(浙江版)2018年高考数学复习： 专题7.2 绝对值不等式(测)

第4讲绝对值不等式最新考纲 1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：｜a＋b｜≤|a|＋｜b|（a,b∈R）；｜a－b|≤|a －c｜＋|c－b|（a，b∈R）；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：｜ax＋b|≤c；|ax＋b｜≥c;|x－c|＋｜x－b｜≥a.知识梳理1。

绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式|x｜〈a与｜x｜〉a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|〈a（－a,a)∅∅|x|> a （－∞，－a）∪(a，＋∞)（－∞，0)∪(0，＋∞)R（2)|ax＋b｜≤c (c>0)和|ax＋b｜≥c (c>0）型不等式的解法①｜ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；（3）｜x－a｜＋|x－b｜≥c(c＞0）和|x－a|＋｜x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想。

2.含有绝对值的不等式的性质（1)如果a，b是实数，则|a｜－|b|≤｜a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.（2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤｜a－b｜＋｜b－c|，当且仅当（a－b)(b－c）≥0时,等号成立.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”）（1）若|x｜＞c的解集为R，则c≤0.（)(2）不等式｜x－1｜＋|x＋2｜＜2的解集为∅.（）(3)对｜a＋b|≥｜a|－｜b｜当且仅当a＞b＞0时等号成立。

（) (4）对|a｜－｜b|≤｜a－b|当且仅当｜a｜≥|b｜时等号成立。

（）（5)对｜a－b｜≤｜a｜＋|b｜当且仅当ab≤0时等号成立.( ）答案(1）×（2）√（3）×(4)×(5)√2.若函数f（x）＝｜x＋1|＋｜2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( ）A.5或8B.－1或5C.－1或－4 D。

