2015-2016学年浙江省绍兴一中高二上学期期中数学试卷与解析

绍兴一中高二数学期中考试卷（理科）一.选择题（每小题4分，共40分）1.空间直线a 、b 、c ，平面α，则下列命题中真命题的是 （ ） A. 若a ⊥b,c ⊥b,则a//c;B. 若a//c,c ⊥b,则b ⊥a;C. 若a 与b 是异面直线, a 与c 是异面直线, 则b 与c 也是异面直线.D. 若a//α ，b//α，则a// b;答案：B2. 下列几何体各自．．的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 （ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④答案：D3. 已知O 为空间直角坐标系的原点，以下能使向量,,OA OB OC 共面的三点,,A B C 的坐标是（ ）A. A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)B. A (1，2，3)，B (3，0，2)，C (4，2，5)C. A (1，1，0)，B (1，0，1)，C (0，1，1)D. A (1，1，1)，B (1，1，0)，C (1，0，1)答案：B4. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G=λ（0≤λ≤1）则点G 到平面D 1EF 的距离为（ ） ABC．3D．5答案：D5. 若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积等于（ ）A.2123πcm 3 B. 70πcm 3 C. 3263πcm 3 D. 100πcm 3 答案：A正视图侧视图6. 设a ,b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是 ( ). A ．,//,a b αβαβ⊥⊥ B ．,,//a b αβαβ⊥⊥ C ．,,//a b αβαβ⊂⊥ D ．,//,a b αβαβ⊂⊥ 答案：C7. 在三棱锥P —ABC 中，所有棱长均相等，若M 为棱AB 的中点，则PAAC D答案：C8. 已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为 （ ）A．12C答案：D9．如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是 ( ). （A ）A C BD '⊥ （B ）90BA C'∠=（C ）CA '与平面A BD '所成的角为30（D ）四面体A BCD '-的体积为13答案：B10. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断：①1AC ^平面1B EF ；②1B EF D 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位置无关. 其中正确判断的个数有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 答案：BCBPMAB CD BDA '俯视图二. 填空题（每小题3分，共21分）11．表面积为27π的半球体的体积是 ． 答案：36π12. 对于平面 , αβ和直线 m ，试用 “ ⊥ ” 和 “ // ”构造条件 使之能推出 m ⊥β 答案：, //m ααβ⊥13. 一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形.则用 个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体.答案：3 13．某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为2cm （制作过程合板损耗和合板厚度忽略不计）.答案：4160014. 如图，两矩形ABCD 、ABEF 所在平面互相垂直，DE 与平面ABCD 及平面ABEF 所成角分别为300、450, M 、N 分别为DE 与DB 的中点，且MN=1.线段AB 的长为 . 解： 24822=-=-=EB AE AB ．16. 如图在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4,3,5,A B A D A A B A D'===∠=，60BAA DAA ''∠=∠= ，则AC '的长是解：||AC '=17．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则三棱锥P ABC -的侧面积的最大值为 ． 解：18 三.解答题18. （本小题满分9分）B如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ， 45=∠ABC ，1DC =，2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ．（Ⅰ）求证：//AB 平面PCD ； （Ⅱ）求证：⊥BC 平面PAC ；解：（Ⅰ）证明： //AB CD ，又AB ⊄平面PCDCD ⊂平面PCD ∴AB ∥平面PCD ……… 4分(Ⅱ)在直角梯形ABCD 中，过C 作CE AB ⊥于点E ，…… 5分∴BC ⊥平面PAC…………9分19. （本小题满分10分）已知四棱锥P —ABCD 及其三视图如下图所示，E 是侧棱PC 上的动点。

7984464793绍兴一中 高二数学（文）期中试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分,共30分，每小题都只有一个正确答案） 1. 算法的三种基本结构是 ( )A. 顺序结构、模块结构、条件结构B. 顺序结构、循环结构、模块结构C. 顺序结构、条件结构、循环结构D. 模块结构、条件结构、循环结构2. 某单位有老年人27 人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体状况的某项指标,需从他们中间抽取一个容量36样本,则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是（ ） A.6， 12 ，18 B. 7，11，19 C.6，13，17 D. 7，12，173.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么对立的两个事件（ ）A ．至少有1名男生和全是男生B ．至少有1名男生和至少有1名女生C ．恰有1名男生和恰有1名女生D ．至少有1名男生和全是女生4． 如图是元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 （ ） A ． 84，4.84 B ．84，1.6 C ．85，1.6D ． 85，45．如图，若框图所给的程序运行的输出结果为132=S ，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 （ ） A ．10≤k B ．11k ≤ C ．10k <D ．11k ≥6．若双曲线221x ky +=的离心率是2， 则实数k 的值是 （ ）A ．3-B ． 13-2 0 10 学 年第 一 学 期C ． 3D ． 137．P 是椭圆191622=+y x 上的动点, 作PD ⊥y 轴, D 为垂足, 则PD 中点的轨迹方程为( ) A 116922=+y x B 196422=+y x C 14922=+y x D 19422=+y x8．下列有关命题的说法正确的是 （ ） A ．命题“若1,12==x x 则”的否命题为：“若1,12≠=x x 则” B ．“x=-1”是“0652=--x x ”的必要不充分条件 C ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题.D ．命题“若y x y x sin sin ,==则”的逆否命题为真命题9．方程mx +ny 2=0与mx 2+ny 2=1(mn ≠0)在同一坐标系中的图象大致是( )A B C D10 . 如图，已知A B C D 、、、分别为过抛物线24y x =的焦点F 的直线与该抛物线和圆22(1)1x y -+=的交点，则AB CD ⋅ 等于（ ） A ． 12 B. 1 C. 2 D. 3二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11.命题“若a b ≥，则33a b ≥”的逆命题是_____ . 12. 圆222()()x a y b r -+-=经过原点的充要条件是____ ____ .13．抛物线24y x =上与焦点距离等于4的点的坐标是 。

2015-2016学年浙江省绍兴市柯桥中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知A（1，2），B（﹣1，0），C（3，a）三点在同一条直线上，则a 的值为（）A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．22．（5分）若直线2（a+1）x+ay﹣2=0与直线ax+2y+1=0垂直，则a=（）A．﹣2 B．0 C．﹣2或0 D．2±23．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BC1与AB1所成角的大小为（）A．B．C．D．5．（5分）一个水平放置的图形的斜二测直观图是底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，则原图形的面积为（）A．B．+1 C．D．+26．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．37．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π8．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3] 9．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．410．（5分）已知△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点，给出下列四个命题：①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的四个面都是直角三角形；②若PM⊥平面ABC，且M是AB边的中点，则有PA=PB=PC；③若PC=5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为；④若PC=5，P在平面ABC上的射影是内切圆的圆心O，则PO长为；其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）已知直线3x+2y﹣3=0与6x+my+1=0相互平行，则它们之间的距离是．12．（4分）若两圆x2+y2=1和（x+4）2+（y﹣a）2=25有三条公切线，则常数a=．13．（4分）已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是．14．（4分）已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为．15．（4分）在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD=1，则二面角B﹣AC﹣D的平面角的余弦值．16．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是它的体对角线BD1上一动点，则|AP|+|PC|的最小值是．三、解答题（15+15+15+15+16=76）17．（15分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l关于原点O对称的直线方程．18．（15分）如图，是一个几何体的三视图，正视图和侧视图都是由一个边长为2的等边三角形和一个长为2宽为1的矩形组成．（1）求此几何体的表面积；（2）求此几何体的体积．19．（15分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PEC；（2）求PC与平面PAD所成的角的正弦值．20．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O．（Ⅰ）若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：PB=PD；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD，若存在，求的值；若不存在，说明理由．21．（16分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0．（Ⅰ）若过定点（﹣2，0）的直线l与圆C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若过定点（﹣1，0）且倾斜角为的直线l与圆C相交于A，B两点，求线段AB的中点P的坐标；（Ⅲ）问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为EF，且以EF为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线l的方程；若不存在，请说明理由．2015-2016学年浙江省绍兴市柯桥中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知A（1，2），B（﹣1，0），C（3，a）三点在同一条直线上，则a 的值为（）A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．2【解答】解：∵A（1，2），B（﹣1，0），C（3，a）三点在同一条直线上，∴k AB=k AC，即=，解得：a=4，故选：B．2．（5分）若直线2（a+1）x+ay﹣2=0与直线ax+2y+1=0垂直，则a=（）A．﹣2 B．0 C．﹣2或0 D．2±2【解答】解：∵直线2（a+1）x+ay﹣2=0与直线ax+2y+1=0垂直，∴2（a+1）×a+a×2=0，解之得a=﹣2或0．故选：C．3．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【解答】解：对于A，设正方体的上底面为α，则在下底面内任意取两条直线m、n，有m∥α且n∥α，但不一定有m∥n成立，故是假命题；对于B，m∥n，m⊥α，根据线面垂直的性质，可以得到n⊥α，故正确；对于C，m∥α，m∥β，则α∥β或α、β相交，故是假命题；对于D，m∥α，α⊥β，则m与β平行、相交、m在β内都有可能，故不正确．故选：B．4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BC1与AB1所成角的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：连结AD1、B1D1，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥C1D1且AB=C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，可得AD1∥BC1，因此∠D1AB1（或其补角）就是异面直线BC1与AB1所成角．又∵设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，可得△D1AB1是边长为的等边三角形，∴∠D1AB1=，即异面直线BC1与AB1所成角等于．故选：B．5．（5分）一个水平放置的图形的斜二测直观图是底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，则原图形的面积为（）A．B．+1 C．D．+2【解答】解：根据题意，得：原图形为一直角梯形，且上底为1，高为2，下底为1+，所以，它的面积为S=×（1++1）×2=2+．故选：D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选：D．7．