七年级数学下册1_6完全平方公式导学案新版北师大版
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北师大版七下数学1.6完全平方公式(1)教学设计一. 教材分析北师大版七下数学1.6完全平方公式是初中数学的重要内容,主要介绍了完全平方公式的概念、推导过程及其应用。
本节课的内容是学生进一步学习二次函数、解一元二次方程等知识的基础,对于学生形成完整的数学知识体系具有重要意义。
二. 学情分析学生在六年级已经学习了有理数的乘方,对幂的运算有一定的了解。
但是,对于完全平方公式的推导过程和应用,大部分学生可能还比较陌生。
此外,学生的数学思维能力、自主学习能力、合作能力等方面存在差异,因此在教学过程中需要关注学生的个体差异,因材施教。
三. 教学目标1.知识与技能:理解完全平方公式的概念,掌握完全平方公式的推导过程,能够运用完全平方公式进行简单的计算和问题解决。
2.过程与方法:通过自主学习、合作交流等方法,提高学生的问题解决能力,培养学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣,培养学生的自主学习意识,使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.教学重点:完全平方公式的概念、推导过程及其应用。
2.教学难点:完全平方公式的推导过程,以及如何运用完全平方公式解决实际问题。
五. 教学方法1.自主学习法:引导学生自主探究完全平方公式的推导过程,培养学生的自主学习能力。
2.合作交流法:学生进行小组讨论,分享学习心得,提高学生的合作能力。
3.实例讲解法:通过具体例子,讲解完全平方公式的应用,帮助学生理解和掌握知识。
六. 教学准备1.教学课件:制作课件,展示完全平方公式的推导过程和应用实例。
2.练习题:准备一些有关完全平方公式的练习题,用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用课件展示一个生活中的实例,如一个正方形的面积如何计算,引出完全平方公式的概念。
2.呈现(15分钟)展示完全平方公式的推导过程,引导学生理解并掌握公式。
3.操练(10分钟)让学生独立完成一些有关完全平方公式的练习题,检验学生对知识的掌握情况。
第一章整式的乘除1.6 完全平方公式第1课时完全平方公式的认识学习目标:1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点;(重点)2.会运用公式进行简单的运算;(难点)一、复习导入1. 由下面的两个图形你能得到哪个公式?2.公式的结构特点:一、要点探究知识点一:完全平方公式合作探究观察下列算式及其运算结果,你有什么发现?(1) (m + 3)2= (m + 3)(m + 3)(2) (2 + 3x)2= (2 + 3x)(2 + 3x)发现:你能根据图中的面积解释完全平方公式吗?和的完全平方公式:议一议(a-b)2 = ?你是怎样做的?做一做(a-b)2 = a2-2ab + b2请你设计一个图形解释这一公式.知识要点完全平方公式例1 利用完全平方公式计算:(1) (2x-3)2;(2) (4x+5y)2;(3) (mn-a)2.练一练1.利用完全平方公式计算:(1) (5-a)2;(2) (-3m-4n)2;(3) (-3a+b)2.想一想思考:(a + b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?例2 如果36x2+(m+1)xy+25y2是一个完全平方式,求m的值.1.下面各式的计算是否正确?如果不正确,结果应当怎样改正?(1) (x + y)2 = x2 + y2;(2) (x-y)2 = x2-y2;(3) (-x + y)2 = x2 + 2xy + y2;(4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2.2. 运用完全平方公式计算:(1) (6a + 5b)2;(2) (4x-3y)2;(3) (2m-1)2;(4) (-2m-1)2.参考答案一、创设情境,导入新知1. 平方差公式:(a + b)(a-b) = a2-b22.公式的结构特点:左边是两个二项式的乘积,即两数和与这两数差的积;右边是两数的平方差.二、要点探究知识点一:完全平方公式合作探究观察下列算式及其运算结果,你有什么发现?(1) (m + 3)2= (m + 3)(m + 3)= m2 + 3m + 3m + 9= m2 + 2×3m + 9= m2 + 6m + 9.(2) (2 + 3x)2= (2 + 3x)(2 + 3x)= 22 + 2×3x + 2×3x + 9x2= 4 + 2×2×3x + 9x2= 4 + 12x + 9x2.