第三节绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值不等式|x|＜a与|x|＞a的解法：(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.[小题体验]1．不等式|2x－1|＞3的解集为________．答案：{x|x＜－1或x＞2}2．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集为________．x|x≥1答案：{}3．函数y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．解析：∵|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8，即函数y的最小值为8.答案：81．对形如|f(x)|＞a或|f(x)|＜a型的不等式求其解集时，易忽视a的符号直接等价转化造成失误．2．绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|中易忽视等号成立的条件．如|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≤0时等号成立，其他类似推导．[小题纠偏]1．设a，b为满足ab＜0的实数，那么( )A ．|a ＋b |＞|a －b |B ．|a ＋b |＜|a －b |C ．|a －b |＜||a |－|b ||D ．|a －b |＜|a |＋|b |解析：选B ∵ab ＜0， ∴|a －b |＝|a |＋|b |＞|a ＋b |.2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3， ∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 答案：[－2,4]考点一 绝对值不等式的解法基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，13，则实数a ＝________. 解析：由|ax －2|＜3，得－1＜ax ＜5， ∵－53＜x ＜13，∴a ＝－3.答案：－32．解不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6.解：法一：当x ＞12时，原不等式转化为4x ≤6⇒12＜x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6，恒成立；当x ＜－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒－32≤x ＜－12.综上知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32. 法二：原不等式可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.3．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|＞1的解集．解：(1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. [谨记通法]解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．考点二 绝对值不等式的证明重点保分型考点——师生共研[典例引领](2019·成都外国语学校模拟)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； (2)若|a |＜1，|b |＜1，a ≠0，求证：f ab |a |＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a . 解：(1)f (2x )＋f (x ＋4)＝|2x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x ＜－3，－x ＋4，－3≤x ＜12，3x ＋2，x ≥12，当x ＜－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103；当－3≤x ＜12时，－x ＋4≥8无解；当x ≥12时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2.所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－103或x ≥2. (2)证明：f ab |a |＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 等价于f (ab )＞|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，即|ab －1|＞|a －b |. 因为|a |＜1，|b |＜1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0， 所以|ab －1|＞|a －b |.故所证不等式成立．[由题悟法]证明绝对值不等式主要的3种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明．[即时应用]已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|.∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.考点三 绝对值不等式的综合应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－a 2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．[由题悟法](1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．(2)f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a .f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a .[即时应用]已知定义域为R 的奇函数f (x )＝x |x ＋m |. (1)解不等式f (x )≥x ；(2)若对任意的x 1，x 2∈[1,1＋a ]，恒有|f (x 1)－f (x 2)|≤2成立，求实数a 的取值范围． 解：因为f (x )＝x |x ＋m |是定义域为R 的奇函数， 所以m ＝0，即f (x )＝x |x |.(1)由x |x |≥x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x 2≥x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2≥x ，即x ≥1或－1≤x ≤0，所以不等式f (x )≥x 的解集为[－1,0]∪[1，＋∞)．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，则f (x )在R 上单调递增，所以f (x )在[1,1＋a ]上单调递增，所以f (1＋a )－f (1)≤2，即(1＋a )|1＋a |－1≤2，又1＋a ＞1，故可得0＜a ≤ 3－1，所以实数a 的取值范围是(0，3－1]．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知a ，b ∈R ，则使不等式|a ＋b |＜|a |＋|b |一定成立的条件是( ) A ．a ＋b ＞0 B ．a ＋b ＜0 C ．ab ＞0D ．ab ＜0解析：选D 当ab ＞0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当ab ＜0时，|a ＋b |＜|a |＋|b |，故选D.2．设集合A ＝{x ||4x －1|＜9，x ∈R}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪xx ＋3≥0，x ∈R ，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．(－∞，－3)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞B ．(－3，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，52C ．(－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ D ．(－3，－2]解析：选A 由题意得A ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，52，B ＝(－∞，－3)∪[0，＋∞)，∴(∁R A )∩B ＝(－∞，－3)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.3．不等式|x ＋2|＞3x ＋145的解集是( )A ．(－3，－2)B ．(－2,0)C ．(0,2)D ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)解析：选D 不等式即为5(x ＋2)＞3x ＋14或5(x ＋2)＜－(3x ＋14)，解得x ＞2或x ＜－3，故选D.4．不等式|x －1|－|x －5|＜2的解集为____________． 解析：不等式|x －1|－|x －5|＜2等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，－x －＋x －＜2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，x －1＋x －5＜2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞5，x －1－x －＜2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，－4＜2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，2x ＜8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞5，4＜2，故原不等式的解集为{x |x ＜1}∪{x |1≤x ＜4}∪∅＝{x |x ＜4}． 答案：{x |x ＜4}5．不等式|x (x －2)|＞x (x －2)的解集为________．解析：不等式|x (x －2)|＞x (x －2)的解集即x (x －2)＜0的解集，解得0＜x ＜2. 答案：{x |0＜x ＜2}二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·台州联考)不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集是( ) A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |x ＜0且x ≠－1} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x ＜1且x ≠－1}解析：选D 不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x 2＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，＋x 2＞0，解得0≤x ＜1或x ＜0且x ≠－1.故选D.2．已知a ，b ∈R ，则“|a |＋|b |＞1”是“b ＜－1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 令a ＝0，b ＝2，则|a |＋|b |＞1成立，但推不出b ＜－1；反之，若b ＜－1，则|b |＞1，又|a |≥0，所以|a |＋|b |＞1.所以“|a |＋|b |＞1”是“b ＜－1”的必要不充分条件．3．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( ) A ．[－5,7]B ．[－4,6]C. (－∞，－5]∪[7，＋∞)D. (－∞，－4]∪[6，＋∞)解析：选D 当x ≤－3时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x －x －3＝2－2x ≥10，即x ≤－4，∴x ≤－4.当－3＜x ＜5时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x ＋x ＋3＝8≥10，不成立，∴无解．当x ≥5时，|x －5|＋|x ＋3|＝x －5＋x ＋3＝2x －2≥10，即x ≥6，∴x ≥6.综上可知，不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．4．不等式x 2－|x －1|－1≤0的解集为( ) A ．{x |－2≤x ≤1} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |－1≤x ≤1}解析：选A 当x －1≥0时，原不等式化为x 2－x ≤0，解得0≤x ≤1.∴x ＝1； 当x －1＜0时，原不等式化为x 2＋x －2≤0， 解得－2≤x ≤1.∴－2≤x ＜1. 综上，－2≤x ≤1.所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤1}，故选A.5．(2018·长沙六校联考)设f (x )＝1ax 2－bx ＋c ，不等式f (x )＜0的解集是(－1,3)，若f (7＋|t |)＞f (1＋t 2)，则实数t 的取值范围为( )A ．(－3,1)B ．(－3,3)C ．(－1,3)D ．(－1,1)解析：选B ∵f (x )＜0的解集是(－1,3)， ∴a ＞0，f (x )的对称轴是x ＝1，且ab ＝2. ∴f (x )在[1，＋∞)上单调递增． 又∵7＋|t |≥7,1＋t 2≥1，∴由f (7＋|t |)＞f (1＋t 2)，得7＋|t |＞1＋t 2. ∴|t |2－|t |－6＜0，解得－3＜t ＜3. 故选B.6．已知函数f (x )＝|x ＋6|－|m －x |(m ∈R)，若不等式f (x )≤7对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围为________．解析：由绝对值三角不等式得f (x )＝|x ＋6|－|m －x |≤|x ＋6＋m －x |＝|m ＋6|，由题意得|m ＋6|≤7，则－7≤m ＋6≤7，解得－13≤m ≤1，故m 的取值范围为[－13,1]．答案：[－13,1]7．设|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立，则正数a 的取值范围为____________． 解析：由|x －2|＜a 得2－a ＜x ＜a ＋2， 由|x 2－4|＜1，得3＜x 2＜5， 所以－5＜x ＜－3或3＜x ＜ 5.因为a ＞0，所以由题意得⎩⎨⎧3≤2－a ，a ＋2≤ 5.解得 0＜a ≤5－2，故正数a 的取值范围为(0，5－2]． 答案：(0，5－2]8．(2018·杭州五校联考)已知不等式|x 2－4x ＋a |＋|x －3|≤5的x 的最大值为3，则实数a 的值是____________．解析：∵x ≤3，∴|x －3|＝3－x .若x 2－4x ＋a ＜0，则原不等式化为x 2－3x ＋a ＋2≥0. 此不等式的解集不可能是集合{x |x ≤3}的子集， ∴x 2－4x ＋a ＜0不成立． 于是，x 2－4x ＋a ≥0，则原不等式化为x 2－5x ＋a －2≤0.∵x ≤3，令x 2－5x ＋a －2＝(x －3)(x －m )＝x 2－(m ＋3)x ＋3m ，比较系数，得m ＝2，∴a＝8.答案：89．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1.解：(1)不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1， 解得1≤x ≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)证明：若|x －a |＜1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1.即|x |＜|a |＋1. 10．(2018·杭州质检)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R)的最小值为a . (1)求实数a 的值； (2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ， 从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，2x －6，x ＞4.故当x ≤2时，令－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2，当2＜x ≤4时，显然不等式成立， 当x ＞4时，令2x －6≤5，得4＜x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤112. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·金丽衢十二校联考)设a ，b 为实数，则“|a －b 2|＋|b －a 2|≤1”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122≤32”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122≤32⇔a 2－a ＋14＋b 2－b ＋14≤32⇔a 2－a ＋b 2－b ≤1⇔b 2－a＋a 2－b ≤1，令b 2－a ＝x ，a 2－b ＝y ，则|x |＋|y |≥|x ＋y |≥x ＋y ，所以|x |＋|y |≤1⇒x ＋y ≤1，故充分性成立，必要性不成立，故选A.2．已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |(a ＞1)．(1)若不等式f (x )≥2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥52，求a 的值； (2)若对任意的x ∈R ，都有f (x )＋|x －1|≥1，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|x －1|＋|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a －1，x ≥a ，a －1，1≤x ＜a ，－2x ＋a ＋1，x ＜1，当x ≥a 时，由2x －a －1≥2，解得x ≥a ＋32＝52；当x ＜1时，由－2x ＋a ＋1≥2，解得x ≤a －12＝12. 综上得a ＝2.(2)由x ∈R ，f (x )＋|x －1|≥1，可得2|x －1|＋|x －a |≥1.当x ≥a 时，只需3x －2－a ≥1恒成立即可，此时只需3a －2－a ≥1⇒a ≥32；当1≤x ＜a 时，只需x －2＋a ≥1恒成立即可，此时只需1－2＋a ≥1⇒a ≥2；当x ＜1时，只需－3x ＋2＋a ≥1恒成立即可，此时只需－3＋2＋a ≥1⇒a ≥2.综上可得，a 的取值范围为[2，＋∞)．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念【知识拓展】1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有(1)当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； (2)当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． 