中职院校1.1.3两角和与差的正切复习题

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。

其中假命题是（）A。

①②B。

②③C。

③④D。

②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。

1+2B。

2-1C。

2D。

2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。

最大值为1，最小值为-1B。

最大值为1，最小值为-1/2C。

最大值为2，最小值为-2D。

最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。

1/2B。

2/2C。

-2D。

±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。

56/65B。

-56/65C。

6565/56D。

-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。

3/4B。

3/8C。

1/8D。

1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。

其中为相同函数的是（）A。

f(x)与g(x)B。

g(x)与h(x)C。

h(x)与f(x)D。

f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。

π/3B。

π/4C。

π/5D。

完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题两角和与差的正弦、余弦、正切cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ1、求值：1)cos15°2)cos80°cos20°+sin80°sin20°3)cos130°cos10°+sin130°sin10°5)sin75°7)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB2.1)证明：cos(π/2-α)=sinα4)cos105°6)求cos75°cos105°+sin75°sin105°8)cos91°cos29°-sin91°sin29°2)已知sinθ=15π，且θ为第二象限角，求cos(θ-π)的值．3)已知sin(30°+α)=√3/2，60°<α<150°，求cosα．4)化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)．5)已知sinα=-4/5，求cosα的值。

6)已知cosα=-3π/32，α∈(π/2,π)，求sin(α+π/4)的值。

7)已知α，β都是锐角，cosα=32π/53，α∈(π/3,π/2)，cosβ=-3π/52，β∈(π/6,π/4)，求cos(α+β)的值。

8)已知cos(α+β)=-11/53，求cosβ的值。

9)在△ABC中，已知sinA=√3/5，cosB=1/4，求cosC的值.两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ利用和差角公式计算下列各式的值：1)sin72°cos42°-cos72°sin42°2)3sinx+cosx3)cos2x-sin2x证明：1)sinα+cosα=sin(α+π/2)2)cosθ+sinθ=2sin(θ+π/4)3)2(sin x+cos x)=2cos(x-π/4)1)已知sinα=-3/5，α是第四象限角，求sin(-α)的值。

3.1两角和与差的正切公式( )1.1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°的值为A.33B. 3 C ．tan 6°D.1tan 6°( )2．tan 15°＋tan 105°等于 A ．－2 3 B ．2＋ 3 C ．4D.433( )3．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于 A.1318 B.1322 C.322D.318( )4．在△ABC 中，若tan Atan B>1，则△ABC 的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．不能确定( )5．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为 A ．1 B ．2 C ．1＋ 2D ．1＋ 3( )6．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan Atan B ，则角C 等于 A.π3 B.2π3 C.π6D.π4( )7．已知tan θ和tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ是方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，则p ，q 间的关系是 A ．p ＋q ＋1＝0 B ．p －q －1＝0 C ．p ＋q －1＝0D ．p －q ＋1＝0( )8．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)·…·(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)的值为 A ．222 B ．223 C ．224 D ．2259.cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝__________.10．若1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，且α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则α＋β＝_________.11．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是__________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)12．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为____________________________． 13．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.求： (1)cos(2α－β)的值； (2)β的值．14．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，求tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)的值．15．已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，且0＜α＜π2，π＜β＜3π2，求tan(α＋β)及α＋β的值．16．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．参考答案1解析：选A ∵tan 27°＋tan 33°1－tan 27°tan 33°＝tan(27°＋33°)＝tan 60°，∴原式＝1tan 60°＝33.2．解析：选A tan 15°＋tan 105°＝tan(60°－45°)＋tan(45°＋60°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＋tan 45°＋tan 60°1－tan 45°tan 60°＝－2 3.3．解析：选C ∵tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322.4．解析：选A 由tan Atan B>1，知tan A>0，tan B>0，从而A ，B 均为锐角．又tan(A ＋B)＝tan A ＋tan B1－tan Atan B <0，即tan C ＝－tan(A ＋B)>0，∴C 为锐角，故△ABC 为锐角三角形．5．解析：选B ∵tan 45°＝tan(20°＋25°)＝tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°＝1，∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°·tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2. 6．解析：选A 由已知，得tan A ＋tan B ＝3(tan Atan B －1)， 即tan A ＋tan B 1－tan Atan B＝－3，∴tan(A ＋B)＝－3，∴tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan(A ＋B)＝3，∴C ＝π3.7．解析：选D 由题意得tan θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝－p ， tan θtan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝q ，而tan π4＝tan ⎣⎡⎦⎤θ＋⎝⎛⎭⎫π4－θ＝tan θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ1－tan θta n ⎝⎛⎭⎫π4－θ，从而1－q ＝－p ，即p －q ＋1＝0.8．解析：选B (1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 44°＋tan 1°＋tan 44°tan 1°， ∵tan 45°＝tan(1°＋44°)＝tan 1°＋tan 44°1－tan 1°tan 44°＝1，∴(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋1－tan 1°tan 44°＋tan 44°tan 1°＝2， 同理，得(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝…＝2， ∴原式＝222×(1＋tan 45°)＝223.9解析：原式＝1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33.答案：3310．解析：因为1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，所以tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.又α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以π＜α＋β＜2π，故α＋β＝7π4.答案：7π411．解析：由已知得⎩⎨⎧tan A ＋tan B ＝53，tan A·tan B ＝13.∴tan(A ＋B)＝tan A ＋tan B 1－tan A·tan B＝531－13＝52，在△ABC 中，tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan(A ＋B)＝－52<0，∴C 是钝角，∴△ABC 是钝角三角形．答案：钝角12．解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan αtan β－1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1，即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝kπ－π4，k ∈Z.当k ＝1，α＋β取得最小正值3π4.13．解 (1)因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010>0， 所以0<α－β<π2，由题意得，sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝55×31010－255×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4. 14．解：因为tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，所以tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)] ＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝2＋31－2×3＝－1，tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)]＝tan (α＋β)－tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝2－31＋2×3＝－17，所以tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)＝tan 2α＋tan 2β＝－1－17＝－87.15．解：∵tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，∴tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.∵0＜α＜π2，π＜β＜3π2，∴π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝5π4.16．解：(1)因为tan(π＋α)＝－13，所以tan α＝－13，因为tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α，所以tan(α＋β)＝－13＋25＋13＝516.(2)因为tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α，所以tan β＝516＋131－516×13＝3143.。

