[原创]2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第三章 第8讲 解三角形应用举例[配套课件]

专题三 数列与不等式n＝ 7n ＋ 45 n 1．已知等差数列 { a n } ，{ b n } 的前 n 项和分别为 S n，T ，且S，则使得 a为整数 nT n n － 3 b n的正整数 n 的个数是 ( )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 62．已知等差数列 { a n } 的公差 d ≠ 0，且 a 1 ，a 3，a 13 成等比数列，若 a 1＝1，S n 为数列 { a n }2S n ＋ 16的前 n 项和，则a n ＋ 3 的最小值为 ()9A ． 4B ． 3C ． 2 3－ 2 D.23． (2015 年新课标Ⅱ )设 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和，且 a 1＝－ 1， a n ＋1＝ S n S n ＋ 1，则 S n ＝ ________.4．设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且知足 a n ＋ S n ＝ 1，则 S n 的取值范围是 ( )A ． (0,1)B ． (0，＋∞ )1， 1 D. 1，＋∞C. 225．(2017 年广东调研 )设 R n 是等比数列 { a n } 的前 n 项的积，若 25(a 1＋ a 3)＝ 1，a 5＝ 27a 2，则当 R n 取最小值时， n ＝ ______.6．(2017 年新课标Ⅰ)几名大学生响应国家的创业呼吁，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了“解数学题获得软件激活码”的活动． 这款软件的激活码为下边数学识题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16 ， ，此中第一项为哪一项 20，接下来 的两项是 20,21，再接下来的三项是 20,21,22，依此类推．求知足以下条件的最小整数 N ：N>100且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ． 330C ． 220D ． 1107． (2016 年新课标Ⅲ )已知各项都为正数的数列{ a n } 知足 a 1＝ 1， a 2n － (2a n ＋ 1－1)a n － 2a n ＋1＝ 0.(1)求 a 2， a 3；(2)求 { a n } 的通项公式．8． (2017 年广东揭阳一模 )设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S 4 ＝4S 2， a 2n ＝ 2a n ＋ 1－3.(1)求数列 { a n } 的通项公式；(2)设数列 { b n } 知足 a 1b 1＋a 2b 2＋ ＋ a n b n ＝ 3－ 2n ＋ 3，求 { b n } 的前 n 项和 T n .2 n9． (2017 年广东汕头一模)已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n， a1＝2， a n＋1＝S n＋ 2.(1)求数列 { a n} 的通项公式；1(2)已知 b n＝ log2a n，求数列的前 n 项和 T n.b n b n＋110．(2017 年天津 ) 已知 { a n} 为等差数列，前n 项和为 S n(n∈N 数列，且公比大于0， b2＋ b3＝ 12， b3＝ a4－2a1， S11＝ 11b4.(1)求 { a n} 和 { b n} 的通项公式；*(2)求数列 { a2n b2n－1 } 的前 n 项和 (n∈N )．*)，{ b n} 是首项为 2 的等比专题三 数列与不等式aS14n ＋ 38 7n ＋ 191．Ba n ＝ 2a n ＝1＋ a 2n －12n － 1＝ 7＋33，∴n － 2＝－ 1 或b 1＋ b 2n －1 ＝＝＝ n －2 分析： b n 2b nT 2n －12n － 4n － 21 或 3 或 11 或 33，∴n ＝ 1 或 3 或 5 或 13S n ＝ T n ＋45中分母为零，所以舍 或 35.当 n ＝3 时， T nn －3去．