发现:(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 .想一想:你能根据图中的面积解释完全平方公式吗?和的完全平方公式:(a+b)2 = a2 + 2ab + b2议一议(a-b)2 = ?你是怎样做的?答案:(1) (a-b)2 = (a-b)(a-b)= a2-2ab+b2(2) (a-b)2 = [a+(-b)]2= a2+2a(-b)+(-b)2= a2-2ab+b2发现:(a-b)2 = a2-2ab + b2.做一做(a-b)2 = a2-2ab + b2请你设计一个图形解释这一公式.(a − b)2 = a2−ab−b(a−b) = a2-2ab + b2知识要点完全平方公式(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .(a − b)2 = a2 − 2ab + b2.两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的 2 倍.这两个公式叫做完全平方公式.简记为:“首平方,尾平方,积的2 倍放中间”公式特征:1. 积为二次三项式;2. 积中的两项为两数的平方;3. 另一项是两数积的2 倍,且与原式中间的符号相同;4. 公式中的字母a,b可以表示数、单项式和多项式.典例精析例1 利用完全平方公式计算:(1) (2x-3)2;(2) (4x+5y)2;(3) (mn-a)2.解:(2x-3)2 = (2x)2-2•(2x)•3+ 32=4x2-12x+ 9;(2) (4x+5y)2 = (4x)2+2•(4x)•5y+(5y)2= 16x2+40xy+25y2;(3) (mn-a)2 = (mn)2-2•mn•a+a2= m2n2-2amn+a2.练一练1.利用完全平方公式计算:(1) (5-a)2;(2) (-3m-4n)2;(3) (-3a+b)2.解:(1) (5-a)2=25-10a+a2.(2) (-3m-4n)2=9m2+24mn+16n2.(3) (-3a+b)2=9a2-6ab+b2.想一想思考:(a + b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?解:(-a-b)2 = (-a)2-2·(-a)·b + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.(b-a)2 = b2-2ba + a2 = a2-2ab + b2 = (a-b)2.(a-b)2与a2-b2不一定相等,只有当b = 0 或a = b时,(a-b)2 = a2-b2.例2 如果36x2+(m+1)xy+25y2是一个完全平方式,求m的值.解:∵36x2+(m+1)xy+25y2=(±6x)2+(m+1)xy+(±5y)2,∴(m+1)xy=±2 ·6x·5y.∴m+1=±60.∴m=59或-61.当堂小结当堂检测1.下面各式的计算是否正确?如果不正确,结果应当怎样改正?(1) (x + y)2 = x2 + y2;(2) (x-y)2 = x2-y2;(3) (-x + y)2 = x2 + 2xy + y2;(4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2.答案:(1) ×,x2 + 2xy + y2;(2)×,x2-2xy + y2;(3)×,x2-2xy + y2;(4) ×,4x2 + 4xy + y2;2. 运用完全平方公式计算:(1) (6a + 5b)2;(2) (4x-3y)2;(3) (2m-1)2;(4) (-2m-1)2.答案:(1) 原式= 36a2 + 60ab + 25b2;(2)原式= = 16x2-24xy + 9y2;(3)原式= 4m2-4m + 1 ;(4) 原式= 4m2 + 4m + 1.。
1.6完全平方公式(一)教学目标:1.经历探索完全平方公式的过程,并从完全平方公式的推导过程中,培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力,发展逻辑推理能力和有条理的表达能力。
2.体会公式的发现和推导过程,理解公式的本质,从不同的层次上理解完全平方公式,并会运用公式进行简单的计算。
3.了解完全平方公式的几何背景,培养学生的数形结合意识。
4.在学习中使学生体会学习数学的乐趣,培养学习数学的信心,感爱数学的内在美。
教学重点:1.弄清完全平方公式的来源及其结构特点,用自己的语言说明公式及其特点;2.会用完全平方公式进行运算。
教学难点:会用完全平方公式进行运算 教学方法:探索讨论、归纳总结。
教学过程:一、回顾与思考活动内容:复习已学过的平方差公式1.平方差公式:(a+b )(a-b )=a 2-b 2;公式的结构特点:左边是两个二项式的乘积,即两数和与这两数差的积。
右边是两数的平方差。