4. 5. 6. 7. 8. A.最大值为1,最小值为— C.最大值为2,最小值为- 已知tan(已知一 2 A 56 A. 65 sin15 sin 30 7,ta n tan3 ,cos( 4B.56 65sin 75 的值等于B. B.最大值为 D.最大值为 1, 2, cos( )的值2s in( 13C.C.最小值为最小值为- 3,则 sin 2 5函数 f (x) tan(xA. f (x)与g(x) a 、B 、4),g(x)B. g(x)与 h(x)都是锐角，tan1,tan 2 65 56cot( 4D — 6556x)其中为相同函数的是C. h(x)与f (x)D. f (x)与g(x)及h(x)1,tan 5等于(两角和差的正弦余弦正切公式练习题、选择题给出如下四个命题②存在实数a,B ,使等式cos() cos cossin sin 能成立7③公式tan()tan an成立的条件是k—(k Z)且k(k Z)；1 tan tan22④不存在无穷多个 a 和B,使 sin()sin cosco s，sin ；其中假命题是( )A.①②B .②③C. ③④D. ②③④函数 y 2sin x(sin x cosx)的最大值是(A. 1 、、2B . 2 1C. 2D. 2)2. .3 cosx 的sin x()sin sin 恒成立; 当x ［刁,2〕时，函数f(x) ①对于任意的实数a 和B ，等式 cos( ) cos cos 3.2三、解答题（本大题共74分，17— 21题每题12分，22题14分） 17.化简求值：sinq 3x) cos(§ 3x) cos (石 3x) sin(： 3x).18.已知 090 ,且 cos ,cos 是方程 x 2、2sin50 x sin 250 -2求tan( 2 )的值.15 .若 sin( 24 ) cos(24 )，则 tan( 60)= ____________ .J 216.若sinx si ny,则cosx cosy 的取值范围是A.—B.C. §D. 534649. 设 tan 和 tan(— 4 ）是方程x 2px q 0的两个根，则P 、 q 之间的关系是A. p+q+1=0B. p — q+仁0C. p+q —仁0D.p — q — 1=010.已知 cosa,sin4si n(）,则tan （ ）的值是(2A.3 aB. —v T ~ —2aC a 4 D.: 21 aa 4a 41 a 2a 411.在厶ABC 中, C 90o，则tan A tanB 与1的关系为(A. tanA tanB 1B. tanA tanB 1C. tan A tanB 1D.不能确定12.sin 20 cos70 sin10 sin 50 的值是(A.1B.3 C. 1D.34224二 _填空题（每小题 4分，共16分，将答案填在横线上）13.已知sin( ) sin( ) m ，则cos 2cos 2的值为14.在△ ABC 中, ta nA ta nB tanC3. 3 , tan 2B ta nA ta nC 则/ B=))))0的两根,19.求证：tan (x y) tan (x y)sin 2x cos2x sin2y20.已知a,B€( 0,n )且tan()1,tan 17，求2的值.3 x 21.证明：tan—x ta n—2 22sin x cosx cos2x22.已知△ ABC勺三个内角满足: A+C=2B1cos A1cosC丄求cos^cosB 2C的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1. C 2 . A 3 . D 4 . D 5 . B 6 . C 7 . C 8 . B 9 . B 10 . D 11. B 12 . A二、13 . m 14 .—15 .2灵 16 .[辰2 ' 2]3三、17 .原式=si n(-3x)cos(— 3x) sin(3x) cos( 3x)==2 -6 .43 344v2sin50i'( v'2sin50 )2 4(sin 250 1)18 x2- sin(50 45 )，x i sin 95° cos5o ,X 2 sin5° cos85°,A C知 A=60° + a, C=60 22 故 cos- C 丄.2 2 2.3 x 3 . x, sin — x cos- cos xsin — 21.左=22 2 23 x cos — x c os —2 219 .证：左 sin (x y) cos(x y) sin (x y)si n[(x y) (x y)]cos(x y) 2 2 cos x cos y ・2 sin ・2 x sin y sin2xsin 2x右tan( 2 ) tan 75 2 ,3 . cos 2 x (cos 2 x sin 2x)sin2y cos 2 x sin 2 y 31 1cos 2 2,即 cos cos A cosC2 3cos4 3 x cos x cos2x cos x cos —2 222.由题设 B=60°, A+C=120，设—a,20. tantan(2 ) 1,23sin x 2sin x 右。