3．最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(3)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy <0表示．( √ ) (4)线性目标函数的最优解是唯一的．( × )(5)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( √ )(6)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)答案 C解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )答案 C解析 用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为C. 3．(2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，作直线2x ＋y ＝0并平移，当直线过点A 时，截距最大，即z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1,2)，可得2x ＋y 的最大值为2×1＋2＝4. 4．(2017·杭州质检)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥0，若z ＝2x ＋y ，则z 的最大值等于________，z 的最小值等于________． 答案 2 0解析 作出可行域(图略)，由y ＝－2x ＋z ，知当z ＝2x ＋y 经过点(1,0)时，z max ＝2； 当z ＝2x ＋y 经过点(0,0)时，z min ＝0.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点1 不含参数的平面区域问题例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.34 答案 (1)C (2)C解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合题意．(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C.命题点2 含参数的平面区域问题例2 (1)(2015·重庆)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A ．－3B ．1C.43D ．3(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k的值是_________________． 答案 (1)B (2)73解析 (1)不等式组表示的平面区域如图，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S △ABD ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝(m ＋1)23＝43，∴m ＝1或m ＝－3，当m ＝－3时，不满足题意应舍去， ∴m ＝1.(2)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.思维升华 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可． (2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( ) A ．(0,3] B ．－1,1] C ．(－∞，3]D ．3，＋∞)(2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2 答案 (1)D (2)A解析 (1)直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－(－1)1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈3，＋∞)．故选D.(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求． 题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值例3 (1)(2016·全国丙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．(2)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A ．53，5]B ．0,5]C ．0,5)D ．53，5)答案 (1)32(2)C解析 (1)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0的可行域为以A (－2，－1)，B (0,1)，C ⎝⎛⎭⎫1，12为顶点的三角形内部及边界，则y ＝－x ＋z 过点C ⎝⎛⎭⎫1，12时Z 取得最大值32. (2)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0作可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴A (2，－1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝23，∴B (13，23)．令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u 2－12，由图可知，当y ＝x －u 2－12经过点A (2，－1)时，直线y ＝x－u 2－12在y 轴上的截距最小，u 最大，最大值为2×2－2×(－1)－1＝5；当y ＝x －u 2－12经过点B (13，23)时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最大，u 最小，最小值为2×13－2×23－1＝－53. ∴－53≤u <5，∴z ＝|u |∈0,5)．命题点2 求非线性目标函数的最值 例4 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)， ∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)， ∴OA 2＝(02＋12)2＝1，∴z max ＝5，OB 2＝(12＋22)2＝5， ∴z 的取值范围是1,5]． 引申探究1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值范围．解 z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率．∴z 的取值范围是(－∞，0]．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值． 解 z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，(PQ )2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，(PQ )2min ＝(|1－1＋1|12＋(－1)2)2＝12，∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.命题点3 求参数值或取值范围例5 (1)(2015·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3(2)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 (1)B (2)12解析 (1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1,1)． 由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0,0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2,0)处取得最大值， ∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离； ②yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．(1)(2016·临沂检测)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C.32D ．3(2)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)A (2)1，32]解析 (1)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3.(2)画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是1，32]．题型三 线性规划的实际应用问题例6 (2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 答案 216000解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2100x ＋900y . 作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，z max ＝2100×60＋900×100＝216000(元)．思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多的)量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)． (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)． (5)检验：根据结果，检验反馈．(2016·杭州质检)某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a <7，a ，b ∈N ，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x 等于( )A ．10B ．12C ．13D ．16 答案 C解析 如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x max ＝a ＋b ＝13.．含参数的线性规划问题典例 (1)在直角坐标系xOy 中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤2x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是________．(2)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________.错解展示解析 (1)如图，直线y ＝k (x －1)－1过点(1，－1)，作出直线y ＝2x ，当k <－1或0<k <2或k >2时，不等式组表示一个三角形区域． (2)由不等式组表示的可行域，可知z ＝ax ＋y 在点A (1,1)处取到最大值4， ∴a ＋1＝4，∴a ＝3.答案 (1)(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞) (2)3 现场纠错解析 (1)直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y 轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(－∞，－1)，只有此时可构成三角形区域．(2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得A (1,1)． z ＝ax ＋y 等价于y ＝－ax ＋z ， 因为z 的最大值为4，即直线y ＝－ax ＋z 的纵截距最大为4. 若z ＝ax ＋y 在A (1,1)处取得最大值， 则纵截距必小于2，故只有直线y ＝－ax ＋z 过点(2,0)且－a <0时符合题意， ∴4＝a ×2＋0，即a ＝2. 答案 (1)(－∞，－1) (2)2纠错心得 (1)含参数的平面区域问题，要结合直线的各种情况进行分析，不能凭直觉解答． (2)目标函数含参的线性规划问题，要根据z 的几何意义确定最优解，切忌搞错符号.1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)答案 B解析 由3×(－3)－2×(－1)－a ]·3×4－2×(－6)－a ]<0， 得(a ＋7)(a －24)<0，∴－7<a <24.2．(2016·诸暨高三期末)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋y ≤2，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．2B ．1C.255 D.45答案 A解析 可行域表示的是以(0,0)，(1,0)，(0,2)为顶点的三角形区域(含边界).x 2＋y 2表示可行域内一点(x ，y )到原点的距离，易知(0,2)到原点的最大距离为2，故选A. 3．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞答案 D解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.4．(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则AB 等于( )A ．22B ．4C ．32D ．6 答案 C解析 已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ 所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以区域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成线段AB ，则AB ＝PQ .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0，解得P (－1,1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0，解得Q (2，－2)． 所以AB ＝PQ ＝(－1－2)2＋(1＋2)2＝3 2.5．(2016·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17 答案 B解析 由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小． 又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.6．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ) A ．1800元 B ．2400元 C ．2800元 D ．3100元答案 C解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶， 则根据题意得x 、y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元， 则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图．画出直线l ：300x ＋400y ＝0， 即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时， 目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)， ∴z max ＝300×4＋400×4＝2800(元)．故选C.7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1答案 D解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 8．(2016·枣庄模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是( ) A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1.故选D.9．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的平面区域的面积为______． 答案 12或14解析 直线kx －y ＋1＝0过点(0,1)，要使不等式组表示的区域为直角三角形，只有直线kx －y ＋1＝0垂直于y 轴(如图(1))或与直线x ＋y ＝0垂直(如图(2))时才符合题意．所以S ＝12×1×1＝12或S ＝12×22×22＝14.10．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.11．(2017·宜春中学、新余一中联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________． 答案 3,11]解析 设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2(y ＋1)x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图阴影部分所示，则易得z ′∈k DA ，k DB ]，即z ′∈1,5]，∴z ＝1＋2·z ′∈3,11]．*12.(2016·嘉兴期末)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤4，x ≥1表示的平面区域为M ，点P (x ，y )是平面区域内的动点，则z ＝2x －y 的最大值是________，若直线l ：y ＝k (x ＋2)上存在区域M 内的点，则k 的取值范围是________． 答案 2 13，1]解析 不等式组对应的平面区域是以点(1,1)，(1,3)和(2,2)为顶点的三角形，当z ＝2x －y 经过点(2,2)时取得最大值2.又k ＝y x ＋2经过点(1,1)时取得最小值13，经过点(1,3)时取得最大值1，所以k 的取值范围是13，1]．13.已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围． 解 (1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0. 原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有4×(－1)－3×(－6)－a ]4×(－3)－3×2－a ]<0， 即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18,14)．14．某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1600x ＋2400y . 由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1600x ＋2400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1600x ＋2400y 在y 轴上的截距z 2400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．。

