北师大版高中数学必修五课时作业14 三角形中的几何计算

[练案14]A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，若a <b <c ，且c 2<a 2＋b 2，则△ABC 为( B )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不存在[解析] ∵a <b <c ，且c 2<a 2＋b 2，∴∠C 为锐角．又∵∠C 为最大角．故选B ．2．已知三角形ABC 的面积为3，且b ＝2，c ＝2，则角A 等于( D )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°[解析] ∵S △ABC ＝3，∴12bc sin A ＝ 3. 即12×2×2×sin A ＝3，∴sin A ＝32. ∴A ＝60°或120°.3．在△ABC 中，A ＝π3，AB ＝2，S △ABC ＝32，则BC 的长为( C ) A ．7B ．7C ．3D ．3 [解析] ∵S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×2×AC ×32＝32，∴AC ＝1. 则BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝22＋12－2×2×1×12＝3， ∴BC ＝3，故选C ．4．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( A )A ．2B ．－2C ．4D ．－4[解析] 由题意，得S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ＝3， ∴sin A ＝32，又∵A ∈(0，π2)， ∴cos A ＝12. ∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝4×1×12＝2.5．在△ABC 中，lg a －lg b ＝lgsin B ＝－lg 2，∠B 为锐角，则∠A 的值是( A ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°[解析] 由题意得a b ＝sin B ＝22，又∵∠B 为锐角， ∴B ＝45°，又a b ＝sin A sin B ＝22，sin A ＝sin B ×22＝12， ∴∠A ＝30°.6．在△ABC 中，周长为7.5 cm ，且sin A ﹕sin B ﹕sin C ＝4﹕5﹕6，下列结论： ①a ﹕b ﹕c ＝4﹕5﹕6②a ﹕b ﹕c ＝2﹕5﹕ 6③a ＝2 cm ，b ＝2.5 cm ，c ＝3 cm④A ﹕B ﹕C ＝4﹕5﹕6其中成立的个数是( C )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[解析] 由正弦定理知a ﹕b ﹕c ＝4﹕5﹕6，故①对，②错，④错；结合a ＋b ＋c ＝7.5，知a ＝2，b ＝2.5，c ＝3，∴③对，∴选C ．二、填空题7．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角α的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是6cm 2.[解析] 解方程 5x 2－7x －6＝0，得x ＝2或x ＝－35， ∵|cos α|≤1，∴cos α＝－35，sin α＝45. 故S △＝12×3×5×45＝6(cm 2)． 8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于 2.[解析] 在△ABC 中，由余弦定理得：cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22·AC ·BC ＝4＋12－42×2×23＝32， ∴∠C ＝30°.在△ADC 中由正弦定理，得：AD sin C ＝AC sin ∠ADC， ∴AD 12＝222.故AD ＝ 2. 三、解答题9．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3, CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．[解析] (1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C＝13－12cos C ． ①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A＝5＋4cos C ． ②由①，②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝(12×1×2＋12×3×2)sin60°＝2 3. 10．已知a 、b 、c 分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ．(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．[解析] (1)由题设及正弦定理，得b 2＝2ac .又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理，得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2.所以△ABC 的面积为12×2×2＝1. B 级 素养提升一、选择题1．已知锐角三角形的边长分别为1,3，a ，则a 的取值范围是( B )A ．(8,10)B ．(22，10)C ．(22，10)D ．(10，8)[解析] 若a 是最大边，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3>a 12＋32>a 2，∴3≤a <10. 若3是最大边，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋a >312＋a 2>32， ∴3>a >22，∴22<a <10.2．在△ABC 中，若sin A ﹕sin B ﹕sin C ＝k ﹕(k ＋1)﹕2k ，则k 的取值范围是( D )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－12，0)D ．(12，＋∞) [解析] 由正弦定理知a ﹕b ﹕c ＝sin A ﹕sin B ﹕sin C ＝k ﹕(k ＋1)﹕2k ，又因为三角形两边之和大于第三边，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋(k ＋1)>2k (k ＋1)＋2k >kk ＋2k >k ＋1，所以k >12，故选D ． 3．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，△ABC 的面积为3，则a sin A为( B ) A ．8381B ．2393C ．2633D ．27[解析] 由12bc sin A ＝3得c ＝4. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，故a ＝13.所以a sin A ＝1332＝2393，选B ． 4．在△ABC 中，已知a ＝x ，b ＝2，B ＝60°，如果△ABC 有两解，则x 的取值范围是( C )A ．x >2B ．x <2C ．2<x <433D ．2<x ≤433 [解析] 欲使△ABC 有两解，须a sin60°<b <a .即32x <2<x ，∴2<x <433. 二、填空题5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为32a ，则c b＋b c 取得最大值时，内角A 的值为π6. [解析] 在△ABC 中，由题意得： 12×32a ×a ＝12×bc sin A ⇒32a 2＝bc sin A ． 由余弦定理得：a 2＝23bc sin A ＝b 2＋c 2－2bc cos A ． 所以23sin A ＋2cos A ＝b c ＋c b ， 即b c ＋c b ＝23(sin A ＋3cos A )＝43sin(A ＋π3)， 所以当A ＝π6时，c b ＋b c取得最大值． 故答案为π6. 6．(2018·全国卷Ⅰ文，16)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为233. [解析] 根据正弦定理有：sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，所以2sin B sin C ＝4sin A sin B sin C ，因为B ，C ∈(0，π)，所以sin B ≠0，sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4bc ＝32， 所以bc ＝833，所以S ＝12bc sin A ＝233. 三、解答题7．如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长． [解析] (1)由△DAC 关于∠CAD 的余弦定理可得cos ∠CAD ＝AD 2＋AC 2－DC 22AD ·AC ＝1＋7－42×1×7＝277， 所以cos ∠CAD ＝277. (2)因为∠BAD 为四边形内角，所以sin ∠BAD >0且sin ∠CAD >0，则由正余弦的关系可得sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝18914且sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217， 再有正弦的和差角公式可得sin ∠BAC ＝sin(∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －sin ∠CAD cos ∠BAD＝18914×277－217×(－714)＝337＋314＝32， 再由△ABC 的正弦定理可得AC sin ∠CBA ＝BC sin ∠BAC ⇒BC ＝7(216)×32＝3. 8．在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13. (1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．[解析] (1)由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π， 得2A ＝π2－B,0<A <π4.∴cos2A ＝sin B ， 即1－2sin 2A ＝13，∴sin A ＝33. (2)由(1)得cos A ＝63.又由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B ， ∴BC ＝AC sin A sin B ＝6×3313＝3 2. ∵C －A ＝π2，∴C ＝π2＋A ， ∴sin C ＝sin(π2＋A )＝cos A ＝63，∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×6×32×63＝3 2.。