5.5 三角函数的和差公式【考点梳理】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α＋β)＝ ；sin(α－β)＝ .(2)cos(α－β)＝ ；cos(α＋β)＝ .(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ； tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝ ．(2)cos2α＝ ＝ ＝ ．(3)tan2α＝2tan α1－tan 2α3．几个常用的变形公式(1)降幂公式：sin 2α＝1－cos2α2；cos 2α＝1＋cos2α2． (2)辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，或tan φ＝b a ，φ角所在象限与点(a ，b )所在象限相同． 考点一 两角和与差的三角函数【例题】（1）sin72cos42cos72sin 42︒︒-︒︒=（ ）A ．12BC ．12-D ．（2）sin 40sin50cos40cos50︒︒-︒︒等于（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．cos10-︒（3）已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A ．12- B ．12 C ．2 D ．2（4）5cos12π=（ ）A B C D（5）化简)cos cos s ()()()in (sin x y x y x y x y -+-+-的结果为（ ）A ．sin 2xB ．cos2xC ．cos2x -D ．cos2y -（6）sincos 1212ππ+的值为（ ）A B C D【变式】（1）cos80sin40cos40sin80︒︒+︒︒=（ ）A ．cos40︒B ．sin40-︒C ． D（2）cos45cos15sin 45sin15︒︒-︒︒= .（3）3πππ13πsin cos cos sin 412412+= .（4）已知tan 2α=，tan 4β=，则()tan αβ+=（ ）A ．67B ．－67C ．－57D ．57（5）()()cos cos sin sin ααβααβ-+-等于（ ）A ．()cos 2αβ-B ．()cos 2αβ-C ．cos βD ．cos β-（61cos152︒+︒的值为（ ）A ．12BCD ．1考点二 二倍角公式【例题】（1）若()0,πx ∈，且3cos 5x =，则sin2x ＝( )A ．45B ．－45C ．－2425D ．2425（2）已知4sin 5α，则cos2=α（ ） A ．725- B ．725 C ．1625 D ．1625- （3）若1tan 2θ=则tan 2θ=（ ）A ．25B ．23C ．45D ．43（4）225sin sin 1212ππ-= .（5）sin15cos15︒︒的值是 .（6）212sin 15sin15cos15-︒=︒︒.【变式】（1）已知tan 2θ=，则2sin 2cos θθ=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（2）22cos sin 88ππ-=（ ）A ．BC ．D ．2（3）2tan 22.522tan 22.5=-（ ） A ．12- B ．14- C ．14 D ．12（4）212cos 67.5-︒=（ ）A ．12-B ．C ．D （5）函数21cos 2x y =+的最小正周期为 . （6）44sin cos 33ππ=（ ）A ．14-B ．C ．14 D【方法总结】1．深层次领悟公式的功能、规律与内涵 对三角公式，知其结构特征仅是第一层面要求，重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵．如1±sin2α＝(sin α±cos α)2有并项的功能，cos2α＝cos 2α－sin 2α有升幂的功能，sin2α＝2sin αcos α有将角由大化小的功能，两角和与差的正切公式，揭示的是同名不同角的正切函数的关系等．2．余弦的差角公式是本节公式之源，掌握其证明过程以及和差倍半公式的推演方法是很必要的．3．熟知一些恒等变换的技巧(1)公式的正用、逆用及变形用．(2)熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α3是2α3的半角，α2是α4的倍角等． (3)在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种变形，例如：1＝tan π4，1＝sin 2α＋cos 2α等． (4)在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的目的．。

