别是1、3、1，则正方形的边长为（）A. B. C.2 D.211、若点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列说法正确的有（）①AB＝AC；②AC＝AB；③AB：AC＝AC：BC；④AC≈0.618AB.A.1个B.2个C.3个D.4个12、已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（）A. B. ∥，∥ C. + ＝0 D. + ＝，﹣＝13、如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，DE=4，则BC边的长等于（）A.6B.8C.10D.1214、如图，已知点A的坐标为（3，4），⊙A的半径为3，延长OA交⊙A于点B，过点B作⊙A的切线，交y轴于点C，则OC长为（）A.8B.9C.10D.1115、如图，在△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM、PN、MN，则下列结论：①PM＝PN；②；③若∠ABC＝60°，则△PMN为等边三角形；④若∠ABC＝45°，则BN＝PC．其中正确的是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：________ ，使△ABC∽△AED．17、定义：如果△ABC内有一点P，满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，那么称点P为△ABC的布罗卡尔点，如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为△ABC的布罗卡尔点，如果PA＝2，那么PC＝________．18、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从A点出发，以1cm/s的速度，沿A ﹣C﹣B向B点运动，同时，动点Q从C点出发，以2cm/s的速度，沿C﹣B﹣A向A点运动，当其中一点运动到终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t=________秒时，△PCQ的面积等于8cm2．19、在等腰梯形ABCD中，，BC=4AD，且AD=，∠B=45°.直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A,斜边与CD交于点F．若是以AB为腰的等腰三角形，则CF的长等于________ 。

沪教版九年级上册数学第二十四章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标(0，3)，点B坐标(4，0)，将点O沿直线对折，点O恰好落在∠OAB的平分线上的O’处，则b的值为（）A. B. C. D.2、如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（）A. B. C. D.3、如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家g洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A.5B.4C.3+D.2+4、已知2x=3y（xy≠0），则下列各式中错误的是（）A. B. C. D.5、如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若BC＝3，DE＝1.5，AD＝2，则AB的长为（）A.2B.3C.4D.56、若直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则斜边扩大（）A. 倍B.2倍C. 倍D.4倍7、已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）A.只有（1）相似B.只有（2）相似C.都相似D.都不相似8、如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A. ＝B. ＝C. ＝D. ＝9、两个相似三角形的对应边的比是2：3，周长之和是20，那么这两个三角形周长分别为（）A.8和12B.9和11C.7和13D.8和1510、如图，将直角三角形纸片ABC(∠A=90°，AB>AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上折痕为AD，展开纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②)。

沪教版九年级上册数学第二十四章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、△ABC∽△A′B′C′，相似比是2∶3，那么△A′B′C′与△ABC面积的比是 ( )A.4∶9B.9∶4C.2∶3D.3∶22、如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（）A.12cm 2B.9cm 2C.6cm 2D.3cm 23、如图，AB∥CD，AC，BD，EF相交于点O，则图中相似三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对4、如图，以点D为位似中心，作△ABC的一个位似三角形A1B1C1， A，B，C的对应点分别为A1， B1， C1， DA1与DA的比值为k，若两个三角形的顶点及点D均在如图所示的格点上，则k的值和点C1的坐标分别为( )A.2，（2，8）B.4，(2，8)C.2，(2，4)D.2，(4，4)5、若2a=3b，则下列等式正确的是（）A. B. C. D.b= a6、如图，DE∥BC，则下列结论不正确的是（）A.△ADE∽△ABCB. = =C. = =D.若= ，则=7、如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接并AO延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，若，则k的值为（）A.－3B.－6C.－9D.－128、如图，△ABC中，∠ABC=90°，点E在CB的延长线上，BE= AB，过点E作ED⊥AC于D.若 AD=ED，AC=6，则CD的长为（）A.1.5B.2C.2.5D.49、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CDEF为内接正方形，若AE=2cm，BE=1cm，则图中阴影部分的面积为（）λA.1cm 2B. cm 2C. cm 2D.2cm 210、如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，则CD的长为（）A. B. C.2 D.311、下列语句正确的是（）A.有一个角对应相等的两个直角三角形相似B.如果两个图形位似，那么对应线段平行或在同一条直线直线上C.两个矩形一定相似D.如果将一个三角形的各边长都扩大二倍，则其面积将扩大4倍12、下列各组中的四条线段成比例的是（）A.3cm、6cm、8cm、9cmB.3cm、5cm、6cm、9cmC.3cm、6cm、7cm、9cmD.3cm、9cm、10cm、30cm13、如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC．若AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的长为（）A.3B.6C.9D.1214、已知三个边长分别为2，3，5的三个菱形如图排列，菱形的较小锐角为60°，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.15、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE= ，AD= ，则两个三角形重叠部分的面积为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、若,则k的值为________。

沪教版九年级上册数学第二十四章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，正方形ABCD中，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别在边AD、AB、BC、CD上，则tan∠DEH=( )A. B. C. D.2、如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF=5EF=5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG=( )A.2B.C.D.3、有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（）A.1B.1C.D.4、如图，在针孔成像问题中，根据图形尺寸可知像的长是物AB长的（）A.3倍B.不知AB的长度，无法计算C.D.5、如图，在矩形ABCD中，AD＝AB.将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G.下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝MP；④BP＝AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心.其中正确的个数为（）A.2个B.3个C.4个D.5个6、将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是（）A.（4，2）B.（2，4）C.（，3）D.（3，）7、如图，直线y=-2x+4与x轴，y轴分别相交于A，B两点，C为OB上一点，=（）且∠1=∠2，则S△ABCA.1B.2C.3D.48、如图，在ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DG BC，交AC于点G，过点E作EH AB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（）A. B. C. D.9、如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为3和4，∠A=120°，则图中阴影部分的面积（）A. B. C. D.10、如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是（）A.1B.C.D.11、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G．点F是CD上一点，且满足，连接AF并延长交⊙O于点E．连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E= ；④S=4 ．△DEF其中正确的是（）A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④12、如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（）A. B. C. D.13、在同一时刻，一幢25米的高楼，影长为20米，那么此时一根高10米的旗杆，影长为（）米．A.6B.8C.10D.1214、如图，在三角形ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，AM＝AB，AN＝AC，则三角形AMN的面积与四边形MBCN的面积比（）A. B. C. D.15、如图，Rt△ABC中，BC=2，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S 1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中为2米，则约为________.17、如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P 为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为________．18、如图，点G是正六边形ABCDEF的CD边的中点，AG与CF交于H点．则∠AHF+∠HGC=________度，若AB=a，则FH=________（用含a的代数式表示）．19、如图，小明想测量院子里一棵树的高度，在某一时刻，他站在该树的影子上，前后移动，直到他本身的影子的顶端正好与树影的顶端重叠．此时，他与该树的水平距离2m，小明身高1.5m，他的影长是1.2m，那么该树的高度为________．20、如图，中，，，垂足为D，若AD=2，BD=4，则CD为________．21、如图，双曲线y= 经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足= ，与BC=21，求k=________．交于点D，S△BOD22、已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么BP的长是________ 厘米．23、如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F，，则＝________.24、同一底片印出来的不同尺寸的照片也是________ ．25、顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，在∠A=36°的△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，交AC于D，若AC=4cm，则BC=________cm．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知xyz≠0且，求k的值．27、如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和ADE摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠ADE=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△ADE绕点A旋转，AE、AD与边BC的交点分别为F、G （点F不与点C重合，点G不与点B重合），设BF=a，CG=b．（1）请在图（1）中找出两对相似但不全等的三角形，并选取其中一对进行证明．（2）求b与a的函数关系式，直接写出自变量a的取值范围．（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．若BG=CF，求出点G的坐标，猜想线段BG、FG和CF之间的关系，并通过计算加以验证．28、在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB=∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．（1）当AB=AC时，（如图1），①∠EBF的度数②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；（2）当AB=kAC时（如图2），求的值（用含k的式子表示）．29、如图，已知，求证：.30、如图，一天早上，明明正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一5G 信号接收塔DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到接收塔了？”心里很是纳闷.经过了解，教学楼、接收塔的高分别是21.6m和31.6m，它们之间的距离为30m，明明的眼睛距地面1.6m.当明明刚发现接收塔的顶部D被教学楼的顶部A 挡住时，他与教学楼之间的距离为多少米？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、D3、B4、C5、B6、D7、C8、C9、B10、C11、A12、C13、B14、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、29、30、。