(浙江版）2018年高考数学一轮复习专题7.1 不等式的性质及一元二次不等式（讲)编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(浙江版）２018年高考数学一轮复习专题７.1 不等式的性质及一元二次不等式(讲）)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为(浙江版)2018年高考数学一轮复习专题7．1 不等式的性质及一元二次不等式（讲)的全部内容。

第0１节 不等式的性质及一元二次不等式【考纲解读】考 点考纲内容五年统计分析预测不等式的性质及一元二次不等式1．了解不等关系，掌握不等式的性质.２.了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。

会解一元二次不等式.2013浙江文7,10,１6;理2； 2014浙江文７，１6,2１；理1,6,15，２2; ２01５浙江文1，3,6;理1; ２0１6浙江文5,6，7;理１，7;２017浙江20。

１。

不等式性质的综合应用;2.一元二次不等式的解法。

备考重点： 1。

不等式性质；２.一元二次不等式的解法.【知识清单】１.不等关系在日常生产生活中，不等关系更为普遍，利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系,再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等,用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系. 对点练习【20１6高考上海理数】设R a ∈,则“1>a "是“12>a ”的（ )ﻩ（A ）充分非必要条件 （Ｂ)必要非充分条件（Ｃ)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 【答案】A2。

第01节 不等式的性质及一元二次不等式【考纲解读】,21【知识清单】1.不等关系在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系，再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系. 对点练习【2016高考上海理数】设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A2.比较法比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论． 对点练习若,,,a b c d 均为正实数，且>a b ，那么四个数b a 、a b 、++b c a c 、++a d b d由小到大的顺序是_________. 【答案】b a 、++bc a c 、++ad b d 、a b.3.不等式性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n>b n(n ∈N ，n ≥2)． (8)开方法则：a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)．对点练习【2017届浙江台州高三4月调研】若，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当，而 ，反过来也成立，所以是充要条件，故选C. 4.一元二次不等式的解法（1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a>0)或ax 2＋bx ＋c<0(a>0)． （2）计算相应的判别式．（3）当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．（4）利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 对点练习【2016高考新课标1理数】设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则AB =（ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【考点深度剖析】不等关系、不等式的性质的考查，往往与其它知识综合考查，如与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行综合命题；对一元二次不等式的解法的考查，较多与集合的运算以及二次函数相结合． 【重点难点突破】考点1 应用不等式表示不等关系【1-1】用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的1k(k ∈N *)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，试从中提炼出一个不等式组．(钉帽厚度不计)【解析】假设钉长为1，第一次受击后，进入木板部分的铁钉长度是47；第二次受击后，该次铁钉进入木板部分的长度为47k ，此时进入木板部分的铁钉的总长度为47＋47k ，有47＋47k ＜1；第三次受击后，该次钉入木板部分的长度为47k 2，此时应有47＋47k ＋47k 2，有47＋47k ＋47k2≥1.所以可从中提炼出一个不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧47＋47k＜1，47＋47k ＋47k2≥1.【1-2】将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x ，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x 应满足的不等关系． 【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－x >0，(5－x )＋(12－x )>13－x ，(5－x )2＋(12－x )2<(13－x )2.综合点评：求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题.在解决实际问题时，要注意变量的取值范围. 【触类旁通】【变式】已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ） （A ）2枝玫瑰的价格高 （B ）3枝康乃馨的价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定 【答案】A考点2 比较两数（式）的大小【2-1】下列各组代数式的关系正确的是________． ①x 2＋5x ＋6＜2x 2＋5x ＋9； ②(x －3)2＜(x －2)(x －4)； ③当x ＞1时，x 3＞x 2－x ＋1； ④x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． 【答案】 ①③④【解析】 ①2x 2＋5x ＋9－(x 2＋5x ＋6)＝x 2＋3＞0， 即x 2＋5x ＋6＜2x 2＋5x ＋9.②(x －2)(x －4)－(x －3)2＝x 2－6x ＋8－(x 2－6x ＋9) ＝－1＜0，即(x －2)(x －4)＜(x －3)2.③当x ＞1时，x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1) ＝(x －1)(x 2＋1)＞0， 即x 3＞x 2－x ＋1.④x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝(x 2－2x ＋1)＋(y 2－2y ＋1)＋1＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0， 即x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． 【2-2】若55ln ,33ln ,22ln ===c b a ，则a,b,c 的大小关系是 ． 【答案】b a c >>【领悟技法】1、（利用比较法比较两数（式）的大小时，关键在于作差或商后的变形，需要分解因式或者通分等运算，一定化简彻底；2、构造函数法比较大小时，通常考虑所构造的函数图象特征或者函数的性质，尤其要注意利用单调性比较大小． 【触类旁通】【变式一】若0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________．【答案】 a ＜2ab ＜12＜a 2＋b 2＜b【解析】∵0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，∴a ＜12＜b ＜1，∴2b ＞1且2a ＜1，∴a ＜2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12＜12.即a ＜2ab ＜12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ＞1－12＝12，即a 2＋b 2＞12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1＞0，b －1＜0，∴a 2＋b 2－b ＜0，∴a 2＋b 2＜b ，综上，a ＜2ab ＜12＜a 2＋b 2＜b .【变式二】设+∈R c b a ,,，求证：b a c a c b c b a c b a c b a +++⋅⋅≥⋅⋅222. 证明：由于不等式是关于c b a ,,对称的，不妨设c b a ≥≥，于是1222≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅⋅⋅---+++ca cb ba b a c a c b c b a c a c b b a c b a c b a ，所以b a c a c b c b a c b a c b a +++⋅⋅≥⋅⋅222. 考点3 不等式的性质【3-1】若a ，b ∈R ，若a ＋|b |＜0，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b ＞0 B ．a 3＋b 3＞0 C ．a 2－b 2＜0 D ．a ＋b ＜0 【答案】D【3-2】根据条件：,,a b c 满足c b a <<，且0a b c ++=，有如下推理：（1） ()0ac a c -> （2） ()0c b a -< (3) 22cb ab ≤ (4) ab ac >其中正确的是（ ）A ．（1） （2）B ．(3) (4)C ．（1） (3)D ．（2） (4) 【答案】B【解析】由33c b a c a b c a <<⇒<++<，因为0a b c ++=，所以00c a <⎧⎨>⎩，对于b 的值可正可负也可为0，对于（1）错误，因为0ac <，而0a c ->，所以()0ac a c -<；对于（2）错误，因为0,0c b a <-<，从而()0c b a ->；对于（3）正确，因为20b ≥，当2b =时，220cb ab ==，当20b >时，由22c a cb ab <⇒<；对于（4）正确，因为0,a b c ab ac >>⇒>；综上可知，选B ．【领悟技法】1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题． 【触类旁通】【变式一】已知a ＞b ，则下列不等式中恒成立的是( )A ．ln a ＞ln b B.1a ＜1bC ．a 2＞abD ．a 2＋b 2＞2ab 【答案】D ．【变式二】已知下列三个不等式①ab ＞0；②c a ＞d b；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？ 