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第二单元 数学思想方法高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想．一、函数与方程思想已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列.阿凡题1083911(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ；(2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值．【解】 (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0， 所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，(列出方程) 解得d ＝2或d ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n ．(2)因为S n ＝n (n ＋1)，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1)＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3，令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，(构造函数)则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立，则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16．本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(1)问直接列方程求公差；第(2)问求出b n 的表达式，说明要求b n ≤k 恒成立时k 的最小值，只需求b n 的最大值，从而构造函数f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，利用函数求解．1．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ<π)在一个周期内的图象，则此函数的解析式是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：依函数图象，知y 的最大值为2，所以A ＝2．又T 2＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π12＝π2，所以T ＝π，又2πω＝π， 所以ω＝2，所以y ＝2sin(2x ＋φ)． 将⎝⎛⎭⎫－π12，2代入可得sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝1， 故φ－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，又－π<φ<π，所以φ＝2π3．所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，故选B ． 答案：B2．f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________． 解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3．设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g (x )＝3x 2－1x 3在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4． 答案：4函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y ＝f (x )，当y >0时，就化为不等式f (x )>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．二、数形结合思想——求解数学问题最快捷的途径设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是阿凡题1083912( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)【解析】 设y ＝g (x )＝f (x )x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0， ∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0． ∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数， ∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1， 当x <0时，由f (x)>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A ． 【答案】 A本例利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f (－1)＝0可作出函数的图象，利用图象即可求出x 的取值范围．3．(2017·南昌模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1]解析：设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又∵OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2．∴|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义是点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1.故选D ．答案：D4．设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________．解析：集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，如直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m ＞0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是m ≥2－1．答案：[)2－1，＋∞运用数形结合思想分析解决问题的3原则(1)等价性原则，在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．(2)双向性原则，在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．(3)简单性原则，找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．三、分类与整合思想——求解数学问题最简便的技巧分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值.阿凡题1083913 【解】 ①若∠PF 2F 1＝90°． 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，∴|PF 1||PF 2|＝72． ②若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， ∴|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2． 