两角和与差的正弦、正切练习题含答案1. cos70∘sin80∘+cos20∘sin10∘＝（）A.−√32B.√32C.−12D.122. 函数f(x)=2cos2x+sin x cos x−1的最大值是________．3. 已知x∈(0, π2)，y∈(0, π2)，cos x+sin xcos x−sin x=1−cos2ysin2y，则（）A.y−x=π4B.2y−x=π4C.y−x=π2D.2y−x=π24. sin105∘的值为()A. √3+√22B.√6+√24C.1+√22D.√6−√245. 已知θ∈(0,π2)且cos(θ+π6)＝35，则sinθ等于（）A.4√3−310B.4√3+310C.3√3+410D.3√3−4106. cos(−240∘)=( )A.−√32B.√32C.−12D.127. 函数f(x)=sin2x+√3cos2x图象的一个对称中心是（）A.(7π12,0) B.(π2,0) C.(π3,0) D.(π12,0)8. 已知α∈(−π2,π2)，tanα＝sin76∘cos46∘−cos76∘sin46∘，则sinα＝（）A.√55B.−√55C.2√55D.−2√559. （广东金山中学、广雅中学、佛山一中三校联考）若tanα−1tanα=32，且α∈(π4,π2)，则sin(2α+π6)的值为（）A.3 10B.4√310C.4√3+310D.4√3−31010. 已知sinθ+cosθ=43,θ∈(π4,π2)，则sinθ−cosθ＝（）A.√23B.−√23C.13D.−1311. 若f(x)＝cos x−√3sin x在[−a, a]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A.(0,π6] B.(0,π4] C.(0,π3] D.(0,π2]12. 已知M，N是函数f(x)＝2cos(ωx+φ)(ω>0)图像与直线的两个不同的交点．若|MN|的最小值是，则ω＝（）A.6B.4C.2D.113. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos A=(2c−a)cos B. (1)求角B的值；(2)若a=4，△ABC的面积为√3，求△ABC的周长.14. 一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F（不与正方形的顶点重合），连接AE，EF，FA，使得∠EAF＝45∘．现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF部分规划为蜂巢区，△CEF部分规划为蜂蜜交易区．若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？15. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知m→=(2,1)，n→=(c cos C,a cos B+b cos A)，且m→⊥n→．（1）求C；（2）若c2=7b2，且S△ABC=2√3，求b的值．参考答案与试题解析两角和与差的正弦、正切练习题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】D【考点】两角和与差的三角函数【解析】已知利用诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】cos70∘sin80∘+cos20∘sin10∘＝sin20∘cos10∘+cos20∘sin10∘＝sin(20∘+10∘)＝sin30∘=12．2.【答案】√52【考点】求两角和与差的正弦【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=2cos2x+sin x cos x−1，所以f(x)=1+cos2x+12sin2x−1=cos2x+12sin2x≤√1+(12)2=√52，即最大值是√52．故答案为：√52．3.【答案】A【考点】两角和与差的三角函数【解析】由二倍角公式可得cos x+sin xcos x−sin x =sin ycos y，变形后，利用三角函数和差角公式可得cos(x−y)＝sin(y−x)，进而得解．【解答】cos x+sin x1−cos2y∴cos x+sin xcos x−sin x =1−(1−2sin2y)2sin y cos y=sin ycos y，∴cos x cos y+sin x cos y＝cos x sin y−sin x sin y，∴cos(x−y)＝sin(y−x)，∵x∈(0, π2)，y∈(0, π2)，∴y−x=π4．4.【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：sin105∘=sin(60∘+45∘) =sin60∘cos45∘+cos60∘sin45∘=√32×√22+12×√22=√6+√24.故选B.5.【答案】A【考点】同角三角函数间的基本关系两角和与差的三角函数【解析】由已知可求范围θ+π6∈(π6, 2π3)，利用同角三角函数基本关系式可求sin(θ+π6)的值，进而根据两角差的正弦函数公式可求sinθ的值．【解答】∵θ∈(0,π2)，cos(θ+π6)＝35，∴θ+π6∈(π6, 2π3)，∴sin(θ+π6)=√1−cos2(θ+π6)=45，∴sinθ=sin[(θ+π6)−π6]=sin(θ+π6)cosπ6−cos(θ+π6)sinπ6=45×√32−35×12=4√3−310．6.【答案】C运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：cos(−240∘)=cos(−180∘−60∘)=−cos60∘=−12.故选C.7.【答案】C【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】利用辅助角公式化简，结合三角函数的性质即可求解对称中心．【解答】函数f(x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，令2x+π3=kπ，k∈Z，可得x=12kπ−π6，当k＝1时，可得x=π3，那么图象的一个对称中心是(π3, 0)．8.【答案】A【考点】两角和与差的三角函数【解析】由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式结合角的范围求解．【解答】由tanα＝sin76∘cos46∘−cos76∘sin46∘＝sin(76∘−46∘)＝sin30∘=12，且α∈(−π2,π2)，∴α∈(0, π2)，联立{sinαcosα=12sin2α+cos2α=1，解得sinα=√55．