2． A分析： 由 a 1， a 3， a 13 成等比数列，得 a 32＝ a 1a 13? (a 1＋ 2d)2＝ a 1(a 1 ＋12d)? 4d 2＝2S n ＋ 16 n 2＋ 8 ＝ (n ＋1) ＋ 9－ 8a 1 d.由于 d ≠ 0，所以 d ＝2a 1＝ 2，S n ＝ n 2，a n ＝ 2n －1，进而＝ n ＋1a n ＋ 3 n ＋ 12≥ 2n ＋ 1 × 9 －2＝ 4，当且仅当 n ＝ 2 时取等号．应选 A.n ＋ 13．－1分析： 由已知，得 a n ＋1 ＝S n ＋1－ S n ＝ S n ＋ 1·S n ，两边同时除以－ S n ＋ 1·S n ，得1nS n ＋1 － 1＝－ 1，故数列 1 是以－ 1 为首项，－ 1为公差的等差数列．则1＝－ 1－( n － 1)＝－ n. S n S nS n1 所以 S n ＝－ n .4． C 分析： 当 n ＝ 1 时， a 1＝1.当 n ≥ 2 时， a n －1＋ S n －1＝1，得 a n － a n － 1＋ a n ＝ 0，即2n ＝a n －12a.∴数列{ a n } 是首项为 1，公比为 1的等比数列．2212× 1－ ∴S n ＝11－ 21∴S n ∈ 2，1.12n1 n＝1－2.5． 6 分析： 设公比为 q ，则 q 3＝a 5＝ 27.所以 q ＝3.由 25(a 1＋ a 3)＝ 1，得 25(a 1＋ a 1·32) a 23n －1 3n － 1＝1，解得 a 1＝ 1.则 a n ＝ a n ≤ 1， ≤ 1， 250 .则要使 R n 获得最小值， 必有 即 250 所250 a n ＋ 1 3n>1 ， 250>1，以 250<3 n ≤ 750，解得 n ＝ 6.6． A 分析： 由题意，得数列以下：1， 1,2， 1,2,4，1＋ 2＋ ＋k ＝ k k ＋ 1则该数列的前 项和为2k k ＋ 1＝ 1＋ (1＋ 2)＋ ＋ (1＋2＋ ＋2 k k 1 － k － 2.S)＝2＋2k k ＋ 11,2， ，2k要使 >100，有 k ≥ 14，此时 k ＋ 2<2k ＋1.所以 k ＋ 2 是以后的等比数列2＋1的部分和，即 k ＋ 2＝ 1＋2＋ ＋ 2t－1＝ 2t －1.所以 k ＝2t － 3≥ 14，则 t ≥ 5，此时 k ＝ 25 － 3＝ 29.对应知足的最小条件为 N ＝ 29× 30440.应选 A.＋ 5＝ 21 17． 解： (1) 由题意，得 a 2＝ 2， a 3＝ 4.(2)由 a 2n － (2a n ＋ 1－ 1)a n － 2a n ＋1＝ 0，得2a n ＋ 1(a n ＋ 1)＝ a n (a n ＋ 1)． 由于 { a n } 的各项都为正数，所以a n ＋ 1 1 a n＝ .2故 { a n } 是首项为 1，公比为 1的等比数列．21所以a n＝2n － 1.8． 解： (1) 设{ a n } 的公差为 d ，则有4a 1＋ 6d ＝ 4 2a 1＋ d ，a 1＋ 2n －1 d ＝ 2 a 1＋ nd － 3，a 1＝ 1， 解得d ＝ 2.故 a n ＝ a 1＋ (n －1)d ＝2n － 1.1 1 ＋ a2 b 2＋ ＋ a n n ＝ 3－ 2n ＋3， ①(2)a b b 2 n当 n ＝1 时， a 1b 1＝ 1，所以 b 1＝ 1 .2 2当 n ≥2 时， a 1 1＋ a 2 2＋ ＋a n －1 n － 1＝ 3－b b b①式减去②式，得 a nn ＝ 2n － 1. b2 n2n ＋ 1 2n －1 .②1求得 b n ＝2n ，易知当 n ＝ 1 时也建立， 所以数列 { b n } 为等比数列．11 n21－21 n其前 n 项和 T n ＝ b 1＋ b 2 ＋ ＋ b n ＝1 ＝1－2 .1－ 29． 解： (1) ∵a n ＋1＝ S n ＋ 2，∴a n ＝ S n － 1＋ 2(n ≥ 2)．两式作差，得 a n ＋1 －a n ＝ S n － S n － 1＝ a n .a n ＋ 1∴a n ＋1＝2a n ，即 a n ＝ 2(n ≥2)．a 2又当 n ＝ 1 时， a 2＝S 1＋2＝ 4，∴ ＝ 2 建立．a 1∴数列{ a n } 是公比为 2，首项为 2 的等比数列． ∴a n ＝ a 1qn － 1＝ 2n (n ∈N * )．