第二十四章相似三角形数学九年级上册-单元测试卷-沪教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、下列四组线段中，不是成比例线段的是（）A.a=3，b=6，c=2，d=4B.a=1，b= ，c= ，d=2C.a=4，b=6，c=5，d=10 D.a=2，b= ，c= ，d=22、下列不一定是相似图形的是（）A.边数相同的正多边形B.两个等腰直角三角形C.两个圆D.两个等腰三角形3、若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A.1：4B.2：1C.1：2D.4：14、如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件.下列添加的条件其中错误的是（）A. B. C. D.5、已知，则直线一定经过的象限是（）A.第一、三、四象限B.第一、二、四象限C.第一、四象限D.第二、三象限6、两个多边形相似的条件是（）A.对应角相等B.对应边相等C.对应角相等，对应边相等D.对应角相等，对应边成比例7、已知两个相似三角形的周长比为2：3，它们的面积之差为40cm2，那么它们的面积之和为（）A.108cm 2B.104cm 2C.100cm 2D.80cm 28、如图，点A在双曲线y═（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O 和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（）A.2B.C.D.9、如图，线段，那么等于( )A. B. C. D.10、如图，已知△ABC，AB=6，AC=5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE=∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么的值为（）A. B. C. D.11、已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A. B. C. D.12、已知=，则x的值是（）A. B. C. D.13、如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD， NF⊥AB.若NF =NM= 2，ME = 3，则AN =A.3B.4C.5D.614、如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，如果AD=6，BD=2，那么CD等于（）A.2B.4C.D.15、在比例尺为1：100000的地图上，若A，B两地相距20km，则两地的图上距离为（）A.0.2cmB.2cmC.20cmD.200cm二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BC，连接AC，若tanB= ，则tan∠CAD的值为________。

第二十四章相似三角形数学九年级上册-单元测试卷-沪教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图所示：∠CAB=∠BCD，AD=2，BD=4，则BC=（）A. B. C.3 D.62、如图，△ABC中，AB=AC=10，点D在BC上，连接AD，若CD=AB，AD=BD，则BC的长为（）A.-5+5B.5+5C.10+5D.15-53、路边有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB的高度是（）A.6.75米B.7.75米C.8.25米D.10.75米4、已知5x=6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A. B. C. D.5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线EF与对角线BD交于点G。

若EG:GF=2:3，且AD=4，则BC的长是（）A.3B.6C.8D.126、如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是( )A.△ABC∽△A'B'C'B.点C、点O、点C'三点在同一直线上 C.AO：AA'=1∶2 D.AB∥A'B'7、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，，联结AE交BD于点F，那么的面积与的面积之比为（）A. B. C. D.8、如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B翻折到点E处，若，则的值为（）A. B. C. D.9、下列说法中正确的是A.位似图形一定是相似图形B.相似图形一定是位似图形C.两个位似图形一定在位似中心的同侧D.位似图形中每对对应点所在的直线必互相平行10、如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF交l1、l2、l3于点D、E、F，已知，若DE=3，则DF的长是（）A. B.4 C. D.711、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为（）A.1.6米B.1.5米C.2.4米D.1.2米12、已知，则下列各式不成立的是（）A. B. C. D.13、如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于点E，若线段DE=5，则线段BC的长为（）A.7.5B.10C.15D.2014、如图，在△ABC中，，，则的值为 ( )A. B. C. D.15、在平面直角坐标系xoy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B （3，0），以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，若B点的对应点B′的坐标为（﹣6，0），则A点的对应点A′坐标为（）A.（﹣2，﹣4）B.（﹣4，﹣2）C.（﹣1，﹣4）D.（1，﹣4）二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为________．17、已知线段a=2，c=6，线段b是a、c的比例中项，则线段b的值为________．18、已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且++=，则++的值是________19、如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是________．20、如图，某风景区在建设规划过程中，需要测量两岸码头A、B之间的距离．设计人员在O点设桩，取OA、OB的三等分点C、D，测得CD=25m，则AB=________ ．21、如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则=________．22、已知，则＝________．23、如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是________24、在阳光下，高6m的旗杆在水平地面上的影子长为4m，此时测得附近一个建筑物的影子长为16m，则该建筑物的高度是________m．25、如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E，F，G分别在AB，BC，FD上．若BF=3，则小正方形的边长为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知向量关系式，试用向量、表示向量．27、如图，点在的边上，，求证：．28、如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．29、如图，已知⊙O中，弦AB与CD相交于点P．求证：PA•PB=PC•PD．30、如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成正方形零件，使正方形EFHG的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少?参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、B3、C4、B5、B6、C7、B8、D10、C11、B12、D13、C14、D15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、30、。

沪教版九年级上册数学第二十四章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，下面三个结论：（1）DE=1；（2）△ADE∽△ABC；（3）△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4．其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个2、如图，△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的处，并且，则CD的长是（）.A. B.6 C. D.3、已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC上一点，∠ABD=∠C，直线EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E.则图中所有与△ABD 相似的三角形有多少个( )A.3B.4C.5D.64、如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是( )A.∠ADE＝∠CB.∠AED＝∠BC.D.5、已知：如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是（）A. B. C. D.6、在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（）A. B. C. D.7、如图，等腰中，，双曲线经过的三个顶点，边交x轴于点D，原点O在上，若且面积为2，则k的值为（）A.6B.8C.10D.128、点 P 是长度为1的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（）A. B.3 - C. D. -29、在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（）A.1B.2C.3D.410、下列各组图形一定相似的是（）A.两个直角三角形B.两个等边三角形C.两个菱形D.两个矩形11、下列结论中正确的是（）A.有两条边长是3和4的两个直角三角形相似B.一个角对应相等的两个等腰三角形相似C.两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似D.有一个角为60°的两个等腰三角形相似12、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交DB于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A.1：3B.3：4C.1：9D.9：1613、已知，那么下列等式中，不一定正确的是（）A. B. C. D.14、小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A.0.5mB.0.55mC.0.6mD.2.2m15、如图，中，为边上的一点，过点作的平行线交于点，连接，过点作的平行线交于点，则下列结论中不一定成立的是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为________．17、如图，在正方形中，点是边上一点，且，连接交对角线于点，点是对角线上一点且，过点作于点，连接，将沿翻折，得到，连接交于点，若，则的长度为________.18、在比例尺为1：38000的扬州旅游地图上，某条道路的长为6cm，则这条道路的实际长度为________km．19、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是________．20、如图，C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，若AC=3，BC=2，则△MCD与△BND的面积比为________．21、若= ，则=________．22、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．已知tan ∠BPD= ，CE=2，则△ABC的周长是________23、如图，面积为5的四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是以坐标原点O为位似中心的位似图形，对应点A、A1的坐标分别是（2，2）、(4，4），则四边形A 1B1C1D1的面积为________.24、如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，则点B的横坐标是________．25、已知，则________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知xyz≠0且，求k的值．27、在一个阳光明媚的上午，数学陈老师组织学生测量小山坡的一颗大树CD的高度，山坡OM与地面ON的夹角为30°（∠MON=30°），站立在水平面上身高1.5米的小明AB在地面的影长BP为1米，此刻大树CD在斜坡的影长DQ为4米，求大树的高度。