综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2．(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论． (2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．5．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率是( )A ．32 B ． 5 C ．32或52D ．32或 5 解析：因为m 是2和8的等比中项，所以m 2＝2×8＝16，所以m ＝±4． 当m ＝4时，圆锥曲线y 24＋x 2＝1是椭圆，其离心率e ＝c a ＝32；当m ＝－4时，圆锥曲线x 2－y 24＝1是双曲线，其离心率e ＝c a ＝51＝5．综上知，选项D 正确． 答案：D6．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( )A ．－12B ．12C ．0D ．－12或0解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0或y ＝2x 垂直时才满足．结合图形可知斜率k 的值为0或－12．答案：D7．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，求函数f (x )的极值． 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 因为f ′(x )＝1－a x ＝x －ax(x >0)，当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． 当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .因为当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x ) >0，所以f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上：当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．分类与整合思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．四、转化与化归思想——求解数学问题最普遍的方法转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF与FQ 的长分别是p 、q ，则1p ＋1q等于阿凡题1083915( )A ．2aB ．12aC ．4aD ．4a【解析】 由x 2＝1a y (a >0)知抛物线开口向上，故过焦点F 作一条在特殊位置的直线即平行于x 轴的直线交抛物线于P 、Q ，则|PF |＝|FQ |＝12a ，即1p ＋1q＝4a ．【答案】 C本题将一般问题特殊化，即简洁又准确，事半功倍，这种解法对解选择题和填空题较为有效．8．由命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．2解析：命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，使e |x －1|－m >0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1．答案：C9．已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________．解析：由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.(主次转化)对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ φ(1)<0，φ(－1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1．故当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0． 答案：⎝⎛⎭⎫－23，1 10．已知a 为正常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 22a 对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________．解析：原不等式即x 22a ≥1＋x2－1＋x (x ≥0)，(*)令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)式可化为(t 2－1)22a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝(t －1)22对t ≥1恒成立， 所以(t ＋1)2a ≥1对t ≥1恒成立，又a 为正常数，所以a ≤[(t ＋1)2]min ＝4，故a 的最大值是4． 答案：41．转化与化归的原则(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．2．转化与化归的指导思想(1)把什么问题进行转化，即化归对象． (2)化归到何处去，即化归目标． (3)如何进行化归，即化归方法．转化与化归思想是一切数学思想方法的核心．。
三、分类与整合思想方法一 公式、定理分类整合法模型解法公式、定理分类整合法即利用数学中的基本公式、定理对研究对象进行分类，然后分别对每类问题进行解决的方法．此方法多适用于公式、定理自身需要分类讨论的情况．破解此类题的关键点：①分类转化，结合已知所涉及的知识点，找到合理的分类标准．②依次求解，对每个分类所对应的问题，逐次求解．③汇总结论，汇总分类结果，得结论．典例1 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0 (n ＝1,2,3，…)，则q 的取值范围是________．解析 由{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0，当q ＝1时，S n ＝na 1>0.当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q>0， 即1－q n 1－q>0(n ＝1,2,3，…)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－q >0，1－q n >0，① 或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－q <0，1－q n <0. ②由①得－1<q <1，由②得q >1.故q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．答案 (－1,0)∪(0，＋∞)思维升华 公式、定理的分类整合法的分类一般比较固定，由定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．跟踪演练1 S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4，S 3，S 5成等差数列，则{a n }的公比为( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2 答案 D解析 设{a n }的公比为q (q ≠0)，由等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4，S 3，S 5成等差数列，得2S 3＝S 4＋S 5.