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π【解答】解：球的截面圆的半径为：π=πr2，r=1球的半径为：R=所以球的表面积：4πR2=4π×=8π故选：B．8．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3）时，解得b=3，故，故选：D．9．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．10．（5分）已知△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点，给出下列四个命题：①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的四个面都是直角三角形；②若PM⊥平面ABC，且M是AB边的中点，则有PA=PB=PC；③若PC=5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为；④若PC=5，P在平面ABC上的射影是内切圆的圆心O，则PO长为；其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，如图，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故四个面都是直角三角形，故①正确；对于②，连接CM，当PM⊥平面ABC时，PA2=PM2+MA2，PB2=PM2+BM2，PC2=PM2+CM2，因为M是Rt△ABC斜边AB的中点，所以BM=AM=CM，故PA=PB=PC，故②正确；对于③，当PC⊥平面ABC时，S△PCM=PC•CM=×5×CM．CM⊥AB时，CM取得最小值，长度为，的最小值是×5×=6，故③错误；所以S△PCM对于④，设△ABC内切圆的圆心是O，则PO⊥平面ABC，连接OC，则有PO2+OC2=PC2，又内切圆半径r=（3+4﹣5）=1，所以OC=，PO2=PC2﹣OC2=25﹣2=23，故PO=，故④正确．综上，正确的命题有①②④．故选：C．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）已知直线3x+2y﹣3=0与6x+my+1=0相互平行，则它们之间的距离是．【解答】解：直线3x+2y﹣3=0与6x+my+1=0相互平行，所以m=4，由平行线的距离公式可知d==．故答案为：．12．（4分）若两圆x2+y2=1和（x+4）2+（y﹣a）2=25有三条公切线，则常数a=±2．【解答】解：由已知得到两圆相外切，∴圆心距，解得．故答案为：±2．13．（4分）已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是b ⊂α或b∥α．【解答】解：当b⊂α时，a⊥α，则a⊥b当b∥α时，a⊥α，则a⊥b故当a⊥b，a⊥α⇒b⊂α或b∥α故答案为：b⊂α或b∥α14．（4分）已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为50π．【解答】解：圆锥的侧面展开图半圆的面积即为该圆锥的侧面积，该半圆的半径即为圆锥的母线长10，所以圆锥的侧面积为=50π．故答案为：50π．15．（4分）在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD=1，则二面角B﹣AC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：设菱形中心为O，连接OB，OD，∵AB=BC=CD=AD=1，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD是正三角形，∵O是AC的中点，∴OB=OD=，OB⊥AC，OD⊥AC，∴∠BOD为二面角B﹣AC﹣D的平面角．在△OBD中，由余弦定理得cos∠BOD==．故答案为．16．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是它的体对角线BD1上一动点，则|AP|+|PC|的最小值是．【解答】解：将平面BCD1与平面ABD1沿着BD1展平到一个平面．然后连接AC 与BD1的交点就是要求的点P的位置．此时|AP|+|PC|的最小值就是展开后的线段AC的长度，所以所求的值为AC=2×=，故答案为：．三、解答题（15+15+15+15+16=76）17．（15分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l关于原点O对称的直线方程．【解答】解：（1）由，解得，∴点P的坐标是（﹣2，2），∵所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，∴可设直线l的方程为2x+y+C=0．…（4分）把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+C=0，即C=2．∴所求直线l的方程为2x+y+2=0．…（6分）（2）又直线l的方程2x+y+2=0在x轴、y轴上的截距分别是﹣1与﹣2．…（8分）则直线l关于原点对称的直线在x轴、y轴上的截距分别是1与2，…（10分）∴所求直线方程为2x+y﹣2=0…（12分）18．（15分）如图，是一个几何体的三视图，正视图和侧视图都是由一个边长为2的等边三角形和一个长为2宽为1的矩形组成．（1）求此几何体的表面积；（2）求此几何体的体积．【解答】解：（1）由几何体的三视图知：该几何体是一个侧棱长为2，底面直径为2的圆锥和高为1直径为2的圆柱的组合体，∴此几何体的表面积S=2π×1+2π=4π．（2）此几何体的体积：V=π×1+=（+1）π．19．（15分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PEC；（2）求PC与平面PAD所成的角的正弦值．【解答】（1）证明：取PC的中点M，连结MF、ME，又∵F是PD的中点，∴MF∥DC，且BE=C，又DC∥AE，∴MF∥AE，又E是AB的中点，且AB=CD，∴MF=AE，∴四边形AEMF是平行四边形，∴AF∥EM，又EM⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，∴AF∥平面PEC；（2）解：∵侧棱PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．又底面ABCD是矩形，∴AD⊥CD，这样，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线，∴CD⊥平面PAD∴∠CPD为PC与平面PAD所成的角．∵PA=AD=1，AB=2，∴PC=，∴sin∠CPD==，即PC与平面PAD所成的角的正弦值为．20．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O．（Ⅰ）若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：PB=PD；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD，若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD．…（1分）∵AC⊥PD，PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD．…（3分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知AC⊥BD．∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAC．…（5分）∵PO⊥平面PAC，∴BD⊥PO．…（7分）∵底面ABCD是菱形，∴BO=DO．∴PB=PD．…（8分）（Ⅲ）解：不存在．下面用反证法加以证明．…（9分）假设存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD．在菱形ABCD中，BC∥AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD．…（11分）∵BM∥平面PBC，BC⊂平面PBC，BC∩BM=B，∴平面PBC∥平面PAD．…（13分）这与平面PBC与平面PAD相交矛盾，故假设不成立．∴在棱PC上不存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD．…（14分）21．（16分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0．（Ⅰ）若过定点（﹣2，0）的直线l与圆C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若过定点（﹣1，0）且倾斜角为的直线l与圆C相交于A，B两点，求线段AB的中点P的坐标；（Ⅲ）问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为EF，且以EF为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=9．得到圆心C（1，﹣2），半径r=3．当直线l的斜率不存在时，直线x=﹣2与⊙C相切，因此直线x=﹣2是圆的一条切线；当直线l的斜率存在时，设切线方程为y=k（x+2），则圆心C到切线l的距离d=r．∴，解得．∴切线l的方程为，即5x﹣12y+10=0．综上可知：切线l的方程为x=﹣2或5x﹣12y+10=0．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．过定点（﹣1，0）且倾斜角为的直线l方程为：．联立化为，∴x1+x2=，∴=，=．∴P．（III）假设存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为EF，且以EF为直径的圆经过原点．设E（x1，y1），F（x2，y2）．设直线l的方程为y=x+m．联立，化为2x2+（2+2m）x+m2+4m﹣4=0．∵直线l与圆相交于不同两点，∴△=（2+2m）2﹣8（m2+4m﹣4）＞0，化为m2+6m ﹣9＜0．（*）∴x1+x2=﹣（1+m），．∵=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+m）（x2+m）==m2+4m﹣4﹣m（1+m）+m2=0，解得m=﹣4或1，经验证满足（*）．∴存在斜率为1的直线l：y=x﹣4或y=x+1满足题意．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2015-2016学年第一学期高二年级期中测试数学学科试题命题人审题人（第一卷）( 满分100分）一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.经过点(2,1),且与直线«Skip Record If...»平行的直线方程是___________________.2.曲线«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的切线方程为_____ _____．的右焦点为焦点的抛物线方程是．3.顶点在原点且以双曲线«Skip Record If...»4.圆«Skip Record If...»与圆«Skip Record If...»的位置关系是________________.5. 已知函数«Skip Record If...»，其导函数为«Skip Record If...».则«Skip Record If...»=_____________.6.直线«Skip Record If...»被圆«Skip Record If...»：所截得的弦长为.7. 若方程«Skip Record If...»表示椭圆，则实数«Skip Record If...»的取值范围是．8．已知双曲线Γ：«Skip Record If...»的右顶点为«Skip Record If...»，与«Skip Record If...»轴平行的直线交Γ于«Skip Record If...»，«Skip Record If...»两点，记«Skip Record If...»，若Γ的离心率为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的取值的集合是_________.二、解答题 (本大题共4小题，共计60分)9. （本小题满分14分）已知三角形的顶点«Skip Record If...»,试求：（1）«Skip Record If...»边所在直线的方程；（2）«Skip Record If...»边上的高所在直线的方程.10. （本小题满分14分）已知椭圆«Skip Record If...».左右焦点分别为«Skip Record If...».（1）求椭圆的右焦点«Skip Record If...»到对应准线的距离；（2）如果椭圆上第一象限的点«Skip Record If...»到右准线的距离为«Skip Record If...»，求点«Skip Record If...»到左焦点«Skip Record If...»的距离.11. （本小题满分16分）（1）对于函数«Skip Record If...»，已知«Skip Record If...»如果«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»的值；（2）直线«Skip Record If...»能作为函数«Skip Record If...»图象的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由.12. （本小题满分16分）已知平面直角坐标系«Skip Record If...»，圆«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的外接圆.（1）求圆«Skip Record If...»的一般方程；（2）若过点«Skip Record If...»的直线«Skip Record If...»与圆«Skip Record If...»相切，求直线«Skip Record If...»的方程.（第二卷） ( 满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分)13.直线«Skip Record If...»经过原点，且经过两条直线«Skip Record If...»的交点，则直线«Skip Record If...»的方程为______________.14. 已知圆心在第一象限的圆过点«Skip Record If...»,圆心在直线«Skip Record If...»上,且半径为5,则这个圆的方程为________________.x=处的切线方程是15.已知偶函数«Skip Record If...»的图象经过点(0,1)，且在1f(xy=的解析式为．y x=-，则)216. 已知«Skip Record If...»为正数，且直线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»互相垂直，则«Skip Record If...»的最小值为 .17.过点«Skip Record If...»作圆«Skip Record If...»：«Skip Record If...»的切线，切点为«Skip Record If...»，如果«Skip Record If...»，那么«Skip Record If...»的取值范围是．18．如图，椭圆,椭圆«Skip Record If...»的左、右焦点分别为«Skip Record If...»过椭圆上一点«Skip Record If...»和原点«Skip Record If...»作直线«Skip Record If...»交圆«Skip Record If...»于«SkipRecord I f...»两点，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的值为四、解答题 (本大题共2小题，共计30分)19. (本题满分14分)抛物线«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»«Skip Record If...»处的切线«Skip Record If...»分别交«Skip Record If...»