主 题 第一讲 相似形和比例线段教学内容学习目标：1．知道相似形的概念，理解相似多边形的意义；2．理解两条线段的比和比例线段的概念；3．掌握比例的性质，了解黄金分割的概念．互动：（此环节设计时间在40－50分钟）知识导入：给你一粒白米尺寸为长0.5公分，宽0.3公分，你能在上面雕刻出5只“熊猫”及“二〇〇八北京奥运”字样吗？也许你会瞠目结舌：那得多小呀！太难啦！如果借助放大镜有人能办到，你信吗？——右图是：台湾毫芒雕刻第一人陈逢显在高倍放大镜下拍摄的针孔里雕刻出来的成果。

其实在放大镜下的米粒和实际的米粒只是大小不同，而形状却完全相同，它们是相似的图形。

思考：①你还能举几个生活中常见的相似形吗？如： ；②在你所举的例子中，发现相似形是 相同， 不一定相同的图形．（形状，大小） 案例：如图，将ABC ∆放大后得111A B C ∆，将111A B C ∆缩小后得ABC ∆；图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形。

如图：ABC ∆与111A B C ∆相似,测量∠A= ，∠B= ，∠C= ,∠A 1= ，∠B 1= ，∠C 1= ,测量AB= ， BC= ，CA= ，A 1B 1= ，B 1C 1 = ，C 1A 1=从以上测量结果可以得到怎样的结论？1．如果两个多边形是相似的，那么这两个多边形的对应角____ __，对应边___ ______．2．当两个相似多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值___ _____．知识点归纳：1．图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形。

3．如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1。

试一试：1．如图，已知五边形ABCDE 与五边形'''''A B C D E 相似，且点A 与'A 、点B 与'B 、点C 与'C 、点D 与'D 、点E 与'E ，分别是对应顶点，则x = ，y = ，z = ，'A ∠= ，'C ∠= ． 2．已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，与它相似的三角形的最小边长15，那么它的另两边长分别为 。