2.应用平方差公式的注意事项:弄清在什么情况下才能使用平方差公式。
二、情境引入活动内容:提出问题:一块边长为a 米的正方形实验田,由于效益比较高,所以要扩大农田,将其边长增加b 米,形成四块实验田,以种植不同的新品种(如图)。
用不同的形式表示实验田的总面积,并进行比较。
三、初识完全平方公式活动内容:1.通过多项式的乘法法则来验证(a+b)2=a 2+2ab+b 2的正确性。
并利用两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式:(a-b)2=a 2-2ab+b 2。
2.引导学生利用几何图形来验证两数差的完全平方公式。
3.分析完全平方公式的结构特点,并用语言来描述完全平方公式。
结构特点:左边是二项式(两数和(差))的平方;右边是两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍。
语言描述:两数和(或差)的平方,等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的两倍。
四、再识完全平方公式活动内容: 例1 用完全平方公式计算:(1) (2x−3)2 (2) (4x+5y)2 (3) (mn−a)2 (4) (-1-2x)2 (5) (-2x+1)22.总结口诀:首平方,尾平方,两倍乘积放,加减看前方,同加异减。
1广东省化州市实验中学七年级数学下册《1.6完全平方公式(第一课时)》学案(新版) 北师大版姓名_____________班别____________学习目的:1、理解并掌握完全平方公式2、灵活运用完全平方公式计算3、了解完全平方公式的几何意义学习重点和难点:重点是学习目的1和2 难点是学习目的3学习过程:一、复习:1、多项式与多项式相乘法则。
2、平方差公式。
3、计算 (1)2)3(+x (2)2)32(x +问,从这两道题的计算中,你发现了什么?________________)(2=+b a请同学们用语言叙述上述公式___________________________________________请同学们用如图1解释2222)(b ab a b a ++=+从2222)(b ab a b a ++=+怎样计算?b a 呢2)(-____________)(2=-b a2 请同学们用语言叙述上述公式__________________________________________请同学们用图2解释2222)(b ab a b a +-=-上面两个公式称为完全平方公式二、例题例1、利用完全平方公式计算:(1)2)32(-x (2)2)54(+x (3)2)6(-mn三、课堂检测 1、计算2)(b a --等于( )A 、22b a +B 、22b a -C 、222b ab a ++D 、222b ab a +-2、下列计算结果是222b a ab --的是( )A 、2)(b a -B 、2)(b a --C 、2)(b a +-D 、2)(b a +3、如果,7)1(2=-x x 则221xx +等于( ) A 、9 B 、5 C 、49 D 、8 4、代数式2)(10y x -+的最小值是____________,当取最小值时,的关系是与y x __________5、已知___________,2,10)(222=+==-b a ab b a 则且6、化简(1)2)3(b a + (2)22)212(y x - (3)2)(n m --(4)))((c b c b --+ (5)22)2()2(b a b a ++-3四、小结五、课后作业1、已知求,24,10==+ab b a (1)22b a + (2)2)(b a -2、若的值试求222,0)6(5y x xy y x +=-+-+。
课题: 1.6完全平方公式 第 2 课时第 周( 年 月 日)1.经历探索完全平方公式的过程,进一步发展符号意识和推理能力。
2.会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的计算。
3.了解222(a b)2a ab b +=++的几何背景,发展几何直观。
掌握完全平方公式,能进行简单的运算。
平方公式的运用。
:、__自主学习___: 11.平方差公式:()()_______________=-+b a b a ;完全平方公式: ()2b a += ________________; ()2b a -= ___________________; 2.计算:(1)()=-232b a ____________;(2)()()=---1313x x ____________; * 公式中的字母b a ,既可以表示一个______,又可以表示一个_______________。