(2)由 (1) ，可得 b n ＝ log 2a n ＝ n. ∴1＝1 ＝ 1－ 1 . b n b n ＋ 1 n n ＋ 1 n n ＋ 11 1 1 1 1 1 ∴T n ＝ 1－2 ＋2－ 3 ＋ ＋ n －n ＋ 1 ＝ 1－ 1 ＝ n . n＋ 1 n ＋110． 解： (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，等比数列 { b n } 的公比为 q. 由已知 b 2＋ b 3＝ 12，得 b 1( q ＋q 2)＝ 12. 由于 b 1＝2，所以 q 2 ＋ q － 6＝ 0. 又由于 q>0，解得 q ＝ 2.所以 b n ＝ 2n .由 b 3＝ a 4－ 2a 1，可得 3d － a 1＝ 8.①由 S 11＝11b 4，可得 a 1＋ 5d ＝16.②联立①②，解得 a 1 ＝1， d ＝ 3.由此可得 a n ＝ 3n － 2. n ＝ 2n所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 3n － 2，数列 { b nb } 的通项公式为 . (2)设数列 { a 2n b 2n －1 } 的前 n 项和为 T n ， 由于 a 2n ＝ 6n －2， b 2n － 1＝ 2×4n －1，所以 a 2n 2n － 1＝ (3n － 1)×4n.b故 T n ＝ 2× 4＋ 5×42＋8× 43＋ ＋ (3n － 1)× 4n ，4T n ＝ 2×42＋5× 43＋ 8×44＋ ＋ (3n － 4)× 4n＋ (3n － 1)× 4n ＋ 1，上 述 两 式 相 减 ， 得 － 3T n ＝ 2× 4 ＋ 3×42 ＋ 3× 43 ＋ ＋ 3× 4n － (3n － 1)×4n ＋1 ＝12× 1－ 4n－ 4－ (3n － 1)×4n ＋1＝－ (3n － 2)×4n ＋ 1－ 8.1－ 4得 T n ＝3n － 2× 4n ＋1＋8. 33所以数列 { a 2n b 2n － 1} 的前 n 项和为3n － 2× 4n ＋1＋ 8. 33。

专题六立体几何第 1课时1．(2015 年新课标Ⅱ )一个正方体被一个平面截去一部分后，节余部分的三视图如图Z6- 1，则截去部分体积与节余部分体积的比值为()图 Z6-11 1 1 1A. 8B. 7C.6D. 52．如图 Z6- 2，方格纸上正方形小格的边长为1，图中粗实线画出的是由一个正方体截得的一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()图 Z6-216 32 64A. 3B. 3C. 3 D ．323．某几何体的三视图如图Z6- 3，则该几何体的体积为()图 Z6-32 4A. 3B. 3816C.3D. 34．(2016 年河北“五校结盟”质量监测 )某四周体的三视图如图Z6-4，则其四个面中最大的面积是 ()图 Z6-4A ．2B ．22 C.3 D ．235．已知一个几何体的三视图如图 Z6- 5，则该几何体的体积为 ( )图 Z6-52223A ．8 B. 3 C. 3 D ．76．点 A ， B ，C ，D 均在同一球面上，且 AB ， AC ，AD 两两垂直，且AB ＝ 1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为 ( )7 7 14πA ． 7πB ． 14π C.2π D. 37．(2013 年新课标Ⅰ)如图 Z6-6，有一个水平搁置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内灌水，当球面恰巧接触水面时测得水深为 6 cm ，假如不计容器厚度，则球的体积为()图 Z6-6500 π 3866 π3A. 3cm B. 3 cm C. 1372 π D. 2048 π3 cm 3 3cm 38． (2016 年北京 )某四棱柱的三视图如图 Z6-7，则该四棱柱的体积为 ________．图 Z6-7体9．球 O 半径为OABC 的体积是 (R＝13，球面上有三点)A， B，C， AB＝ 12 3， AC＝ BC＝ 12，则四周A．60C．6010．如图ABC 的距离为3 B．50 36 D．50 6Z6-8，已知正三角形ABC 三个极点都在半径为 2 的球面上，球心O1，点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是到平面( )图 Z6-87π9πA. 4 B． 2π C. 4 D． 