一、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作:a b（或表示为ab ）；如果::a b c d=（或a cb d=），那么就说a、b、c、d成比例．二、比例的性质（1）基本性质：如果a cb d=，那么ad bc=；相似三角形知识结构模块一：比例线段知识精讲2 / 34如果a cb d =，那么b d ac =，a b cd =，c d a b=． （2） 合比性质： 如果a cb d =，那么a bc db d++=； 如果a cb d =，那么a bc db d--=． （3） 等比性质： 如果a c kb d ==，那么ac a c k bd b d+===+．三、比例线段的概念对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a cb d=），那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段． 四、黄金分割如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中，510.6182AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数．五、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知ABC ∆，直线l // BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么AD AEDB EC=．APBlAB CDEAB C DEAB CDE ll六、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上， 如果DE // BC ，那么DE AD AE BC AB AC==． 七、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 八、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．九、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在ABC ∆中，直线l 与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，如果ADAEDB EC=，那么l //BC ．ABCD EA BCDEAB CDEABCD E4 / 34十、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l所截，那么DF EGFB GC=．十一、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上 截得的线段也相等．【例1】 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上．下列所给的四个条件中，不一定能得到DE // AC 的条件是（ ） A ．BE BCBD BA =B ．CE ADBE BD =C ．BD DEBA AC=D ．BC CEAB AD=【难度】★ 【答案】C ．例题解析A BCDEF BC D E F G【解析】如图，作DF DE =，则DF DE AC AC =，∴BD DEBA AC=不能判定DE // AC ，故选C ． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选．【例2】 在比例尺为1 : 40000的一张地图上，量得A 、B 两地的距离是37 cm ，那么A 、B两地的实际距离是______km ．【难度】★ 【答案】14.8．【解析】设A 、B 两地的实际距离是x km ，则51371040000x -⨯=，解得：14.8x =． 【总结】本题考查了比例尺的有关计算，注意单位的换算．【例3】 如图，已知1l //2l //3l ，DE = 4，DF = 6，那么下列结论正确的是（ ）A ．BC : EF = 1 : 1B ．BC : AB = 1 : 2 C ．AD : EF = 2 : 3 D ．BE : CF = 2 : 3 【难度】★ 【答案】B ．【解析】::1:2BC AB EF DE ==，故B 正确． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例4】 如果线段a = 4 cm ，b = 9 cm ，那么它们的比例中项是______cm ． 【难度】★ 【答案】6．【解析】设它们的比例中项是x cm ，则由题意得249x =⨯，解得：6x =． 【总结】本题考查了比例中项的概念及计算．6 / 34BC DE FGA【例5】 四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交边AD 于点F ，交对角线BD 于点G ．求证：CG 是EG 与FG 的比例中项． 【难度】★ 【答案】详见解析．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴CG BG FG GD =，EG BGCG GD=， ∴CG EGFG CG=， ∴CG 是EG 与FG 的比例中项． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例6】 已知线段AB = 10，P 是线段AB 的黄金分割点（AP > PB ），则AP =______． 【难度】★ 【答案】555．【解析】由题意得51AP AB -=555AP =． 【总结】本题考查了黄金分割的有关计算．【例7】 已知23a c eb d f ===，18ac e =--，0bd f ++≠，求b d f ++的值． 【难度】★★ 【答案】27．【解析】∵23a c eb d f ===，0b d f ++≠，∴23a c e b d f ++=++， ∵18a c e =--，∴18a c e ++=，∴27b d f ++=．【总结】本题考查了等比性质的应用．【例8】 如果直角三角形的斜边长为18，那么这个三角形的重心到直角顶点的距离为______．【难度】★★ 【答案】6．【解析】如图，易得192CD AB ==，∴263CG CD ==． 【总结】本题考查了重心的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【例9】 如图，已知AD // EF // BC ，AE = 3BE ，AD = 2，EF = 5，那么BC =______．【难度】★★ 【答案】6．【解析】作AN ∥DC 分别交EF 、BC 于点M 、N ，由题意得2NC MF AD ===，EM AEBN AB=， 即334BN =，∴4BN =，∴6AB =． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例10】 如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 上，EF 与对角线BD 交于点G ，如果BE = 5，BF = 3，那么FG : EF 的比值是_______．【难度】★★A BCDEF M NA BCDEFGH【答案】38．【解析】作GH AB⊥于点H，易得GH BH=，∵GH EHBF EB=，535GH GH-=，解得：158GH=，∴38 FG BHEF BE==．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意比和比值的区别．【例11】如图，BD是ABC∆的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE // AB，DEF A∠=∠．（1）求证：BE = AF；（2）设BD与EF交于点M，联结AE，交BD于点N，求证：BN MD BD ND=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵DE // AB，DEF A∠=∠，∴AD∥EF，∴四边形AFED是平行四边形，∴AF DE=，ABD EDB∠=∠，∵BD是ABC∆的角平分线，∴ABD EBD∠=∠，∴EDB EBD∠=∠，∴BE DE=，∴BE AF=；（2）∵DE // AB，∴BN AB ND ED=，∵AD∥EF，∴BD ABMD AF=，MAFB E CDN8/ 34ABCDEFM∵ED AF =，∴BD AB MD ED =，∴BN BDND MD=， ∴BN MD BD ND ⋅=⋅．【总结】本题考查了平行四边形的判定及平行线分线段成比例定理．【例12】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，90DAB ABC ∠=∠=︒，E 为CD 的中点，联结AE 并延长交BC 的延长线于F ； （1）联结BE ，求证：BE = EF ．（2）联结BD 交AE 于M ，当AD = 1，AB =2，AM = EM 时，求CD 的长． 【难度】★★【答案】（1）详见解析；（2）5CD =．【解析】（1）∵AD // BC ，DE EC =，易得ADE ∆≌FCE ∆， ∴E 为AF 的中点，∵90DAB ABC ∠=∠=︒， ∴BE EF =；（2）∵AM EM =，∴13AM MF =，∴13AD BF =， ∵1AD CF ==，∴3BF =，2BC =，∵2AB =，∴()225DC BC AD AB -+．【总结】本题考查了直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理及勾股定理等．10 / 34一、 相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与ABC ∆中， A A ∠=∠， ADE B ∠=∠，AED C ∠=∠；12AD DE AE AB BC AC ===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 二、 相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．模块二：相似三角形DABCE知识精讲AB C A 1B 1C 1如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB、AC 所在直线分别交于点D 和点E ， 则ADE ∆∽ABC ∆．三、 相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：ABCDEAB C DEAB CDE12 / 34AB C AB CABC A 1B 1C 1四、 相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB ACA B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．五、 相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．六、 直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似． 如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =， 那么ABC ∆∽111A B C ∆．七、 相似三角形性质定理相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都 等于相似比．相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．例题解析ABCA 1B 1C 114/ 34AB CDEF【例13】在下列44⨯的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么与图1中ABC∆相似的三角形所在的网格图是（）A．B．C．D．【难度】★【答案】B．【解析】由图易得ABC∆为直角三角形，且:1:2BC AB=，故选B．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例14】已知ABC∆∽DEF∆，且相似比为3 : 4，2ABCS∆=cm2，则DEFS∆=______ cm2．【难度】★【答案】329．