[学业水平训练]．边长为、、的三角形的最大角与最小角的和是( )．°．°．°．°解析：选.设中间角为θ，则θ＝＝，θ＝°，°－°＝°即为所求．．在△中，三式·≤，·≤，·≤中可以成立的( )．至少个．至多个．一个也没有．三式可以同时成立解析：选.∵·≤，∴≤，∴≥，同样≥，≥，故至多有一个成立．．在△中，角、、所对的边分别是、、.若＝，则＋等于( )．－．－．解析：选.∵＝，∴＝，即－＝，∴－(－)＝，∴＋＝.．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是( )．锐角三角形．钝角三角形．直角三角形．与增加的长度有关解析：选.在△中，＝＋，设三边增加相同长度后，新三角形为△′′′，根据余弦定理得′＝＝>，而角′是最大的角，故新三角形为锐角三角形，故选.．在△中，＝°，＝，且△＝，则边的长为( )．．解析：选.∵△＝···得，×°＝，∴＝，∴＝)＝°)＝.故选.．在△中，＝，＝，当△的面积等于时，＝．解析：△的面积＝＝，解得＝，所以＝)＝，所以＝＝－，所以＝.答案：．在△中，若＝，＝，＝，则＝；＝．解析：由＝，得＝．又＋＝，得＝.又∵＝，＝，根据正弦定理，应用)＝)，∴＝)＝＝.答案：．已知在锐角三角形中，＝，＝，△的面积为，则·＝．解析：∵＝，∴＝×××.∴＝，又∵∠为锐角，∴＝.∴·＝××＝.答案：．在△中，角，，所对的边分别为，，，且满足＝，·＝.()求△的面积；()若＝，求的值．解：() ＝－＝×()－＝.又∈(，π)，＝＝，而·＝··＝＝，所以＝，所以△的面积为：＝××＝.()由()知＝，而＝，所以＝，所以＝)＝＝.．在△中，内角，，对边的边长分别是，，.已知＝，∠＝.()若△的面积等于，求，的值；()若＝，求△的面积．解：()∵＝＝·＝，∴＝.①∵＝＋－＝(＋)－－＝(＋)－＝.∴＋＝.②由①②可得＝，＝()∵＝，∴＝.又∵＝＋－＝(＋)－＝，∴＝，＝.∴＝＝.[高考水平训练]．在△中，角，，所对的边分别是，，，若(＋－) ＝，则)的值为( ) ．解析：选.由余弦定理＋－＝⇔＝⇒＝，由正弦定理)＝)⇒)＝＝，故选. ．设△的内角，，所对的边分别为，，若(＋－)(＋＋)＝，则角＝.解析：由(＋－)(＋＋)＝，可知＋－＝－.又＝＝－，所以∠＝°.答案：°．设△的内角，，所对的边长分别为，，且＝，＝.()当＝°时，求的值；()当△的面积为时，求＋的值．解：()因为＝，所以＝.由正弦定理)＝)，可得°)＝，所以＝.()因为△的面积＝·，＝，所以＝，＝.由余弦定理得＝＋－，得＝＋－＝＋－，即＋＝.。

