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九年级数学上册284垂径定理圆的对称性应用例析3素材冀教版!

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(冀教版)九年级数学上册精品教学课件：28.4垂径定理

(冀教版)九年级数学上册精品教学课件：28.4垂径定理
C
A
O● E
B
D
新课学习 探究二
(1)如图，在⊙O中，直径CD与弦AB（非直
径）相交于点E.
C
若AE=BE,则CD与AB垂直吗？
A⌒D=B⌒D,A⌒C=⌒BC吗？
O● A
E D
连接OA,OB
由三线合一可知，CD⊥AB.
B 再由垂径定理可得
⌒AD=B⌒D,A⌒C=B⌒C.
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并平分 弦所对的两条弧.
A
故事中谁是主动者？做了什么？
E
B
直径
垂直于弦
D
出现了什么结果？
弦及弦所对的两条弧均被平分
巩固小练习
1.如图，在⊙O中，直径MN⊥AB于点C,则下 列结论中不一定正确的是___D__.
M
·O
C
A
B
N
巩固小练习 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， OC=5cm,CD=8cm,则OE=___3___.
总结提升
利用垂径定理解决问题的基本图形
AC O●
直角三角形中 B
已知两边
用勾股定理直接 求第三边
只知一边 需要用到勾股方程
做弦心距、连半径是最常做的辅助线
典例精析
例2.已知：如图，BC为⊙O的直径，BF为弦， A为B⌒F的中点，AD⊥BC与点D,AD和BF相交于点
E.求证：AE=BE.
A
分析：已知中出现直径，
F
从“直径所对的圆周角
E
是直角”角度考虑.
B D ·O
C
典例精析
连接AB,AC AB是⊙O的直径 ∠ABC=90° AD⊥BC
A F
E
B D ·O

冀教版-数学-九年级上册-28.4 垂径定理 课件

冀教版-数学-九年级上册-28.4 垂径定理 课件
28.4 垂径定理
探究1
AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. （１）左图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? （２）说出图中的弦和弧（优弧、劣弧）
（３）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么?
C
A
B
M ●O
D
探究1
发现图中有: 轴对称图形，对称轴直径CD
弦AB，优弧A⌒DB，劣弧A⌒CB
船能过拱桥吗？
1.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
船能过拱桥吗？
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半
径Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与AB
解：如图28-4-5，连接OA. 设⊙O的半径为r. ∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴AE=BE ∵AB=8， ∴AE=BE=4
在Rt△OAE中，OA2 OE2 AE2 OE=OD-ED 即 r2 (r 2)2 42 解得r=5，从而2r=10. 所以直径CD的长为10.
提高练习
①直线CD过圆心O ③ AM=BM(AB不是直径)
垂径定理的推论：
②CD⊥AB ④A⌒D=B⌒D ⑤A⌒C=B⌒C C
平分弦（不是直径）的直径垂
·O
直于弦，并且平分弦所对的两 A M
B
条弧.
D
例2 已知：如图28-4-4，CD为⊙O的直径，AB为弦， 且AB⊥CD，垂足为E.若ED=2，AB=8，求直径CD的 长.
例题 例１．如图，在以O为圆心的两个同心圆中,大圆
的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC = BD

冀教版-数学-九年级上册-28.4垂径定理 精品课件

冀教版-数学-九年级上册-28.4垂径定理 精品课件

OAOE 中,由勾股定理，得：
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
2、 如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA EAD ODA 90
平分弦所对的两条弧.
归纳
“知二推三”
（1）垂直于弦 （2）过圆心 （3)平分弦 （4）平分 线所对的优弧 （5）平分线所对的劣弧 注意：当具备了（1）（3）时，应对另一条弦增加（ ） 的限制
小结：
C
·O
E
A
B
1、如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥ CD于E，ADB=8，
则AE= 4 , BE= 4 ,
·O
E
A
B
D
由 ① CD是直径
可推得
② CD⊥AB
③AE=BE,
⌒⌒
④AC=BC,
⌒⌒
⑤AD=BD.
三、探究活动三：探究垂径定理的推论
已知⊙O，在圆上任意画一弦AB，找出弦 C
AB的中点E，过点E作直径CD，则
(1)直径CD是否垂直AB？
(2)是否平分弦所对的两条弧？
·O
结论：
●E
A
B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且
此你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称 轴。
自主探究 合作交流
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB， 垂足为E。
1、你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什 么
C
·O
E
A
B
D
2、你能用一句话概括这些结论吗？