轴、«Skip Record If...»轴于不同的两点«Skip Record If...»、«Skip Record If...».（1）如果«Skip Record If...»,求点«Skip Record If...»的坐标：（2）圆心«Skip Record If...»在«Skip Record If...»轴上的圆与直线«Skip Record If...»相切于点«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，求圆的方程.20. (本题满分16分)已知椭圆C：«Skip Record If...».(1)如果椭圆«Skip Record If...»的离心率«Skip Record If...»,经过点P(2,1).①求椭圆«Skip Record If...»的方程；②经过点P的两直线与椭圆«Skip Record If...»分别相交于A,B,它们的斜率分别为«Skip Record If...».如果«Skip Record If...»,试问：直线AB的斜率是否为定值？并证明.(2) 如果椭圆«Skip Record If...»的«Skip Record If...»,点«Skip Record If...»分别为考试号_______________________班级______________学号_______姓名_________________________ ————————密——————————————————封——————————————线———————椭圆«SKIP RECORD IF...»的上、下顶点，过点«SKIP RECORD IF...»的直线«SKIP RECORD IF...»分别与椭圆«SKIP RECORD IF...»交于«SKIP RECORD IF...»两点. 若△«SKIP RECORD IF...»的面积是△«SKIP RECORD IF...»的面积的«SKIP RECORD IF...»倍，求«SKIP RECORD IF...»的最大值.2015-2016学年第一学期高二年级期中测试数 学 学 科 答 题 纸1. x y -5.2e + (,3)29.解（1）53BC k =-，BC 边所在直线在y 轴上的截距为2， BC 边所在直线方程为52,53603y x x y =-++-=（2）25AC k =，AC 边上的高的斜率为52k =-，AC 边上的高的直线的方程为53(3)2y x +=--，即5290x y +-=10. （本小题满分14分）解（1）右焦点2(3,0)F ，对应右准线253x =.右焦点到对应准线的距离为163. （2）椭圆的离心率为35e =,根据第二定义, 231616535PF ed ==⋅=,根据第一定义12163421055PF a PF =-=-=,点P 到左焦点1F 的距离为345. 11. （本小题满分16分）解（1）17 (2)能切点坐标33(2,)(2,)()33k k k Z ππππ+--∈或 12. （本小题满分16分）解：（1）设圆C 方程为,022=++++F Ey Dx y x则044320623480F D E F D E F ⎧=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解得D= —8，E=F=0.所以圆C ：2280.x y x +-= （2）圆C ：22(4)16.x y -+=圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，:0l x =符合题意；当斜率存在时，设直线:43,430,l y kx kx y =+-+=即 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线距离为4，2|443|34,1k k k+==+解得所以直线3:43,3120.3l y x x y =-++-=即 故所求直线0,3120.l x x y =+-=为或（第二部分满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分)13.20x y -= 14. 22(1)(3)25x y -+-= 15.4259()122f x x x =-+ 16. 25/2. 17.011x -≤≤ 18．.6 四、解答题 (本大题共2小题，共计30分) 19. (本题满分14分)解：（1）由抛物线2:C y x =得x y 2='，02|0x y x x ='∴=切线l 的方程为)(2000x x x y y -=- 其中200x y = 令,0=x 得20x y -=；令,0=y 得20x x =；所以)0,2(0x A ，),0(20x B - 22400174x AB x =+=得到2004,2x x ==±,点P 的坐标为(2,4)±（2）设圆心E 的坐标为),0(b ，由题知1-=⋅l PE k k ，即12000-=⋅-x x by ， 所以210-=-b y ； 由||||PA PE =得20202020)2()(y x b y x +=-+整理得0134020=--y y 解得10=y 或410-=y （舍去） 所以23=b ，圆E 的圆心E 的坐标为)23,0(，半径=r =||PE 25)(2020=-+b y x 圆E 的方程为45)23(22=-+y x20. (本题满分16分)解(1)①由已知得2c a =，22411a b +=，222a b c =+，联立解得228,2a b ==. 椭圆M 的方程为22182x y +=. ②直线AB 的斜率为定值12由已知直线1:1(2)PA y k x -=-代入椭圆M 的方程消去y 并整理得22111(2)[(14)(288)]0x k x k k -+++-=所以2112188214A k k x k --=+,从而2112144114A k k y k --+=+ 同理2222288214B k k x k --=+,2222244114B k k y k --+=+因为120k k +=所以121222124()(41)(14)(14)A B k k k k y y k k ---==++ 121222128()(41)(14)(14)A B k k k k x x k k ---=++ 12A B AB A B y y k x x -==-为定值(2) 解法一：12TBC S BC t t =⋅=△ ，直线TB 方程为：11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x =22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 到:TC 30x ty t --=的距离d ==直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+，所以=所以S 所以k 令21212t m +=>，则2213k m m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”， 所以k 的最大值为4． 解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得F x =1sin 21sin 2TBC TEFTB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T F x x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅-- 22824436t tt t t t t t =⋅=+-++令21212t m +=>，则22192413k m m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为43．18解。

绍兴一中2015学年第一学期期中考试高二数学注意:本试卷全部答案均需答在答题纸上，答题前请先将答题纸上的信息填写完整，选择题用2B 铅笔填涂，主观题用黑色字迹的钢笔或签字笔在规定的区域作答。

一、选择题: 本大题共8小题, 每小题3分,共24分．在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的．1. 不等式|3|-x ＜2的解集是 （ ） A .{x │x ＞5或x ＜1} B. {x │1＜x ＜5} C.{x │-5＜x ＜-1} D. {x │x ＞1}2.函数46y x x =-+-的最小值为 （ ） A ．2 B ．2 C ．4 D ．63.设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是 （ ）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂B ．若//,//l ααβ，则l β⊂C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 4. 某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是( )A ．32＋3 B.2＋3 3 C ．22＋3 3D ．32－2 35．在四面体O －ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE 等于 ( ) A.12a ＋12b ＋14c B.14a ＋14b ＋12c C.14a ＋12b ＋14c D.12a ＋14b ＋14c 6. 有下列命题：①若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ),(R y x ∈； ②若p ＝x a ＋y b ),(R y x ∈，则p 与a ，b 共面； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中正确的命题为 （ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④7．如图，在正四棱锥ABCD S -中，N M E ,,分别是SC CD BC ,,的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①AC EP ⊥；②//EP BD ；③SBD EP 面//；④SAC EP 面⊥．其中恒成立的为（ ）A. ①③B. ③④C. ①②D. ②③④8.长方体1111ABCD A B C D -中，已知二面角1A BD A --的大小为6π，若空间一条直线l 与直线1CC 所成的角为4π，则直线l 与平面1A BD 所成角的取值范围是（ ）A. 7[,]1212ππB. [,]122ππC. 5[,]1212ππD. [0,]2π二、 填空题: 本大题共7小题,每小题4分, 共28分．9. 已知a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在向量b 方向上的投影为________，()a a b +=________.10．一个红色的棱长是3cm 的正方体，将其适当分割成棱长为1cm 的小正方体，这样的小正方体共得______个，二面涂色的小正方体有______个。

中学部2015-2016学年第一学期高二年级期中测试数 学 学 科 试 题 参 考 答 案（第一部分 满分100分） 一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)1. 10x y --=2.2y x =3.28y x = 4.相离5.2e +6.47. 55(2,)(,3)228.{0}二、解答题 (本大题共4小题，共计60分) 9. （本小题满分14分）解（1）53BC k =-，BC 边所在直线在y 轴上的截距为2， BC 边所在直线方程为52,53603y x x y =-++-=（2）25AC k =，AC 边上的高的斜率为52k =-，AC 边上的高的直线的方程为53(3)2y x +=--，即5290x y +-=10. （本小题满分14分）解（1）右焦点2(3,0)F ，对应右准线253x =.右焦点到对应准线的距离为163. （2）椭圆的离心率为35e =,根据第二定义, 231616535PF ed ==⋅=, 根据第一定义12163421055PF a PF =-=-=,点P 到左焦点1F 的距离为345. 11. （本小题满分16分）解（1）17 (2)能切点坐标(2(2,)33k k k Z ππππ+-∈或 12. （本小题满分16分）解：（1）设圆C 方程为,022=++++F Ey Dx y x则0443206480F D E F D F ⎧=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解得D= —8，E=F=0.所以圆C ：2280.x y x +-= （2）圆C ：22(4)16.x y -+=圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，:0l x =符合题意；当斜率存在时，设直线:0,l y kx kx y =+-+=即因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线距离为4，4,k ==解得所以直线:120.l y x x =++-=即故所求直线0,120.l x x =-=为或（第二部分满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分)13.20x y -= 14. 22(1)(3)25x y -+-= 15.4259()122f x x x =-+ 16. 25/2. 17.011x -≤≤ 18．.6 四、解答题 (本大题共2小题，共计30分) 19. (本题满分14分)解：（1）由抛物线2:C y x =得x y 2='，02|0x y x x ='∴= 切线l 的方程为)(2000x x x y y -=- 其中200x y = 令,0=x 得20x y -=；令,0=y 得20x x =；所以)0,2(0x A ，),0(20x B - 22400174x AB x =+=得到2004,2x x ==±,点P 的坐标为(2,4)±（2）设圆心E 的坐标为),0(b ，由题知1-=⋅l PE k k ，即12000-=⋅-x x by ，所以210-=-b y ；由||||PA PE =得20202020)2()(y x b y x +=-+整理得0134020=--y y解得10=y 或410-=y （舍去） 所以23=b ，圆E 的圆心E 的坐标为)23,0(，半径=r =||PE 25)(2020=-+b y x 圆E 的方程为45)23(22=-+y x20. (本题满分16分)解(1)①由已知得c a =，22411a b +=，222a b c =+，联立解得228,2a b ==. 椭圆M 的方程为22182x y +=. ②直线AB 的斜率为定值12由已知直线1:1(2)PA y k x -=-代入椭圆M 的方程消去y 并整理得22111(2)[(14)(288)]0x k x k k -+++-=所以2112188214A k k x k --=+,从而2112144114A k k y k --+=+同理2222288214B k k x k --=+,2222244114B k k y k --+=+因为120k k +=所以121222124()(41)(14)(14)A B k k k k y y k k ---==++121222128()(41)(14)(14)A B k k k k x x k k ---=++12A B ABA B y y k x x -==-为定值 (2) 解法一：12TBC S BC t =⋅=△直线TB 方程为：11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x 22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭到:TC 30x ty t --=的距离d ==直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+，所以=所以S 所以k 令21212t m +=>，则2213k m m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”， 所以k 的最大值为43．解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得F x =1sin 21sin 2TBC TEFTB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T F x x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅-- 22824436t tt t t t t t =⋅=+-++令21212t m +=>，则22192413k m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为43．18解。