§余弦定理
时间：分钟满分：分
班级姓名分数
一、选择题：(每小题分，共×＝分)．在△中，已知＝，＝，＝°，则边的值是( )
．．
．．．在△中，已知＝＋＋，则角为( )
或．若△的三个内角满足＝，则△()
．一定是锐角三角形
．一定是直角三角形
．一定是钝角三角形
．不能确定．在△中，＝，＝，＝，则等于( )
．在△中，＋＝，且＝，则△一定是( )
．等腰直角三角形
．钝角三角形
．直角三角形或等边三角形
．等边三角形．在△中，≤＋－，则的取值范围是( )
．(，] ．[，π)
．(，] ．[，π)
二、填空题：(每小题分，共×＝分)
．已知在△中，＝°，＝，＝，则＝.．在△中，，，分别为∠，∠，∠的对边，＝，＝＋，且＝＋－，则边＝.
．△为钝角三角形，＝，＝，＝，则的取值范围是．
三、解答题：(共分，其中第小题分，第、小题各分)
．在△中，＝，＝，＝，求·的值．。

三角形中的几何计算及实际应用举例一、教学目标（1）体会用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题。

（2）能灵活的运用正弦定理、余弦定理解决测量、航海、台风预报等有关的实际问题，体会建立三角函数模型的思想。

（3）结合正弦定理、余弦定理等体会用方程的数学思想、分论讨论的数学思想等解决实际问题。

二、知识要点分析：1. 三角形中的几何计算的有关知识点（三角形中的边和角的关系：）（i ）大角对大边：,,,A B a b B C b c C A c a >⇒>>⇒>>⇒>（ii ）正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===，（R 是三角形外接圆的半径） （iii ）余弦定理：2222222222cos ,2cos ,2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- （iv ）三角形的面积S △ABC 111sin sin sin 222ABC S bc A ac B ab C pr ====4abc R = 2. 解决实际问题的有关知识点（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。

（2）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角叫方位角。

（3）解决实际问题的步骤。

（i ）理解题意分清已知与未知。

（ii ）画图建模利用正、余弦定理等知识点求解。

（iii ）作答。

3. 掌握三角形内角诱导公式及相关的结论，（i ）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （ii ）sin()sin ,cos()cos ,sincos ,cos sin 2222A B C A B C A B C A B C +++=+=-== （iii ）tantan tan tan tan tan 1222222A B B C A C ++=。

