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复数的平方根、立方根、实系数一元二次方程 这节课我们学什么1.复数的平方根、立方根的求法；2.实系数一元二次方程的虚根问题；3.虚系数一元二次方程；4.“1”的立方根问题。
知识框图知识点梳理1、,,a b R ∈则对于复数z a bi =+：（1）z 为虚数0;b ⇔≠（2）z 为纯虚数0,0;a b ⇔=≠（3）z =（4） z =a −bi ;（5）z 的实部;a =（6）z 的虚部();b bi =≠（7）0z R z z b ∈⇔=⇔=2、i 的运算规律：44142431;;1;nn n n i i i i i i +++===−=−（以上n Z ∈）3、复数相等得充要条件试题它们的实部和虚部对应相等，即：,,,a b c d R ∈，则a bi c di a c b d+=+⇔==且4、复数模的性质：2212112121122(1);(2);(3);(4); n nz z z z z z z z zz z z z z z ======121212(5)z z z z z z −≤±≤+5、实系数一元二次方程在复数范围内解的性质 （1）当042≥−=Δac b 时，方程有两个实根21,x x . （2）当042<−=Δac b 时，方程有两个共轭虚根，其中 21x x =.此时有ac x x x x ===212221且a ib x 22,1Δ−±−=.注意两种题型：12(1)||x x −12(2)||||x x +虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解.但仍然适用韦达定理.已知1x ，2x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，求12||x x −的方法：（1）当042≥−=Δac b 时，aacb x x x x x x 44)(22122112−=−+=−(2)当042<−=Δac b 时，ab ac x x x x x x 2212211244)(−=−+=−已知1x ，2x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，求12||||x x +的方法： （1）当042≥−=Δac b 时，①,021≥⋅x x 即0≥ac，则a b x x x x =+=+2112②,021<⋅x x 即0<ac，则aac b x x x x x x x x 44)(2212212112−=−+=−=+（2）当042<−=Δac b 时，ac x x x x x 22221112=⋅==+7、解方程000(0,,,)nn n n a x a a a a C n N +=≠∈∈的思路：将其化为0,nna x a =−问题转化为求0na a −的n 次方根8、关于含有,,z z z 等的方程，通常设(,)z x yi x y R =+∈代入方程，利用复数相等的充要条件求解典型例题分析1、 复数的平方根、立方根的求法； 例1、已设 z =1+i （是虚数单位），则复数2z+z 2对应的点位于象限。
课题 复数的平方根与立方根上次课巩固1. 若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y∈R，则复数x ＋yi ＝ ( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i2. 复数2＋i 1－2i的共轭复数是 ( ) A ．－35i B.35i C ．－i D ．i 3. 使不等式(m 2－4m ＋3)i ＋10>m 2－(m 2－3m)i 成立的实数m ＝________。
4. 若复数a ＋3i 1＋2i(a∈R，i 是复数单位)是纯虚数，则实数a ＝________。
5. 已知复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋(1－a 2)i ，在复平面内的对应点分别为P 1、P 2，12PP 对应复数为－3＋i ，则a ＝______。
6. 若i 是虚数单位，求满足(p ＋qi)2＝q ＋pi 的实数p 、q 。
7．已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围。
复数的平方根与立方根一、复数的平方根1. 复数的平方根的定义若复数z 1，z 2满足z 12=z 2，则称z 1是z 2的平方根2. 复数的平方根的求法利用复数相等，把复数的平方根问题转化为实数方程组来求3. 复数的平方根的性质复数z （z ≠0）总有两个平方根z 1、z 2，且z 1+z 2=0例1、求下列复数的平方根：（1）﹣7； （2）﹣3+4i二、复数的立方根1. 复数立方根的定义与平方根类似，满足z 13=z 2，则称z 1是z 2的立方根2. 1的立方根设复数ω=﹣21+23i ，则1，ω，ω2都是1的立方根。
3. ω的性质1+ω+ω2=0， ω3=1， ω2=ω=﹣21+23i 例1、 利用1的立方根ω，求下列实数的立方根。
（1）64； （2）﹣125.例2、 计算复数z=12322⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--i i 的值【练习一】1. （1）设z ∈C ，z 2=a ，a ∈R ，求z 。
复数的平方根和立方根复数是数学中的一个重要概念，它包含了实数和虚数。
在实数中，我们可以轻松地计算平方根和立方根，但是在复数中，情况就有所不同了。
本文将介绍如何计算复数的平方根和立方根。
一、复数的表示形式复数可以用a+bi的形式表示，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复数的实部为a，虚部为b。
二、复数的平方根要计算一个复数的平方根，我们需要使用泰勒级数展开和极坐标表示法。
1. 泰勒级数展开对于一个复数z=a+bi，其平方根z1的泰勒级数展开公式为：z1 = ±√[(|z|+a)/2] ± i√[(|z|-a)/2]其中，|z|为z的模，记作|r|。
2. 极坐标表示法我们也可以使用复数的极坐标来计算其平方根。
假设一个复数z在极坐标系中的表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
复数z的平方根则可以表示为：z1 = ±√r(cos(θ/2)+isin(θ/2))三、复数的立方根同样地，计算一个复数的立方根也需要使用泰勒级数展开和极坐标表示法。
1. 泰勒级数展开对于一个复数z=a+bi，其立方根z1的泰勒级数展开公式为：z1 = ±[(|z|^(1/3)+a/3)^(1/2) + i√3(|z|^(1/3)-a/3)^(1/2)]2. 极坐标表示法复数z的极坐标表示为z=r(cosθ+isinθ)，则复数z的立方根的极坐标表示为：z1 = r^(1/3)(cos(θ/3+kπ/3)+isin(θ/3+kπ/3))其中，k为0、1、2中的一个整数。