冀教版-数学-九年级上册-28.4垂径定理 教学课件

冀教版-数学-九年级上册-28.4垂径定理 教学课件

１.直径垂直于弦
（条件）
垂径定理的几何语言叙述:
直径平分弦
直径平分弦所对的弧 （结论）
∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB）垂足为E
∴ EA=EB， A⌒C=B⌒C， A⌒D=B⌒D．
A
2.分一条弧成相等的两条弧的点,
叫做这条弧的中点.
CE O
D
⌒ 例如,点C是⌒AB的中点,点D是ADB的中点B.
３.请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明． 解 已知：如图，ＣＤ是⊙O的直径，ＡＢ是⊙O的一
条弦，ＣＤ⊥AB，且交ＡＢ于点Ｅ．
求证： EA=EB，
⌒
AC=
B⌒C，
A⌒D=B⌒D．
A
思考：你能利用等腰
三角形的性质，说明 OC平分AB吗？
CE O
D
B
证明：连结ＯＡ，ＯＢ.
三 概括性质（垂径定理：垂直于弦的直 径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．）
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8. 由勾股定理得:
OC OB2 BC2 102 82 6
答:截面圆心O到水面的距离为6.
10 C 88 D
例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径
OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
变式一：
若已知排水管的半径OB=10，
截面圆心O到水面的距离OC=6， 求水面宽AB。
在解与圆有关的证明题中，常做的辅 助线是过圆心做弦的垂线段。遇到题 目有一题多解的情况时，要善于用最 简单的方法解决，同时注意解题的方 法的归纳总结，做到举一反三，触类 旁通。
1．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是
弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）

冀教版初中数学九年级上 册 垂经定理 课件示范

冀教版初中数学九年级上 册 垂经定理 课件示范

•
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
感谢观看，欢迎指导！
3.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，
C 则∠EOD等于（ ）
A．10° B．20° C．40° D．80°
4在半径为10的圆O中，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则这两条平行弦AB
和CD间的距离为（ 2或1）4
2 5
链接中考
1.如图所示,☉O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上一动点, 则线段OP的长的取值范围是（ ） A.OP≤5 B.OP≥3 C.3＜OP＜5 D.3≤OP≤5
∴AE=BE,
ADBD,ACBC.
探究二：垂径定理的推论
如图所示,在☉O中,直径CD与 弦AB(非直径)相交于点E. 【思考】 (1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗?
A D 与B D (或 A C 与 B C )相等吗?说明你的理由.
(2)若A D = B D （ 或 A C = B C ) ，能判断CD 与AB垂直吗？AE与BE相等吗？说明你的理由。
2
2
OD=OC-CD=R-7.2(m).
在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,
即R2=18.72+(R-7.2)2.解得R≈27.9(m). 因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m.
巩固练习
1.如图所示,AB是☉O的直径,CD是弦,CD⊥AB于点E,
C 则下列结论不一定成立的是( )

九年级数学上册第28章圆28.4垂径定理导学课件新版冀教版

九年级数学上册第28章圆28.4垂径定理导学课件新版冀教版
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
图28－4－3
28．4 垂径定理
解：连接 OC，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，交 CD 于点 F， 则 OE⊥CD，AE＝BE，CF＝DF. ∵OA＝1 m，AB＝1.2 m， ∴OE＝ 12－（12.2）2＝0.8(m)． ∵下雨后，水管水面上升了 0.2 m，即 EF＝0.2 m，∴OF＝0.6 ∴CF＝ OC2－OF2＝ 12－0.62＝0.8(m)， ∴CD＝2CF＝1.6 m. 答：此时排水管水面的宽 CD 为 1.6 m.
28．4 垂径定理
[归纳总结]利用垂径定理构造直角三角形是解决此类问题的 能些题目在解题时引入方程，可以达到事半功倍的效果．
28．4 垂径定理
总结反思
小结 知识点一 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且___平__分___这条弦 所对的两条弧．
28．4 垂径定理
知识点二设直径 CD 与弦 AB(非直径)相交于点 E.若把 AE＝BE， CD⊥AB，A︵D＝B︵D中的一项作为条件，则可 得到另外两项结论．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。