当q ＝1时，S 4＝4a 1，S 3＝3a 1，S 5＝5a 1，此时2S 3≠S 4＋S 5，不满足题意；当q ≠1时，有2a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 4)1－q ＋a 1(1－q 5)1－q， 即q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(舍去)．方法二 位置关系的分类整合法 模型解法对于几何中位置关系的分类讨论问题常采用分类整合法，这种方法适用于解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系，以及几何图形中点、线、面的位置关系的研究．破解此类题的关键点： ①确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定．②分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类．③得出结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理． 典例2 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是( )A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4－s ，y ＝2s －4，由图，可得A(2,0)，B(4－s,2s－4)，C(0，s)，C′(0,4)．①当3≤s<4时，不等式组所表示的可行域是四边形OABC及其内部，此时，z＝3x＋2y在点B 处取得最大值，且z max＝3(4－s)＋2(2s－4)＝s＋4，由3≤s<4，得7≤z max<8.②当4≤s≤5时，不等式组所表示的可行域是△OAC′及其内部，此时z＝3x＋2y在点C′处取得最大值，且z max＝8.综上可知，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是[7,8]，故选D.答案 D思维升华(1)在解析几何位置关系的研究中，不能仅仅关注直线与圆锥曲线的位置关系中的相交、相离和相切三种情况，还要注意焦点在不同位置时的关系的探究．(2)在几何图形的相关问题中，要充分发挥空间想象能力，将所有可能出现的关系“一网打尽”．如本题随着s取值的变化，目标函数值是会随着变化的，如果考虑不全，就会得出错误结论．跟踪演练2 抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为________．答案 4解析当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在．事实上，F(p，0)，若设P(x，y)，则|FO|＝p，|FP|＝(x－p)2＋y2，若(x－p)2＋y2＝p，则有x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，当x＝0时，不构成三角形．当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾．∴符合要求的点P 有4个．方法三含参问题的分类整合法模型解法含参问题的分类整合法是分类讨论问题中最重要、最常见也是最复杂的一种方法，在解决问题中一般根据参数的取值范围进行分类．此模型适用于某些含有参数的问题，如含参的方程、不等式等，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的方法进行求解或证明，因此要分类讨论．破解此类题的关键点：①确定范围，确定需要分类问题中参数的取值范围．②确定分类标准，这些分类标准都是在解题过程中根据解决问题的需要确定的，注意有些参数可能出现多级分类，要做到不重不漏．③分类解决问题，对分类出来的各相应问题分别进行求解．④得出结论，将所得到的结论进行汇总，得出正确结论．典例3函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为( ) A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)解析 方法一 当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a 2－3－4a ，其对称轴为x ＝－2a. 当a >0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a <0时，只有当－2a≥2，即－1≤a <0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)．故选B.方法二 由f (x )＝ax 2＋4x －3，得f ′(x )＝2ax ＋4，要使函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，需使f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，则f ′(x )＝2ax ＋4≥0在[0,2]上恒成立，当x ＝0时成立，当x ≠0时，由x ∈(0,2]，得a ≥－2x， 因为－2x在(0,2]上的最大值为－1，所以a ≥－1. 综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)．故选B.答案 B思维升华 对于含参问题的分类讨论主要有以下三种类型：(1)概念型，即问题所涉及的数学概念是分类进行定义的，如|a |的定义分a >0，a ＝0，a <0三种情况．(2)性质型，即问题中涉及的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制、或者是分类给出的，如等比数列的前n 项和公式，分q ＝1和q ≠1两种情况．(3)含参型，求解含有参数的问题时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论．另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都需要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性．跟踪演练3 已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且F 2到直线x －3y －9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 的圆心为P (0，t )(t >0)，且经过F 1，F 2两点，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，过Q 作圆P 的切线，切点为M ，当|QM |的最大值为322时，求t 的值． 解 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 依题意可得2b ＝|1－9|2＝4，所以b ＝2，又c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5， 所以椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1. (2)设Q (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫满足x 25＋y 24＝1， 圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝t 2＋1， 连接PM ，因为QM 为圆P 的切线， 所以PM ⊥QM ，所以|QM |＝|PQ |2－t 2－1 ＝x 2＋(y －t )2－t 2－1＝ －14(y ＋4t )2＋4＋4t 2. ①若－4t ≤－2，即t ≥12时， 当y ＝－2时，|QM |取得最大值，且|QM |max ＝4t ＋3＝322， 解得t ＝38<12(舍去)． ②若－4t >－2，即0<t <12， 当y ＝－4t 时，|QM |取得最大值，且|QM |max ＝4＋4t 2＝322， 解得t 2＝18，又0<t <12，所以t ＝24. 综上，当t ＝24时，|QM |的最大值为322.。