3π11． (2017 年广东茂名一模 )过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦AB， AC， AD ，且两两夹角都为60°，若球半径为 R，则△ BCD 的面积为 ____________．12．已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各极点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3， AB＝ 2， AC＝ 1，∠ BAC＝ 60°，则此球的表面积等于 ________．第 2课时1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠ BAC＝ 90°，AB ＝AC＝ AA1，则异面直线BA1与 AC1 所成的角等于 ()A ． 30°B ．45° C．60° D ．90°2．(2016 年天津模拟 )如图 Z6-9，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把△ABD 和△ ACD 折成相互垂直的两个平面后，某学生得出以下四个结论：图 Z6-9①BD⊥ AC；②△ BAC 是等边三角形；③三棱锥 D -ABC 是正三棱锥；④平面 ADC ⊥平面 ABC .()此中正确的选项是A ．①②④B ．①②③C．②③④D．①③④)分别相等，且3．三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱2 2长各为2， m， n，此中 m ＋n ＝6，则三棱锥体积的最大值为()3 1 8 3 2A. 3B. 2C. 27D. 34．(2016 年辽宁葫芦岛统测) 已知四棱锥P-ABCD 的五个极点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面PAD 垂直于平面ABCD ，在△ PAD 中， PA＝ PD ＝2，∠ APD ＝120 °，AB＝2，则球 O 的外接球的表面积等于()A ． 16π B． 20π C． 24π D ．36π5．在矩形ABCD 中， AD＝ 2，AB ＝4， E，F 分别为边AB ，AD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，点A， F 折起后分别为点A′， F′，获得四棱锥A′ -BCDE .给出以下几个结论：① A′， B， C， F′四点共面；② EF′∥平面A′ BC；③若平面 A′DE ⊥平面 BCDE ，则 CE⊥ A′ D；④四棱锥 A′ -BCDE 体积的最大值为2，此中正确的选项是________(填上全部正确的序号)．6．(2017 年广东梅州一模 )如图 Z6-10 所示的多面体是由一个直平行六面体被平面 AEFG 所截后获得的，此中∠ BAE＝∠ GAD ＝ 45°，AB ＝ 2AD＝ 2，∠ BAD ＝ 60°.(1)求证： BD ⊥平面 ADG；(2)求平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值．图 Z6- 107． (2017 年广东广州二模 )如图 Z6-11，ABCD 是边长为 a 的菱形，∠ BAD＝ 60°， EB⊥平面 ABCD ， FD ⊥平面 ABCD ， EB＝ 2FD ＝ 3a.(1)求证： EF ⊥ AC；(2)求直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值．图 Z6-118． (2017 年广东揭阳一模)如图Z6-12，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB＝ BC＝BB1，AB1∩ A1B＝ E，D 为 AC 上的点， B1C∥平面 A1BD；(1)求证： BD ⊥平面 A1ACC1；(2)若 AB＝ 1，且 AC ·AD＝ 1，求二面角B-A1D -B1的余弦值．图 Z6- 12专题六 立体几何第 1课时1．D 分析： 由三视图，得在正方体 1 1 1 1 中，截去四周体A-A 1 1 1，如图ABCD-A B C DB DD164 ，图 D164设正方体棱长为 a ，则 V A- A 1B 1D 1 1 1 3 1 3＝ × a ＝ a .3 2 631 35 31则节余几何体体积为 a－ 6a ＝ 6a .