9.【答案】D【考点】两角和与差的正弦公式同角三角函数间的基本关系此题暂无解析 【解答】由tan α−1tan α=32，得sin αcos α−cos αsin α=sin 2α−cos 2αsin αcos α=−2cos 2αsin 2α=32，即tan 2α=−43．因为α∈(π4,π2)，所以2α∈(π2,π)，所以sin 2α=45，cos 2α=−35，所以sin (2a +π6)=45×√32+(−35)×12=4√3−310，故选D ．【一题多解】由tan α−1tan α=32，且α∈(π4,π2)，解得tan α=2，所以sin α=2√55，cos α=√55，所以sin (2a +π6)=√32sin 2α+12cos 2α=√3sin αcos α+12(cos 2α−sin 2α)=4√3−310，故选D ． 本题考查同角三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式． 10.【答案】 A【考点】两角和与差的三角函数 【解析】直接利用三角函数关系式的变换和同角三角函数关系式的应用求出结果． 【解答】已知sin θ+cos θ=43,θ∈(π4,π2)，所以1+2sin θ⋅cos θ=169，整理得2sin θ⋅cos θ=79，由于θ∈(π4,π2)，故sin θ>cos θ，所以sin θ−cos θ=√(sin θ−cos θ)2=√1−79=√23． 11.【答案】 C【考点】两角和与差的三角函数 【解析】由题意利用两角和差的三角公式花简f(x)的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得实数a 的取值范围． 【解答】若f(x)=cos x −√3sin x =2cos (x +π3) 在[−a, a]上是减函数，∴ a >0． 且−a +π3≥0，a +π3≤π，综合可得，0<a ≤π3，故实数a 的取值范围为(0, π3]，【答案】B【考点】三角函数的周期性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、解答题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）13.【答案】解：(1)由已知b cos A=(2c−a)cos B及余弦定理可得：b⋅b2+c2−a22bc =(2c−a)⋅a2+c2−b22ac，化简得a2+c2−b2=ac，余弦定理可得2ac cos B=ac. 因为ac≠0，所以cos B=12.因为0<B<π，所以B=π3.(2)由S△ABC=12ac sin B得√3=12×4×c×√32，所以c=1.又由余弦定理：b2=a2+c2−2ac cos B，b2=42+12−2×4×1×12=13，得b=√13，故△ABC的周长为5+√13.【考点】余弦定理正弦定理【解析】无无【解答】解：(1)由已知b cos A=(2c−a)cos B及余弦定理可得：b⋅b2+c2−a22bc =(2c−a)⋅a2+c2−b22ac，化简得a2+c2−b2=ac，余弦定理可得2ac cos B=ac. 因为ac≠0，所以cos B=1.因为0<B<π，所以B=π3.(2)由S△ABC=12ac sin B得√3=12×4×c×√32，所以c=1.又由余弦定理：b2=a2+c2−2ac cos B，b2=42+12−2×4×1×12=13，得b=√13，故△ABC的周长为5+√13.14.【答案】解：设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T．则T=2×105S+105(1−S)=105(S+1)，从而只要求S的最小值．设∠EAB=α(0∘<α<45∘)，在△ABE中，因为AB=1，∠B=90∘，所以BE=tanα，则S△ABE=12AB⋅BE=12tanα；又∠DAF=45∘−α，所以S△ADF=12tan(45∘−α)；所以S=12[tanα+tan(45∘−α)]=12(tanα+1−tanα1+tanα).令x=tanα∈(0, 1)，则S=12(x−x−1x+1)=12[(x+1)+2x+1−2]≥12(2√2−2)=√2−1．当且仅当x+1=2x+1，即x=√2−1时取等号，从而三个区域的总投入T的最小值约为√2×105元．【考点】两角和与差的正切公式基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T．则T=2×105S+105(1−S)=105(S+1)，从而只要求S的最小值．设∠EAB=α(0∘<α<45∘)，在△ABE中，因为AB=1，∠B=90∘，则S △ABE =12AB ⋅BE =12tan α；又∠DAF =45∘−α，所以S △ADF =12tan (45∘−α)； 所以S =12[tan α+tan (45∘−α)]=12(tan α+1−tan α1+tan α).令x =tan α∈(0, 1)，则S =12(x −x−1x+1)=12[(x +1)+2x+1−2] ≥12(2√2−2)=√2−1． 当且仅当x +1=2x+1，即x =√2−1时取等号， 从而三个区域的总投入T 的最小值约为√2×105元． 15. 【答案】 由m →⊥n →，∴ 2c cos C +a cos B +b cos A =0，由正弦定理得：2sin C cos C +sin A cos B +sin B cos A =0， ∴ 2sin C cos C +sin (A +B)=0； 2sin C cos C +sin C =0； 由sin C ≠0， ∴ cos C =−12， ∴ C =2π3；由c 2=a 2+b 2−2ab cos C ， ∴ 7b 2=a 2+b 2−2ab cos C ， ∴ a 2+ab −6b 2=0， ∴ a =2b ； 由S △ABC =2√3知，12ab sin C =2√3，∴ 12∗2b ∗b ∗√32=2√3，∴ b =2．【考点】 三角形求面积 【解析】（1）直接利用向量的数量积和三角函数的关系式的恒等变换求出C 的值． （2）直接利用（1）的结论和余弦定理及三角形的面积求出结果． 【解答】 由m →⊥n →，∴ 2c cos C +a cos B +b cos A =0，∴2sin C cos C+sin(A+B)=0；2sin C cos C+sin C=0；由sin C≠0，∴cos C=−12，∴C=2π3；由c2=a2+b2−2ab cos C，∴7b2=a2+b2−2ab cos C，∴a2+ab−6b2=0，∴a=2b；由S△ABC=2√3知，12ab sin C=2√3，∴12∗2b∗b∗√32=2√3，∴b=2．试卷第11页，总11页。

