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此瞬时AB 杆上各点的速度都相等。 但各点的加速度并不 相等。设为匀角速，则
aA aA OA2()
n
vA
O
A
vB
B
a 而 aA 的方向沿AO的， B
理论力学
aA 瞬时平移与平移不同
19
确定瞬心的一般方法：
P
P vB B vA A
A B
P
vA vB
A
vA
速度 =0。于是 图形上各点的速度在该瞬时相等, 这种情况称为瞬时平移。 特别注意瞬时平移在此瞬时各点的速度相等，刚体的角速度 为零，但各点的加速度并不相等，角加速度不等于零。
vA
O
A
vB
B
理论力学
18
例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆AB作瞬时平移。
此时连杆AB的图形角速度AB0 ，
vA
PA
12 rcosa
12 4cos300
2 3 rad/s (）
voPOrsina4sin302 34 3 m/s()
PB PO2 OB2 2POOBcos120 22 42 224 1 2 7m 2
vB PB 2 72 3 4 2118.3 m/s
理论力学
1
§8-1
刚体平面运动概述
合成
简单 运动
刚体的平行移动 刚体的定轴转动
刚体的平面运动
分解
复杂 运动
一、平面运动的定义 在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终
保持不变。也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的
某一平面内运动。具有这种特点的运动称为刚体的平面运动。
理论力学
2
例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，B点作直线运动，因此，
xA, yA,， 图形S
四、平面运动分解为平移和转动 当图形S 上Ａ点不动时， 则刚体作定轴转动； 当图形 S上角不变时， 则刚体作平移。 故刚体平面运动可以看成是 平移和转动的合成运动。
理论力学 7
例如
车轮的运动
车轮的平面运动可以看 成是车轮随同车厢的平移和 相对车厢的转动的合成。
车轮对于静系的平面运动
A
CACO 1 O 1A0.1866m
O2
CD CA AD 0.2366m vD CDABD 0.254m/s
理论力学
CA
ABD
C
27
[例5] 图示机构，已知曲柄OA的角速度为，角a = b = 60º , OA＝AB＝BO1＝O1C＝r，求滑块C的速度。 解：AB和BC作平面运动， 其瞬心分别为P1和P2点，则
理论力学
lim
t0
;
,
10
刚体的平面运动 分
随基点的平移
解 绕基点的转动
合成
基 点
运动规律与基 点的选择有关
、与
基点无关
运动规律与基 点的选择无关
任意选取，通常选取运动情况已知的点作为基点
理论力学 11
曲柄连杆机构 AB杆作平面运动 平面运动的分解
理论力学
12
§8-2
P
vA
O A
AB
B P
vB
③ 已知某瞬时图形上A,B两点速度 vA,vB 的大小,且 vA AB, vB AB
vA vB (a) vA 与vB同向，
AB v , A vB (b) vA 与vB 反向 AB
(a)
理论力学
(b)
17
④ 已知某瞬时图形上A，B两点的速度方向相同，且不与 AB连线垂直。此时, 图形的瞬心在无穷远处，图形的角
理论力学 24
）
行星齿轮机构
理论力学
25
[例3] 行星齿轮机构。已知: R, r , o 轮A作纯滚动，轮O不动。 求 vM1,vM 2 。
。
解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点
vA(Rr)or
Rr o r
(
）
vM1PM1 2r
vM2PM22r
vAvBcos vBvA/cos l/cos45 2l() 不能求出AB 速度瞬心法
研究AB，已知vA,vB 的方向，因此 可确定出P点为速度瞬心
vAl,APl AB vA/APl/l（ vB BP AB 2l()
试比较上述三种方法的特点。
理论力学 5
三、平面运动方程
为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，
我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置。
任意线段AB的位置可 用A点的坐标和AB与x轴夹 角表示。因此图形S 的位 置决定于 xA, yA, 三个 独立的参变量。所以
理论力学
6
xA f1(t) 平面运动方程 yA f2(t) f3(t) 对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 在该瞬时的位置也就确定了。
理论力学
( PB)
33
比较上述两图可以看出，不能认为圆轮只滚
vA4
O
vO
vA2
A1
vA vA 2r
2 4
2v
vA3 2r 2v
理论力学
22
[例2] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l， 取柄OA以匀 转动。求：当 =45º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。 解：机构中，OA作定轴转动，AB作 平面运动，滑块B作平移。 基点法