绍兴一中期中测试试题卷高二数学（文）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线013=+-y x 的倾斜角是 A ．6π B ．3πC ．32πD ．65π2．在空间直角坐标系中，点M (－3,1,5)，关于x 轴对称的点的坐标是A ．(－3，－1，－5)B ．(－3,1，－5)C ． (3,1，－5)D ．(3，－1，－5) 3．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是A ．x-2y-1=0B ．x-2y+1=0C ．2x+y-2=0D ．x+2y-1=0 4．在平面直角坐标系内，若圆C ：22224540x y ax ay a ++-+-=的圆心在第二象限内，则实数a 的取值范围为 A ． (),2-∞-B ． (),0-∞C ． ()0,+∞D ． ()2,+∞5．已知＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若⊥BC ，＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x 、y 、z 分别为A ．337，－157，4B ．407，－157，4C ．407，－2,4D ．4，407，－156．设a 、b 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题错误．．的是 A ．若a α⊥，//b α，则a b ⊥ B ．若a α⊥，//b a ，b β⊂,则αβ⊥ C ．若a α⊥，b β⊥，//αβ,则//a bD ．若//a α，//a β，则//αβ7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AD 的中点，则异面直线1C E 与BC 所成的角的余弦值是 A ．510 B ．1010 C ．31 D ．322 8．已知点A(a ,b ) 满足方程x -y -3＝0，则由点A 向圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0所作的切线长的最小值是A ．2B ． 3C ．4D ． 149．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且2EF =， 则下列结论中错误．．的是A ．AC BE ⊥B ．三棱锥A —BEF 的体积为定值C ．二面角A-EF-B 的大小为定值D ．异面直线AE ，BF 所成角为定值10．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PB PA •的最小值为A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2二、填空题 (本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11．原点到直线052=-+y x 的距离d = ▲ ． 12．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 ▲ ． 13．一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是 ▲ cm 2． 14．若圆2225()3(r y x =++-）上有且仅有一个点到直线4x －3y －2=0的距离为1，则半径r 的值是 ▲ ． 15．已知圆C 过直线2 x + y +4=0 和圆x 2+y 2+2 x －4 y +1=0的交点，且原点在圆C 上．则圆C 的方程为 ▲ ．16．已知四面体ABCD 中，32DA DB DC ===，且DA ，DB ，DC 两两互相垂直，点O 是ABC ∆的中心，将DAO ∆绕直线DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与直线BC 所成角的余弦值的最大值是 ___▲ __．三、解答题 (本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17．(本小题满分8分)光线从A （－3，4）点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点C （1，6），求BC 所在直线的方程及点B 的坐标．18． (本小题满分12分)如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，ο45=∠ABC ，1DC =，2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ．（Ⅰ）求证：//AB 平面PCD ； （Ⅱ）求证：⊥BC 平面PAC ；（Ⅲ）若M 是PC 的中点，求三棱锥M —ACD 的体积．19． (本小题满分10分)（第13题）ABCDPM（第16题）已知点(2,1)E 和圆O ：2216x y +=．（Ⅰ）过点E 的直线l 被圆O 所截得的弦长为215，求直线l 的方程；（Ⅱ）若△O EM 的面积2OEM S ∆=，且M 是圆O 内部第一、二象限的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），求出点M 的坐标．20．(本小题满分10分)如图，已知四棱锥V ABCD -，底面ABCD 是平行四边形，点V 在平面ABCD 上的射影E 在AD 边上，且13AE ED =，4,2,VE BE EC ===90BEC ∠=o ．（Ⅰ）设F 是BC 的中点，求异面直线EF 与VC 所成角的余弦值； （Ⅱ）设点P 在棱VC 上，且DP EC ⊥．求VPPC的值．21．(本小题满分12分)如图，圆C ：0)1(22=+-++-a ay y x a x ． （Ⅰ）若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；（Ⅱ）已知1>a ，圆C 与x 轴相交于两点M ，N （点M 在点N 的左侧）．过点M 任作一条直线与圆O ：422=+y x 相交于两点A ，B ．问：是否存在实数a ，使得BNM ANM ∠=∠？若存在，求出实数a 的值，若不存在，请说明理由．绍兴一中 期中测试试题卷高二数学（文理）2013学年一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线013=+-y x 的倾斜角是 A ．6π B ．3πC ．32πD ．65π【答案】B2．在空间直角坐标系中，点M (－3,1,5)，关于x 轴对称的点的坐标是A ．(－3，－1，－5)B ．(－3,1，－5)C ． (3,1，－5)D ．(3，－1，－5) 【答案】A3．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是A ．x-2y-1=0B ．x-2y+1=0C ．2x+y-2=0D ．x+2y-1=0 【答案】A4．（文）在平面直角坐标系内，若圆C ：22224540x y ax ay a ++-+-=的圆心在第二象限内，则实数a 的取值范围为 A ． (),2-∞- B ． (),0-∞ C ． ()0,+∞ D ． ()2,+∞【答案】C（理）在平面直角坐标系内，若曲线C ：22224540x y ax ay a ++-+-=上所有的点均在第二象限内，则实数a 的取值范围为 A ． (),2-∞- B ．(),1-∞- C ． ()1,+∞ D ．()2,+∞【答案】D5．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z )，若⊥，＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x 、y 、z 分别为A ．337，－157，4B ．407，－157，4C ．407，－2,4D ．4，407，－15【答案】 B6．设a 、b 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题错误．．的是 A ．若a α⊥，//b α，则a b ⊥ B ．若a α⊥，//b a ，b β⊂,则αβ⊥ C ．若a α⊥，b β⊥，//αβ,则//a b D ．若//a α，//a β，则//αβ【答案】D7．（文）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AD 的中点，则异面直线1C E 与BC 所成的角的余弦值是 A ．510 B ．1010 C ．31D ．322【答案】C（理）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AD 的中点，则异面直线1A B 与1C E 所成角的大小是A ．6π B ．4π C ．3π D ． 2π 【答案】 D8．（文）已知点A(a ,b ) 满足方程x -y -3＝0，则由点A 向圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0所作的切线长的最小值是A ．2B ． 3C ．4D ． 14 【答案】C（理）若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ,b )向圆C所作的切线长的最小值是 A ．2 B ． 3 C ．4 D ．14 【答案】C9．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且22EF =， 则下列结论中错误．．的是A ．AC BE ⊥B ．三棱锥A —BEF 的体积为定值C ．二面角A-EF-B 的大小为定值D ．异面直线AE ，BF 所成角为定值 【答案】D10．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PB PA •的最小值为A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2 【答案】D二、填空题 (本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11．原点到直线052=-+y x 的距离d = ▲ ．【答案】512．（文）已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 ▲ ． 【答案】3（理）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且它们彼此的夹角都是60°，则对角线AC 1的长是 ▲ ．【答案】6 13．一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是 ▲ cm 2． 【答案】222π+（第13题）14．已知圆C 过直线2 x + y +4=0 和圆x 2+y 2+2 x －4 y +1=0的交点，且原点在圆C 上．则圆C 的方程为 ▲ ． 【答案】04172322=-++y x y x 15．（文）若圆2225()3(r y x =++-）上有且仅有一个点到直线4x －3y －2=0的距离为1，则半径r 的值是 ▲ ．【答案】4（理）若圆2225()3(r y x =++-）上有且仅有两个点到直线4x －3y －2=0的距离为1，则半径r 的取值范围是 ▲ ．【答案】（４，6）16．（文） 已知四面体ABCD 中，32DA DB DC ===，且DA ，DB ，DC 两两互相垂直，点O 是ABC ∆的中心，将DAO ∆绕直线DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与直线BC 所成角的余弦值的最大值是___▲ __．【答案】36（理）将一个水平放置的正方形ABCD 绕直线AB 向上转动ο45到11D ABC ，再将所得正方形11D ABC 绕直线1BC 向上转动ο45到212D BC A ，则平面212D BC A 与平面ABCD 所成二面角的正弦值等于____▲ ___． 【答案】23 三、解答题 (本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17．(本小题满分8分)光线从A （－3，4）点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点C （1，6），求BC 所在直线的方程及点B 的坐标． 【解析】点A 关于x 轴的对称点为A ′（－3，－4）， A ′在直线BC 上，∴25=BC k ∴BC 的方程为5x －2y +7=0． 点B 的坐标为)0,57(-B ． 18． (本小题满分12分)如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，ο45=∠ABC ，（第16题）1DC =，2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ．（Ⅰ）求证：//AB 平面PCD ； （Ⅱ）求证：⊥BC 平面PAC ；（Ⅲ）若M 是PC 的中点，求三棱锥M —ACD 的体积． 【解析】（Ⅰ）证明：//AB DC Q ，且AB ⊄平面PCD ∴//AB 平面PCD ． （Ⅱ）证明：在直角梯形ABCD 中，过C 作AB CE ⊥于点E ，则四边形ADCE 为矩形 ∴1AE DC ==，又2=AB ，∴1=BE ，在Rt △BEC 中，ο45=∠ABC ， ∴1==BE CE ，2=CB∴1==CE AD ，则222=+=DC AD AC ，222AB BC AC =+∴AC BC ⊥又ΘABCD PA 平面⊥ ∴BC PA ⊥A AC PA =⋂ ∴⊥BC 平面PAC （Ⅲ）∵M 是PC 中点，∴M 到面ADC 的距离是P 到面ADC 距离的一半12121)1121(31)21(31=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-PA S V ACD ACD M19． (本小题满分10分)（文）已知点(2,1)E 和圆O ：2216x y +=．（Ⅰ）过点E 的直线l 被圆O 所截得的弦长为215，求直线l 的方程；（Ⅱ）若△O EM 的面积2OEM S ∆=，且M 是圆O 内部第一、二象限的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），求出点M 的坐标． 【解析】（Ⅰ）方程为：1=y 或0534=--y x ． （Ⅱ）(2,1),(2,3),-（理）已知点(2,1)E 和圆O ：2216x y +=．（Ⅰ）过点E 的直线l 被圆O 所截得的弦长为43，求直线l 的方程；（Ⅱ）试探究是否存在这样的点M ：M 是圆O 内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△O EM 的面积2OEM S ∆=？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理A B CD PMABCDPM由． 【解析】（Ⅰ）方程为：2=x 或01043=-+y x ．（Ⅱ）连结OE ，点A (4,0)-，B (4,0)满足2OEA OEB S S ∆∆==, 分别过A 、B 作直线OE 的两条平行线1l 、2l ． ∵12OE k =∴直线1l 、2l 的方程分别为：1(4)2y x =+、1(4)2y x =-设点(,)M x y （,x y Z ∈ ） ∴2216x y +<分别解22161(4)2x y y x ⎧+<⎪⎨=+⎪⎩与22161(4)2x y y x ⎧+<⎪⎨=-⎪⎩，得2425x -<< 与2245x -<< ∵,x y Z ∈∴x 为偶数，在2(4,2)5-上2,,0,2x =-对应的1,2,3y = 在2(2,4)5-上2,0,2x =-，对应的3,2,1y =--- ∴满足条件的点M 存在，共有6个，它们的坐标分别为：(2,1),(0,2),(2,3),-(2,3),(0,2),(2,1)----．