2018年高中数学 课时跟踪检测(八)生活中的优化问题举例 新人教A版选修2-2

ΔSi≈ΔSi′＝f ·Δx
＝ ·
＝ (i＝1,2，…，n)．
(3)求和：
Sn＝ ΔSi′＝，
从而得到S的近似值S≈Sn＝ .
(4)取极限：当n趋向于无穷大时，Sn越来越趋向于S，所以S＝ Sn＝ .
所以由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝ 围成的图形的面积S为 .
B组 能力提升
答案：C
2．求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t(t＞0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为( )
A.
B.
C.
D.
解析：在[0，t]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[0，t]等分成n个小区间，每个小区间长度均为 ，故第i－1个区间为 .
答案：D
x1，x2，…，xn－1，x0＝a，xn＝b，即x0＝a＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b，每个区间记为[xi－1，xi](i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：在每个小区间上任取一点，记为ξi(xi－1＜ξi＜xi)并记Δxi＝xi－xi－1.
以小区间长度Δxi为底，f(ξi)为高的小矩形面积f(ξi)Δxi，设小曲边梯形面积为ΔAi(i＝1,2，…，n)，
答案：8g
9．求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝ 围成的图形的面积S.
解析：(1)分割：将区间[1,2]等分成n个小区间，记第i个区间为 (i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝ － ＝ .每个小区间对应的小曲边梯形的面积记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形的和为S＝ ΔSi.
(2)近似代替：因为1＋ ＜ ＜1＋ ，所以可用f 近似代替函数在这个小区间上的函数值，则小曲边梯形的面积ΔSi可用以f 为高， 为底边长的小矩形的面积ΔSi′近似代替．即

课时跟踪检测（八） 生活中的优化问题举例层级一 学业水平达标1．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203C ．－1D ．－8解析：选C 瞬时变化率即为f ′(x )＝x 2－2x 为二次函数，且f ′(x )＝(x －1)2－1，又x ∈[0,5]，故x ＝1时，f ′(x )min ＝－1.2．把一段长为12 cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A.332cm 2B ．4 cm 2C ．3 2 cm 2D ．2 3 cm 2解析：选D 设一段为x ，则另一段为12－x (0＜x ＜12)，则S (x )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32×32＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 32×32＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 29－8x 3＋16，∴S ′(x )＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫49x －83.令S ′(x )＝0，得x ＝6， 当x ∈(0,6)时，S ′(x )＜0， 当x ∈(6,12)时，S ′(x )＞0， ∴当x ＝6时，S (x )最小． ∴S ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫2×19×62－83×6＋16＝23(cm 2)． 3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 20≤x ≤400，80 000x >400，则总利润最大时，每年生产的产品是( )A ．100B ．150C ．200D ．300解析：选 D 由题意，总成本为：C ＝20 000＋100x ，所以总利润为P ＝R －C ＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400，P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400，令P ′＝0，当0≤x ≤400时，得x ＝300；当x >400时，P ′<0恒成立，易知当x ＝300时，总利润最大．4．设正三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.4V B ．23V C.34VD.12V解析：选C 设底面边长为x ，则高为h ＝4V 3x2，∴S 表＝3×4V3x2×x ＋2×34x 2＝43V x ＋32x 2， ∴S 表′＝－43Vx2＋3x ，令S 表′＝0，得x ＝34V .经检验知，当x ＝34V 时，S 表取得最小值．5．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C.43R D.34R解析：选C 设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(h －R )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2，∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3，V ′＝43πRh －πh 2.令V ′＝0得h ＝43R . 当0<h <4R 3时，V ′>0；当4R 3<h <2R 时，V ′<0. 因此当h ＝43R 时，圆锥体积最大．故应选C.6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．解析：设甲地销售x 辆，则乙地销售(15－x )辆． 总利润L ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x ) ＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0)． 令L ′＝－0.3x ＋3.06＝0，得x ＝10.2.∴当x ＝10时，L 有最大值45.6. 答案：45.67．如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，0，点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，1－x 24，∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝－x 34＋x ，x ∈(0,2)．