9
再例如: 平面图形S在t 时间内从位置I运动到位置II
①以A为基点: 随基点A平移到A'B''后, 绕基点转 1角到A'B'； ② 以B为基点: 随基点B平移到A''B'后, 绕基点转 2角到A'B'。
图中看出：AB A'B'' A''B' ，1 2 ；于是有
lim
3.几种确定速度瞬心位置的方法 ① 已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动（称为纯滚动）, 则图形与固定面的接
触点P为速度瞬心。
② 已知某瞬间平面图形上A,B两点速度vA,vB 的方向，且vA 不平行 vB 。 过A, B两点分别作速度 vA,vB的垂线,交点 P即为该瞬时的速度瞬心。
理论力学
16
AB 杆的运动既不是平移也不是定轴转动，
而是平面运动。
理论力学
3
理论力学
4
二、平面运动的简化
刚体的平面运动 简 化
到固定平面 Ⅰ的距离不变
平面图形S在与Ⅰ 平行的平面Ⅱ内运动
平面图形S在其 自身平面内的运动
研究平面运动
不需考虑刚体的形状和尺寸，只 需研究平面图形的运动，确定平 面图形上各点的速度和加速度。
vC
理论力学
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平面机构
理论力学
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[例7] 平面机构中, 楔块M: a =30º ,v=12cm/s ; 盘: r = 4cm , 与 楔块间无滑动。求圆盘的 及轴O的速度和B点速度。
解：杆OC, 楔块M作平移,圆盘作平面运动， 由vA及vO方位可确定P为盘的速度瞬心。
vAv12cm/s ,
vB vA vBA
理论力学 13
即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基
点转动速度的矢量和。这种求解速度的方法称为基点法，也称
为速度合成法。它是求解平面图形内一点速度的基本方法。 二、速度投影法（对任意一个刚体均成立） 由于A, B点是任意的，因此 vB vA vBA 表示了图形上任 意两点速度间的关系。由于恒有 vBAAB ，因此将上式在 AB上投影，有
A
B
vB
vA
A
B
vA
vB
B vB
P
理论力学
20
４.速度瞬心法 利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法。
平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时
转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度 大小 vAAP ；方向AP，指向与 一致。 ５.注意的问题 ①速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不 断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 ② 速度瞬心的速度为零, 其加速度一定不为零，不同于定轴转动。 ③刚体作瞬时平移时，虽然各点的速度相同，但各点的加速
[例6] 曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r以匀角速度 转动，AB = BC = BD = l，当曲柄与水平线成30º 角时，连 杆AB处于水平位置，而肘杆DB与铅垂线也成30º角。试求 图示位置时，杆AB、BC的角速度以及冲头C 的速度。
解：连杆AB作平面运动，瞬心在P1点，则
AB
1 PA
平面图形内点的速度分析
一、基点法（速度合成法） 已知：图形S内一点A的速度vA ，
图形角速度。求 vB 。
取A为基点, 将动系铰结于A点， 动系随基点作平移。 取B为动点，则B点的运动可视为牵连运动为平移和相对 运动为圆周运动的合成，va vB;ve vA;vr vBA, 其中vBA大小：vBA=BA·；垂直BA并指向与 转向一致。 根据速度合成定理 va ve vr, 则Ｂ点速度为：
研究 AB，以 A为基点，且vA l , 方向如图示。 根据 vBvAvBA, 在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。 vB vA/cos l/cos45 2l()
vBAvAtgltg45l ABvBA/ABl/l （
理论力学
）
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速度投影法 研究AB, 方向OA, vB方向沿BO直线 根据速度投影定理 vBAB vAAB
Rr o 2(Rr)o, r
Rr o2(Rr)o,方向均如图示 r
理论力学
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[例4]图示曲柄连杆机构中连杆AB上固连一块三角板ABD，机 构由曲柄O1A带动。已知曲柄的角速度为＝2rad/s，曲柄 O1A=0.1m，水平距离O1O2=0.05m，AD=0.05m，当O1A⊥O1O2 时，AB∥O1O2 ，且AD与AO1在同一直线上， =30º 。试求三 vD D 解：运动分析：O1A和O2B作定轴转动；vA