20．(本小题满分10分)（文）如图，已知四棱锥V ABCD -，底面ABCD 是平行四边形，点V 在平面ABCD 上的射影E 在AD 边上，且13AE ED =，4,2,90VE BE EC BEC ===∠=o ．（Ⅰ）设F 是BC 的中点，求异面直线EF 与VC所成角的余弦值；（Ⅱ）设点P 在棱VC 上，且DP EC ⊥．求VPPC的值．【解析】（Ⅰ）在平面ABCD 内，过C 作//CM FE 交AD与M ，连接VM ，则VCM ∠或其补角即为异面直线EF 与VC 所成角．在△VCM中，2BCCM EF VC VM ===== 由余弦定理得cos 10VCM ∠=，故异面直线EF 与VC 所成角的余弦值为10． （Ⅱ）在平面ABCD 内，过D 作DN EC ⊥交EC 与N ，连接PN ， ∵DP EC ⊥，∴EC NDP ⊥平面，∴EC PN ⊥．又VE ABCD ⊥平面，故VE EC ⊥，故在平面VEC 中可知//PN VE ，故VP EN PC NC=，又33cos 45422EN ED =⋅=⨯=o， 故32312VP EN PC NC ===．（理）如图，已知三角形ABC ∆与BCD ∆所在平面互相垂直，且090BAC BCD ∠=∠=，AB AC =，CB CD =，点P ,Q 分别在线段,BD CD 上，沿直线PQ 将∆PQD 向上翻折，使D 与A 重合．（Ⅰ）求证：AB CQ ⊥；（Ⅱ）求直线AP 与平面ACQ 所成的角的正弦值．【解析】（I ）证明Q 面ABC ⊥面BCQ 又CQ BC ⊥ CQ ∴⊥面ABCCQ ∴⊥AB（Ⅱ）解1：作AO BC ⊥，垂足为O ，则AO ⊥面BCQ ，连接OP设1AB =，则2BD =，设BP x = 由题意AP DP = 则2222222()2cos 45()(2)222x x x ︒+-⨯⨯+=- 解得1x = 由（Ⅰ）知AB ⊥面ACQ∴直线AP 与平面ACQ 所成的角的正弦值sin α=12.21．(本小题满分12分)如图，圆C ：0)1(22=+-++-a ay y x a x ． （Ⅰ）若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；（Ⅱ）已知1>a ，圆C 与x 轴相交于两点M ，N （点M 在点N 的左侧）．过点M 任作一条直线与圆O ：422=+y x 相交于两点A ，B ．问：是否存在实数a ，使得BNM ANM ∠=∠？若存在，求出实数a 的值，若不存在，请说明理由． 【解析】 （Ⅰ）因为⎩⎨⎧=+-++-=0)1(022a ay y x a x y得0)1(2=++-a x a x ，由题意得0)1(4)1(22=-=-+=∆a a a ，所以1=a 故所求圆C 的方程为01222=+-+-y y x x ． （Ⅱ）令0=y ，得0)1(2=++-a x a x ， 即0))(1(=--a x x 所以)0,(),0,1(a N M 假设存在实数a ，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为)1(-=x k y ， 代入422=+y x 得，042)1(2222=-+-+k x k x k ，11 设),,(),,(2211y x B y x A 从而2221222114,12k k x x k k x x +-=+=+ 因为))(()])(1())(1[(2112212211a x a x a x x a x x k a x y a x y ----+--=-+- 而a x x a x x a x x a x x 2))(1(2))(1())(1(12211221+++-=--+--a k k a k k 212)1(1422222+++-+-=2182k a +-=因为BNM ANM ∠=∠，所以02211=-+-a x y a x y ，即01822=+-k a ，得4=a ．当直线AB 与x 轴垂直时，也成立．故存在4=a ，使得BNM ANM ∠=∠．。

2014-2015学年浙江省绍兴一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）已知直线l：x+y+2014=0，则直线l的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°2．（3分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．“•=0”是“=或=”的必要不充分条件D．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真3．（3分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=04．（3分）已知两个平面α、β，直线a⊂α，则“α∥β”是“直线a∥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）一个四面体的顶点在空间直角坐系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（1，1，1），画该四面体三视图中的正视图时，以zOy 平面为投影面，则得到的正视图可为（）A． B．C．D．6．（3分）对于命题p和命题q，则“p且q为真命题”的必要不充分条件是（）A．￢p或￢q为假命题B．￢p且￢q为真命题C．p或q为假命题D．p或q为真命题7．（3分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（3分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l ⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l9．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P 在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]10．（3分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）=（4，﹣2，﹣4），=（6，﹣3，2），则（2﹣3）•（+2）=．12．（4分）直线过点P（5，6），它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则此直线方程为．13．（4分）若直线（m2﹣1）x﹣y﹣2m+1=0不经过第一象限，则实数m的取值范围是．14．（4分）已知p：，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，若p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．15．（4分）正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为1，此时四面体ABCD外接球表面积为．16．（4分）四面体ABCD中，面ABC与面BCD成60°的二面角，顶点A在面BCD 上的射影H是△BCD的垂心，G是△ABC的重心，若AH=4，AB=AC，则GH=．17．（4分）已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．（1）若该四棱锥的左视图为直角三角形，则它的体积为；（2）关于该四棱锥的下列结论中：①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直；②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；③四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面．所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（8分）设命题p：函数f（x）=lg的定义域是R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．19．如图，直线l过点P（0，1），夹在两已知直线l1：2x+y﹣8=0和l2：x﹣3y+10=0之间的线段AB恰被点P平分．（1）求直线l的方程；（2）设点D（0，m），且AD∥l1，求：△ABD的面积．20．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°（Ⅰ）平面PAD与平面PAB是否垂直？并说明理由；（Ⅱ）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．21．如图：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC 上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形EFCD沿EF折起成如图的位置，使AD=AE．（Ⅰ）求证：BC∥平面DAE；（Ⅱ）求四棱锥D﹣AEFB的体积；（Ⅲ）求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值．22．在如图所示的几何体中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，AA1DD1CC1∥BE，且AA1=AB，D1E⊥平面D1AC，AA1⊥底面ABCD．（Ⅰ）求二面角D1﹣AC﹣E的大小；（Ⅱ）在D1E上是否存在一点B，使得A1P∥平面EAC，若存在，求的值，若不存在，说明理由．四、附加题：（共10分）23．已知三棱锥S﹣ABC是三条侧棱两两垂直的三棱锥，O是底面△ABC内的一点，则G=tan∠OSA•tan∠OSB•tan∠OSC的最小值是．24．命题p：正实数a，b满足a2+b2=1；命题q：正实数a，b满足a3+b3+1=m（a+b+1）3，若“p∧q”为真命题，则m的取值范围是．2014-2015学年浙江省绍兴一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）已知直线l：x+y+2014=0，则直线l的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【解答】解：由直线l：x+y+2014=0，得直线l的斜率为，设其倾斜角为α[0°≤α＜180°）．则tanα=﹣，∴α=120°．故选：B．2．（3分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．“•=0”是“=或=”的必要不充分条件D．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真【解答】解：A，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确；B，命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，正确；C，“•=0”⇒⊥，不一定是=或=，即充分性不成立，反之，若=或=，则•=0，即必要性成立，故“•=0”是“=或=”的必要不充分条件，正确；是“=或=”的必要不充分条件D，“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b”，则“am2＜bm2”是假命题，当m=0时，am2=bm2=0，故D错误．故选：D．3．（3分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0【解答】解：设直线方程为x﹣2y+c=0，又经过（1，0），∴1﹣0+c=0故c=﹣1，∴所求方程为x﹣2y﹣1=0；故选：A．4．（3分）已知两个平面α、β，直线a⊂α，则“α∥β”是“直线a∥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据面面平行的定义可知α与β无公共点，而a⊂α，则a与β无公共点，则直线a∥β即“α∥β”⇒“直线a∥β”是真命题；直线a⊂α，直线a∥β⇒两个平面α、β可能平行也可能相交，即“直线a∥β”⇒“α∥β”是假命题；根据充要条件的判定可知“α∥β”是“直线a∥β”的充分不必要条件，故选：A．5．（3分）一个四面体的顶点在空间直角坐系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（1，1，1），画该四面体三视图中的正视图时，以zOy 平面为投影面，则得到的正视图可为（）A． B．C．D．【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（1，1，1），几何体的直观图是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOy平面为投影面，则得到正视图为A．故选：A．6．（3分）对于命题p和命题q，则“p且q为真命题”的必要不充分条件是（）A．￢p或￢q为假命题B．￢p且￢q为真命题C．p或q为假命题D．p或q为真命题【解答】解：p且q为真命题，则p真q真；A．￢p或￢q为假命题，则￢p，￢q都为假，所以p，q都为真，∴￢p或￢q 为假命题是p且q为真命题的充要条件，∴该选项错误；B．￢p且￢q为真命题，则p，q都为假命题，∴由p且q为真命题得不出p且q为真命题，即该命题不是p且q为真命题的必要条件，∴该选项错误；C．p或q为假命题，则p，q都是假命题，由B知该选项错误；D．p或q为真命题，则p，q中至少一个为真命题，∴p且q为真命题能得到p 或q为真命题，而p或q为真命题得不到p且q为真命题，即p或q为真命题是p且q为真命题的必要不充分条件，即该选项正确．故选：D．7．（3分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．8．（3分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l ⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l【解答】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选：D．9．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P 在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，==．sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1．∴sinα的取值范围是．故选：B．10．（3分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，△P1P2B∽△AD1B，设P1B=x，x∈（0，1），则P1P2=x，P2到平面AA1B1B的距离为x，所以四面体P1P2AB1的体积为V==，当x=时，体积取得最大值：．故选：A．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）=（4，﹣2，﹣4），=（6，﹣3，2），则（2﹣3）•（+2）=﹣200．【解答】解：||==6，||==7，=4×6+（﹣2）×（﹣3）+（﹣4）×2=22，则（2﹣3）•（+2）=2=2×36﹣6×49+22=﹣200．故答案为：﹣200．12．（4分）直线过点P（5，6），它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则此直线方程为6x﹣5y=0或x+2y﹣17=0．【解答】解：（1）当此直线过原点时，直线在x轴上的截距和在y轴上的截距都等于0，显然成立，所以直线斜率为且过原点，所以直线解析式为y=x，化简得6x﹣5y=0；（2）当直线不过原点时，由在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍得到直线的斜率为﹣，直线过（5，6）所以直线解析式为y﹣6=﹣（x﹣5），化简得：x+2y﹣17=0．综上，满足条件的直线方程为：6x﹣5y=0，x+2y﹣17=0．故答案为：6x﹣5y=0或x+2y﹣17=0．13．（4分）若直线（m2﹣1）x﹣y﹣2m+1=0不经过第一象限，则实数m的取值范围是≤m≤1．