两角和与差的正弦、余弦、正切一、两角和与差的余弦βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-1、求值：（1） 15cos （2） 20802080sin sin cos cos +（3） 1013010130sin sin cos cos +（4）cos105°（5）sin75°（6）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°（7）cos （A ＋B ）cosB ＋sin （A ＋B ）sinB ．（8） 29912991sin sin cos cos -2. （1）求证：cos （2π－α） ＝sin α．（2）已知sin θ＝1715，且θ为第二象限角，求cos （θ－3π）的值． （3）已知sin （30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cos α．3. 化简cos （36°＋α）cos （α－54°）＋sin （36°＋α）sin （α－54°）．4. 已知32=αsin ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，53-=βcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππβ,，求)cos(βα+的值.5.已知1312-=αcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππα,，求)cos(4πα+的值。

6. 已知α，β都是锐角，31=αcos ，51-=+)cos(βα，求βcos 的值。

7.在△ABC 中，已知sin A ＝53，cos B ＝135，求cos C 的值.二、两角和与差的正弦sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-1利用和差角公式计算下列各式的值（1）sin 72cos 42cos 72sin 42︒︒-︒︒ （2）13cos sin 22x x -（3）3sin cos x x + （4）22cos 2sin 222x x -二、证明： )4cos(2)cos (sin 2)3()4sin(2sin cos )2()6sin(cos 21sin 23)1(ππθθθπααα-=++=++=+x x x3（1）已知3sin 5α=-，α是第四象限角，求sin()4πα-的值。