结论在本文中，我们学习了如何计算复数的平方根和立方根。
通过泰勒级数展开和极坐标表示法，我们可以轻松地得出复数的平方根和立方根的表达式。
这些计算方法在数学和工程领域中有着广泛的应用，对于解决实际问题具有重要的意义。
以上是关于复数的平方根和立方根的讨论。
通过泰勒级数展开和极坐标表示法，我们可以计算复数的平方根和立方根，这对于解决实际问题具有重要的意义。
沪教版数学高二下春季班第二讲课题 复数的方根与实系数一元二次方程单元第十三章 学科数学年级十一学习 目标1．掌握待定系数法求解复数的平方根和立方根；掌握1的立方根的相关性质，并能利用其进行化简与求值2．掌握实系数一元二次方程的解法，并会结合根的情况加以讨论3．理解复数模的几何意义，熟悉常见几何图形的复数表达式 重点 1．方根的求解与化简求值；2．实系数一元二次方程的解法与根的情况分析． 难点 实系数一元二次方程的解法与根的情况分析一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 教学安排版块 时长1 知识梳理 302 例题解析 603 巩固训练 204 师生总结 10 5课后练习30复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根 设复数1322i ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=， ③21322i ωω==--． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根242b b aca-±-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根242b ac b ia-±-，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）． 图1图2三、常见几何图形的复数表达式 复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-； （2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=； （3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根．【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（1）615212(13)(13)112(1)22i i i i i ---⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）50820028223(22)112313i i i i i i ⎛⎫-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭． 例题解析【注意】 （1）在复数集C 中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅 在实数集上有效； （2）实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现； （3）齐二次实系数二次方程2211220(,,)az bz z cz a b c R ++=∈，将等式两端除以2z 后，将得到一个关于12zz 得实系数一元二次方程；（不作要求） （4）虚系数一元二次方程20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，至少有一个为虚数）①判别式判断实根情况失效； ②虚根成对出现的性质失效； 如220x ix --=，虽然70∆=>，但该方程并无实根，不过韦达定理仍适用.【难度】★★【答案】（1）513；（2）247+【例3】记122ω=-+，求1ωω+，221ωω+． 【难度】★★ 【答案】11ωω+=-，2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z L ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）． （1）求,x y 的值；（2）试求使1230n z z z z ++++=L 的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z g g gL g 的值． 【难度】★★【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12n =；（3）1-．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是 ．【难度】★ 【答案】(2)i ±+2．计算：（11996= ． （2）151512(1)(1)(1)i -=-+ ． 【难度】★ 【答案】（1）122-；（2）03．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+； （3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ． 【难度】★★【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★【答案】222223244x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-++=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2x x ⎛=+- ⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值 【难度】★★【答案】由210z z ++=得，211022z w z w w w ==-+=∴++=或 所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为 ． 【难度】★★ 【答案】332．1≠ω，13=ω，求32302ωωω+++Λ的值.【难度】★★【答案】122i ω=-+时，原式=15-；122ω=--时，原式；3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解．【难度】★【答案】920m ∆=-当0∆>时，即920m <时，32x ±=；当0∆=时，即920m =时，32x =；当0∆<时，即920m >时，32i x ±=．