3.阅读课本P43-P44,并完成下列问题:一位老人很喜欢孩子,每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们。
如果来1个孩子,老人就给这个孩子1块糖果;如果来2个孩子,老人就给每个孩子2块糖果;如果来3个孩子,老人就给每个孩子3块糖果……(1) 第一天有a 个男孩一起去了老人家,老人一共给了这些孩子_______块糖;(2) 第二天有b 个女孩一起去了老人家,老人一共给了这些孩子_______块糖;(3) 第三天这()b a +个孩子一起去看老人,老人一共给了这些孩子_________块糖;补充与完善(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多?多多少?1.运用公式计算:(1)2203(2)22199201-2.计算:(1)()()()()4122-+-+-xxxx(2)abbaba4)()(22---+1.已知x+y=4,xy=2,则的值为_________,的值为_________. 的值为__________.变式:已知a-b=5,ab=1,则的值为( )(A)25 (B)27 (C)29 (D)312.已知x=y+4,则代数式的值为_____.3.计算:(1)()()1212--+-yxyx (2) ()()()22yxyxyx-+-(3)22213213⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛+aa (4)()()()()222yxyxyxyx-+-+-+4.多项式加上一个单项式后,整体可以写成一个整式的平方的形式,那么加上的单项式可以是____________________.1. 的计算结果为()A.1B.-1C.2D.-22)(yx+22yx+()2yx-()2ba+25222-+-yxyx142+x2201920182020-⨯2.已知a+b=5,ab=-6,求下列各式的值:(1) =________ ; =__________(2)若a-b=5,ab=-6,则的值为___________.3.已知,,则; .4.计算(1)(2)(3)1.计算:(1)()()()1112++-aaa(2)()()()yxyxyx2422+---(3)223232⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-xx(4)2.化简求值:22)1(2)1)(1(5)1(3-+-+-+mmmm,其中5-=m;3.已知41=+xx,求下列各式的值(1)22-+xx(2)21⎪⎭⎫⎝⎛-xx()2ba+22ba+22ba+()72=+ba()32=-ba________22=+ba_______=ab()()33-+--baba()()2222yxyx+-22.100()()22baba-+。
新北师大版七年级数学下册第一章《完全平方公式》导学案第课时课题名称时间第周星期课型新授课主备课人目标1.经历探索完全平方公式的过程,进一步发展学生的符号意识和推理能力。
2.会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的计算。
3.了解2222)(bababa++=+的几何背景,发展几何直观。
重点理解完全平方公式的推导过程,能用公式进行计算。
二次备课难点分清公式结构,会用完全平方公式进行运算。
自主学习1.运用整式的乘法进行计算:(1)2)3(+m= ;(2)2)32(x+= ;2.等式两边的结构有什么特点?3.在书上勾画出完全平方公式(1),并用自己的语言描述这一公式。
4.阅读P23“想一想”,回答下列问题:(1)图1—7中大正方形的边长为,大正方形的面积为;(2)大正方形被分隔成个图形,它们的面积之和为;(3)它们的面积相等吗?用式子表示出来。
5.阅读课本P23“议一议”,讨论两位同学分别用了什么方法?得到的完全平方公式(2)的结构特征是什么?在书上勾画出来,并用自己的语言描述这一公式。
问题生成记录:精讲互动1.交流自主学习结果。
2.课本P24例1(引导学生分析并板演第1、2小题)练习:利用完全平方公式计算:(1)2)(amn- (2)2)(yx+- (3)2)(yx--3.利用完全平方公式计算:(1)22(4)16x x+-(2)22)(3)(2nmnm--+。
1.6完全平方公式
预习案
一、学习目标
1.探索完全平方公式的运算过程,发展合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力。
2.正确地运用完全平方公式进行简单的运算并能解决一些实际问题。
3.会用几何图形说明公式的意义,体会数形结合的思想方法。
二、预习内容
1.阅读课本第23-27页
2.完全平方公式运算法则:两数和(或差)的平方,等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的两倍.