冀教版初中数学九年级上 册28.4 垂经定理 课件 最新课件

O·
AEB
O·
当堂检测：
4、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为
13cm,OE=5cm,则A2B4= cm。
AE
B
·O
• 方法提炼：涉及半径、弦长、圆心到弦距 离的计算时，通常作半径，及过圆心作弦 的垂线，构造以半径为斜边的直角三角形 ，利用垂径定理和勾股定理解决。
温馨提示
·O
计算中常用勾股定理 呀！
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E . （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧(半圆除外）？为什么？
C
条件 CD为直径 CD⊥AB
结论
AE=BE ⌒⌒ A⌒C=B⌒C
O·
AD=BD
A
E
B
D
请用证明的方式，验证猜 想的正确性。
A、∠COE=∠DOE B、CE=DE C、OE=AE
⌒⌒
D、BD=BC
C
D
E
O·
B
当堂检测：
2、如图，OE⊥AB于E，若弦AB=16cm, OE=6cm,则⊙O的半径是10 cm。
A
EB
· O
当堂检测：
3、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，
⊙O的半径为5cm，则圆心O到AB的距离
是 3cm 。
证一证：
已知： CD是圆0的直径， AB为弦，且AB⊥CD，
垂足为E。
C
求证：AE=BE，A⌒D=B⌒D， A⌒C=B⌒C．
O·
说一说：
A
E
B
D
你能把上述的条件及结论归纳成定理
吗？
垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦,

冀教版九年级数学上册：28.4垂径定理教案

§ 28.1 圆的概念及性质
一、教学目标 1.在同圆或等圆中，等弧与等弦的关系 . 2.垂径定理 .
二、教学重点和难点 重点：通过探索掌握垂径定理 . 难点：垂径定理的应用 .
三、教学手段 现代课堂教学手段
四、教学方法 启发式教学
五、教学过程设计 ( 一 ) 、一起探究 将画有圆 ( 如右图 ) 的纸片对折，探究圆中的相等的线段、弧 .
，
，则 和 的距离是
Ａ． 7cmＢ． 8cmＣ． 7cm 或 1cmＤ． 1cm
4. 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否
E
C
D
A
B
O
符合要
求，设计了一个如图 8－ 1 所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为
，尺寸如图（单Байду номын сангаас
位： cm）． 将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（
球的大小就符合要求．
学生操作，交流 .
O
A
E
B
D
得出：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
.
通过＂大家谈谈＂进而得出：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所
对的两条弧 .
垂径定理的应用
例： 课本以赵州桥背景的题目 .
（三）、小结 垂径定理的应用非常广泛，要注意它的应用 .
六、练习设计
练习和习题
1）所示的 ， ， 三个接触点，该
1/2
图（ 2）是过球心
， ， 三点的截面示意图． 已知
的直径就是铁球的直径，
， 据，计算这种铁球的直径．
，
，
．请你结合图（ 1）中的数
A
B
4
E
4
16 图（ 1）

冀教版九年级上册 数学 课件 28.4 垂径定理(20张PPT)最新课件

，垂足为M，则OM的长为____3_c,m CM的长为8_c_m__或__2_c_m_.
解：连接AO，
A
∵AB⊙=8Oc的m，直径∴CADM==1M0cBm=，12 A×B8⊥=4CcDm，，
OD=OC=5cm. 当M点在半径OD上时，
C
O D
M
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB， ∴OM=3cm， ∴CM=OC+OM=5+3=8cm.
1/10/2021
探究活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足 为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的
C
直线是它的对称轴.
（2） 线段： AE=BE
弧：A⌒C＝B⌒C ，A⌒D＝B⌒D
A
B
r
•
O
1/10/2021
例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦
的长）为37米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23米，你
能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
C
解：经过圆心O作弦AB的垂线OC，垂 足为D ，OC与弧AB相交于点C,
A
D B
由垂径定理，D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD就是拱高.
·O
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个A E
B
半，圆AC重⌒, 合AD，⌒分点别A与与B点CB⌒、重B合D⌒，重A合E．与BE重合
1/10/2021
D
叠合法
动手试试 如何证明上述结论呢?
如图,理由如下:
连接OA、OB, 则OA=OB.
C
∵OA=OB，OE⊥AB, ∴AE=BE.