【解析】由题意得234ABCDEFSS∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴329DEFS∆=cm2．【总结】本题考查了相似三角形的性质．【例15】如图，已知点D是ABC∆中的边BC上的一点，BAD C∠=∠，ABC∠的平分线交边AC于点E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（）A．BAC∆∽BDA∆B．BFA∆∽BEC∆图1ABCDABCD EF C ．BDF ∆∽BEC ∆ D ．BDF ∆∽BAE ∆【难度】★ 【答案】C ．【解析】∵BAD C ∠=∠，ABD CBA ∠=∠，∴BAC ∆∽BDA ∆； ∵BAD C ∠=∠，ABF CBF ∠=∠，∴BFA ∆∽BEC ∆；∵BAE BDF ∠=∠，ABF CBF ∠=∠，∴BDF ∆∽BAE ∆；故C 错误．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例16】 如图，已知点D 在ABC ∆的边AB 上，且ACD B ∠=∠，:1:3ACD DBC S S ∆∆=．求AC AB的值． 【难度】★【答案】12．【解析】∵ACD B ∠=∠，CAD BAC ∠=∠，∴CAD BAC ∆∆，∴22::CAD BAC S S AC AB ∆∆=，∵:1:3ACD DBC S S ∆∆=，∴:1:4CAD BAC S S ∆∆=，∴12AC AB =． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质．【例17】 如图，已知点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上，EF AE ⊥，BE = 3 cm ，AB = 6 cm ，矩形ABCD 的周长为28 cm ，求CF 的长．【难度】★16 / 34ABCDEAMG【答案】52CF =cm ． 【解析】∵AB = 6 cm ，矩形ABCD 的周长为28 cm ， ∴8BC =cm ，∴5EC =cm ，∵EF AE ⊥， 易证ABE ∆∽ECF ∆，∴AB BE EC CF =，即635CF =，解得：52CF =cm ． 【总结】本题考查了一线三等角基本模型的运用．【例18】 如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆边AB 、AC 上，DE // BC ，BD = 2AD ，那么:DEB EBC S S ∆∆等于（ ）A ．1 : 2B ．1 : 3C ．1 : 4D ．2 : 3【难度】★★ 【答案】B ．【解析】∵BD = 2AD ，∴2BDE ADE S S ∆=，∵DE // BC ，∴9ABC ADE S S ∆∆=，∴6EBC ADE S S ∆∆=，∴:DEB EBC S S ∆∆1:3=．【总结】本题考查了相似三角形的性质及同底等高模型的综合运用．【例19】 如图，ABC ∆中，如果AB = AC ，AD ⊥BC 于点D ，M 为AC 中点，AD 与BM 交于点G ，那么:GDM GAB S S ∆∆的值为_______．【难度】★★ABCDEF【答案】14． 【解析】∵AB = AC ，AD ⊥BC ， ∴BAD CAD ∠=∠，BD DC =， ∵M 为AC 中点，∴DM AM =，∴BAD MDA ∠=∠， ∴GDM ∆∽GAB ∆，∵点G 为ABC ∆的重心，∴214GDM GAB S GD S GA ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质，同时考查了重心的性质．【例20】 如图，已知ABC ∆中，AB = AC ，CD 是边AB 上的高，且CD = 2，AD = 1，四边形BDEF 是正方形．CEF ∆和BDC ∆相似吗？试证明你的结论．【难度】★★【答案】相似，详见解析．【解析】由题意，可得：5AC AB =∴51BD DE EF ===，∴35CE =∴51BD DC -=355151CE EF --==-，∴BD CEDC EF=，∵BDC CEF∠=∠，∴CEF∆∽BDC∆．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例21】已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且BAC BDC DAE∠=∠=∠．（1）求证：ABE∆∽ACD∆；（2）求证：BC AD DE AC=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵BAC BDC DAE∠=∠=∠，∴BAE CAD∠=∠，∵BEA EDA DAE∠=∠+∠，CDA EDA BDC∠=∠+∠，∴BEA CDA∠=∠，∴ABE∆∽ACD∆；（2）由（1）知AB AEAC AD=，∴AB ACAE AD=，又∵BAC EAD∠=∠，∴ABC∆∽AED∆，∴BC ACED AD=，∴BC AD DE AC=．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质的综合运用．EDCBA18/ 34ABCD EFGHA BCD EF 【例22】 如图，已知：四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD于点F ，ECA D ∠=∠． （1）求证：ECA ∆∽ECB ∆； （2）若DF = AF ，求AC : BC 的值． 【难度】★★【答案】（1）详见解析；（22． 【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴B D ∠=∠，∵ECA D ∠=∠，∴ECA B ∠=∠， 又∵E E ∠=∠， ∴ECA ∆∽ECB ∆； （2）∵DF AF =，易证DC AE AB ==，∴2EB EA =，由（1）得AC EC EA BC EB EC ==，即2EC EAEA EC=，∴2EC EA =， ∴22AC EA BC EC ==． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质的应用．【例23】 如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，若45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE 与BF 相交于H ，BF 与AD 的延长线相交于G ．求证：（1）CD = BH ； （2）AB 是AG 和HE 的比例中项． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵45DBC ∠=︒，DE BC ⊥， ∴ED EB =，∵BF CD ⊥，∴EBH CDE ∠=∠，∴EDC ∆≌EBH ∆，20 / 34∴CD BH =；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴C A ∠=∠，∴BHE A ∠=∠，∵EBH BGA ∠=∠，∴EBH ∆∽BGA ∆，∴AG ABHB HE=， ∵HB CD AB ==，∴AG ABAB HE=，∴AB 是AG 和HE 的比例中项． 【总结】本题考查了全等及相似三角形的判定．【例24】 如图，已知等腰ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ．（1）求证：CAD ECB ∠=∠；（2）点F 是AC 的中点，联结DF ，求证：2BD FC BE =．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴BAD ECB ∠=∠， ∵AB = AC ，∴BAD CAD ∠=∠， ∴CAD ECB ∠=∠； （2）由题意得12ED BC BD ==，∴DBE DEB ∠=∠， ∵点F 是AC 的中点，∴12DF AC FC ==，∴DCF FDC ∠=∠， ∵DBE DCF ∠=∠，∴CDF ∆∽BED ∆， ∴CD FC BE BD =，∵CD BD =，∴BD FCBE BD=， ∴2BD FC BE =．CBADEFABC D E F G【总结】本题考查了直角三角形的性质及相似三角形的判定．【例25】 如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，90A ∠=︒，AB = AD ．点E 在边AB 上，且DE CD ⊥，DF 平分EDC ∠，交BC 于点F ，联结CE 、EF ． （1）求证：DE = DC ；（2）如果2BE BF BC =，求证：BEF CEF ∠=∠． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）作CH AD ⊥的延长线于点H ， ∵AD // BC ，90A ∠=︒，AB = AD ，∴CH AD =，∵DE CD ⊥，∴ADE HCD ∠=∠， ∴ADE ∆≌HCD ∆，∴DE DC =；（2）∵2BE BF BC =，B B ∠=∠，∴BEF ∆∽BCE ∆，∴BEF BCE ∠=∠， ∵DF 平分EDC ∠，DE DC =，∴DEF ∆≌DCF ∆，∴DEF DCF ∠=∠，∵DEC DCE ∠=∠，∴CEF BCE ∠=∠，∴BEF CEF ∠=∠．【总结】本题考查了一线三直角模型及相似和全等三角形的综合应用．【例26】 已知：如图，在ABC ∆中，AB = AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：2AD DG BD =；（2）联结CG ，求证：ECB DCG ∠=∠． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AB = AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，A BCDEFH∴ACE∆≌ABD∆，∴ABD ACE∠=∠，∵DF⊥AC，∴FAD FCD∠=∠，∴ABD FAD∠=∠，∴DAG∆∽DBA∆，∴AD DG BD AD=，∴2AD DG BD=；（2）∵AD DC=，∴DC DG BD DC=，∵CDG BDC∠=∠，∴CDG∆∽BDC∆，∴DBC DCG∠=∠，∵ABC ACB∠=∠，∴ABD GCB∠=∠，∴ACE GCB∠=∠，∴ECB DCG∠=∠．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质．ABCD EFG【例27】 如图，直角梯形ABCD 中，90B ∠=︒，AD // BC ，BC = 2AD ，点E 为边BC 的中点．（1）求证：四边形AECD 为平行四边形；（2）在CD 边上取一点F ，联结AF 、AC 、EF ，设AC 与EF 交于点G ，且EAF CAD ∠=∠．求证：AEC ∆∽ADF ∆；（3）在（2）的条件下，当45ECA ∠=︒时，求：FG : EG 的比值． 【难度】★★【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）45．【解析】（1）∵BC = 2AD ，点E 为边BC 的中点， ∴AD EC =，∵AD // BC ，∴四边形AECD 为平行四边形；（2）∵EAF CAD ∠=∠，∴EAC DAF ∠=∠， ∵四边形AECD 为平行四边形，∴AEC D ∠=∠， ∴AEC ∆∽ADF ∆；（3）∵45ECA ∠=︒，∴AB BC =，设1AD =，则1BE EC ==，2AB =，∴5AE =∵AEC ∆∽ADF ∆，∴AD DFAE EC=，解得5DF =，∴45FC ， ∴45FG FC EG AE ==．24 / 34【总结】本题考查了平行四边形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及性质的综合运用，综合性较强，解题时注意进行分析．【例28】 如图，已知在ABC ∆中，P 是边BC 上的一个动点，PQ // AC ，PQ 与边AB 相交于点Q ，AB = AC = 10，BC = 16，BP = x ，APQ ∆的面积为y ． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）试探索：APQ ∆与ABP ∆能否相似？