思想方法训练2分类讨论思想能力突破训练1.已知函数f(x)=若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2)B.(-∞,4)C.[2,4]D.(2,+∞)2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是()A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c23.若a>0,且a≠1,p=log a(a3+1),q=log a(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.5.已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N,=λ,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是()A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线6.若x>0,且x≠1,则函数y=lg x+log x10的值域为()A.RB.[2,+∞)C.(-∞,-2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)7.设S n是等比数列{a n}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2a m,则m等于()A.6B.7C.8D.108.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距离为1,则SA与平面ABC所成角的大小为()A.30°B.60°C.30°或60°D.45°或60°9.已知函数y=a x(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值是.10.已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为.11.已知函数f(x)=2a sin2x-2a sin x cos x+a+b(a≠0)的定义域为,值域为[-5,1],求常数a,b的值.12.设a>0,函数f(x)=x2-(a+1)x+a(1+ln x).(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.思维提升训练13.若直线l过点P且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为()A.3x+4y+15=0B.x=-3或y=-C.x=-3D.x=-3或3x+4y+15=014.已知函数f(x)=则方程f(x)=ax恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是(注:e为自然对数的底数)()A.(-1,0]B.C.(-1,0]∪D.15.已知a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a=时,g(a)的值最小.16.已知函数f(x)=a ln x+x2(a为实数).(1)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值及相应的x值;(2)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.17.设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f'(x);(2)求A;(3)证明|f'(x)|≤2A.参考答案思想方法训练2分类讨论思想能力突破训练1.B解析当-<1时,显然满足条件,即a<2;当a≥2时,-1+a>2a-5,即2≤a<4.综上知,a<4,故选B.2.B解析在△ABC中,由余弦定理得cos A=,则A=又b=a,由正弦定理,得sin B=sin A=,则B=或B=当B=时,△ABC为直角三角形,选项C,D成立;当B=时,△ABC为等腰三角形,选项A成立,故选B.3.C解析当0<a<1时,y=a x和y=log a x在其定义域上均为减函数,∴a3+1<a2+1.∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.当a>1时,y=a x和y=log a x在其定义域上均为增函数,∴a3+1>a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.综上可得p>q.4.C解析焦点在x轴上时,,此时离心率e=;焦点在y轴上时,,此时离心率e=,故选C.5.C解析不妨设|AB|=2,以AB中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,则A(-1,0),B(1,0),设M(x,y),则N(x,0),=(0,-y),=(x+1,0),=(1-x,0),代入已知式子得λx2+y2=λ,当λ=1时,曲线为A;当λ=2时,曲线为B;当λ<0时,曲线为D,所以选C.6.D解析当x>1时,y=lg x+log x10=lg x+2=2;当0<x<1时,y=lg x+log x10=--2=-2.故函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).7.C解析∵S3,S9,S6成等差数列,∴2S9=S3+S6.若公比q=1,显然有2S9≠S3+S6,因此q≠1,从而2,2q9-q6-q3=0,即2q6-q3-1=0,∴q3=-或q3=1(舍去).∵a2+a5=2a m,∴a2(1+q3-2q m-2)=0,1+q3-2q m-2=0,∴q m-2=,∴m=8.8.C解析球心位置有以下两种情况:球心在三棱锥内部;球心在三棱锥外部.球心在三棱锥内部时,三棱锥为正三棱锥,设O'为△ABC的中心,在△ABC中,可求得O'A=,所以可得OA=2,SO'=3,SA与平面ABC所成的角即为∠SAO',由tan∠SAO'=,得∠SAO'=60°.同理可得第二种情况中所成角为30°.9解析当a>1时,y=a x在区间[1,2]上递增,故a2-a=,得a=;当0<a<1时,y=a x在区间[1,2]上递减,故a-a2=,得a=故a=或a=10.4解析f(x)=g(x)=(1)当0<x≤1时,方程化为|-ln x+0|=1,解得x=或x=e(舍去).所以此时方程只有1个实根(2)当1<x<2时,方程可化为|ln x+2-x2|=1.设h(x)=ln x+2-x2,则h'(x)=-2x=因为1<x<2,所以h'(x)=<0,即函数h(x)在区间(1,2)上单调递减.因为h(1)=ln1+2-12=1,h(2)=ln2+2-22=ln2-2,所以h(x)∈(ln2-2,1).又ln2-2<-1,故当1<x<2时方程只有1解.(3)当x≥2时,方程可化为|ln x+x2-6|=1.记函数p(x)=ln x+x2-6,显然p(x)在区间[2,+∞)上单调递增.故p(x)≥p(2)=ln2+22-6=ln2-2<-1.又p(3)=ln3+32-6=ln3+3>1,所以方程|p(x)|=1有2个解,即方程|ln x+x2-6|=1有2个解.