第三讲__排序不等式讲解

第三讲 柯西不等式与排序不等式考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，但也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题．真题体验1．(2017·江苏高考)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8.证明：由柯西不等式可得：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16， 所以(ac ＋bd )2≤64， 因此ac ＋bd ≤8.2．(2015·陕西高考)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解：(1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t ≤ [(3)2＋12][(4－t)2＋(t)2] ＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t)max ＝4.柯西不等式的一般形式为(a 21＋a 2＋…＋a 2n )(b 21＋b 2＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n )2(a i ，b i ∈R ，i ＝1，2，…，n )，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解．[例1] 已知a ，b 为正实数，a ＋b ＝1，x 1，x 2为正实数． (1)求x1a ＋x2b ＋2x1x2的最小值；(2)求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.[解] (1)∵a ，b 为正实数，a ＋b ＝1，x 1，x 2为正实数， ∴x1a ＋x2b ＋2x1x2≥33x1a ·x2b ·2x1x2＝332ab ≥ 332⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝6，当且仅当x1a ＝x2b ＝2x1x2，a ＝b ，即a ＝b ＝12，且x 1＝x 2＝1时，x1a ＋x2b ＋2x1x2有最小值6.(2)证明：∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，x 1，x 2为正实数， ∴(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax1)2＋(bx2)2][(ax2)2＋(bx1)2]≥(a2x1x2＋b2x1x2)2＝x 1x 2(a ＋b )2＝x 1x 2，当且仅当x 1＝x 2时取等号.排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排列与其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷．[例2] 在△ABC 中，试证：π3≤aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.[证明] 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ，aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .以上三式相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3，①又由0＜b ＋c －a,0＜a ＋b －c,0＜a ＋c －b ，有 0＜A (b ＋c －a )＋C (a ＋b －c )＋B (a ＋c －b ) ＝a (B ＋C －A )＋b (A ＋C －B )＋c (A ＋B －C ) ＝a (π－2A )＋b (π－2B )＋c (π－2C ) ＝(a ＋b ＋c )π－2(aA ＋bB ＋cC )． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.②由①②得原不等式成立.有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的限定．其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．[例3] 已知5a 2＋3b 2＝158，求a 2＋2ab ＋b 2的最大值．[解] ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332[(5a )2＋(3b )2] ≥⎝⎛⎭⎪⎫55×5a ＋33×3b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，当且仅当5a ＝3b 即a ＝38，b ＝58时取等号．∴a 2＋2ab ＋b 2≤815×(5a 2＋3b 2)＝815×158＝1.∴a 2＋2ab ＋b 2的最大值为1. [例4] 已知a ＋b ＋c ＝1.(1)求S ＝2a 2＋3b 2＋c 2的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值； (2)若2a 2＋3b 2＋c 2＝1，求c 的取值范围． [解] (1)根据柯西不等式，得1＝a ＋b ＋c ＝12·2a ＋13·3b ＋1·c≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋112(2a 2＋3b 2＋c 2)12＝116·S ， 即116·S ≥1，∴S ≥611，当且仅当a ＝311， b ＝211，c ＝611时等号成立，∴当a ＝311，b ＝211，c ＝611时，S min ＝611.(2)由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1－c ，2a2＋3b2＝1－c2，根据柯西不等式，得(a ＋b )2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132[(2a )2＋(3b )2]＝56×(2a 2＋3b 2)，∴(1－c )2≤56·(1－c 2)，解得111≤c ≤1.∴c 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤111，1.(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝16，则1a ＋1b 的最小值是( )A.14 B.18 C.116D.12解析：选A (a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b 2＝4，∴1a ＋1b ≥14.当且仅当a ·1b ＝b ×1a ，即a ＝b ＝8时取等号．2．已知x ＋3y ＋5z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为( ) A.65 B.635C.3635D ．6解析：选C 由柯西不等式，得x 2＋y 2＋z 2＝(12＋32＋52)(x 2＋y 2＋z 2)×112＋32＋52≥(x＋3y ＋5z )2×135＝62×135＝3635，当且仅当x ＝y 3＝z 5时等号成立．3．已知a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝32，则a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2的最小值为( )A ．4B ．4 2C ．6D ．6 2解析：选C ∵a ，b ，c 为正数．∴ 2 a2＋b2＝1＋1 a2＋b2≥a ＋b . 同理 2 b2＋c2≥b ＋c ， 2 c2＋a2≥c ＋a ，相加得 2 (a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2)≥2(b ＋c ＋a )＝62， 即a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝2时取等号． 4．设a ，b ，c 均大于0，a 2＋b 2＋c 2＝3，则ab ＋bc ＋ca 的最大值为( ) A ．0B ．1C ．3D.333解析：选C 设a ≥b ≥c ＞0，由排序不等式得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，所以ab ＋bc ＋ca ≤3，故选C.5．已知a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c 的最小值为( )A ．1 B. 3 C ．3D ．4解析：选D (a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c＝[(a ＋b)2＋(c)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ·1a ＋b ＋c ·1c 2＝22＝4.