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍)，x 2＝23， ∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )＞0，f (x )是递增的，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )＜0，f (x )是递减的，当x ＝23时，f (x )取最大值439.答案：4398．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件．解析：设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知a ＝500x.总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)，y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，x ∈(0,25)时， y ′>0，x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时， y 取最大值．答案：259．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．解：(1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 4003x ＋52， 令f ′(x )＝0，即2 4003x ＋52＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0， 故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70. 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．10．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x 4x ＋32(x ∈N *)． (1)写出该厂的日盈利额T (元)用日产量x (件)表示的函数关系式； (2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？解：(1)由题意可知次品率p ＝日产次品数/日产量，每天生产x 件，次品数为xp ，正品数为x (1－p )．因为次品率p ＝3x4x ＋32，当每天生产x 件时， 有x ·3x 4x ＋32件次品，有x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32件正品．所以T ＝200x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x 4x ＋32 ＝25·64x －x 2x ＋8(x ∈N *)．(2)T ′＝－25·x ＋32·x －16x ＋82，由T ′＝0得x ＝16或x ＝－32(舍去)．当0<x ≤16时，T ′≥0；当x ≥16时，T ′≤0；所以当x ＝16时，T 最大．即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利．层级二 应试能力达标1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去)，当0＜x ＜9时，y ′＞0；当x ＞9时，y ′＜0. 所以当x ＝9时，y 取得最大值．2．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( ) A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2D.12πr 2解析：选A 设内接圆柱的底面半径为r 1，高为t ， 则S ＝2πr 1t ＝2πr 12r 2－r 21＝4πr 1r 2－r 21. ∴S ＝4πr 2r 21－r 41. 令(r 2r 21－r 41)′＝0得r 1＝22r . 此时S ＝4π·22r ·r 2－⎝⎛⎭⎪⎫22r 2＝4π·22r ·22r ＝2πr 2.3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，要使利润最大每件定价为( )A ．80元B ．85元C ．90元D ．95元解析：选B 设每件商品定价x 元，依题意可得 利润为L ＝x (200－x )－30x ＝－x 2＋170x (0＜x ＜200)．L ′＝－2x ＋170，令－2x ＋170＝0，解得x ＝1702＝85. 因为在(0,200)内L 只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大． 4．内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( )A.R 2和32R B.55R 和455R C.45R 和75R D ．以上都不对解析：选B 设矩形的宽为x ，则长为2R 2－x 2， 则l ＝2x ＋4R 2－x 2(0<x <R )，l ′＝2－4xR 2－x2，令l ′＝0，解得x 1＝55R ，x 2＝－55R (舍去)． 当0<x <55R 时，l ′>0，当55R <x <R 时，l ′<0， 所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为55R ，455R . 5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．解析：设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝400x，∴总运费与总存储费之和f (x )＝4n ＋4x ＝1 600x ＋4x ，令f ′(x )＝4－1 600x2＝0，解得x ＝20，x ＝－20(舍去)，x ＝20是函数f (x )的最小值点，故当x ＝20时，f (x )最小．答案：206.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为__________ m 时，帐篷的体积最大．解析：设OO 1为x m ，底面正六边形的面积为S m 2，帐篷的体积为V m 3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为32－x －12＝8＋2x －x 2(m)，于是底面正六边形的面积为S ＝6×34(8＋2x －x 2)2＝332(8＋2x －x 2)． 帐篷的体积为V ＝13×332(8＋2x －x 2)(x －1)＋332(8＋2x －x 2) ＝32(8＋2x －x 2)[]x －1＋3 ＝32(16＋12x －x 3)， V ′＝32(12－3x 2)． 令V ′＝0，解得x ＝2或x ＝－2(不合题意，舍去)． 当1＜x ＜2时，V ′＞0；当2＜x ＜4时，V ′＜0. 所以当x ＝2时，V 最大． 答案：27．