一、选择题1．已知方程x 2sin A ＋2x sin B ＋sin C ＝0有重根，则△ABC 的三边a ，b ，c 的关系满足( )A ．b ＝acB ．b 2＝acC ．a ＝b ＝cD ．c ＝ab 【答案】 B【解析】 ∵由方程有重根，∴Δ＝4sin 2B －4sin A sin C ＝0，即sin 2B ＝sin A sin C ，∴b 2＝ac .2．在△ABC 中，a ＝6，b ＝4，C ＝30°，则△ABC 的面积是( )A ．12B ．6C ．12 3D ．8 3 【答案】 B【解析】 由S ＝12ab sin C 得S △ABC ＝12×6×4sin30°＝6.3．在△ABC 中，a ＝6，B ＝30°，C ＝120°，则△ABC 的面积是( )A ．9B ．8C ．9 3D ．18 3 【答案】 C【解析】 由题知A ＝180°－120°－30°＝30°.∴6sin30°＝b sin30°，∴b ＝6，∴S ＝12×6×6sin120°＝9 3.二、填空题4．在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积为________．【答案】 32【解析】 由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos30°， ∴AC 2－23AC ＋3＝0.∴AC ＝ 3.∴S △ABC ＝12AB ·AC sin30°＝12×2×3×12＝32.5．在△ABC 中，已知a ＝8，c ＝6，且S △ABC ＝123，则B ＝________.【答案】 60°或120°【解析】 S △ABC ＝12ac sin B ＝12×8×6×sin B ＝123，∴sin B ＝32，∵0°<B <180°，∴B ＝60°或120°.三、解答题6．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 【解析】 证法一：化角为边，左边＝a －c (a 2＋c 2－b 2)2ac b －c (b 2＋c 2－a 2)2bc＝a 2－c 2＋b 22a ·2b b 2＋a 2－c 2＝b a ＝sin B sin A＝右边． 证法二：化边为角，左边＝sin A －sin C cos B sin B －sin C cos A ＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A ＝右边．。

1[学业水平训练]1．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：选B.设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°即为所求．2．在△ABC 中，三式AB →·AC →≤0，BA →·BC →≤0，CA →·CB →≤0中可以成立的( ) A ．至少1个 B ．至多1个 C ．一个也没有D ．三式可以同时成立解析：选B.∵AB →·AC →≤0，∴cos A ≤0，∴A ≥π2，同样B ≥π2，C ≥π2，故至多有一个成立．3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )A ．－12B.12 C ．－1D ．1解析：选D.∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin B sin B ，即sin A cos A －sin 2B ＝0，∴sin A cos A －(1－cos 2B )＝0，∴sin A cos A ＋cos 2B ＝1.4．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．与增加的长度有关解析：选A.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2，设三边增加相同长度m 后，新三角形为△A ′B ′C ′，根据余弦定理得cos A ′＝（b ＋m ）2＋（c ＋m ）2－（a ＋m ）22（b ＋m ）（c ＋m ）＝2m （b ＋c －a ）＋m22（b ＋m ）（c ＋m ）>0，而角A ′是最大的角，故新三角形为锐角三角形，故选A.5．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且S △ABC ＝32，则BC 边的长为( ) A. 3 B ．3 C.7D ．72解析：选A.∵S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A 得，12×2AC sin 60°＝32，∴AC ＝1， ∴BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝ 3.故选A. 6．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，sin C ＝________． 解析：△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝3，解得c ＝4，所以b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－1313，所以sin C ＝21339.答案：213397．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________．解析：由tan A ＝2，得sin A ＝2cos A ．又sin 2A ＋cos 2A ＝1，得sin A ＝255.又∵b ＝5，B ＝π4，根据正弦定理，应用a sin A ＝b sin B， ∴a ＝b sin A sin B ＝2522＝210. 答案：2552108．已知在锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →＝________． 解析：∵S ＝12|AB →||AC →|sin A ，∴3＝12×4×1×sin A .∴sin A ＝32，又∵∠A 为锐角，∴cos A ＝12. ∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.答案：29．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若c ＝1，求a 的值．3解：(1)cos A ＝2cos 2A 2－1＝2×(255)2－1＝35.又A ∈(0，π)，sin A ＝1－cos 2A ＝45，而AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝35bc ＝3，所以bc ＝5， 所以△ABC 的面积为： 12bc sin A ＝12×5×45＝2. (2)由(1)知bc ＝5，而c ＝1，所以b ＝5， 所以a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋1－2×3＝2 5.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c .已知c ＝2，∠C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b 的值； (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积． 解：(1)∵S ＝12ab sin C ＝12ab ·32＝3，∴ab ＝4.①∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C ＝(a ＋b )2－12＝4. ∴a ＋b ＝4.②由①②可得a ＝2，b ＝2 (2)∵sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a . 又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝4，∴a ＝233，b ＝433. ∴S ＝12ab sin C ＝233.[高考水平训练]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则b sin Aa的值为( )A ．1B.124C.22D.32解析：选D.由余弦定理a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ⇔2ac sin B ＝3ac ⇒sin B ＝32，由正弦定理a sin A＝bsin B ⇒b sin A a ＝sin B ＝32，故选D.2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.解析：由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，可知 a 2＋b 2－c 2＝－ab .又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，所以∠C ＝120°.答案：120°3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解：(1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.4．已知△ABC 外接圆的半径R ＝1，且有sin 2A －sin 2C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b a sin A sin B ，求△ABC 面积的最大值．解：在△ABC 中，由正弦定理，得 sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R，5 已知等式可化为a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b a ab ，即a 2＋b 2－c 2＝2ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab 2ab ＝22，∴C ＝π4.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2R sin A ·2R sin B ·sin π4＝2R 2sin A sin B .∵R ＝1，B ＝π－(A ＋C )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4，∴S △ABC ＝2sin A ·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4 ＝2sin A ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝2sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos π4＋cos A sin π4 ＝sin 2A ＋sin A cos A ＝1－cos 2A 2＋12sin 2A＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2A －22cos 2A ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4＝1，即A ＝3π8时，S m ax ＝1＋22.。