当且仅当a ＋b ＝c 时取等号．6．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4，则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．21 B ．11 C ．18D ．28解析：选A 根据柯西不等式得[(x －1)2＋(y －2)2][32＋42]≥[3(x －1)＋4(y －2)]2＝(3x ＋4y －11)2，∴(3x ＋4y －11)2≤100.可得3x ＋4y ≤21，当且仅当x －13＝y －24＝25时取等号． 7．设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是( ) A. 5 B. 3C ．2 3 D.32解析：选B ∵1＝a ＋b ＋4c ＝(a)2＋(b)2＋(2c)2＝13[(a)2＋(b)2＋(2c)2]·(12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋2c)2·13，∴(a ＋b ＋2c)2≤3，当且仅当a ＝b ＝4c 时等式成立，故a ＋b ＋2c 的最大值为 3.8．函数f (x )＝1－cos 2x ＋cos x ，则f (x )的最大值是( ) A. 3 B. 2 C ．1D ．2解析：选A 因为f (x )＝1－cos 2x ＋cos x ，。

三 排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，称a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n 为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又称为排序不等式) 设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则有a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n .排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．[点睛] 排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．[例a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c. [思路点拨] 分析题目中已明确a ≥b ≥c ，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．[证明] ∵a ≥b >0，于是1a ≤1b，又c >0，从而1bc ≥1ca，同理1ca ≥1ab ，从而1bc ≥1ca ≥1ab.又由于顺序和不小于乱序和，故可得a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3⎝⎛⎭⎪⎫∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3≥c 2c 3＋a 2a 3＋b 2b 3＝1c ＋1a ＋1b ＝1a ＋1b ＋1c. ∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α>12(sin2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明：∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0. ∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α >sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ ＝12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 2．设x ≥1，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n. 证明：∵x ≥1，∴1≤x ≤x 2≤…≤x n. 由排序原理得12＋x 2＋x 4＋…＋x 2n≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n≥(n ＋1)x n.①又因为x ，x 2，…，x n,1为1，x ，x 2，…，x n的一个排列， 由排序原理得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n·1≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，即x ＋x 3＋…＋x2n －1＋x n≥(n ＋1)x n.②将①②相加得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n.a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10. [思路点拨] 本题考查排序不等式的应用，解答本题需要搞清：题目中没有给出a ，b ，c 三个数的大小顺序，且a ，b ，c 在不等式中的“地位”是对等的，故可以设a ≥b ≥c ，再利用排序不等式加以证明．[证明] 由对称性，不妨设 a ≥b ≥c ，于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab，故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ca ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a.① 又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c.再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得a 11a ＋b 11b ＋c 11c ≤a 11b ＋b 11c ＋c 11a.② 所以由①②得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .证明：由题意不妨设a ≥b ≥c ＞0，由不等式的单调性，知ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a .由排序不等式，知ab ×1c ＋ac ×1b＋bc ×1a≥ab ×1b ＋ac ×1a ＋bc ×1c＝a ＋c ＋b ，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .4．设a 1，a 2，a 3为正数，求证：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3. 证明：不妨设 a 1≥a 2≥a 3>0，于是 1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2，由排序不等式：顺序和≥乱序和得a 1a 2a 3＋a 3a 1a 2＋a 2a 3a 1≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2 ＝a 3＋a 1＋a 2. 即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3.1．有两组数：1,2,3与10,15,20，它们的顺序和、反序和分别是( ) A ．100,85 B ．100,80 C ．95,80D ．95,85解析：选B 由顺序和与反序和的定义可知顺序和为100，反序和为80. 2．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12解析：选A 因为0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，所以由排序不等式可知a 1b 1＋a 2b 2最大． 3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定 解析：选C 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ＝R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )] ＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c2.4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花( )A ．76元B ．20元C ．84元D ．96元解析：选A 设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.答案：32 286．设正实数a 1，a 2，…，a n 的任一排列为 a 1′，a 2′，…，a n ′，则a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a na n ′的最小值为________．