【解答】解：∵直线（m2﹣1）x﹣y﹣2m+1=0不经过第一象限，∴，解得≤m≤1，∴实数m的取值范围为：≤m≤1故答案为：≤m≤114．（4分）已知p：，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，若p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．【解答】解：∵p：，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，∴q：x＜a，或x＞a+1∴¬q：a≤x≤a+1又∵p是¬q的充分不必要条件，∴解得：则实数a的取值范围是故答案为：15．（4分）正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为1，此时四面体ABCD外接球表面积为．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，棱柱的高为，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，表面积为：4πr2．球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：××1=，所以球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=π故答案为：π．16．（4分）四面体ABCD中，面ABC与面BCD成60°的二面角，顶点A在面BCD 上的射影H是△BCD的垂心，G是△ABC的重心，若AH=4，AB=AC，则GH=．【解答】解：连结AG，并延长交BC于M，连结DM，如图所示；则AM是△ABC的中线，∵AB=AC，∴AM⊥BC，连结HM，则HM是AM在平面BCD上的射影；∴根据三垂线逆定理，BC⊥HM，∵H是△BCD的垂心，∴GM在BC边上的高线DH上，即DM是BC边上的高，∴DM是BC的垂直平分线，DB=DC，∴∠AMD是二面角A﹣BC﹣D的平面角，∴∠AMD=60°，=sin60°，AM=，MH==，在△AMH上作GN∥AH，交MH于N，根据三角形平行比例线段性质，=，根据三角形重心的性质，=，∵△MNG∽△MHA，∴=，∴GN=，同理，=，∴MN=•=，∴NH=MH﹣MN=﹣=，在Rt△GNH中根据勾股定理，GH2=GN2+NH2，∴GH2=+=∴GH=．故答案为：．17．（4分）已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．（1）若该四棱锥的左视图为直角三角形，则它的体积为；（2）关于该四棱锥的下列结论中：①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直；②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；③四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面．所有正确结论的序号是①②③．【解答】解：（1）由四棱锥的俯视图可知，该四棱锥底面为ABCD为正方形，PO 垂直于BC于点O，其中O为BC的中点，若该四棱锥的左视图为直角三角形，则△BPC为直角三角形，且为等腰直角三角形，∵B0=1，∴PO=BO=1，则它的体积为；（2）由四棱锥的直观图可知，PO⊥面ABCD，则PO⊥AB，PO⊥CD，又AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB⊥面PBC，CD⊥面PBC，∴面ABC⊥面PBC，面PCD⊥面PBC，∴①正确．②由①知，侧面ABP和PCD为直角三角形，当BP⊥PC时，△PBC为直角三角形，∴侧面可能存在三个直角三角形，∴②正确．③若四个侧面互相垂直，则由四个侧面围成的几何体为柱体，不可能是锥体，∴③正确．故答案为：；①②③．三、解答题：本大题共5小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（8分）设命题p：函数f（x）=lg的定义域是R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意，若p是真命题，则对任意实数都成立，若a=0，显然不成立；若a≠0，解得a＞2故如果p是真命题时，实数a的取值范围是（2，+∞）（2）若命题q为真命题时，则3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．∵x＞0∴3x＞1∴3x﹣9x∈（﹣∞，0）所以如果q是真命题时，a≥0．又p或q为真命题，命题p且q为假命题所以命题p与q一真一假∴或解得0≤a≤2综上所述，实数a的取值范围是[0，2]19．如图，直线l过点P（0，1），夹在两已知直线l1：2x+y﹣8=0和l2：x﹣3y+10=0之间的线段AB恰被点P平分．（1）求直线l的方程；（2）设点D（0，m），且AD∥l1，求：△ABD的面积．【解答】解：（1）∵点B在直线l1：2x+y﹣8=0上，可设B（a，8﹣2a），又P（0，1）是AB的中点，∴A（﹣a，2a﹣6），∵点A在直线l2：x﹣3y+10=0上，∴﹣a﹣3（2a﹣6）+10=0，解得a=4，即B（4，0）．故直线l的方程是x+4y﹣4=0；（2）由（1）知A（﹣4，2），又AD∥l1，则，∴m=﹣6，则D（0，﹣6）．点A到直线l1的距离，，∴．20．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°（Ⅰ）平面PAD与平面PAB是否垂直？并说明理由；（Ⅱ）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）平面PAD⊥平面PAB∵∠PBC=90°∴BC⊥PB∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形∴BC⊥AB∵PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，且PB∩AB=B∴BC⊥平面PAB∵AD∥BC∴AD⊥平面PAB∵AD⊂平面PAD∴平面PAD⊥平面PAB．（Ⅱ）如图，过点P作BA延长线的垂线PH，垂足为H，连接CH．由（Ⅰ）可知AD⊥平面PAB∵AD⊂平面ABCD∴平面PAB⊥平面ABCD∵PH⊂平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB∴PH⊥平面ABCD∴CH为PC在平面ABCD内的射影．∴∠PCH为PC与底面ABCD所成的角．∵∠PAB=120°∴∠PAH=60°∵PA=1∴在直角三角形PAH中，PH=PA×sin60°=，AH=PA×cos60°=在直角三角形HBC中，BH=AH+AB=+2=，BC=AD=1故CH==在直角三角形PHC中，PC==2∴sin∠PCH==故直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为21．如图：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC 上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形EFCD沿EF折起成如图的位置，使AD=AE．（Ⅰ）求证：BC∥平面DAE；（Ⅱ）求四棱锥D﹣AEFB的体积；（Ⅲ）求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值．【解答】（I）证明：∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，∴CF∥DE，FB∥AE又∵BF∩CF=F，AE∩DE=E，CF、FB⊂面CBF，DE、AE⊂面DAE∴面CBF∥面DAE…（2分）又BC⊂面CBF，所以BC∥平面DAE…（3分）（II）解：取AE的中点H，连接DH∵EF⊥ED，EF⊥EA，ED∩EA=E∴EF⊥平面DAE又DH⊂平面DAE，∴EF⊥DH∴AE=ED=DA=2，∴DH⊥AE，DH=，又AE∩EF=E∴DH⊥面AEFB…（5分）所以四棱锥D﹣AEFB的体积=…（6分）（III）如图以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系则A（﹣1，0，0），D（0，0，），B（﹣1，﹣2，0），E（1，0，0），F（1，﹣2，0）因为=，所以C（，﹣2，）…（8分）易知是平面ADE的一个法向量，==（0，2，0）…（9分）设平面BCD的一个法向量为=（x，y，z）由令x=2，则y=2，z=﹣2，∴=（2，2，﹣2），…（10分）∴cos＜，＞=所以面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值为…（12分）22．在如图所示的几何体中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，AA1DD1CC1∥BE，且AA1=AB，D1E⊥平面D1AC，AA1⊥底面ABCD．（Ⅰ）求二面角D1﹣AC﹣E的大小；（Ⅱ）在D1E上是否存在一点B，使得A1P∥平面EAC，若存在，求的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设AC交BD于O，建立如图所示的坐标系，设AB=2，则A（，0，0），B（0，﹣1，0），C（﹣，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，2）设E（0，﹣1，t），则=（0，2，2﹣t），=（2，0，0），=（，﹣1，﹣2）．∵D1E⊥平面D1AC，∴•=0，∴﹣2﹣2（2﹣t）=0，∴t=3，∴E（0，﹣1，3），∴，设平面EAC的法向量为，则令z=1，可得=（0，3，1），∵平面FAC的法向量为=（0，2，﹣1），∴cos＜，＞=∴二面角D1﹣AC﹣E的平面角为45°；（Ⅱ）设=λ=（0，﹣，）∴=+=（﹣，1﹣，）∵A1P∥平面EAC，∴⊥∴﹣×0+3×+1×=0∴λ=∴存在一点P，使得A1P∥平面EAC，此时=．四、附加题：（共10分）23．已知三棱锥S﹣ABC是三条侧棱两两垂直的三棱锥，O是底面△ABC内的一点，则G=tan∠OSA•tan∠OSB•tan∠OSC的最小值是．【解答】解：如图，设∠OSA=α，∠OSB=β，∠OSC=γ过O分别作与SA、SB、SC平行的平面交三棱锥的侧棱，侧面于如图所示的点，得到的图形是以SO为对角线的长方体，则cos2α+cos2β+cos2γ=．所以sin2α=1﹣cos2α=cos2β+cos2γ≥2cosβcosγ．同理sin2β≥2cosαcosγ，sin2γ≥2cosαcosβ．则sin2α•sin2β•sin2γ≥8cos2α•cos2β•cos2γ．所以G=tan∠OSA•tan∠OSB•tan∠OSC，故答案为．24．命题p：正实数a，b满足a2+b2=1；命题q：正实数a，b满足a3+b3+1=m（a+b+1）3，若“p∧q”为真命题，则m的取值范围是[，）．【解答】解：∵正实数a，b满足a2+b2=1，∴令a=cosθ，b=sinθ，θ∈（0，），t=cosθ+sinθ=sin（θ+）则t∈（1，]，sinθcosθ=．由a3+b3+1=m（a+b+1）3，得=====﹣，∴m=m（t）=﹣+在（1，]上是递减函数，∴m＜m（1）=，m≥m（）=，故m的取值范围是[，）故答案为：[，）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

2015—2016学年浙江省绍兴一中高二（上)期末数学试卷（国际班）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．半径为1的球的表面积为（）A．1 B．2πC．3πD．4π2．圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标和半径分别为( )A．（0,2），2 B．（2，0），4 C．（﹣2，0），2 D．(2，0），23．过点（1,0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是( ）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=04．设是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题成立的是（）A．若l⊥α,α⊥β,则l⊥βB．若l⊥α，α∥β，则l⊥βC．若l∥α,α⊥β,则l∥βD．若l∥α，α∥β，则l∥β5．设p是椭圆上的点．若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1｜+｜PF2|等于（）A．4 B．5 C．8 D．106．P是边长为a的正三角ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=a，E、F是AB和PC的中点，则异面直线PA与EF所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．在同一直角坐标系中,直线=1与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的位置关系是（）A．直线经过圆心 B．相交但不经过圆心C．相切 D．相离8．过点(3，﹣2）且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（）A．B．C．D．9．直线kx﹣y+k=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切,则实数k等于（）A．B．C．D．10．曲线x2+y2﹣6x=0（y＞0）与直线y=k（x+2)有公共点的充要条件是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M、N分别是CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是．13．若直线x+（1+m） y+2+m=0与直线2mx+4y+6=0平行，则m的值为．14．以A（﹣1,2)，B（5，﹣6）为直径两端点的圆的标准方程是．15．已知动点M与两个定点O(0,0），A(3，0）的距离之比为，则点M的轨迹方程是．三、解答题（本大题共5小题，满分55分）16．如图,圆x2+y2=8内有一点P(﹣1,2），AB为过点P的弦．(1）当弦AB的倾斜角为135°时,求AB所在的直线方程及｜AB|；(2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证:AC⊥平面PDB（2）当PD=AB=2，设E为PB的中点，求AE与平面ABCD所成角．18．如图所示,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点，（1)求证：MN∥平面PAD；（2）求证：MN⊥CD；（3）若∠PDA=45°，求证：平面BMN⊥平面PCD．19．由圆x2+y2=9外一点P（5，12）引圆的割线交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．20．已知点P的轨迹方程为（x+1）2+（y﹣2）2=1，直线l与点P的轨迹相切，且l在x轴． y 轴上的截距相等，（1)若截距均为0，是否存在这样的直线,若存在，求直线l的方程．（2）若截距不为0，是否存在这样的直线，若存在，求直线l的方程．2015—2016学年浙江省绍兴一中高二（上）期末数学试卷（国际班)参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题,每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．半径为1的球的表面积为（）A．1 B．2πC．3πD．4π【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用球的表面积公式解答即可．【解答】解：半径为1的球的表面积为4π12=4π．故选:D．【点评】本题考查了球的表面积公式的运用；属于基础题．2．圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标和半径分别为( )A．（0，2)，2 B．（2,0），4 C．(﹣2，0），2 D．