如果能相似，请求出x 的值，如果不能相似，请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）()23301616y x x x =-<<；（2）能相似，394x =． 【解析】（1）作AH BC ⊥于点H ，ABCPQ H∵AB = AC = 10，BC = 16，∴6AH =，∴1482ABC S BC AH ∆=⋅⋅=，132ABP S BP AH x ∆=⋅⋅=， ∵PQ // AC ，∴BPQ ∆∽BCA ∆，∴22256BPQ BCAS BP x S BC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴2316BPQ x S ∆=，∴23316APQ ABP BPQ S S S x x ∆∆∆=-=-，即()23301616y x x x =-<<； （2）能相似，此时394x =，详解如下： ∵BPQ ∆∽BCA ∆，∴BQ BP BA BC =，∴58BQ x =，∵AQP B ∠>∠，∴AQP APB ∠=∠，∴APQ ∆∽ABP ∆，∴AP PQ AB BP =，即5810xAP x =，解得：254AP =，∵AQ PQ AP BP =，即551088254x xx -=，解得：394x =， 综上，APQ ∆与ABP ∆能相似，此时394x =． 【总结】本题考查了相似三角形的性质及相似三角形的存在性问题．26 / 34ABCMN【习题1】 如果两个相似三角形的面积的比为4 : 9，那么它们对应的角平分线的比是______． 【难度】★ 【答案】2:3．【解析】相似三角形面积比等于相似比的平方． 【总结】本题考查了相似三角形的性质．【习题2】 如图，ABC ∆和AMN ∆都是等边三角形，点M 是ABC ∆的重心，那么AMNABCS S ∆∆的值为（ ） A ．23B ．13C ．14D ．49【难度】★★ 【答案】B ．【解析】∵点M 是ABC ∆的重心，设2AM =，则可得23AB =，∴AMN ABC S S ∆∆213AM AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选B ． 【总结】本题考查了相似三角形及重心的性质的综合运用．【习题3】 如图，AB // DC ，DE = 2AE ，CF = 2BF ，且DC = 5，AB = 8，则EF =______． 【难度】★★随堂检测CDMABCDEF O P【答案】7．【解析】延长AD 、BC 交于点M ，∵AB // DC ，∴MD MCDA CB=， ∵DE = 2AE ，CF = 2BF ，∴MD MCDE CF=，∴EF // DC ， 过点D 作DH ∥CB ，易求7EF =．【总结】本题考查了本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【习题4】 已知，如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、AB 、AC 的中点，AD 与EF 相交于点O ，线段CO 的延长线交AB 于点P ，求证：AB = 3AP ．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】∵D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、AB 、AC 的中点， ∴EF ∥BC ，22BD CD OE OF ===，设PE k =，则14PE OE PB BC ==，∴4PB k =，3BE k =，∴3AE k =， ∴2AP k =，6AB k =，∴3AB AP =．【总结】本题考查了三角形一边平行线的性质定理及中位线性质定理的运用．【习题5】 如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ．（1）求证：CD DF BC BE =；（2）若M 、N 分别是AB 、AD 中点，且60B ∠=︒，求证：EM // FN ．ABCDEFMNG28 / 34ABCDEF【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴B D ∠=∠， ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴ABE ∆∽ADF ∆，∴AB BEAD DF=，∵AB CD =，AD BC =， ∴CD DF BC BE =；（2）延长EM 、DA 交于点G ，∵M 、N 分别是AB 、AD 中点，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴EM BM =，FN ND =， ∵60B ∠=︒，∴BME ∆、DFN ∆为等边三角形， ∴60BEM DNF ∠=∠=︒，∵G BEM ∠=∠，∴G DNF ∠=∠，∴EM // FN ．【总结】本题考查了相似三角形的判定及直角三角形的有关性质．【习题6】 如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是边BC 上一点，点E 、F 分别是线段AB 、AD 中点，联结CE 、CF 、EF ． （1）求证：CEF ∆≌AEF ∆；（2）联结DE ，当BD = 2CD 时，求证：DE = AF ．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵90ACB∠=︒，点E、F分别是线段AB、AD中点，∴12CF AD AF==，12CE AB AE==，∵EF EF=，∴CEF∆≌AEF∆；（2）∵点E、F分别是线段AB、AD中点，∴EF∥BD，12EF BD=，∵BD = 2CD，∴EF CD=，∴四边形CFED是平行四边形，∴DE CF=，∵CF AF=，∴DE AF=．【总结】本题考查了直角三角形的性质、三角形全等及平行四边形的判定和性质的综合运用．【习题7】已知正方形ABCD的对角线相交于点O，CAB∠的平分线分别交BD、BC于点E、F，作BH AF⊥，垂足为H ，BH的延长线分别交AC、CD于点G、P．（1）求证：AE = BG；（2）求证：GO AG CG AO=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵ABCD为正方形，∴OA OB=，AC BD⊥，∵BH AF⊥，∴BGO BEH∠=∠，∵AEO BEH∠=∠，∴BGO AEO∠=∠，∴AEO∆≌BGO∆，∴AE BG=；（2）∵AF为CAB∠的平分线，∴OAE BAF∠=∠，∵CBP BAF∠=∠，∴OAE∆∽CBP∆，∴OE PCAO BC=，∵AB BC=，GO OE=，∴GO PCAO AB=，A BCD PGOFHE30 / 34ABCDE F∵PC ∥AB ，∴CG PCAG AB=， ∴GO CGAO AG=，∴GO AG CG AO =． 【总结】本题考查了正方形的性质及相似三角形的判定．【作业1】 若ABC ∆∽111A B C ∆（其中点A 和1A 、B 和1B 、C 和1C 分别对应），且AB = 4，11A B= 6，则ABC ∆的周长和111A B C ∆的周长之比是（ ）A ．9 : 4B ．4 : 9C ．2 : 3D ．3 : 2【难度】★ 【答案】C ．【解析】相似三角形的周长比等于相似比． 【总结】本题考查了相似三角形的性质．【作业2】 已知，如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 的中点，BE CD ⊥，垂足为点F ，BE 交AC 于点E ，CE = 1cm ，AE = 3 cm ． 求证：（1）ECB ∆∽BCA ∆；（2）求斜边AB 的长．课后作业【难度】★【答案】详见解析．【解析】（1）∵BE CD⊥，90ACB∠=︒，∴ACD CBE∠=∠，∵点D为AB的中点，∴CD AD=，∴ACD DAC∠=∠，∴CBE A∠=∠，∴ECB∆∽BCA∆；（2）由（1）得CB CECA CB=，解得：2CB =cm，∴2225AB AC BC=+=cm．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质，注意观察母子形．【作业3】已知：如图，线段AB // CD，AC CD⊥，AC、BD相交于点P，E、F分别是线段BP和DP的中点．（1）求证：AE // CF；（2）如果AE和DC的延长线相交于点Q，M、N分别是线段AP和DQ的中点，求证：MN = CE．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵AB // CD，∴AP BP PC PD=，∵E、F分别是线段BP和DP的中点，A BCDEFPQNM32 / 34∴22AP PE PEPC PF PF==， ∴AE // CF ；（2）∵AC CD ⊥，E 、F 分别是线段BP 和DP 的中点，∴AE EP EB ==，∵EA EBEQ ED=，∴ED EQ =， ∵M 、N 分别是线段AP 和DQ 的中点，∴EM AC ⊥，EN DQ ⊥，∴四边形MNCE 是矩形，∴MN CE =．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理和矩形的判定及性质．【作业4】 如图，已知在四边形ABCD 中，AD // BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD 平分ABC ∠，过点D 作DF // AB ，分别交AC 、BC 于点E 、F ． （1）求证：四边形ABFD 是菱形；（2）设AC AB ⊥，求证：AC OE AB EF =． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AD // BC ，DF // AB ，∴四边形ABFD 是平行四边形， ∵BD 平分ABC ∠，∴ABD DBC ∠=∠，∵ADB DBC ∠=∠， ∴ABD ADB ∠=∠，∴AB AD =，∴四边形ABFD 是菱形； （2）连接OF ，易证AOB ∆≌FOB ∆，∵AC AB ⊥，∴OF BC ⊥，∵DF // AB ，∴EF OC ⊥，∴CEF ∆∽FEO ∆，∴EF CEEO EF=， ∵CE EF AC AB =，即CE AC EF AB =，∴EF ACEO AB=，∴AC OE AB EF =． 【总结】本题考查了菱形的判定及相似三角形的判定及性质的综合运用．ABC DEFO【作业5】 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点E 在边CD 上，点F 在BC 的延长线上，CF = DE ，AE 的延长线与DF 相交于点G ． （1）求证：CDF DAE ∠=∠；（2）如果DE = CE ，求证：AE = 3EG ．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD DC =，ADE DCF ∠=∠，∵CF = DE ，∴ADE ∆≌DCF ∆，∴CDF DAE ∠=∠；（2）延长AG 、BF 交于点M ， ∵DE = CE ，易证ADE ∆≌MCE ∆，∴AE EM =，AD CM =， 设1DE =，则2AD DC CM ===，1CF FM ==，∴12MG MF AG AD ==，设MG k =，则2AG k =，1322AE AM k ==，∴12EG k =，∴3AE EG =．【总结】本题考查了全等三角形的判定及相似三角形的性质．【作业6】 已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，联结BE ，过点A 作AF BE ⊥，分别交BE 、CD 于点H 、F ，联结BF ． （1）求证：BE = BF ；（2）联结BD ，交AF 于点O ，联结OE ．求证：AEB DEO ∠=∠． 【难度】★★ 【答案】详见解析．EDCG FABMAB CDEFHO【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，AF BE ⊥， ∴AB AD =，DAF ABE ∠=∠，∴DAF ∆≌ABE ∆，∴AE DF =，∴点F 为DC 中点，∴CBF ∆≌ABE ∆，∴BE BF =；（2）∵DE DF =，EDO FDO ∠=∠，DO DO =， ∴EDO ∆≌FDO ∆，∴DEO DFO ∠=∠，由（1）得AEB DFO ∠=∠，∴AEB DEO ∠=∠．【总结】本题考查了全等三角形的判定及正方形的性质的综合运用．。