解析：不妨设0<a 1≤a 2≤a 3…≤a n ， 则1a 1≥1a 2≥…≥1a n.其反序和为a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a n a n＝n ， 则由乱序和不小于反序和知a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a n a n ′≥a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a na n＝n ， ∴a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a na n ′的最小值为n . 答案：n7．设a 1，a 2，a 3，a 4是1,2,3,4的一个排序，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的取值范围是________． 解析：a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的最大值为12＋22＋32＋42＝30，最小值为1×4＋2×3＋3×2＋4×1＝20，∴a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的取值范围是[20,30]． 答案：[20,30]8．设a ，b ，c 是正实数，用排序不等式证明a a b b c c≥(abc )a ＋b ＋c3.证明：由所证不等式的对称性，不妨设a ≥b ≥c >0， 则lg a ≥lg b ≥lg c ，据排序不等式有：a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ， a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c ，以上两式相加，再两边同加a lg a ＋b lg b ＋c lg c ，整理得 3(a lg a ＋b lg b ＋c lg c )≥(a ＋b ＋c )(lg a ＋lg b ＋lg c )， 即lg(a a b b c c)≥a ＋b ＋c3·lg(abc )， 故a a b b c c≥(abc )a ＋b ＋c3.9．某学校举行投篮比赛，按规则每个班级派三人参赛，第一人投m 分钟，第二人投n分钟，第三人投p 分钟，某班级三名运动员A ，B ，C 每分钟能投进的次数分别为a ，b ，c ，已知m ＞n ＞p ，a ＞b ＞c ，如何派三人上场能取得最佳成绩？解：∵m ＞n ＞p ，a ＞b ＞c ， 且由排序不等式知顺序和为最大值， ∴最大值为ma ＋nb ＋pc ，此时分数最高， ∴三人上场顺序是A 第一，B 第二，C 第三． 10．已知0<a ≤b ≤c ，求证：c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a.证明：因为0<a ≤b ≤c ，所以0<a ＋b ≤c ＋a ≤b ＋c ， 所以1a ＋b ≥1c ＋a ≥1b ＋c>0， 又0<a 2≤b 2≤c 2， 所以c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c是顺序和，a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a是乱序和，由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和， 即不等式c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a成立．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

第三讲柯西不等式与排序不等式3.3 排序不等式A级基础巩固一、选择题1．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则a1a1′＋a2a2′＋a3a3′的最小值为( )A．3 B．6C．9 D．12解析：a1≥a2≥a3＞0，则1a3≥1a2≥1a1＞0，由乱序和不小于反序和知，所以a1a1′＋a2a2′＋a3a3′≥a1a1＋a2a2＋a3a3＝3，所以a1a1′＋a2a2′＋a3a3′的最小值为3，故选A.答案：A2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( )A．420 元B．400 元C．450 元D．570 元解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．答案：A3．设a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M与N的大小关系是( )A．M≥N B．M＝NC．M＜N D．M＞N解析：不妨设a≥b≥c＞0，则a4≥b4≥c4，运用排序不等式有：a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥ac4＋ba4＋cb4，又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即M≥N.答案：A4．已知a，b，c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则a b＋b c＋c a的最大值是( ) A．1 B．2C．3 D.3 3解析：设a≥b≥c≥0，所以 a ≥ b ≥ c.由排序不等式可得a b＋b c＋c a≤a a＋b b＋c c.而(a a＋b b＋c c)2≤(a a)2＋(b b)2＋(c c)2](1＋1＋1)＝9，即a a＋b b＋c c≤3.所以a b＋b c＋c a≤3.答案：C5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.答案：B二、填空题6．设a1，a2，…，a n为实数，b1，b2，…，b n是a1，a2，…，a n的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋a n b n不小于________．答案：a1a n＋a2a n－1＋…＋a n a17．已知a，b，c都是正数，则ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥________．。

第三讲 柯西不等式与排序不等式2．熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明;．会应用柯西不等式解决函数最值，方程、不等式等的一些问题一、课前准备 知识情景：1. 柯西主要贡献简介： 柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2．如果,a b R ∈, 那么222a b a b +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立. 当0,0a b >>时，由222a b a b +≥⇒基本不等式： 二、新课导学（一）二维形式的柯西不等式1. 柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d a c b d +++.当且仅当 时, 等号成立.此即二维形式的柯西不等式. 证法1.（综合法）222222222222()()a b c d a c a db c b d++=+++222()()()a c b d =++当且仅当 时, 等号成立.证法2.（构造法）分析：22222()()()a c b d a b c d +++⇐22222[2()]4()()0a c b d a b c d +-++而22222[2()]4()()a c b d a b c d +-++的结构特征 那么， 证：设22222()()2()f x a b x a c b d x c d =+-+++， ∵ 22()()()f x a x c b x d =-+- 0 恒成立.∴ . 得证. 证法3.（柯西不等式的向量形式） 设向量(,)ma b =，(,)n c d =， 则||m =，||n =.∵ m n⋅=，且><⋅⋅=⋅n m n m n m ,cos ||||，有||||||n m n m ⋅⋅.∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式：变式1.若,,,a b c d R ∈，则_a c b d +_a c b d +；变式2.若,,,a b c d R ∈；变式3. （三角不等式）若1122,,,x y x y R∈推论：若123123,,,,,x x x y y y R ∈，则≥3. 二维柯西不等式的应用：例1．（1）已知,a b 为实数，求证： 4422332()()()a b a b a b ++≥+ （2）设,,1a b R a b +∈+=，求证：114ab+≥例2．（1）求函数y =（2）若231x y +=，求2249x y +的最小值，并求最小值点。