冀教版九年级上数学课件 第28章圆28.4垂径定理(共19张PPT)

请观察下列3个银行标志有 何共同点?
1
圆是轴对称图形吗？
O
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都 是对称轴。
2
3
如图,AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O直径.
(1)该图是轴对称图形吗？
(2)能不能通过改变AB、CD的位置关系,使它成
为轴对称图形?
C
直径AB和弦CD互相垂直
O E
B
A D
4
特殊情况
C
在⊙O中，CD为弦，
AB为直径，AB⊥CD
A
提问：你在图中能找到哪
D 些相等的量？并证明你猜
E
的结论。
O
CE=DE，
B
AC =AD ,BC=BD
5
沿着直径CD对折，哪些线段和哪些弧
互相重合？
C
O
AE
B
D
直径CD⊥AB
AEBE ⌒⌒ ADBD ⌒⌒ ACBC
6
证明结论
已知：在⊙O中，CD是直径，
A
AABE是＝弦BE，，CA⌒DC⊥＝AB⌒BC，，垂A⌒足D＝为B⌒ED。。求证：
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
因为垂直于弦AB的直径CD所在的直
线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙
O的对称轴。 所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两
侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和 BE重合，A⌒C、A⌒D分别和B⌒C、 B⌒D重合。
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝10厘米 ∴⊙O的半径为10厘米。
14
例2：如图，一条排水管的截面。已知排水管的半径 OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
解:作OC⊥AB于C, 由定理得:
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圆的对称性应用例析3
我们知道圆是轴对称图形,根据圆的对称性可以得到“垂直于弦(不是直径)的直径平分弦,并平分弦所对的两条弧”这一重要性质,根据这一性质可以解决一些与此有关的问题.请看举例.
例1小明在黑板上画了一个圆,但被小亮擦去了圆心和圆的一部分,现在只剩下一条弧（如图1）,请你帮助小明重新画出这个圆.
图1 图2
分析：要画出这个圆,首先要确定这个圆的圆心位置和半径,根据圆是轴对称图形可知，圆心在圆中弦的垂直平分线上，为了确定圆心的位置，可以取弧上的两三点，作出过其中两点的弦，然后作这些弦的垂直平分线，得到交点即为圆心的位置.
解：如图2，（1）在上取一点C，连接AC，BC.
（2）分别作弦AC，BC的垂直平分线EF，MN，其交点为O，
则点O为圆心的位置.只要以O 为圆心，OA为半径画圆，即作出和原来大小相同的圆.
例2某地方有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现由一艘宽3米,船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱形桥吗?
图3
分析:判断货船能否通过这座桥拱,关键是看船舱顶部两角是否会被拱桥顶部挡住.用表示拱桥画出如图3图形,实际问题就转化为FN的长度.
解: 设圆心为0,连结OA、0B，作OD⊥AB于D，交圆于点C，交MN于点H，根据圆的轴对称性可得D为AB的中点.
设OA=r ，则OD=OC-DC=r-2.4,AD=
AB 21=3.6, 在Rt △AOD 中,OA 2=AD 2+OD 2,即r 2=3.62+(r-2.4)2,解得r=3.9,
在Rt △OHN 中,OH=6.35.19.32222=-=-NH ON
所以FN=DH=OH-OD=3.3-(3.9-2.4)=2.1,
因为2.1米>2米.所以货船可以通过这座拱桥.
例 3 如图4，今有一圆木砌入壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？
分析：本题是一道古代数学问题，解决本题首先要理解题意：一个圆形木棒砌在墙中，不知道这个木棒的直径，用锯把木棒露在墙外的部分锯掉，锯道的长1尺(1尺=10寸)，且被锯掉部分的弓高为1寸，则这个木棒的直径是多少？解决本题可从实际问题中抽象出数学模型______ 圆,然后根据圆的对称性,构造直角三角形解决.
图4 图5
解： 如图5,用BE 表示锯道，CD 表示锯深，OC 是BE 弦心距.
设圆木的半径OB=x 寸，
则OC=(x-1)寸，BC=21BE=2
1×10=5(寸)， 在Rt △OCB 中，由勾股定理得x 2=(x-1)2+52，解得x=13.
所以圆木半径是13寸，直径为26寸.。