【解析】(1)对②变形c a ＞d b ⇔bc －adab＞0，由ab ＞0，bc ＞ad 得②成立，∴①③⇒②.(2)若ab ＞0，bc －adab＞0，则bc ＞ad ，∴①②⇒③. (3)若bc ＞ad ，bc －adab＞0，则ab ＞0，∴②③⇒①. 综上所述可组成3个正确命题． 考点4 一元二次不等式的解法【4-1】已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c<0的解集是{x | x<－2⎭⎬⎫或x>－12，求不等式ax2－bx ＋c>0的解集．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x<2. 【解析】由条件知－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a<0，∴－2－12＝－b a ，(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ca.∴b ＝52a ，c ＝a.从而不等式ax 2－bx ＋c>0变为a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1>0.∵a<0，∴原不等式等价于2x 2－5x ＋2<0， 即(x －2)(2x －1)<0，解得12<x<2.∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x<2. 【4-2】【2017届浙江嘉兴高三上基础测试】设集合2{|20}A x x x =-->，{|||3}B x x =<，则AB =（ ）A ．{|31}x x -<<-B ．{|23}x x <<C ．{|3123}x x x -<<-<<或D ．{|323}x x x -<<-<<或1 【答案】C【领悟技法】1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．2.f (x )>0的解集即为函数y ＝f (x )的图象在x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．3.简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解． 【触类旁通】【变式一】【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初来联考】已知集合2{|230}A x x x =--<， 2{|31,}B y y x x R ==-+∈，则A B ⋂=（ ）A. {|31}x x -<≤B. {|12}x x ≤<C. {|11}x x -<≤D. {|13}x x << 【答案】C【解析】{}{}2|230 |1 3 A x x x x x =--<=-<<，{}{}2|31, | 1 B y y x x R y y ==-+∈=≤，则A B ⋂= {}|1 1 x x -<≤，故选C ． 考点5 一元二次不等式恒成立问题 【5-1】若不等式的解集是R ，则m 的范围是( )A.B.C.D.【答案】A【5-2】【2018河南南阳第一中学模拟】已知当11a -≤≤时， ()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是_____________. 【答案】()(),13,-∞⋃+∞【解析】试题分析：设()()()2244g a x a x x =-+-+，由于()24420x a x a +-+->恒成立，所以()0g a >，因此()()10{10g g ->->，整理得22560{320x x x x -+>-+>，解得【5-3】若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则实数a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3【答案】C【解析】解法一：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，∴a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵f (x )＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数， ∴⎝⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52.∴a ≥－52. 解法二：令f (x )＝x 2＋ax ＋1，对称轴为x ＝－a2.①⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤0，f （0）≥0⇒a ≥0.(如图1)②⎩⎪⎨⎪⎧0＜－a 2＜12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0⇒－1＜a ＜0.(如图2)③⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0 ⇒－52≤a ≤－1.(如图3)图1图2图3综上 ①②③，a ≥－52.故选C .【领悟技法】(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方． 【触类旁通】【变式一】对任意实数x ，若不等式4x－m ·2x＋1＞0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－2，2)C ．(－∞，2]D ．[－2，2] 【答案】A【变式二】已知()⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤+-=,0,32,0,3422x x x x x x x f 不等式()()x a f a x f ->+2在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,-∞-B. ()0,∞-C. ()2,0D. ()0,2- 【答案】D【解析】试题分析：()x f 为R 上的减函数，故()()x a a x x a f a x f -<+⇔->+22，从而a x <2，所以()a a <+12，得2-<a .考点6 一元二次不等式的应用【6-1】某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．【6-2】汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)车速x (km/h)之间有如下关系：20.10.01s x x 甲＝＋，20.050.05s x x 乙＝＋.问：超速行驶应负主要责任的是谁？【答案】A【解析】由题意列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1x ＋0.1x 2>12，0.05x ＋0.005x 2>10，分别求解，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <－40或x >30，x <－50或x >40.由于0x >，从而可得30 /40 /x km h x km h >>甲乙，.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．【领悟技法】不等式应用问题常以函数、数列的模型出现，在解题中主要涉及不等式的解以及不等式的应用问题，解不等式应用题，重在审题，构造数学模型，这是解题关键．【触类旁通】【变式一】 某小商品2013年的价格为8元/件，年销量是a 件．现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k .该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式；(2)设k ＝2a ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%?【变式二】某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．【解析】(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0,2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 【易错试题常警惕】易错典例1：已知不等式02≥++c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231|x x ，则不等式02<++a bx cx 的解集为（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-312|x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<312|x x x 或 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-213|x x D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<213|x x x 或 易错分析：由于对一元二次不等式解集的意义理解不够，故忽视了对a 、b 、c 符号的判断． 根据给出的解集，除知道31-和2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根外，还应知道0<a ，然后通过根与系数的关系进一步求解．正确解析：由于不等式02≥++c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231|x x ，可知0<a ，且 31-，2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根， ∴a b -=+-231，a c =⨯-2)31(，∴a b 35-=，a c 32-=． ∴不等式02<++a bx cx 可化为035322<+--a ax ax ，由于0<a ∴0135322<-+x x ，即03522<-+x x ，解得213<<-x ． ∴所求解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-213|x x ，选C ． 易错典例2：已知11,15,3x y x y x y -≤+≤≤-≤-求的取值范围．易错分析：利用不等式性质，11,15,x y x y -≤+≤≤-≤两式相加，得03,x ≤≤ 由15x y ≤-≤，得51x y -≤-+≤-，则30y -≤≤ ，所以，039x ≤≤，03y ≤-≤，从而0312x y ≤-≤分析：当312x y -=时，x=3,y=-3,而6x y -=不满足已知条件，显然结果有问题.这种通过求出x,y 的范围，再3x y -求的取值范围是一种较为典型的错误.事实上，11,15,x y x y -≤+≤≤-≤不等价于03,x ≤≤30y -≤≤，利用不等式性质进行同向不等式向加，已知条件11,15,x y x y -≤+≤≤-≤仅仅是后来得到的结果的充分条件，即前者成立，后者不一定成立.因此，这是一个不恒等变形，其中的x,y 的取值被扩大了.但是，并不等于说不等式的性质在这里就不能用.我们可以不改变原条件的前提下，整体地对原不等式进行向加．正确解析：11,x y -≤+≤通过观察将后式两边乘2，得22()10,x y ≤-≤于是1311x y ≤-≤.温馨提示：注意不等式性质的单向性．。