(2，0），2【考点】圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】把圆的方程利用配方法化为标准方程后，即可得到圆心与半径．【解答】解：把圆x2+y2﹣4x=0的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，所以圆心坐标为（2，0），半径为=2故选D【点评】此题比较简单，要求学生会把圆的一般方程化为标准方程．3．过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0【考点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】因为所求直线与直线x﹣2y﹣2=0平行，所以设平行直线系方程为x﹣2y+c=0，代入此直线所过的点的坐标,得参数值【解答】解:设直线方程为x﹣2y+c=0，又经过（1，0）,∴1﹣0+c=0故c=﹣1,∴所求方程为x﹣2y﹣1=0;故选A．【点评】本题属于求直线方程的问题,解法比较灵活．4．设是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题成立的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊥βB．若l⊥α,α∥β,则l⊥βC．若l∥α，α⊥β，则l∥βD．若l∥α，α∥β,则l∥β【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】A．利用线面垂直和面面垂直的性质判断．B．利用线面垂直和面面平行的性质去判断．C．利用线面平行和面面垂直的性质去判断．D．利用线面平行和面面平行的性质去判断．【解答】解:A．若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，所以A错误．B．若l⊥α，α∥β，则必有l⊥β，所以B正确．C．若l∥α，α⊥β，则l与β的位置关系不确定,所以C不正确．D．若l∥α，α∥β,则l∥β或l⊂β,所以D不正确．故选B．【点评】本题考查了空间点线面之间的位置关系的判断，要求熟练掌握点线面之间平行和垂直的性质和判定定理．5．设p是椭圆上的点．若F1,F2是椭圆的两个焦点，则|PF1｜+|PF2｜等于（）A．4 B．5 C．8 D．10【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】由椭圆的第一定义知｜PF1｜+｜PF2｜=2a,进而求得答案．【解答】解：由椭圆的第一定义知｜PF1|+｜PF2｜=2a=10，故选D．【点评】本题主要考查了椭圆的性质,属基础题．6．P是边长为a的正三角ABC所在平面外一点,PA=PB=PC=a，E、F是AB和PC的中点，则异面直线PA与EF所成的角为（)A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】过F做FG∥PA,交AC于G，则∠EFG是PA与EF所成的角的平面角（或所成角的补角）,由此利用余弦定理能求出异面直线PA与EF所成的角．【解答】解:如图，∵P是边长为a的正三角ABC所在平面外一点,PA=PB=PC=a,E、F是AB和PC的中点，在△PEC中，PE=CE==，PC=a，∴PC的中线EF==，过F做FG∥PA,交AC于G，则∠EFG是PA与EF所成的角的平面角(或所成角的补角),连接EG，在△EFG中，∵FG=，EG=,EF=，∴EG2+FG2=EF2，∴EG⊥FG，EG=FG，∴∠EFG=45°，即异面直线PA与EF所成的角为45°．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．7．在同一直角坐标系中，直线=1与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的位置关系是（）A．直线经过圆心 B．相交但不经过圆心C．相切 D．相离【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】求出圆心到直线的距离大于零且小于半径,可得直线和圆相交但不经过圆心．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0，即 (x+1）2+（y﹣2）2=9，表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于3的圆．由于圆心到直线=1的距离为=2＜3，故直线和圆相交但不经过圆心，故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．8．过点（3，﹣2）且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据已知椭圆的方程算出焦点为（，0），再设所求椭圆方程为（m ＞n＞0)，由焦点的坐标和点（3，﹣2）在椭圆上建立关于m、n的方程组,解之即可得到m、n的值，从而得到所求椭圆的方程．【解答】解：∵椭圆的方程为∴a2=9，b2=4,可得c==，椭圆的焦点为（,0)设椭圆方程是（m＞n＞0)，则，解之得∴所求椭圆的方程为故选：B【点评】本题给出椭圆与已知椭圆有相同的焦点且经过点(3，﹣2），求椭圆的方程，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识点，属于基础题．9．直线kx﹣y+k=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，则实数k等于（)A．B．C．D．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】判断直线恒过的定点与圆的位置关系，即可得到结论．【解答】解:因为直线kx﹣y+k=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，所以圆心到直线的距离为d==1，所以k=或﹣．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查计算能力．10．曲线x2+y2﹣6x=0(y＞0）与直线y=k（x+2）有公共点的充要条件是( ）A．B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题;直线与圆．【分析】曲线x2+y2﹣6x=0（y＞0）是圆心在(3，0)，半径为3的半圆，它与直线y=k（x+2）有公共点的充要条件是圆心（3，0)到直线y=k（x+2）的距离d≤3,且k＞0，由此能求出结果．【解答】解：∵曲线x2+y2﹣6x=0(y＞0），∴（x﹣3）2+y2=9（y＞0）为圆心在(3,0)，半径为3的半圆，它与直线y=k（x+2)有公共点的充要条件是圆心（3，0）到直线y=k（x+2）的距离d≤3，且k＞0，∴，且k＞0，解得0＜k≤．故选C．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的灵活运用．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为π．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】几何体是圆柱与圆锥的组合体，根据三视图判断圆锥与圆柱的底面半径及高,把数据代入棱柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知:几何体是圆柱与圆锥的组合体，圆锥与圆柱的底面直径都为2，圆锥的高为1，圆柱的高为2，∴几何体的体积V=π×12×2+×π×12×1=π．故答案为：π．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角．【解答】解：以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1,﹣2)•=0,所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，故答案为：90°．【点评】本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否则容易由于计算失误而出错．13．若直线x+(1+m） y+2+m=0与直线2mx+4y+6=0平行，则m的值为﹣2 ．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题．【分析】由两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0平行⇔（m≠0、n≠0、d≠0）解得即可．．【解答】解：∵直线x+(1+m) y+2+m=0与2mx+4y+6=0平行∴∴m=﹣2故答案为﹣2．【点评】本题考查两直线平行的条件，解题过程中要注意两直线重合的情况,属于基础题．14．以A（﹣1，2)，B（5，﹣6）为直径两端点的圆的标准方程是（x﹣2）2+（y+2）2=25 ．【考点】圆的标准方程．【专题】直线与圆．【分析】利用中点坐标公式即可得到a，b．再利用两点间的距离公式可得圆的半径r=｜AC｜，进而得到圆的标准方程．【解答】解：设以A（﹣1,2），B（5,﹣6）为直径两端点的圆的标准方程是（x﹣a）2+(y﹣b）2=r2（r＞0）．则，解得a=2，b=﹣2．∴圆心C(2，﹣2）．∴r2=|AC|2=（﹣1﹣2）2+（2+2）2=25．故所求的圆的标准方程为(x﹣2）2+(y+2)2=25．故答案为(x﹣2）2+（y+2)2=25．【点评】本题考查了中点坐标公式、两点间的距离公式、圆的标准方程等基础知识与基本方法,属于基础题．15．已知动点M与两个定点O（0，0）,A（3，0）的距离之比为，则点M的轨迹方程是(x ﹣1）2+y2=4 ．【考点】轨迹方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出M的坐标，直接由M与两个定点O(0,0），A（3，0）的距离之比为列式整理得方程．【解答】解:设M(x，y），由点M与两个定点O（0，0），A（3,0）的距离之比为,得，整理得:（x+1）2+y2=4．∴点M的轨迹方程是(x+1)2+y2=4．故答案为：（x+1）2+y2=4．【点评】本题考查了轨迹方程的求法，考查了两点间的距离公式，是中低档题．三、解答题（本大题共5小题，满分55分）16．如图，圆x2+y2=8内有一点P（﹣1,2），AB为过点P的弦．（1）当弦AB的倾斜角为135°时，求AB所在的直线方程及｜AB|；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】(1)由倾斜角可得斜率为﹣1，然后根据过点P，写成点斜式，然后化成一般式即可．先求出圆心到直线AB的距离d，然后根据|AB|=求值即可．（2）根据OP⊥AB可求出AB的斜率，然后根据过点P，写出点斜式,转化为一般式方程即可．【解答】解:（1)依题意直线AB的斜率为﹣1，直线AB的方程为：y﹣2=﹣（x+1），即x+y﹣1=0;圆心0(0，0)到直线AB的距离为d=，∴｜AB|=2=；（2)当弦AB被点P平分时，OP⊥AB，故AB的斜率为，根据点斜式方程直线AB的方程为x ﹣2y+5=0．【点评】本题考查用点斜式求直线方程,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,求出圆心0（0,0）到直线AB的距离为d，是解题的关键．17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上．（1）求证：AC⊥平面PDB（2）当PD=AB=2,设E为PB的中点,求AE与平面ABCD所成角．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】整体思想;空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）根据题意证明AC⊥BD，PD⊥AC，可得AC⊥平面PDB；（2)根据直线和平面所成角的定义找出直线和平面所成的角,即可得到结论．【解答】（1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴PD⊥AC,又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PDB,（3分)(2）解:设AC∩BD=O，连接OE,由（1）知AC⊥平面PDB于O，又O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，OE=PD=，∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，则∴∠EAO为AE与平面ABCD所的角，∵PD=AB=2，∴PD=2，AB=,在Rt△AOE中,OE=,∵AB=，∴A0=1，∵AB=AO，∴∠AEO=45°，(7分）即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．18．如图所示,PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点,（1）求证：MN∥平面PAD;（2）求证：MN⊥CD；（3）若∠PDA=45°,求证：平面BMN⊥平面PCD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；综合题．【分析】（1）取PD 的中点E，连接AE、EN，根据三角形中位线的性质，我们可得四边形AMNE 为平行四边形，即MN∥AE,进而根据线面平行的判定定理得到MN∥平面PAD．（2）由已知中P A⊥矩形ABCD所在的平面，根据线面垂直的性质及矩形的性质，可得PA⊥AB，AD⊥AB，由线面垂直的判定定理得AB⊥平面PAD,结合线面垂直的判定定理及性质，即可得到MN⊥CD；(3）由已知中PA⊥矩形ABCD所在的平面,∠PDA=45°，E 是PD 的中点，可得MN⊥PD，MN⊥CD，由线面线面垂直的判定定理得MN⊥平面PCD,再由面面垂直的判定定理可得面BMN⊥平面PCD．【解答】证明：（1）如图所示,取PD 的中点E,连接AE、EN，则有EN===AM,EN∥CD∥AB∥AM，故AMNE 是平行四边形，∴MN∥AE，∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD．（2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥AE，即AB⊥MN，又CD∥AB，∴MN⊥CD．(3）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA=45°，E 是PD 的中点，∴AE⊥PD,即MN⊥PD，又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD,∵MN⊂平面BMN∴平面BMN⊥平面PCD．【点评】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定和性质是解答本题的关键．19．由圆x2+y2=9外一点P(5，12）引圆的割线交圆于A、B两点,求弦AB的中点M的轨迹方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想;综合法;直线与圆．【分析】设出弦AB中点坐标为（x，y），利用斜率关系可得方程,与圆O方程联立，可得范围．【解答】解：设弦AB的中点M的坐标为M（x，y），连接OP、OM，则OM⊥AB，在△OMP中，由两点间的距离公式和勾股定理有x2+y2+（x﹣5）2+（y﹣12）2=169．整理，得 x2+y2﹣5x﹣12y=0．其中﹣3≤x≤3．【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查轨迹方程，考查学生的计算能力,属于中档题．20．已知点P的轨迹方程为（x+1）2+（y﹣2)2=1，直线l与点P的轨迹相切，且l在x轴． y 轴上的截距相等，（1）若截距均为0，是否存在这样的直线，若存在，求直线l的方程．（2）若截距不为0，是否存在这样的直线,若存在，求直线l的方程．【考点】圆的标准方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1)设P点坐标为(x,y），N点坐标为（x0，y0）,则由中点坐标公式有，用未知点表示已知点,代入已知关系式中得到结论．