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴12αβ=-± 【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值． 【难度】★★ 【答案】14p ∆=-，（1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x 是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-；（2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===．综上，2p =-或52．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值．【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=；（2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+===【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ． 【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z zz z +=． 令12z t z =，则141t t+=， ∴240t t -+=，∴122t i =±，即1212z z =．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值； （2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值． 【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=； （2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值． 【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=．①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤． 当根为2时，440a a -+=．得43a =．当根为2-时，440a a ++=．得45a =-． ②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）．（2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根； （2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12c x x a=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根． 【难度】★★【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★ 【答案】273．已知,0x y ≠且022=++y xy x ，求20092009()()x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值． 【难度】★★【答案】53m =-或m =5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+，（1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值． 【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略） 当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞； 当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ， 则121212t t +=⨯=．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值． 【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=．∴2121|(4)|74m z z --=，即|(45)|7m i -+=， 这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心，7为半径的圆周上，∴max ||7m =，min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++g g g ，试求0362016a a a a ++++g g g 的值。
复数（2）一、复数的平方根和立方根1、复数的平方根若一个复数z 的平方等于另一个复数1z ，即12z z =，则称z 为1z 的平方根。
求一个复数a+bi （a 、b ∈R ）的平方根的方法：设x+yi （x 、y ∈R ）是复数a+bi （a 、b ∈R ）的平方根，则()bi a yi x +=+2bi a xyi y x +=+-⇒222bxy a y x ==-⇒222解出x 、y 即可。
如：求3+4i 的平方根。
2、复数的立方根求复数的立方根的方法与求平方根类似，但适合于简单的，对于复杂一点的和更高次方根，在进一步学习复数时介绍。
这里只要求掌握1（和－1）的立方根及其性质。
我们可求出1的立方根为1、i 2321+-和i 2321--，我们把i 2321±-叫做1的立方虚根，用ω表示。
则有1123=++=ωωω，且若记i23211+-=ω，i23212--=ω，则21ωω与共轭，且122221,ωωωω==。
同理可求－1的立方根及其性质。
注：注意i 2321±-这是1的立方根，也就是其三次方为1，因此可求这类的高次，如计算：①1002321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±-i 、②若ω=i 2321+-，则=++124ωω＿＿＿③()()()()2015201513131i i i i ++-+--等。
二、复数集中的方程和因式分解1、复数集中一元二次方程①关于复数集中一元二次方程有无实根的判别方法 1）若系数都是实数可以用“△”来判别 2）若系数中有虚数就不能用“△”来判别此时只有用复数相等条件来解决，即将x 视为实数，将方程化为a+bi=0型，由复数相等条件得a=0且b=0得出一个方程组，然后看这个方程组有无实数解。
如： 例、判别方程()0442=++++ai x i x（a ∈R ）的实根情况，若有实根，求a 并解这个方程。
注：这种方法可推广到高次方程。
如： 例、己知关于x 的方程083=-+-ki ix x （k ∈R ）有实根，求k 的值，并解这个方程。