24.4相似三角形的判定一、单选题1．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（）A．AB∥CD B．A D∠=∠C．OA OBOD OC=D．OA ABOD CD=【答案】D【解析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．C、由OA OBOD OC=、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．D、已知两组对应边的比相等：OA ABOD CD=，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．故选：D【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．2．在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（）A．AD AEBD EC=B．∠ADE=∠ACBC．AE﹒AC=AB﹒AD D．AD DE AB BC=【答案】D【解析】由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可．【详解】解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A不符合题意；两角对应相等，两三角形相似，故选项B不符合题意；由AE﹒AC=AB﹒AD得AD ACAE AB=，且∠A=∠A，故可得△ABC与△ADE相似，所以选项C不符合题意；而D不是夹角相等，故选项D符合题意；故选：D【点睛】相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．3．下列各组图形中，不一定相似的是（）A．各有一个角是100°的两个等腰三角形B．各有一个角是90°的两个等腰三角形C．各有一个角是60°的两个等腰三角形D．各有一个角是50°的两个等腰三角形【答案】D【解析】根据相似图形的定义，以及等边三角形的性质对各选项分析判断求解．【详解】A 、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；B 、两个等腰直角三角形，对应边的比相等，锐角都是45°，相等，所以一定相似；C 、各有一个角是60°的两个等腰三角形，是等边三角形，有两对对应角相等，所以一定相似；D 、各有一个角是50°的两个等腰三角形，可能是顶角为50°，也可能底角为50°，所以对应角不一定相等，所以不一定不相似；故选：D ．【点睛】本题考查了相似图形的判断，严格按照判定定理即可，另外，熟悉等腰三角形，等边三角形的性质对解题也很关键．4．如图，已知12,∠=∠则添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADE ∆∆的是（ ）A ．AB BC AD DE = B ．AB AC AD AE = C ．B ADE ∠=∠ D ．C E ∠=∠【答案】A【解析】先根据∠1=∠2得出∠BAC=∠DAE ，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE ． A. AB BC AD DE=，∠B 与∠D 的大小无法判定，∴无法判定△ABC∽△ADE ，故本选项符合题意； B.AB AC AD AE =，∴△ABC∽△ADE ，故本选项不符合题意；∠=∠∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；C. B ADE∠=∠∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；D. C E故选：A【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．5．下列说法中，正确的是（）①有两边成比例且一对内角相等的两个三角形相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；④一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似．A．①，②B．②，③C．③，④D．①，④.【答案】B【解析】根据三角形相似的判定判定即可；【详解】①必须是夹角，故错误；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，正确；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，正确；④必须是第三边的平行线，故错误；故答案选D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，准确判断是解题的关键．6．如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D【解析】试题分析：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD，∴共4对，故选D．考点：1．相似三角形的判定；2．平行线的判定．7．如图，下列选项中不能判定ACD ABC ∆∆的是（ ）A ．2AC AD AB =⋅B ．2BC BD AB =⋅ C ．ACD B ∠=∠D ．ADC ACB ∠=∠ 【答案】B【解析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．【详解】解：A 、∵AC 2=AD•AB ， ∴AC AB AD AC=， ∵∠A=∠A ，∴△ACD∽△ABC ，故本选项不符合题意；B 、∵BC 2=BD•AB ， ∴BC AB BD BC=， ∵∠B=∠B ，∴△BCD∽△ABC ，不能推出△ACD∽△ABC ，故本选项符合题意；C 、∵∠A=∠A ，∠ACD=∠B ，∴△ACD∽△ABC ，故本选项不符合题意；D 、∵∠A=∠A ，∠ADC=∠ACB ，∴△ACD∽△ABC ，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记并理解应用相似三角形的判定定理是解此题的关键．8．在△ABC中，D为AB上一点，过点D作一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作（）A．2条B．3条C．4条D．5条【答案】C【解析】根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断．【详解】满足条件的直线有4条，如图所示：如图1，过D作DE∥AC，则有△BDE∽△BAC；如图2，过D作DE∥BC，则有△ADE∽△ABC；如图3，过D作∠AED=∠B，又∠A=∠A，则有△ADE∽△ACB；如图4，过D作∠BED=∠A，又∠B=∠B，则有△BED∽△BAC，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用．9．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定△ABC∽△DEF的是（）①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．【详解】解：如图示，在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，①55A ∠=︒905535B35D ，B D ∴∠=∠C F ∠=∠ABC EDF ∴∆∆∽，故①是不正确的；9=AC ，12BC =，6DF =，8EF =， ∴32ACBC DF EF ， C F ∠=∠，ABC DEF ∴∆∆∽， 故③是正确的；10AB =，6BC =，15DE =，9EF =， ∴23ABBC DE EF ， C F ∠=∠，ABC DEF ∴∆∆∽；故④是正确的；∵3AC =，4BC =，6DF =，8DE =， ∴12ABBC DF DE ，C F ∠=∠有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；故②是错误的；综上所述③④是正确的，正确的有2个，故选：B ．【点睛】此题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．10．如图，在正三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且13AD AC ＝，AE=BE ，则有（ ）A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABDD ．△BAD ∽△BCD【答案】B【解析】 本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，13AD AC ＝，AE=BE ，我们可以分别得到：△AED 、△BCD 为锐角三角形，△BED 、△ABD 为钝角三角形，然后根据锐角三角形不可能与钝角三角形相似排除错误答案，得到正确答案．【详解】由已知中正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，13AD AC ＝，AE=BE ， 易判断出：△AED 为一个锐角三角形，△BED 为一个钝角三角形，故A 错误；△ABD 也是一个钝角三角形，故C 也错误；但△BCD 为一个锐角三角形，故D 也错误；故选：B ．【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于可以直接根据相似三角形的定义，大小不同，形状相同，排除错误答案，得到正确结论．11．下列条件，能使ABC 和111A B C △相似的是（ ）A ．1111112.5,2,3;3,4,6AB BC AC A B BC AC ======B ．11111192,3,4;3,6,2AB BC AC A B B C AC ======C．11111110,8;AB BC AC A B BC AC =====D．1111111,3;AB BC AC A B BC AC ======【答案】B【解析】【解析】 根据相似三角形的判定定理进行判断．【详解】解：A 、11112.55213642AB BC A B B C ==≠==，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； B 、11111123242933632AB BC AC A B AC B C =======，能使ABC ∆和△111A B C 相似，正确； C、1111AB BC A B B C =≠=，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； D、1111AB BC A C B C ==≠=，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； 故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出三角形的对应边、对应角．12．如图，在平面直角坐标系中，A （0，4），B （2，0），点C 在第一象限，若以A 、B 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似（不包括全等），则点C 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】试题解析：如图①，∠OAB =∠1BAC ，∠AOB =∠1ABC 时，△AOB ∽△1ABC ．如图②，AO ∥BC ，BA △2AC ，则∠2ABC =∠OAB ，故△AOB ∽△2BAC ；如图③，3AC ∥OB ，∠ABC 3=90 ，则∠ABO =∠CAB ，故△AOB ∽△3C BA ；如图④，∠AOB =∠4BAC =90 ，∠ABO =∠4ABC ，则△AOB ∽△4C AB ．故选D ．二、填空题13．如图，在△ABC 中，DE∥BC ，则DE BC=______．【答案】=AB AD AE AC【解析】 根据平行线的性质得∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，利用“有两个角对应相等的两个三角形相似”证得△ADE∽△ABC ，根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】∵DE∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∴△ADE∽△ABC ， ∴=AB AD AE AC， 故答案为：=AB AD AE AC ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 14．如图，在△ABC 中，DE∥BC ，13ADBD ，则△ABC∽______，其相似比为______．【答案】△ADE41【解析】 根据已知条件判定相似三角形即可；【详解】∵DE∥BC ，∴ABC ADE ， ∵13AD BD ， ∴1A 4AD B =， ∴4A 1=AB D ; 故答案是△ADE 和41． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，准确分析是解题的关键．15．点D 在ABC 的边AB 上，且2AC AD AB =⋅，则ABC ACD ，理由是_______．【答案】有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似【解析】先依题意画出图形，再根据相似三角形的判定即可得．【详解】依题意，画图如下：2AC AD AB=⋅，即AB AC AC AD=，又A A∠=∠，ABC ACD~∴（有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．16．如图，添上条件________，则ABC ADE∽．【答案】∠ABC=∠ADE（答案不唯一）【解析】根据相似三角形的判定定理添加即可.【详解】添上∠ABC=∠ADE条件，则△ABC∽△ACD．理由：∵∠ABC=∠ADE，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD ．故答案为∠ACD=∠B （答案不唯一）【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：有两个角对应相等的三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题键． 17．如图，∠DAB=∠CAE ，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE ．【答案】解：∠D=∠B 或∠AED=∠C ．【解析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可．