（2）因直线l在x轴、y轴上截距相等，故l的斜率存在且不为0,当直线l在x轴、y轴截距都为0时，设直线l的方程为：y=kx,并结合线圆相切得到斜率k的值，进而得到结论．【解答】解：（1）设P点坐标为（x,y），N点坐标为（x0，y0），则由中点坐标公式有∵N点在圆x2+y2=4上，即为点P的轨迹方程…6分（2）因直线l在x轴、y轴上截距相等，故l的斜率存在且不为0，当直线l在x轴、y轴截距都为0时,设直线l的方程为：y=kx，即kx﹣y=0∵直线l与（x+1)2+(y﹣2)2=1相切，∴…9分当l在x轴、y轴上的截距均不为0时，设直线l的方程为,即x+y﹣a=0∵直线l与（x+1）2+（y﹣2）2=1相切,∴，故直线l的方程为或综上可知l的方程为：或或…12分【点评】本试题主要是考查了利用相关点法求解轨迹方程,以及利用直线与圆相切，确定参数的值，并利用直线在两坐标轴上截距相等得到直线的方程．。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.与直线x+y+3=0平行，且它们之间的距离为23的直线方程为（ ） A ．x-y+8=0或x-y-1=0B ．x+y+8=0或x+y-1=0C ．x+y-3=0或x+y+3=0D ．x+y-3=0或x+y+9=0 【答案】D考点：两条平行线之间的距离公式．2.长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是 （ ）A.π220 B ．π225 C ．50π D ．200π【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，长方体的对角线长为l ==，所以球的半径为r =，所以球的表面积为224450S r πππ==⨯=，故选C ． 考点：长方体的对角线长公式及球的表面积公式．3.设l ，m 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若l ∥α，α∩β=m ，则l ∥m B ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β C ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ⊥l ，则m ⊥α【答案】B试题分析：A 中，若//,l m ααβ=，则,l m 平行或异面，只有l β⊂，才有//l m 所以A 错误；B 中，若,//l l αβ⊥，则αβ⊥，所以B 正确；C 中，若//,//l m αα，则由线面平行的性质定理可知l ，m 平行、相交或异面，所以C 错误；D 中，//,l m l α⊥，则m 与α平行、相交或在平面内，所以D 错误，故选B ． 考点：线面位置关系的判定．4.若直线y=x+m 有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为（ ）A.(B.(1]-C.(D. 【答案】B考点：直线与圆的位置关系．5.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A ．4 B ．320 C ．326 D ．8考点：几何体的三视图及几何体的体积公式．6.如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，E 为DC 边的中点，沿AE 将△ADE 折起，在折起过程中，有几个正确（ ）①.ED ⊥平面ACD ②.CD ⊥平面BED ③.BD ⊥平面ACD ④.AD ⊥平面BED A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，根据几何体运动的观点可知，当D 点运动到使得90ADB ∠=，此时能使得BD ⊥平面ACD ，只有③是正确的，故选A ． 考点：线面位置关系的判定与证明．7.点P(-3，1)在椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左准线(ca x 2-=)上．过点P 且方向为a =（2，-5）的光线，经直线y =﹣2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A ．33 B ．31 C ．22 D ．21【答案】A考点：直线与椭圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，充分利用光线的反射的性质，运算量比较大，属于中档试题，本题的解答中，根据过点P 且方向为(2,5)a =-，求得PQ 的方程，把2y =代入可求得Q 的坐标，根据光线反射的对称性质直线1QF 的斜率进而得1QF 的方程，把0y =代入即可得到焦点坐标，求得c ，根据点(3,1)P -在椭圆的做准线上，可求得a 和c 的关系求得a ，则椭圆的离心率可得．8.已知点A(﹣2，0)，B(2，0)，C(0，2)，直线y=ax+b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分， 则b 的取值范围是（ ）A ．(0,2B ．(2C ．2(2]3D ．2[,1)3【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，三角形ABC 的面积142S AB OC =⋅⋅=，由于直线(0)y ax b a =+>与x 轴的焦点考点：直线的一般方程及其应用．【方法点晴】本题主要考查了去顶直线的要素，点到直线距离公式和两点间的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查运算能力和综合分析能力，分类讨论思想，属于难度较大的试题，本题的解答中，先求得直线(0)y ax b a =+>与x 轴的焦点为(,0)b M a -，由0ba-≤可得点M 在射线OA 上，求出直线和BC 的交点N 的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之间的距离公式再分三种情况分别讨论，可求解结论．第Ⅱ卷（非选择题共76分）二、填空题（本大题共7小题，每题3分，其中9、15小题各4分，满分23分．）9.直观图（如图）中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm ，则在xOy 坐标中四边形ABCD 为 ， 面积为 cm 2．【答案】矩形 8考点：平面图形的直观图．10.李师傅在建材商店购买了三根外围直径都为10cm 的钢管，为了便于携带，他将三根钢管用铁丝紧紧捆住，截面如图所示，则铁丝捆扎一圈的长度为 cm ．【答案】3010π+ 【解析】试题分析：如图所示，铁丝捆扎一圈的长度为三条公切线的长度+三条弧长，即121333AB AB O O O +=+的周长3010π=+．考点：圆的性质的应用．11.椭圆E ：221164x y +=内有一点P(2，1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为 ．【答案】240x y +-=考点：椭圆的几何性质及其应用．12.四面体的棱长中，有两条为2、3，其余的全为1，它的体积是 ．【解析】试题分析：由题意画出几何体，如图所示，1,PA PB PC AB AC =====，所以ABC ∆为直角三角形，O 为AC 的中点，PO 垂直于底面ABC ，可知12PO =，三棱柱的体积为1111322V =⨯⨯=考点：几何体的体积的计算．13.连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别为72和34， M 、N 分别是AB 、CD 的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题： ①弦AB 、CD 可能相交于点M ； ②弦AB 、CD 可能相交于点N ； ③MN 的最大值是5； ④MN 的最小值是1； 其中所有正确命题的序号为 ．【答案】①③④考点：球面距离及相关的计算；空间直线与直线间的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了球的切线的性质及其空间位置关系的应用，解答此类问题对空间想象能力的要求较高，考生对命题①②的正确性不能分析到位，是解答该题的错误率较高，也是本题的一个难点，本题的解答中涉及到球面距离及其计算和空间直线与直线间的位置关系判定与应用，着重考查了空间想象能力逻辑思维能力，属于中档试题．14.设圆C ：x 2+y 2=3，直线l ：x+3y ﹣6=0，点P （x 0，y 0）∈l，存在点Q ∈C ，使∠OPQ=60°（O 为 坐标原点），则x 0的取值范围是 ． 【答案】]56,0[ 【解析】试题分析：由题意得，22200PO x y =+，又因为P 在直线l ，所以00(36)x y =--，故200103634y y -+≤，解得00862,055y x ≤≤≤≤，所以0x 的取值范围是]56,0[． 考点：点与圆的位置关系．15.在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD 1|=52的点P 的个数为 ；若满足|PB|+|PD 1|=m 的点P 的个数为6，则m 的取值范围是 ．【答案】12,（【解析】考点：棱柱的结构特征及正方体的性质．【方法点晴】本题主要以正方体为载体，考查了椭圆的定义的灵活应用，属于综合性较强的试题，难度较大，本题的解答中，可根据1PB PD +=判定点P 是以2c =以a =为长半轴，为短半轴的椭圆，转化为椭圆与正方体的棱的交点个数；同时根据11PB PD m BD +=>=得m >，再根据椭圆中短半轴b <m 的取值范围．三、解答题（本大题共5小题，共53分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本题满分8分）如图，一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，其中有一个高为xcm 的内接圆 柱．（1）试用x 表示圆柱的侧面积； （2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大．【答案】（1）224,(0,6)3S x x x ππ=-∈；（2）圆柱的高为3cm 时，它的侧面积最大为26cm π． 【解析】试题分析：（1）由题意得作出结合体的轴截面，根据轴截面的比例关系列出方程，求出圆柱的底面半径，再表示出圆柱的侧面积；（2）由（1）求出的侧面积的表达式，根据二次函数的性质求出侧面面积的最大值．试题解析：（1）S 圆柱侧=)6,0(,324)32(222∈-=-=x x x x x rx ππππ…………………4分（2）由（1）知当3)32(24=--=ππx 时，这个二次函数有最大值为6π， ∴当圆柱的高为3cm 时，它的侧面积最大为6πcm 2…………………………8分 考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的侧面积与体积；二次函数的性质． 17.（本题满分9分）已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=. （1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点A 、B ； （2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程.【答案】（1）证明见解析；（2）01222=+--+y x y x ．（2）当M 与P 不重合时，连结CM 、CP ，则MP CM ⊥，又因为222||||||CP MP CM =+,设)1)(,(≠x y x M ，则1)1()1()1(2222=-+-+-+y x y x ，化简得：)1(01222≠=+--+x y x y x ………………………………………………7分当M 与P 重合时，1,1==y x 也满足上式．故弦AB 中点的轨迹方程是01222=+--+y x y x ．……………………………………9分考点：直线和圆的方程的应用；直线的一般方程；轨迹方程的求解．18.（本题满分10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°， PA=AB=BC ，E 是PC 的中点．（1）证明：CD⊥AE；（2）证明：PD⊥平面ABE ；（3）求二面角A ﹣PD ﹣C 的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3．则tan∠AMEAE===EM．………………………………………………10分或直接建立空间直角坐标系求解，以A 为原点， AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，设AC a =,则A （0,0,0），P(0,0,a ),D(0,a 332,0),C(23,2a a ,0)． 考点：线面位置关系的判定与证明；二面角的求解．19.（本题满分12分）已知圆22:(4)4M x y +-=，点P 是直线:20l x y -=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线PA 的长度为时，求点P 的坐标；（2）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 在直线l 上运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的 定点的坐标；若不存在，说明理由．（3）求线段AB 长度的最小值．【答案】（1）(0,0)P 或168(,)55P ；（2）(0,4)，84(,)55；（3．考点：直线与圆的方程的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了直线和圆的方程的综合应用，着重考查了圆过定点，圆的切线长等问题，其中确定圆的方程是解答本题的关键，运算量较大，属于中档试题，其中本题的解答中设(2,)P b b ，因为090MAP ∠=，所以经过,,A P M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为222244(4)()()24b b b x b y ++--+-=，即22(24)(4)0x y b x y y +--+-=，从而判定圆过定点，其中认真运算、仔细解答是解答的一个易错点． 20.（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知00(,)R x y 是椭圆2212412x y +=上的一点，从原点O 向圆2200:()()8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点P,Q.（1）若直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程；（2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12,k k ，求证12210k k +=；（3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【答案】（1）8)22()22(2020=±+±y x ；（2）证明见解析；（3）是，2236OP OQ +=．（2）因为直线OP ：y=k 1x 和OQ ：y=k 2x 都与圆R 相切，所以221||21001=+-k y x k ，221||22002=+-k y x k ………………………………5分考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与椭圆的综合应用、直线与圆相切的关系的应用，着重考查了分析问题、解决问题的能力，同时考查了分类讨论和转化的数学思想方法，本题的解答中利用直线,OP OQ 与圆相切，转化为12,k k 是方程082)8(2000220=-+--y k y x k x 的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出12,k k ，证明12210k k +=；第3问中，当直线,OP OQ 不落在坐标轴上时，设P (11,y x )，Q (22,y x )，由 12210k k +=，推出2221222141x x y y =，利用因为P (11,y x )，Q (22,y x )，在椭圆上，可推出 2236OP OQ +=．：。