专题3两角和与差的三角函数（一）两角和与差的余弦C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；【点拨】①简记为：“同名相乘，符号反”．②公式本身的变用，如cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ．③公式中的α，β不仅可以是任意具体的角.角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．（二）两角和与差的正弦S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；【点拨】①简记为：“异名相乘，符号同”．②公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，还可以是任意形式的“整体”.（三）两角和与差的正切T(α＋β)：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ；.T(α－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ【点拨】1公式T α±β只有在α≠2π＋k π，β≠2π＋k π，α±β≠2π＋k π(k ∈Z )时才成立，否则就不成立.②当tan α或tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T α±β处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法．③变形公式：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，如tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)，tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)，1－tan αtan β＝tan tan tan()αβαβ++．1＋tan αtan β＝tan tan tan()αβαβ--．（四）辅助角公式函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．4sin(2cos sin πααα±=±.题型一公式的正用【典例1】【多选题】（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α、β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，若点A 、B 的坐标分别为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭和43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则以下结论正确的是（）A ．3cos 5α=B ．3cos 5β=C ．()cos 0αβ+=D ．()cos 0αβ-=【答案】AD(0,π)β∈，则tan()αβ+的值为______．【典例3】（2023·江苏·高一专题练习）已知tan ,4αα=-是第四象限角．(1)求cos sin αα-的值；(2)求ππcos ,tan 44αα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．正用公式问题，一般属于“给角求值”、“给值求值”问题，应该通过应用公式，转化成“特殊角”的三角函数值计算问题．给角求值问题的策略：一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，选择合适的公式进行求值．题型二公式的变用、逆用【典例4】（2022春·江苏泰州·高一江苏省姜堰第二中学校联考阶段练习）已知sin100cos100M =︒-︒，44cos 78cos 46cos12)N =︒︒+︒︒，1tan101tan10P -︒=+︒，那么M ，N ，P 之间的大小顺序是（）A ．M N P <<B ．N M P<<C ．P M N<<D ．P N M<<A cos15︒︒B ．2cos 15sin15cos75︒︒︒-C ．2tan 301tan 30︒︒-D ．1tan151tan15︒︒+-【答案】AD【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.(1)1－tan75°1＋tan75°；(2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)；(3)tan25°＋tan35°＋3tan25°tan35°．【答案】（1）3-；（2）222；（3【解析】尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值．详解：(1)原式＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°tan(45°－75°)＝33-．(2)因为(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°×tan44°＝2，同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…，所以原式＝222．(3)∵tan60°＝tan(25°＋35°)＝tan25°＋tan35°1－tan25°tan35°＝，∴tan25°＋tan35°＝3(1－tan25°tan35°)∴tan25°＋tan35°．【规律方法】1.“1”的代换：在T α±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的．2．若α＋β＝4π＋k π，k ∈Z ，则有(1＋tan α)(1＋tan β)＝2．3．若化简的式子里出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．题型三给值求值【典例7】（2023·江苏·高一专题练习）已知34sin sin ,cos cos 55+=+=αβαβ，则cos()αβ-=（）A ．12-B ．13-C ．12D ．34取得最大值，则πcos 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C D【典例9】（2021春·江苏南京·高一校考阶段练习）已知cos 27βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1sin 22αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2απ<<π，02βπ<<，求：(1)cos2αβ+的值；tanαβ+的值.(2)()给值求值问题的解题策略．(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．(2)常见角的变换．①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．题型四给值求角【典例10】（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）已知()0παβ∈，，，1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-=（）A ．