3. 完全平方公式:
4.口诀:首平方,尾平方,两倍乘积放中央(加减看前方,同号加异号减)。
3.平方差公式运算巩固练习: (1).。
(2).。
(3).。
三、预习检测
1、下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 (1)()()c a b a ++ (2)()()x y y x +-+
(3)()()ab x x ab +--33 (4)()()n m n m +--
2.运用完全平方公式计算:
(1)2(4)m n + (2)21()2y - (3)99
2
3.若22)2(4+=++x k x x ,则k =
4. 计算(x-y ) 2-(y +2x )( y -2x ).
探究案
一、合作探究(9分钟),要求各小组组长组织成员进行合作探究、讨论。
探究:完全平方公式推导过程:
2、结合图形,理解公式,与同学交流。
根据图形完成下列问题:
如图:A 、B 两图均为正方形,
(1)图A 中正方形的面积为____________,(用代数式表示)
图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为_______________________。
由此可以得到等式: (2)图B 中,正方形的面积为____________________,
Ⅲ的面积为______________,
Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积和为____________, 用B 、Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积表示Ⅲ的面积_________________。
3、归纳完全平方公式:
(a+b )2= (a-b) 2=
思考:你列出的算式是什么运算?
4、探究规律:
(1). =+2)32(x
( ) ( ) ( )。
(2). =-2)3(b a ( ) ( ) ( )。
3、仿照计算,寻找规律
① (2
1a -b ) 2 =( ) ( ) ( )。
② (x+2a 2)2 =( ) ( ) ( )。
○
3 492
=( )=( ) ( ) ( )。
小结:完全平方和公式运算法则:两数和(或差)的平方,等于它们的 平方和 ,加上(或减去)它们的 积的两倍 。
二、小组展示(7分钟)
每小组口头或利用投影仪展示, 一个小组展示时,其他组要积极思考,勇于挑错,谁挑出错误或提出有价值的疑问,给谁的小组加分(或奖星)
交流内容
展示小组(随机) 点评小组(随机) ____________
第______组 第______组 ____________ 第______组 第______组
三、归纳总结
本节课学习了完全平方公式,通过观察、对比、推断、交流、归纳等方式.重点学习完全平方公式,并能够正确地运用完全平方公式进行整式的乘法的有关运算,解决了生活和数学中的一些简单问题。
(要求:将本节课的知识和解决问题的方法梳理一下)
四、课堂达标检测
1.下列运算正确的是 ( )
A.a3+ a2=2 a5 B.(-2 a3)2=4 a6
C. (a+b)2=a2+b2 D.a6÷a2=a3
2.指出下列各式中的错误,并加以改正:
(1)
22
(21)221
a a a
-=-+
(2)
22
(21)41
a a
+=+
(3)
22
(1)21
a a a
--=---
3.用完全平方公式计算:
(1)(2x+3)2(2)(4x-5y)2(3)2)3
(-
+b
a
4.若是一个完全平方式,则m的值是__________
A、12
B、﹣12
C、±12
D、±6
五、学习反馈
本节课你学到了什么?有什么收获和体会?还有什么困惑?
参考答案
预习检测
1、(3)(4)
2、
3、4
4、计算:
课堂达标检测
1、B
2、
3、
4、C 解析:可能是完全平方和公式也有可能是完全平方差公式。