第02节 绝对值不等式A 基础巩固训练1．不等式12x -<的解集是（ ）A. （-∞，-1） B. （-∞,1） C. （-1，3） D. ()(),13,-∞-⋃+∞ 【答案】C2．不等式435x -≤的解集是（ ） A. . 1{|3}3x x -<< B. 1{|3}3x x -≤≤ C. 1{|3}3x x ≤≤- D. 1{|3}3x x x ≤-≥或 【答案】B 【解析】1435345534533x x x x -≤⇒-≤⇒-≤-≤⇒-≤≤ ,故选B. 3．不等式231x +<的解集为（ ）A.()2,1--B.()(),21,-∞-⋃-+∞C.()1,2D.()(),12,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】231123142221x x x x +<⇔-<+<⇔-<<-⇔-<<-,所以不等式231x +<的解集为()2,1--，故选A.4．不等式113x <+<的解集为( )A. ()0,2B. ()()2,02,4-⋃C. ()4,0-D. ()()4,20,2--⋃【答案】D【解析】1<|x+1|<3⇔1<|x+1|2<9即()()2211{ 19x x +>+<即2220{ 280x x x x +>+-<， 解得x ∈(−4,−2)∪(0,2)本题选择D 选项.5．不等式531x x -++≥的解集是（ ）A. . []5,7-B. []4,6-C. ][(),57,-∞-⋃+∞D. (),-∞+∞【答案】DB 能力提升训练1．【2018届河南省南阳市第一中学高三8月】不等式531x x -++≥的解集是（ ）A. []5,7-B. []4,6-C. ][(),57,-∞-⋃+∞D. (),-∞+∞【答案】D 【解析】()()535381x x x x -++≥--+=>⇒ 原不等式的解集为R ，故选D.2．若函数()1f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为( )A. 4B. 2C. 2或4-D. 4或2-【答案】D【解析】()1f x x x a =+++ 13a a ≥-=⇒= 4或2-，选D.3．函数的最小值为（ ） A. 4 B. C. D.【答案】C【解析】,如图所示可知,,因此最小值为2,故选C.点睛:解决本题的关键是根据零点分段去掉绝对值,将函数表达式写成分段函数的形式,并画出图像求出最小值. 恒成立问题的解决方法(1)f(x)<m恒成立，须有[f(x)]max <m；(2)f(x)>m恒成立，须有[f(x)]min>m；(3)不等式的解集为R，即不等式恒成立；(4)不等式的解集为∅，即不等式无解．4．不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D5.若不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，，则，当时，不成立，当时，，则，综上：不等式的解集为，选C.C 思维拓展训练1．不等式152x x---<的解集是（）。