5π4B ．π4C ．π4-D ．3π4-1,0,,cos 222π2a a βαββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求αβ+的值．解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小（极易由于角的范围过大致误）；(2)根据(1)所得范围来确定求tan α、sin α、cos α中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．题型五三角函数式化简问题【典例12】（2022春·江苏镇江·高一统考期末）计算：70cos10︒︒=︒（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据两角差的正弦公式化简求解即可.【详解】【典例13】（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）已知，且()(),22k k k k ππαβπα+≠+∈≠∈Z Z ，则()tan tan αβα+=___________.1.三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，33,23入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．题型六三角恒等式证明问题【典例14】（2023春·上海浦东新·高一校考阶段练习）求证：(1)22sin cos 1sin cos 1cot 1tan αααααα+=-++；(2)在非直角三角形ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=【典例15】（2023·高一课时练习）求证：(1)当18045()k k αβ+=⋅︒+︒∈Z 时，(1tan )(1tan )2αβ++=；(2)当180()k k αβγ++=⋅︒∈Z 时，tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=⋅⋅．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据正切两角和公式求解即可.（2）根据正切两角和公式求解即可.【详解】（1）因为18045()k k αβ+=⋅︒+︒∈Z 所以(1tan )(1tan )αβ++1tan tan tan tan αβαβ=+++()()1tan 1tan tan tan tan αβαβαβ=++-+()()1tan 451801tan tan tan tan k αβαβ=++⋅-+ ()1tan 451tan tan tan tan αβαβ=+-+ 11tan tan tan tan αβαβ=+-+2=.即证：(1tan )(1tan )2αβ++=.（2）因为180()k k αβγ++=⋅︒∈Z 所以tan tan tan αβγ++()()tan 1tan tan tan αβαβγ=+-+()()tan 1801tan tan tan k γαβγ=⋅--+ ()tan 1tan tan tan γαβγ=--+tan tan tan αβγ=⋅⋅.即证：tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=⋅⋅.【总结提升】三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．一、单选题1．（2023秋·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）5cos 12π=（）A B C D2．（2023·江苏·高一专题练习）化简tan tan 44A A ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．2tan AB ．2tan A-C ．2tan 2AD ．2tan 2A-，，1,2b =，且a b ⊥，则()tan 45θ-︒的值是（）A ．1B ．3-C．3D ．134．（2023·江苏·高一专题练习）若1tan θ-=+，则cot 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）．A ．12B C D ．1【答案】C5．（2023·江苏·高一专题练习）在ABC 中，若cos 5A =，cos 13B =-，则cos()A B +等于（）A ．1665-B ．3365C ．5665D ．6365-6．（2023·江苏·高一专题练习）若cos 5θ=-且(,π)2θ∈，则πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A B．410+-C D 7．（2022春·江苏苏州·高一统考期中）已知02α<<，02β<<，且()sin 5αβ-=-，12sin 13β=，则sin α=（）A ．6365B ．5665C ．3365D ．1665-合，将角α的终边绕O 点顺时针旋转π3后，经过点()3,4-，则sin α=（）A B C D ．9．（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）对任意的锐角αβ､，下列不等关系恒成立的是（）A ．()sin cos cos αβαβ+<+B ．()cos sin sin αβαβ+<+C ．()sin cos cos αβαβ-<+D ．()cos sin sin αβαβ-<+【答案】ACA ．1sin15222-=-B ．sin20cos10cos160sin102-C ．sin1212ππ=D ．sin105=11．（2023·江苏·高一专题练习）化简：πtan 3π13αα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭______．12．（2023秋·陕西西安·高一西安市第六中学校考期末）已知α，β满足04α<<，44β<<，3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π12sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ-=______．13．（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）求sin 36sin15sin 39cos36cos15sin 39︒︒︒-︒︒+︒的值．()cos ,sin b ααβ=- ，且a b ⊥ ．(1)求()cos αβ+的值；(2)若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且tan 3α=-，求2αβ+的值．︒︒+︒︒+︒︒=，tan10tan20tan20tan60tan60tan101tan20tan30tan30tan40tan40tan201︒︒+︒︒+︒︒=，tan33tan44tan44tan13tan33tan131︒︒+︒︒+︒︒=．(1)尝试再写出一个相同规律的式子；(2)写出能反映以上式子一般规律的恒等式，并对你写出的恒等式进行证明．。