第十章.动量定理(哈工大 理论力学课件)

§10-2 动量定理
二、冲量定理
p2 p1
t2 Fedt
I
t1
具体计算时，往往写成投影形式，即
p2x p1x
t2 t1
Fx
e
dt

Ix
p2 y p1y
t2 t1
F
y
e
dt

Iy
p2z p1z
1、如果在上式中
Fe

0，则有 p p0
常矢量
结论
其中：p0 为质点系初始瞬时的动量
在运动过程中，如作用于质点系的所有外力的矢量和始终等 于零，则质点系的动量保持不变。这就是质点系的动量守恒 定理
§10-2 动量定理
§10-2 动量定理
§10-2 动量定理
例10-2
例10-2：火炮(包括炮车与炮筒)的质量是 m1，炮弹的 质量是 m2，炮弹相对炮车的发射速度是 vr，炮筒对 水平面的仰角是α(图a)。设火炮放在光滑水平面上， 且炮筒与炮车相固连，试求火炮的后坐速度和炮弹的
§10-2 动量定理
一、动量定理
dp dt
Fe 质点系动量定理的微分形式
二、冲量定理
设在 t1 到 t2 过程中，质点系的动量由 p1 变为 p2，则对上式积
分，可得

p2 p1
t2 Fedt
t1
I
即，质点系的动量在一段时间内的变化量，等于作用于质点系 的外力在同一段时间内的冲量的矢量和，这就是质点系动量定 理的积分形式。常称为质点系的冲量定理。
t1
§10-1 动量与冲量
从起始点开始的冲量为：
t
I 0 Fdt
上式为一矢量积分，具体计算时，可投影于固定坐标 系上
t
t
t
I x 0 Fxdt I y 0 Fydt Iz 0 Fzdt
§10-2 动量定理


因为质点系的动量为 p mv ，对该式两端求导数，
曲柄绕O轴转动的角速度ω为常量，试求当曲柄OA与
水平成角 时整个机构的动量。
§10-1 动量与冲量
例10-1
px m1vE sin 2m1 vA sin m2vD

m1
l 2

பைடு நூலகம்
sin

2m1
l
sin

m2
2l
sin


5 2
m1

2m2
l

sin
由上式可见，v 与 vr 方向不同，

当 m1>>m2 时， 。
但在军舰或车上时，应该考虑修正
量 m2 m1
例10-2
§10-2 动量定理
例3质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为m的小三角形 柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。
解： 选两物体组成的系统为研究对象。
几个概念
一.质点系的质心 质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的
一个重要概念。
质心 C 点的位置： (M mi )
rC

mi
M
ri
或 MrC mi ri
设rc xci yc j zck ,则
xC

mi
M
xi
,
yC

mi
M
yi
,
zC

mi
M
zi
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采 用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质 心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学 意义。 二、质点系的内力与外力 外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。 内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。
M
m M
当质点系运动时，它的质心一般也是运动的，将上式
两端对时间求导数，即得
mv Mvc

p
能得到什么结论？
p


mv
质点系的动量，等于质点系的总质量与质心速度的乘积。
投影到各坐标轴上有
px m vx Mvcx py m vy Mvcy pz m vz Mvcz
运动分析，设经过ｔ时间后，流体AB 运动到位置ab，
受力分析如图示。
K K ab K AB [( K aB )2 K Bb ][K Aa (K aB )1 ]
(KaB )2 (KaB )1
K KBb K Aa Qtv2 Qtv1
由质点系动量定理；得
§10-1 动量与冲量
p

mv
Mvc
可见，如质点系的动量主矢=0，只说明其质心静止不动，而质点 系内各质点可各自运动。
质点系的动量是描述质点系随质心运动的一个物理量，它不能描 述质点系相对于质心的运动，这个问题将在动量矩定理讨论。
§10-1 动量与冲量
例10-1
例10-1：椭圆规尺BD的质量为2m1；曲柄OA的质量 为m1；滑块B和D的质量均为m2，已知： OA=BA=AD=l ；曲柄和尺的质心分别在其中点上；
发射速度。
§10-2 动量定理
解：取火炮和炮弹(包括炸药)为研究对象
设火炮的反坐速度是 u，炮弹的发
射速度是 v，对水平面的仰角是θ。
炸药(其质量略去不计)的爆炸力是 内力，作用在系统上的外力在水平
轴x的投影等于零，即有 Fx 0
可见，系统的动量在x轴上的投影守 恒，考虑到初始瞬时系统处于静止，
dK dt
lim t0
K t


Q( v2
v1
)W

P1
P2

R
§10-2 动量定理
dK dt
lim t0
K t

Q(v2
v1
)W

P1

P2

R
即
R (W P1 P2 )Q(v2 v1)
静反力 R'(W P1 P2 ) ， 动反力 R''Q(v2 v1)
得

dp dt


d mv
dt

ma
F
分析右端，把作用于每个质点的力F分为内力F(i)和外力F(e)，
则得：
F
Fi
Fe
Fi 0
dp
dt
Fe 质点系动量定理的微分形式
§10-2 动量定理

dp
Fe
dt
即，质点系动量对时间的导数，等于作用于它上所有外力的矢
量和，这就是质点系动量定理的微分形式。常称为动量定理。
具体计算时，往往写成投影形式，即
dpx
dt
Fx e
dpy
dt
Fy e
dpz dt
Fz e
即，质点系的动量在固定轴上的投影对时间的导数，等于 该质点系所有外力在同一轴上的投影的代数和。
示，冲量是矢量，方向与力相同。 I Ft
2、变力的冲量
若力F是变力，可将力的作用时间 t 分成无数的微小时间 dt，在每个 dt 内，力 F 可视为不变。
元冲量——力F在微小时间段 dt 内的冲量称为力F 的元冲量。
变力 F 在 t1~t2 时间间隔内的冲量为：I
t2
Fdt
S

m M
m
S
rx

m M m
(a
b)
§10-2 动量定理
例4 流体流过弯管时， 在截面A和B处的平均流速分别为 v1,v2 (m/s ),
求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。 设流体不可压缩，流量 Q(m3/s)为常量， 密度为 (kg/m3）。
解： 取截面A与B之间的流体作为研究的质点系。
即有 p0x 0 ，于是有
px m2v cos m1u 0
例10-2
§10-2 动量定理
px m2v cos m1u 0
成定另考理虑一，方v可e面得，u，对v并于将炮v上弹e 式应v投用r 影速到度轴合x
和 y上，就得到：v cos vr cos u
v sin vr sin
联立求解上列三个方程，即得
u

m2 m1 m2
vr
cos
v
1
2m1 m2 m2 m1 m2
cos2


vr
tan

1
m2 m1
tan
例10-2
§10-2 动量定理
讨论
tan

1
m2 m1
tan
质点的质量 m 与速度 v 的乘积 mv 称为该质 点的动量。动量是矢量，方向与质点速度方向一致。
（2）质点系的动量
质点系内各质点的动量的矢量和称为该质点系 的动量。用 p 表示，即有
n

p mivi mv
i 1
§10-1 动量与冲量
（2）质点系动量的投影式 以px，py 和 pz 分别表示质点系的动量在固定直
角坐标轴x，y 和 z 上的投影，则有
px mv x py mv y pz mv z
例如：射出的子弹、船的靠岸
§10-1 动量与冲量
2、质点系动量的简捷求法
质点系的动量

p mv
§10-1 动量与冲量
质点系的质心C的矢径表达式为
mr

Mrc
rc

mr