第四节 绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解法：(2)|ax ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解； ②利用零点分段法求解；③构造函数，利用函数的图象求解．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)|x －a |＋|x －b |的几何意义是表示数轴上的点x 到点a ，b 的距离之和．( ) (2)不等式|a |－|b |≤|a ＋b |等号成立的条件是ab ≤0.( ) (3)不等式|a －b |≤|a |＋|b |等号成立的条件是ab ≤0.( ) (4)当ab ≥0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |成立．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．(教材改编)若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53＜x ＜13，则实数a ＝________.－3 [依题意，知a ≠0.又|ax －2|＜3⇔－3＜ax －2＜3， ∴－1＜ax ＜5.由于|ax －2|＜3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53＜x ＜13， ∴a ＜0，5a ＝－53且－1a ＝13，则a ＝－3.]3．(教材改编)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：51062193】(－∞，－3]∪[3，＋∞) [由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴|x ＋1|＋|x －2|的最小值为3， 要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解， 只需|a |≥3，∴a ≥3或a ≤－3.] 4．解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.[解] 当x ≥－32时，原不等式化为3x ＋3≥2，4分解得x ≥－13.8分当x ＜－32时，原不等式化为－x －3≥2，解得x ≤－5.12分综上，原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－5或x ≥－13.14分 5．设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .[证明] 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3， 所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2a 3＋a3＝a .故原不等式得证.14分(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．图6­4­1[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32，3分故y ＝f (x )的图象如图所示．6分(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.8分故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5.14分 [规律方法] 1.本题用零点分段法画出分段函数的图象，结合图象的直观性求出不等式的解集，体现数形结合思想的应用．2．解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段讨论．此外还常利用绝对值的几何意义求解．[变式训练1] (2017·吉林实验中学模拟)设函数f (x )＝|x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n ＝a (m ＞0，n ＞0)，求证：m ＋2n ≥4.[解] (1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥4，3分 ①当x ≥2时，不等式可化为x －2＋x －1≥4，解得x ≥72；②当12＜x ＜72时，不等式可化为2－x ＋x －1≥4，不等式的解集为∅；③当x ≤12时，不等式可化为2－x ＋1－x ≥4，解得x ≤－12.5分综上可得，不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.6分 (2)证明：因为f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1，而f (x )≤1的解集是[0,2]． 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1，8分所以1m ＋12n＝1(m ＞0，n ＞0)，所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋12n ＝2＋m 2n ＋2nm≥2＋2m 2n ·2nm＝4，12分 当且仅当m ＝2，n ＝1时取等号.14分数M 的最大值是m .(1)求m 的值；(2)解不等式|x －1|＋|x －2|≤m . 【导学号：51062194】 [解] (1)不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，即M ≤|a ＋b |＋|a －b ||a |对于任意的实数a (a ≠0)和b 恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值.2分因为|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |， 当且仅当(a －b )(a ＋b )≥0时等号成立，|a |≥|b |时，|a ＋b |＋|a －b ||a |≥2成立，也就是|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值是2，即m ＝2.6分(2)|x －1|＋|x －2|≤2.法一：利用绝对值的意义得：12≤x ≤52.8分法二：①当x ＜1时，不等式为－(x －1)－(x －2)≤2， 解得x ≥12，所以x 的取值范围是12≤x ＜1.②当1≤x ≤2时，不等式为(x －1)－(x －2)≤2， 得x 的取值范围是1≤x ≤2.12分③当x ＞2时，原不等式为(x －1)＋(x －2)≤2,2＜x ≤52.综上可知，不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤52.14分 [规律方法] 1.(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件：当ab ≥0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |；当ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |；当(a －b )(b －c )≥0时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |.(2)对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．2．第(2)问易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏．[变式训练2] 对于任意实数a ，b ，已知|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，求实数m 的取值范围．[解] 因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1，所以|3a －3b |≤3，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12≤12，4分所以|4a －3b ＋2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －3b ＋⎝⎛⎭⎪⎫a －12＋52≤|3a －3b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12＋52≤3＋12＋52＝6，10分则|4a －3b ＋2|的最大值为6，所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6，m 的取值范围是[6，＋∞).14分(1)若|a |≤1，求证：|f (x )|≤54；(2)求a 的值，使函数f (x )有最大值178.[解] (1)证明：法一：因为－1≤x ≤1， 所以|x |≤1.2分 又因为|a |≤1，所以|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x | ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－122＋54≤54.5分 所以若|a |≤1，则|f (x )|≤54.6分法二：设g (a )＝f (x )＝ax 2＋x －a ＝(x 2－1)a ＋x . 因为－1≤x ≤1， 所以当x ＝±1.2分即x 2－1＝0时，|f (x )|＝|g (a )|＝1≤54.当－1<x <1即x 2－1<0时，g (a )＝(x 2－1)a ＋x 是单调递减函数． 因为|a |≤1，所以－1≤a ≤1，所以g (a )max ＝g (－1)＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54.g (a )min ＝g (1)＝x 2＋x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－54.所以|f (x )|＝|g (a )|≤54.6分(2)当a ＝0时，f (x )＝x ，当－1≤x ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝1，不满足题设条件，所以a ≠0.9分又f (1)＝a ＋1－a ＝1，f (－1)＝a －1－a ＝－1. 故f (1)和f (－1)均不是最大值，所以f (x )的最大值178应在其对称轴上的顶点位置取得，所以命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－1<－12a <1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝178，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <－12，a ＝－2或a ＝－18，13分所以a ＝－2，即当a ＝－2时，函数f (x )有最大值178.15分[规律方法] 1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．2．f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a .f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a .[变式训练3] (2017·浙江杭州调研)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c . (1)若a ＝2，当x ∈[－1,3]时，f (x )的最大值不大于7，求b ＋c 的最大值；(2)若当|f (x )|≤1对任意的x ∈[－1,1]恒成立时，都有|ax ＋b |≤M 对任意的x ∈[－1,1]恒成立，求M 的最小值．[解] (1)由题意知，f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，当x ∈[－1,3]时，f (x )≤7恒成立，即f (x )max ≤7.2分(ⅰ)当－b4≤1，即b ≥－4时，f (x )max ＝f (3)＝18＋3b ＋c ≤7，得3b ＋c ≤－11，故b ＋c ＝(3b ＋c )＋2(－b )≤－11＋8＝－3.5分(ⅱ)当－b4>1，即b <－4时，f (x )max ＝f (－1)＝2－b ＋c ≤7，得－b ＋c ≤5，故b ＋c ＝(－b ＋c )＋2b <5－8＝－3. 