学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，|BC →|＝3，|CA →|＝5，|AB →|＝7，则CB →·CA→的值为( )【导学号：47172091】A ．－32 B.32 C ．－152 D ．152【解析】 由余弦定理cos C ＝|CA →|2＋|BC →|2－|AB →|22|CA →|·|BC →|＝52＋32－722×5×3＝－12，∴CB →·CA →＝|CB →|·|CA →|cos C ＝3×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－152. 【答案】 C2．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )A ．40 3B ．20 3C ．40 2D ．20 2【解析】 设另两边长为8x,5x ，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，解得x ＝2，∴另两边长分别为16和10， ∴S ＝12×16×10×sin 60°＝40 3.选A. 【答案】 A3．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( )图2-2-4A.1627B.23C.33D.34【解析】 设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝23. 由余弦定理得CE ＝CF＝AE 2＋AC 2－2AC ·AE cos 45°＝53， 所以cos ∠ECF ＝CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF ＝45，tan ∠ECF ＝sin ∠ECF cos ∠ECF＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45245＝34. 【答案】 D4．如图2-2-5，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )图2-2-5A.33B.36C.63D.66【解析】 设AB ＝c ，则AD ＝c ，BD ＝2c 3，BC ＝4c 3， 在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝c 2＋c 2－43c22c 2＝13.则sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理得c sin C ＝BCsin A ＝4c3223，解得sin C＝66.【答案】 D5．若△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则a 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8【解析】 S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝103，∴bc ＝40， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc ·12，∴a 2＝(20－a )2－120， ∴a ＝7. 【答案】 C 二、填空题6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为________. 【导学号：47172092】【解析】 因为sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，所以sin 2B ＝sin A ·sin C ，由正弦定理得b 2＝ac ，又c ＝2a ，故cos B ＝a 2＋c 2－b22ac＝4a 2＋a 2－2a 24a 2＝34.【答案】 347．在△ABC 中，AB ＝3，点D 是BC 的中点，且AD ＝1，∠BAD ＝30°，则△ABC 的面积为________．【解析】 ∵D 为BC 的中点，∴S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12×|AB ||AD |·sin ∠BAD ＝2×12×3×1×sin 30°＝32. 【答案】 328．如图2-2-6所示，已知圆内接四边形ABCD 中AB ＝3，AD ＝5，BD ＝7，∠BDC ＝45°，则BC ＝________.。

§2 三角形中的几何计算（1）[教学目标]1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。

2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

3、培养和提高分析、解决问题的能力。

[教学重点难点]1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。

2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

[教学过程]一、复习引入1、正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C=== 2、余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bca cb A 2cos 222-+= ,cos 2222B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 222-+= C ab b a c cos 2222-+=，⇔ab c b a C 2cos 222-+= 二、例题讲解教材P54页例1、例2、例3练习：1、已知方程2(cos )cos 0x b B x a A -+=的两根之积等于两根之和，其中a 、b 为ABC ∆的两边，A 、B 为两内角，试判断这个三角形的形状。