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)解：(1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )， 则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)，∴当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)，又设由此获得的收益是g (x )(百万元)， 则g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，∴g ′(x )＝－x 2＋4，令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.又当0≤x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0，∴当x ＝2时，g (x )取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．8．统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x <120)．(1)当x ＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？ (2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？ 解：(1)当x ＝64千米/小时时，要行驶100千米需要10064＝2516小时，要耗油 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000×643－380×64＋8×2516＝11.95(升)． (2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a 千米，由题意得，⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×a x ＝22.5，∴a ＝22.51128 000x 2＋8x －380，设h (x )＝1128 000x 2＋8x －380，则当h (x )最小时，a 取最大值， h ′(x )＝164 000x －8x 2＝x 3－80364 000x 2，令h ′(x )＝0⇒x ＝80， 当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0， 当x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，故当x ∈(0,80)时，函数h (x )为减函数， 当x ∈(80,120)时，函数h (x )为增函数，∴当x ＝80时，h (x )取得最小值，此时a 取最大值为a ＝22.51128 000×802＋880－380＝200.故若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．。

生活中的优化问题举例[学习目标]．了解导数在解决实际问题中的作用．．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．[知识链接]设两正数之和为常数，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式≥(，＞)?答设一个正数为，则另一个正数为－，两数之积为()＝(－)＝－(＜＜)，′()＝－.令′()＝，即－＝，得＝.故当＝时，()有最大值＝，即两个正数的积不大于这两个正数的和的平方的.若设这两个正数分别为，，则有≥(＞，＞)，即≥(，＞)，当且仅当＝时等号成立．[预习导引]．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．．解决优化问题的基本思路是←上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．要点一用料最省问题例有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸千米的处，乙厂到河岸的垂足与相距千米，两厂要在此岸边合建一个供水站，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米元和元，问供水站建在岸边何处才能使水管费用最省？解如图，由题意知，只有点位于线段上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点距点为，则＝＝，又设总的水管费用为元，依题意有＝(－)＋(<<)．∴′＝－＋.令′＝，解得＝，(＝－舍去)在()上，只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在＝处取得最小值，此时＝－＝()．∴供水站建在、之间距甲厂处，可使水管费用最省．规律方法用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．跟踪演练一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时海里时，燃料费是每小时元，而其他与速度无关的费用是每小时元，问轮船的速度是多少时，航行海里所需的费用总和最小？。

解析：设高为h，体积为V，则底面半径r2＝202－h2＝400－h2，∴V＝13πr2h＝π3(400h－h3)，V′＝π3(400－3h2)，令V′＝0，得h＝20 3或h＝－20 3(舍)．a 2＝k x 且502＝k 100，∴k ＝502×100＝25×104，∴a 2＝25×104x ，即a ＝500x， 总利润y ＝a ·x －C (x )＝500x·x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1 200＋275x 3又∵25＝a ·103，∴a ＝140.设从甲地到乙地海轮的航速为v ，费用为y ，则y ＝a v 3×800v ＋800v ×400＝20v 2＋320 000v ，由y ′＝40v －320 000v 2＝0得v ＝20<30. 答案：20海里/小时8．某厂生产x 件产品的总成本为C 万元，产品单价为P 万元，且满足C ＝空白，出版商为节约纸张，应选用怎样尺寸的页面？设所印文字区域的左右长为x cm ，则上下长为⎭⎪⎫150＋3cm ，所以纸张的面积＋156.小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行驶1千米所用时间为1v小时，所以行驶1千米的总费用为q＝1v(0.006v3＋96)＝0.006v2＋96v.q′＝0.012v－96v2＝0.012v2(v3－8 000)，令q′＝0，解得v＝20.V(x)＝x(32－2x)(20－2x)(0<x<10) ＝4x3－104x2＋640x，V′(x)＝12x2－208x＋640＝4(3x2－52x＋160)＝4(3x－40)(x－4)．令V′(x)＝0，得x1＝403(舍去)，x2＝4.当0<x<4时，V′(x)>0，2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，可使该公司由此获得的收益最大．。