综上可得，(b ＋c )max ＝－3.8分 (2)当|x |≤1时，易知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≤1，故由题意知⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12≤1，10分所以|ax ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12≤1＋1＝2，14分 故M ≥2，所以M 的最小值为2.15分[思想与方法]1．绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，几何法(利用绝对值几何意义)，构造函数法．前者体现了分类讨论思想，后者体现了数形结合思想的应用．2．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决． [易错与防范]1．利用绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |求函数最值，要注意其中等号成立的条件．2．形如|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)的不等式，在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c 的符号判断，若c ≤0，则不等式解集为R .课时分层训练(三十三) 绝对值不等式A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( )【导学号：51062195】A ．5或8B ．－1或5C ．－1或－4D ．－4或8D [当a >2时，－a2<－1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a2.其图象如图所示：由图象知f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a2＋a －1＝a 2－1，依题意得a2－1＝3，解得a ＝8，符合题意．当a ＝2时，f (x )＝3|x ＋1|，其最小值为0，不符合题意． 当a <2时，－a2>－1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－a2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，得f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，因此－a2＋1＝3，解得a ＝－4，符合题意．故选D.]2．(2017·金华十校一联)已知f (x )＝a |x －2|，若f (x )<x 恒成立，则a 的取值范围为( )A ．a ≤－1B ．－2<a <0C ．0<a <2D ．a ≥1A [依题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －，x ≥2，a －x ，x <2，易知当a ≥0时，f (x )<x 不恒成立，故a <0.在同一直角坐标系中作出y ＝f (x )与y ＝x 的图象如图所示，观察可知f (x )<x ⇔－a ≥1，即a ≤－1，故选A.]3．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( ) A ．[－5,7]B ．[－4,6]C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)D [|x －5|＋|x ＋3|表示数轴上的点到－3,5的距离之和，则不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是(－∞，－4]∪[6，＋∞)．]4．不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4)D ．(1,5)A [①当x <1时，原不等式等价于1－x －(5－x )<2，即－4<2， ∴x <1.②当1≤x ≤5时，原不等式等价于x －1－(5－x )<2，即x <4， ∴1≤x <4.③当x >5时，原不等式等价于x －1－(x －5)<2，即4<2，无解． 综合①②③知x <4.]5．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C [|x －1|＋|x |≥1，当且仅当0≤x ≤1时等号成立；|y －1|＋|y ＋1|≥2，当且仅当－1≤y ≤1时等号成立．故|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.]二、填空题6．(2017·舟山调研)不等式|2－x |＋|x ＋1|≤a 对任意x ∈[－2,1]恒成立，则实数a 的取值范围为________．[5，＋∞) [令f (x )＝|2－x |＋|x ＋1|，x ∈[－2,1]，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，－2≤x ≤－1，3，－1<x ≤1，可知f (x )的最大值为5，所以a ≥5.]7．(2017·宁波质检)已知不等式|x ＋2|＋|x |≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：51062196】[2，＋∞) [|x ＋2|＋|x |≥|x ＋2－x |＝2，a ≥|x ＋2|＋|x |有解，即a ≥(|x ＋2|＋|x |)min ，∴a ≥2.]8．(2017·金华十校联考)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．(－∞，0)∪{2} [当a <0时，显然成立；当a >0时，∵|x ＋1|＋|x －3|的最小值为4， ∴a ＋4a≤4.∴a ＝2.综上可知a ∈(－∞，0)∪{2}．] 三、解答题9．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1.[解] (1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1， 得1≤x ≤2，3分∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.6分(2)证明：若|x －a |＜1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1.14分 10．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}.4分(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|(2x －a )＋(1－2x )|＋a ＝|1－a |＋a ，6分当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3. ①8分当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).10分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0,1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0,1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12πD.18B [当x ＝y 时，|f (x )－f (y )|＝0.当x ≠y 时，若|x －y |≤12，依题意有|f (x )－f (y )|<12|x －y |≤14；若|x －y |>12，不妨设x <y ，依题意有|f (x )－f (y )|＝|f (x )－f (0)＋f (1)－f (y )|≤|f (x )－f (0)|＋|f (1)－f (y )|<12|x －0|＋12|1－y |＝12－12(y －x )，又y －x >12，∴|f (x )－f (y )|<12－12×12＝14.综上所述，对所有x ，y ∈[0,1]，都有|f (x )－f (y )|<14.因此，k ≥14，即k 的最小值为14，故选B.]2．(2017·绍兴调研)对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a ||x －1|恒成立，则实数x 的取值范围是________. 【导学号：51062197】－1≤x ≤3 [因为a ≠0，所以不等式等价于|x －1|≤|a ＋b |＋|a －b ||a |恒成立，则|x －1|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋b |＋|a －b ||a |min，又|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|2a ||a |＝2，∴|x －1|≤2，∴－1≤x ≤3.]3．已知a >0，b ∈R ，函数f (x )＝4ax 3－2bx －a ＋b . (1)证明：当0≤x ≤1时，①函数f (x )的最大值为|2a －b |＋a ；②f (x )＋|2a －b |＋a ≥0.(2)若－1≤f (x )≤1对x ∈[0,1]恒成立，求a ＋b 的取值范围． [解] (1)证明：①f ′(x )＝12ax 2－2b ＝12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－b 6a .1分当b ≤0时，有f ′(x )≥0，此时f (x )在[0，＋∞)上单调递增． 当b >0时，f ′(x )＝12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 6a ，此时f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 6a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫b 6a ，＋∞上单调递增． 所以当0≤x ≤1时，f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{－a ＋b,3a －b }＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ，b ≤2a ，－a ＋b ，b >2a＝|2a －b |＋a .3分②由于0≤x ≤1，故当b ≤2a 时，f (x )＋|2a －b |＋a ＝f (x )＋3a －b ＝4ax 3－2bx ＋2a ≥4ax 3－4ax ＋2a ＝2a (2x 3－2x ＋1)．当b >2a 时，f (x )＋|2a －b |＋a ＝f (x )－a ＋b ＝4ax 3＋2b (1－x )－2a >4ax 3＋4a (1－x )－2a ＝2a (2x 3－2x ＋1)．设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1， 则g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33，于是g ′(x )，g (x )随x 的变化情况如下表：所以当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1>0.7分 故f (x )＋|2a －b |＋a ≥2a (2x 3－2x ＋1)≥0.8分 (2)由①知，当0≤x ≤1，f (x )max ＝|2a －b |＋a ， 所以|2a －b |＋a ≤1.若|2a －b |＋a ≤1，则由②知f (x )≥－(|2a －b |＋a )≥－1.所以－1≤f (x )≤1对任意0≤x ≤1恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|2a －b |＋a ≤1，a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥0，3a －b ≤1，a >0或⎩⎪⎨⎪⎧2a －b <0，b －a ≤1， a >0.12分在直角坐标系aOb中，(*)所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC.作一组平行直线a＋b＝t(t∈R)，得－1<a＋b≤3，所以a＋b的取值范围是(－1,3].15分。