因此截去部分体积与节余部分体积的比值为 5.应选D.2． B 分析： 几何体为如图 D165 所示的正方体中的三棱锥 E- BB 1C(E 为 AA 1 的中点 )，它的体积为1× 1× 4× 4× 4＝323 23 .应选 B.图 D165图 D1663． B分析： 由三视图知对应的几何体为如图D166 所示的正方体中的三棱锥P-ABC ，此中 PC ⊥平面 PAB ，PA ＝AB ， PC ＝ PB ＝ 2，A 到 PB 的距离为 2，故该几何体的体积为 1× 13 2 4×2× 2× 2＝ .应选 B.3 4．D分析： 如图 D167 ，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中复原出三视图的直观图，其是一个三个极点在正方体的右边面、一个极点在左边面的三棱锥，即 D 1-BCB 1，其四个面的面积分别为 2,22， 2 2， 2 3.应选 D.图 D1675．D 分析：由三视图可知该几何体是一个由棱长为 2 的正方体截去两个三棱锥 A-A 1PQ和 D-PC 1D 1 后节余的部分，如图D168 ，此中 Q 是棱 A 11 的中点， P 是 A 11 的中点，因此B D该几何体的体积为V ＝ 8－1× 1× 1× 1×2－ 1×1× 1× 2×2＝ 7.应选 3 2 3 2D. 图 D1686．B分析： 三棱锥 A-BCD 的三条侧棱两两相互垂直，因此把它扩展为长方体，它也外接于球，长方体的对角线长为其外接球的直径，因此长方体的对角线长是 12＋ 22＋ 32＝14，它的外接球半径是14，外接球的表面积是 4π× 14 2＝ 14π故.选 B.2 27．A 分析： 如图 D169 ，作出球的一个截面，则 MC ＝ 8－ 6＝ 2(cm)，BM ＝ 1A B ＝ 1× 822 ＝ 4(cm) ．设球的半径为 R cm ，则 R 2＝OM 2＋ MB 2＝ (R － 2)2＋42，∴R ＝ 5.∴V 球＝43π× 53＝5003 π(cm 3)．图 D16938.2 分析： 由已知的三视图，得该几何体上部是一个以俯视图为底面的四棱柱，其高1 3为 1，故该四棱柱的体积 V ＝ Sh ＝ 2× (1＋2)× 1× 1＝2.9．A 分析： 设△ABC 外接圆半径为 r ，由 AB ＝ 12 3，AB ＝BC ＝ 12，得 A ＝B ＝ 30°，12 3 ＝24.解得 r ＝ 12.则 O 到平面 ABC 的距离 d ＝ R 2－ r 2＝ 132－ 122C ＝ 120 °.因此 2r ＝sin 120° 1× 36 3× 5＝ 60 3.应选 A. △1× 12× 12× sin 120 ＝°36 3，因此 V＝5.又 S ABC ＝ 2O-ABC ＝310．C 分析： 依据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，知经过点 E 的球 O的截面与 OE 垂直时截面圆的半径最小，相应的截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半 径的最小值，进而可得截面面积的最小值．设正三角形ABC 的中心为O 1，连结 O 1A ，连结O 1O ，O 1C ，OC ，∵O 1 是正三角形 ABC 的中心， A ，B ，C 三点都在球面上， ∴O 1O ⊥平面 ABC. 联合 O 1C? 平面 ABC ，可得 O 1O ⊥O 1C.∵球的半径 R ＝ 2，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，∴O 1O ＝1.∴Rt △O 1OC 中，O 1C ＝ R 2－ O 1O 2＝ 3.又∵E 为 AB 的中点， △ABC 是等边三角形． ∴32 27O 1E ＝ AO 1sin 30 ＝°2 .∴OE ＝OO 1＋ O 1E ＝ 2 .过 E 作球 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，2 2 329 截面圆的半径最小，此时截面圆的半径r ＝ R －OE ＝ 2.可得截面面积为 S ＝ πr ＝ 4π故.选 C.2 3 2分析： 方法一，由条件知 A-BCD 是正四周体，△ BCD 是正三角形， A ，B ，11. 3 R C ，D 为球上四点，将正三棱锥A-BCD 增补成一个正方体AGBH -FDEC ，如图 D170. 