【详解】解：∵∠DAB=∠CAE∴∠DAE=∠BAC∴当∠D=∠B 或∠AED=∠C 或AD ：AB=AE ：AC 或AD•AC=AB•AE 时两三角形相似．故答案为∠D=∠B （答案不唯一）．18．在ABC 和A B C '''中，若B B '∠=∠，6AB =，8BC =，4B C ''=，则当A B ''=________时，ABC A B C '''.【答案】3【解析】在ABC 和A B C '''中，已知了B B '∠=∠，要判定这两个三角形全等，可以利用定理“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，得到AB BC A B B C '''='，即可求出A B ''的值． 【详解】由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，若要使ABC A B C '''， 已知'B B ∠=∠，只要::AB BC A B B C ''''=即可，解得3A B ''=.【点睛】本题考查的是利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定两三角形相似方法为图形补充条件，紧扣定理构成比例式是解题的关键．19．如图，E 是□ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ，图中______对相似三角形．【答案】3【解析】由□ABCD 可得//AB CD ，//AD BC ，再由平行线性质推导而证明△AFE∽△CFD∽△BCE ，从而完成求解．【详解】∵□ABCD∴//AB CD ，//AD BC∴E DCF ∠=∠，EAFEBC ∠=∠ ∵AFE CFD ∠=∠∴AEF DCF ∽∵EAFEBC ∠=∠，AEF BEC ∠=∠ ∴AFE BCE ∠=∠∴△CFD∽△BCE∴△AFE∽△CFD∽△BCE故答案为：3．【点睛】本题考查了平行四边形和相似三角形的知识；求解的关键是熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质，从而得到答案．20．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，12AD =，点E 在边AD 上，8AE =，点F 在边DC 上，则当EF =________时，ABE △与DEF 相似．【答案】5或203【解析】 若要ABE △与DEF 相似,则需要对应直角边成比例,代入数值计算即可．【详解】由题意,知ABE △与DEF 都是直角三角形, 所以当AB BE DE EF =或AE BE DE EF =时,ABE △与DEF 相似, 由6AB=,8AE =,12AD =,得10BE =,4DE =, ∴6104EF =或8104EF=, ∴EF =5或203． 故答案为: 5或203． 【点睛】ABE △与DEF 相似和ABE DEF △△∽是有区别的,前者没有明确两个三角形的对应关系,后者已给出了对应关系,因此前者要分类讨论．21．如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC ，②△BCD ，③△BDE ，④△BFG ，⑤△FGH ，⑥△EFK ，在②～⑥中，与三角形①相似的有____（填序号）【答案】③④⑤【解析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答．【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1②△BCD的各边长分别为1③△BDE的各边长分别为2、2△ABC各边长的2倍）；④△BFG的各边长分别为5（为△ABC；⑤△FGH的各边长分别为2（为△ABC；⑥△EFK的各边长分别为3根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．故答案为③④⑤．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似是解题的关键．22．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度【答案】145【解析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD和△DBC中，已知∠ABD=∠CBD，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C，则△ABD与△DBC全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解.【详解】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD，△ABD与△DBC相似，但不全等，∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C.又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，∴∠ADB+∠BDC=145°，即∠ADC=145°.【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.三、解答题23．如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．【答案】见解析【解析】根据两角对应相等，两三角形相似的判定定理得解．【详解】证明：∵∠1＝∠2，∠DPA＝∠CPB，∴△ADP∽△BCP．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的各种判定方法是解题关键．24．如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF 于点G，求证：△BGF∽△DCF．【答案】见解析．【解析】先根据正方形的性质得出DC=BC，∠DCB =∠DCF =90°，由CE=CF可得出△DCF≌△ECB，故∠CDF=∠CBE，再根据∠F 为公共角即可得出结论．【详解】∵正方形ABCD∴∠DCB=∠DCF=90︒，DC=BC∵CE=CF∴△DCF≌△ECB∴∠CDF =∠CBE∵∠CDF＋∠F=90︒∴∠CBE＋∠F=90︒∴∠BGF=90︒=∠DCF∴△BGF∽△DCF【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．25．如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．【答案】△ADE∽△BDA【解析】先利用勾股定理求得AD=，进而有ED AD AD BD ==，又∠ADB=∠ADB ，利用“两组边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似”即可证得△ADE∽△BDA ．【详解】∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE ，∴AD=，BD=2CD ， ∴ED AD AD BD ==， ∵∠ADB=∠ADB ，∴△ADE∽△BDA ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．26．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ．（1）写出图中的两对相似三角形；（2）选择其中的一对相似三角形说明它们相似的理由．【答案】（1）ACD ABC ∽，CDB ACB ∽；（2）详见解析【解析】（1）根据相似三角形的判定定理，结合图形可得出ACD ABC △∽△，CDB ACB ∽△△，ACD CBD △∽△； （2）根据题意可选择证明ACD ABC △∽△，利用等角代换得出B ACD ∠=∠，从而利用两角法判断ACD ABC △∽△．【详解】解：()1根据相似三角形的判定定理可知：图中的两对相似三角形为：ACD ABC △∽△和CDB ACB ∽△△；（2）∵90A B ∠+∠=，90A ACD ∠+∠=，∴B ACD ∠=∠，又∵90ACB ADC CDB ∠=∠=∠=，∴ACD ABC △∽△．【点睛】本题考查有两组对应角相等的两三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．27．如图，已知//,//,//AB DE AC DF BC EF .求证：~DEF ABC ．【答案】证明见解析【解析】根据对应边平行可得对应边之比，从而证明~DEF ABC .【详解】 解：//,~,DE OE AB DE ODE OAB AB OB∴∴=． //,~,EF OE OF BC EF OEF OBC BC OB OC∴∴==． //,~,DF OF AC DF ODF OAC AC OC ∴∴=． ∴DE EF DF AB BC AC ==， ∴~DEF ABC .【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法：三边对应成比例是解题的关键.28．如图，在△ABC 中，∠C=90°，DM△AB 于点M ，DN△BC 于点N ，交AB 于点E ．求证：△DME∽△BCA ．【答案】见解析【解析】先证明∠DEM=∠A ，再由∠C=∠DME=90°，根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明DME ∽BCA ．【详解】证明：∵∠C=90°，DM△AB 于点M ，DN△BC 于点N ，∴∠C=∠ENB=∠DME=90°，∴AC∥DN ，∴∠BEN=∠A ，∵∠BEN=∠DEM ，∴∠DEM=∠A ．在DME 与BCA 中，DEM A DME C ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴DME ∽BCA ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，方法有（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．29．如图，ABC 和EFD △的顶点都在正方形网格的格点上，则ABC 与EFD △相似吗？请说明理由．【答案】~ABC EFD .理由见解析【解析】利用勾股定理求出网格中三角形的边长，再证明两个三角形三边对应成比例即可得到结论.【详解】解：相似，理由如下：设网格中小正方形的边长均为1．根据勾股定理，得5,AB AC BC EF DE DF ====∴AB AC BC EF DE DF === ∴~ABC EFD .【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法：三边对应成比例是解题的关键.30．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），∠ADE ＝45°．求证：△ABD ∽△DCE ．【答案】见解析【解析】已知等腰直角三角形的两底角相等：∠B ＝∠C ＝45°，所以欲证明△ABD ∽△DCE ，只需推知∠1＝∠3，由“两角法”证得结论．【详解】∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝45°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠B ＝135°，∵∠2+∠ADE +∠3＝180°，∠ADE ＝45°，∴∠2+∠3＝180°﹣∠ADE ＝135°，∴∠1＝∠3，∴△ABD ∽△DCE ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的判定与性质． 31．如图，在ABCD 中，E 是DC 上一点，连接AE 、F 为AE 上一点，且BFE C ∠=∠. 求证：ABF EAD .【答案】证明见解析.【解析】本题要证明ABF EAD ，根据题目给定的条件中没有给定与边对应成比例有关的信息，只有与角有关的条件，故在方法选择上确定利用定理“两角对应相等，两三角形相似”，通过证明BFE C ∠=∠，BAE AED∠=∠即可完成．【详解】证明∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，//AB CD ，//AD BC ，∴180D C ∠+∠=︒∵180AFB BFE ∠+∠=︒，且BFE C ∠=∠，∴D AFB ∠=∠.∵//AB CD ，∠=∠，∴BAE AED∴ABF EAD.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，关键是根据题意利用“两角对应相等，两三角形相似”的方法来证明两三角形相似．32．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP（1）求证：△ADE≌△CDF；（2）求证：△ADP∽△BDF；（3）如图2，若PE＝BE，PC CF的值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）CF1，【解析】（1）根据SAS证明即可；（2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．易证△APE≌△HPF（AAS），得PE＝PF，再证△DEF是等腰直角三角形，得∠EDP＝∠FDP＝45°，进而得∠DAP＝∠DBF，∠ADP＝∠BDF即可得到结论；（3）如图2，作PH△BC于H．首先证明∠EFB＝30°，由PC得：HF进而求出CF，即可解决问题．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°，∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠FCH＝45°，∵AB∥FH，∴∠HFC＝∠ABC＝90°，∴∠FCH＝∠H＝45°，∴CF＝FH＝AE，∵∠PAE＝∠H＝45°，∠APE＝∠FPH，∴△APE≌△HPF（AAS），∴PE＝PF，∵△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∵EP＝PF，∴∠EDP＝∠FDP＝45°，∵ADP＝∠ADE+∠PDE＝∠ADE+45°，∠BDF＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°，∴∠ADP＝∠BDF，∵∠DAP＝∠DBF＝45°，∴△ADP∽△BDF；（3）如图2中，作PH△BC于H．∵∠ACB＝45°，PC∴PH＝CH＝1．由（2）得：BE＝PE＝PF，∴BE＝12 EF，∴∠BFE＝30°，∴PF＝2，∴HF∴CF1，【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，正方形的性质定理，全等三角形的判定和性质定理，等腰直角三角形的性质定理以及含30°角的直角三角形的性质定理，添加辅助线，构造全等三角形和含30°角的直角三角形，是解题的关键．。