分析：可先从已知条件提取出：cos cos a A b B =。

引导学生用正弦定理，余弦定理两种方法去解题。

自己对于两种方法的运用有个初步感受。

（2010陕西文数）2、 在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.解 在△ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得cos ∠2222AD DC AC AD DC +-=10036196121062+-=-⨯⨯,∴∠ADC=120°, ∠ADB=60°在△ABD 中，AD=10, ∠B=45°, ∠ADB=60°， 由正弦定理得sin sin AB AD ADB B=∠, ∴AB=10sin 10sin 60sin sin 45AD ADB B ∠︒===︒三、小结先由学生自己总结解题所得。

课时作业(十四)1．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°答案 B解析 ∵33＝12×4×3sinC ，∴sinC ＝32.∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝60°，故选B. 2．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sinC 等于( ) A.32 B.12 C.33D.34 答案 B解析 由正弦定理得S △ABC ＝12·AB ·BC ·sinB ＝32AB ＝32，∴AB ＝1，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB ＝1＋4－4×12＝3，∴AC ＝3，再由正弦定理，得1sinC ＝3sinπ3，∴sinC ＝12.3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为( ) A. 3 B ．3 C.7 D ．7答案 A 解析 由S △ABC ＝32，得12AB ·ACsinA ＝32. 即12×2AC ×32＝32，∴AC ＝1，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cosA ＝22＋12－2×2×1×12＝3.∴BC ＝ 3.4．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．无解答案 C解析 由3a ＝3b ＝12，得a ＝4，b ＝43，利用正弦定理可得B 为60°或120°，从而解出c 的值．5．(2014·新课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1答案 B解析 由题意可得12AB ·BC ·sinB ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sinB ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB ＝ 5. 6．在△ABC 中，2acosB ＝c ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 方法一：由余弦定理，得2a a 2＋c 2－b 22ac 2＋c 2－b 2＝c 2.则a ＝b.则△ABC 是等腰三角形．方法二：由正弦定理，得2×2R sinAcosB ＝2RsinC ，即2sinAcosB ＝sinC.又sin(A ＋B)＋sin(A －B)＝2sinAcosB ，所以sin(A ＋B)＋sin(A －B)＝sinC.又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B)＝sinC.所以sin(A －B)＝0.又0<A<π，0<B<π，则－π<A －B<π.所以有A ＝B ，则△ABC 是等腰三角形．探究 思路一是转化为三角形的边的关系，利用代数运算获得三角形的关系式；思路二是转化为三角形的角的关系，利用三角函数知识获得了三角形的角的关系．思路二中，如果没有想到等式sin(A ＋B)＋sin(A －B)＝2sinAcosB ，那么就会陷入困境．由于受三角函数知识的限制，提倡将已知条件等式转化为边的关系来判断三角形的形状． 7．已知锐角三角形的边长分别是3，5，x ，则x 的取值范围是( ) A ．1<x< 5 B ．4<x<30 C ．1<x<4 D ．4<x<34答案 D解析 若5最大，则32＋x 2－52>0，得x>4.若x 最大，则32＋52－x 2>0，得0<x<34. 又2<x<8，则4<x<34.8．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，角C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分，则cosA ＝( ) A.13 B.12 C.34 D ．0答案 C解析 ∵CD 是∠C 的平分线，∴S △ACD S △BCD ＝12AC·CD sinC 212BC ·CDsin C 2＝AC BC ＝sinB sinA ＝32. ∵B＝2A ，∴sinB sinA ＝sin2A sinA ＝2cosA ＝32.∴cosA ＝34.9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的外接圆半径为________． 答案8155解析 设顶角为A ，则有cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sinA ＝1－cos 2A ＝158. ∴2R ＝a sinA ，R ＝a 2sinA ＝8155. 10．在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________．答案 45°，30°，105°解析 ∵a＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bccosA. ∴2b 2＝b 2＋c 2－2bccosA.又∵c 2＝b 2＋2bc ，∴cosA ＝22，∴A ＝45°. ∴sinB ＝12，B ＝30°，∴C ＝105°.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若(3b －c)cosA ＝acosC ，则cosA ＝______． 答案33解析 由正弦定理，得(3sinB －sinC)cosA ＝sinAcosC. 化简得3sinBcosA ＝sin(A ＋C)． ∵0<sinB ≤1，∴cosA ＝33. 12．在△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝10，cosC ＝255.(1)求BC 边的长；(2)记AB 的中点为D ，求中线CD 的长． 解析 (1)由cosC ＝255，得sinC ＝55.sinA ＝sin(180°－45°－C)＝22(cosC ＋sinC)＝31010.由正弦定理知 BC ＝AC sinB ·sinA ＝1022·31010＝3 2.(2)AB ＝AC sinB ·sinC ＝1022·55＝2.BD ＝12AB ＝1.由余弦定理知CD ＝BD 2＋BC 2－2BD·BC·cosB ＝1＋18－2×1×32×22＝13.13.如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值； (2)若cos ∠BAD ＝－714， sin ∠CBA ＝216，求BC 的长． 解析 (1)如题图，在△ADC 中，由余弦定理，得 cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD22AC ·AD.故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277.(2)如题图，设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD－∠CAD. 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2772＝217. sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin (∠BAD－∠CAD) ＝sin ∠BADcos ∠CAD －cos ∠BADsin ∠CAD ＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217＝32.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin α＝ACsin ∠CBA.故BC ＝AC·sin αsin ∠CBA＝7×32216＝3. 14.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解析 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin (∠ADC－∠B) ＝sin ∠ADCcosB －cos ∠ADCsinB ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.15.如图所示，已知圆O 的半径为1，点C 在直径AB 的延长线上，BC ＝1，点P 是圆O 上半圆上的一个动点，以PC 为边作等边三角形PCD ，且点D 与圆心分别在PC 的两侧．(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC 的面积y 表示成θ的函数； (2)求四边形OPDC 面积的最大值．思路分析 四边形OPDC 可以分成△OPC 和△PCD，S △OPC 可用12OP ·OC ·sin θ表示；求△PCD的面积关键在于求出边长PC ，在△POC 中利用余弦定理可求解． 解析 (1)在△POC 中，由余弦定理，得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP·OC·cos θ＝12＋22－2×1×2×cos θ＝5－4cos θ. ∴y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12×1×2sin θ＋34(5－4cos θ)＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin (θ－π3)＋534.(2)当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.。