则正三棱锥 A-BCD 和正方体 AGBH -FDEC 有共同的外接球， △BCD 的边长就是正方风光的对角线，设正方体 AGBH -FDEC 的棱长为 a ，则正方体外接球半径 R 知足： a 2＋ a 2＋ a 2 ＝(2R)2，解得2422 228211823 ＝ 2 3a ＝ R .因此 BC ＝ a＋ a ＝R .因此△BCD 的面积 S ＝BC ×BD sin 60 ＝°× R ×2 333223R 2.图 D170图 D171方法二，由条件 A-BCD 是正四周体， △ BCD 是正三角形， A ， B ， C ， D 为球上四点， 球心 O 在正四周体中心，如图 D171.设 BC ＝ a ，CD 的中点为 E ， O 1 为过点 B ，C ， D 截面圆的圆心，2 23 3 则截面圆半径 r ＝O 1B ＝ 3BE ＝ 3×2 a ＝ 3 a.2 3 2 6正四周体 A-BCD 的高 AO 1＝ a － 3 a＝ 3 a.∴ 截面 BCD 与球心的距离d ＝ OO 1＝ 63 a －R.32 2622 6在 Rt △BOO 1 中， 3 a＝ R － 3 a －R，解得 a ＝ 3 R.∴△ BCD 的面积为11 2 6 2 3 2 32S ＝BC ×BCsin 60 ＝° ×3 R× 2 ＝ 3 R .2 212． 8π 分析： ∵三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3， AC ＝ 1，1 2 22AB ＝ 2，∠BAC ＝ 60°，∴2×1× 2× sin 60°× AA 1＝ 3.∴AA 1＝ 2.∵BC ＝ AB ＋ AC －2AB ·ACcos60°＝ 4＋ 1－ 2＝3，∴BC ＝ 3.设△ABC 外接圆的半径为BC ＝ 2R.∴R ＝ 1.故外接球的 R ，则sin 60 °半径为12＋ 12＝ 2，外接球的表面积等于 4π× ( 2)2＝8π.第2课时1． C 分析： 延伸 CA 到 D ，使得 AD ＝ AC ，则 ADA 1C 1 为平行四边形，∠ DA 1B 就是异面直线 BA 1 与 AC 1 所成的角．又△ A 1DB 为等边三角形．∴∠ DA 1B ＝ 60°.2． B 分析： 由题意知， BD ⊥平面 ADC ，故 BD ⊥AC ，①正确； AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高， 平面 ABD ⊥平面 ACD ，因此 AB ＝ AC ＝ BC ，△BAC 是等边三角形， ②正确；易知 DA ＝ DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．3． D 分析： 直接求三棱锥的体积很困难，由于不知三棱锥的形状，也没有数据，将该三棱锥放进长方体模型，如图D172，三棱锥 A-CB 1 1 切合题意，设AA 1＝ x ， A 1 D 1＝ y ，Dx 2＋ y 2＝ 2，1 1＝ z ，有2＋ z2＝m 2， 2 22 222＝4，z ＝ 22x A By 2＋ z 2 ＝n 2 ，11 2 22三棱锥体积 V ＝ 3V 长方体 ＝ 3xyz ＝ 3 xy ≤ 3 .因此三棱锥体积的最大值为 3 .应选 D.图 D1724．B 分析： 取 AD 的中点为 E ，连结 PE ，则由平面 PAD 垂直于平面 ABCD 可得， PE ⊥平面 ABCD ，于是以点 E 为原点，以 ED ，EP 分别为 x ，z 轴成立空间直角坐标系，此中AC 与 BD 订交于 F 点．于是可得E(0,0,0) ， D( 3， 0,0)， A(－ 3， 0,0)， P(0,0,1) ， C( 3，2,0)，B(－ 3，2,0)，F(0,1,0) ，设球 O 的球心的坐标为 →O(0，1，z 0)，则 OP ＝ (0，－ 1,1－ z 0 )， → → → － 1 2 2 ＝ 2 OB ＝(－ 3，1，－ z 0)，由 |OP|＝ |OB|，得 ＋ 1－ z 0 3＋ 1＋ z 0.解之，得 z 0＝－ 1.因此球心→ 5，由球的表面积公式知， S ＝ 4πr 2 ＝4π× ( 5) 2O(0,1，－ 1)．于是其半径为 |OP|＝ ＝ 20π故.选 B.5． ②③6． (1) 证明： 在△BAD 中，∵AB ＝ 2AD ＝ 2，∠BAD ＝60°， ∴由余弦定理，可得 BD ＝ 3. ∵AB 2＝AD 2＋ BD 2，∴AD ⊥BD .又在直平行六面体中，GD ⊥平面 ABCD ，BD ? 