综上可知,方程|f(x)+g(x)|=1共有4个实根.11.解f(x)=a(1-cos2x)-a sin2x+a+b=-2a sin+2a+b.∵x,∴2x+,∴-sin1.因此,由f(x)的值域为[-5,1],可得或解得12.解(1)由已知x>0,f'(x)=x-(a+1)+因为曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为1,所以f'(2)=1,即2-(a+1)+=1,所以a=0,此时f(2)=2-2=0,故曲线f(x)在(2,f(2))处的切线方程为x-y-2=0.(2)f'(x)=x-(a+1)+①当0<a<1时,若x∈(0,a),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;若x∈(a,1),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=-a2+a ln a,极小值是f(1)=-②当a=1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,若x=1,则f'(x)=0,若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,所以函数f(x)在定义域内单调递增,此时f(x)没有极值点,也无极值.③当a>1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;若x∈(1,a),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;若x∈(a,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增,此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=-,极小值是f(a)=-a2+a ln a.综上,当0<a<1时,f(x)的极大值是-a2+a ln a,极小值是-;当a=1时,f(x)无极值;当a>1时,f(x)的极大值是-,极小值是-a2+a ln a.思维提升训练13.D解析若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=±4,故直线l 被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0,因为直线l被圆截得的弦长为8,故半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0,0)到直线l 的距离为,解得k=-,此时直线l的方程为3x+4y+15=0.14.C解析因为方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根,所以y=f(x)与y=ax的图象有2个交点,a 表示直线y=ax的斜率.当a>0,x>1时,y'=设切点为(x0,y0),k=,所以切线方程为y-y0=(x-x0),而切线过原点,所以y0=1,x0=e2,k=,所以切线l1的斜率为设过原点与y=x+1平行的直线为l2,则直线l2的斜率为,所以当直线在l1和l2之间时,符合题意,此时实数a的取值范围是当a<0时,设过原点与点(1,-1)的直线为l3,其斜率为-1,则在l3的位置以O为中心逆时针旋转一直转到水平位置都符合题意,此时实数a的取值范围是(-1,0].综上所述,实数a的取值范围是(-1,0],故选C.15.2-2解析当a≤0时,在区间[0,1]上,f(x)=|x2-ax|=x2-ax,且在区间[0,1]上为增函数,当x=1时,f(x)取得的最大值为f(1)=1-a;当0<a<1时,f(x)=在区间内递增,在区间上递减,在区间(a,1]上递增,且f,f(1)=1-a,-(1-a)=(a2+4a-4),∴当0<a<2-2时,<1-a.当2-2≤a<1时,1-a;当1≤a<2时,f(x)=-x2+ax在区间上递增,在区间上递减,当x=时,f(x)取得最大值f;当a≥2时,f(x)=-x2+ax在区间[0,1]上递增,当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=a-1.则g(a)=在区间(-∞,2-2)上递减,在区间[2-2,+∞)上递增,即当a=2-2时,g(a)有最小值.16.解(1)f(x)=a ln x+x2的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2x=当x∈[1,e]时,2x2∈[2,2e2].若a≥-2,则f'(x)在区间[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,f'(x)=0),故f(x)在区间[1,e]上单调递增,此时f(x)min=f(1)=1;若-2e2<a<-2,令f'(x)<0,解得1≤x<,此时f(x)单调递减;令f'(x)>0,解得<x≤e,此时f(x)单调递增,所以f(x)min=f ln;若a≤-2e2,f'(x)在区间[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f'(x)=0),故f(x)在区间[1,e]上单调递减,此时f(x)min=f(e)=a+e2.综上所述,当a≥-2时,f(x)min=1,相应的x=1;当-2e2<a<-2时,f(x)min=ln,相应的x=;当a≤-2e2时,f(x)min=a+e2,相应的x=e.(2)不等式f(x)≤(a+2)x可化为a(x-ln x)≥x2-2x.由x∈[1,e],知ln x≤1≤x且等号不能同时成立,得ln x<x,即x-ln x>0,因而a,x∈[1,e],令g(x)=(x∈[1,e]),则g'(x)=,当x∈[1,e]时,x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0,从而g'(x)≥0(仅当x=1时取等号),所以g(x)在区间[1,e]上是增函数,故g(x)min=g(1)=-1,所以实数a的取值范围是[-1,+∞).17.(1)解f'(x)=-2αsin2x-(α-1)sin x.(2)解(分类讨论)当α≥1时,|f(x)|=|αcos2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).因此A=3α-2.当0<α<1时,将f(x)变形为f(x)=2αcos2x+(α-1)cos x-1.令g(t)=2αt2+(α-1)t-1,则A是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,g(-1)=α,g(1)=3α-2,且当t=时,g(t)取得极小值,极小值为g=--1=-令-1<<1,解得α<-(舍去),α>当0<时,g(t)在区间(-1,1)内无极值点,|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-1)|<|g(1)|,所以A=2-3α.当<α<1时,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,知g(-1)>g(1)>g又-|g(-1)|=>0,所以A=综上,A=(3)证明由(1)得|f'(x)|=|-2αsin2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|.当0<时,|f'(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A.当<α<1时,A=1,所以|f'(x)|≤1+α<2A.当α≥1时,|f'(x)|≤3α-1≤6α-4=2A.所以|f'(x)|≤2A.。