课时作业(十四) 三角形中的几何计算(限时：10分钟)1．在△ABC 中，a ＝6，B ＝30°，C ＝120°，则△ABC 的面积是( ) A ．9 B ．8 C ．9 3 D ．18 3解析：由题知A ＝180°－120°－30°＝30°.∴a ＝b ＝6，∴S ＝12×6×6×sin120°＝9 3.答案：C2．在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，B ＝30°，在△ABC 的面积为( )A.32或 3B.32或34C.3或34D. 3解析：由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即1＝a 2＋3－23a cos30°，化简得a 2－3a ＋2＝0.∴a ＝1或a ＝2.又S △ABC ＝12ac sin B ＝34a ，∴S △ABC ＝34或32.答案：B3．如图，在△ABC 中，B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，则AB 的长为( )A ．5 B. 2 C ．5 3 D ．5 6解析：在△ACD 中，cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝142＋62－1022×14×6＝1114.∴sin C ＝5314.在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝14×531422＝5 6.答案：D4．在△ABC 中，ab ＝60，S △ABC ＝153，△ABC 的外接圆半径为3，则边c 的长为________．解析：S △ABC ＝12ab sin C ＝153，∴sin C ＝32.由正弦定理csin C＝2R ，∴c ＝2R ×sin C ＝3.答案：35．在△ABC 中，求证：a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝12(a ＋b ＋c )．证明：左边＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝a ＋c 2＋12a cos C ＋12c cos A＝a ＋c 2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ＋c 2＋b 2＝a ＋b ＋c 2＝右边，∴等式成立．(限时：30分钟) 1．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则角A 的对边的长为( ) A.57 B.37 C.21 D.13解析：∵S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×c ×sin60°＝3，∴c ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝1＋16－2×4×12＝13.∴a ＝13. 答案：D2．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝( )A. 3 B ．2 3 C ．4 3 D ．3 2解析：在△ABC 中，sin C ＝1－cos 2C ＝223，则由S △ABC ＝12ab sin C ，得12×32×223×b＝43，∴b ＝2 3.答案：B3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394解析：在△ABC 中，由余弦定理可知： AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即7＝AB 2＋4－2×2×AB ×12.整理得AB 2－2AB －3＝0.。