平面 ABCD ，∴GD ⊥BD .又 AD ∩ GD ＝ D ，∴BD ⊥平面 ADG.(2)解： 以 D 为坐标原点，成立如图 D173 所示的空间直角坐标系 D-xyz.图 D173∵∠ BAE ＝∠ GAD ＝ 45°， AB ＝ 2AD ＝ 2，∴ A(1,0,0) ，B(0， 3， 0)， G(0,0,1)， E(0， 3，2)， C(－ 1， 3，0)．→ →． ∴ AE ＝ (－ 1， 3， 2)，AG ＝ (－ 1,0,1) 设平面 AEFG 的法向量为 n ＝ (x ， y ， z)，→n ·AE ＝－ x ＋ 3y ＋ 2z ＝ 0， 故有→n ·AG ＝－ x ＋ z ＝ 0.令 x ＝ 1，得 y ＝－ 33，z ＝ 1.n ＝ (1，－ 33， 1)．而平面 ABCD 的一个法向量为→，DG＝ (0,0,1)→→21 DG·n∴ cos 〈DG＝7 .， n〉＝→|DG | |·n|故平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为7．解： (1) 证明：连结 BD，如图 D174.由于 ABCD 是菱形，因此AC⊥BD.由于 FD ⊥平面 ABCD ， AC? 平面 ABCD ，因此 AC ⊥FD .由于 BD ∩FD ＝ D，因此 AC⊥平面 BDF .由于EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，因此 EB ∥FD .因此 B， D， F，E 四点共面．由于 EF ? 平面 BDFE ，因此 EF⊥AC. 21 7 .图 D174 图 D175(2)如图 D175，以 D 为坐标原点，分别以→→的方向为 y 轴， z 轴的正方向，成立DC，DF空间直角坐标系D-xyz.能够求得3 1 3 1 3Aa，－2a， 0 ， B 2 a，2a， 0 ， F 0， 0，2 a ， C(0 ， a,0) ，23 1E 2 a，2a， 3a .→→＝3 1 3因此 AB＝ (0， a,0)， AF －2 a，2a，2 a . 设平面 ABF 的法向量为n＝( x， y， z)，→＝0，ay＝ 0，n·AB则→即－3 1 3 ＝0，n·AF 2 ax＋2ay＋2 az＝ 0.取 x＝ 1，则平面 ABF 的一个法向量为n＝(1,0,1)．→ 3 1，由于 CE＝2 a，－2a，3a→| →| 3 6n·CE因此 |cos〈n，CE〉|＝|n|CE→＝8 .| |因此直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值为38 6 .8． (1) 证明：如图 D176，连结 ED，∵平面 AB1C∩平面 A1BD ＝ED， B1C∥平面A1BD ，∴B1C∥ED.∵E 为 AB1的中点，∴ D 为 AC 的中点．∵AB＝ BC，∴BD ⊥AC.①方法一，由 A1A⊥平面 ABC， BD? 平面 ABC，得 A1A⊥BD ，②由①②及 A1A， AC 是平面 A1ACC1内的两条订交直线，∴BD ⊥平面 A1ACC1.方法二，∵ A1A⊥平面 ABC， A1A? 平面 A1 ACC1，∴平面 A1ACC1⊥平面 ABC.又平面 A1ACC 1∩平面 ABC＝ AC，∴BD ⊥平面 A1ACC1.图 D176 图 D177(2)由 AB＝ 1，得 BC ＝BB1＝ 1.1 2由 (1)知 DA＝2AC，由 AC·DA＝1，得 AC ＝ 2.∵AC2＝ 2＝ AB2＋ BC2，∴ AB⊥ BC.以 B 为原点，成立空间直角坐标系B-xyz 如图 D177，1 1则 A1(1,0,1) ，B1(0,0,1) ， D 2，2， 0 .→→ 1 1.因此 B1A1＝ (1,0,0) ，B1D＝，，－12 2设 m＝(x，y，z)是平面A1B1D的一个法向量，→→m·B1A1＝x＝0，m⊥B1A1，则得→ 1 1→y－ z＝ 0.m⊥B1D，m·B1D＝x＋2 2令 z＝ 1，得m＝ (0,2,1) ．设 n＝(a，b，c)为平面A1BD的一个法向量，→，→ a bn⊥BD n·BD＝＋＝0，则得 2 2→→n⊥BA1，n·BA1＝a＋c＝0.令 c＝ 1，得n＝ (－1,1,1) ．依题意知二面角B-A1D -B1为锐二面角，设其大小为θ，则 cos θ＝ |cos〈n，m〉 |＝|n·m|＝3＝155. |n| ·|m| 5× 315 即二面角 B-A1 D-B1的余弦值为5 .。