哈工大理论力学第四章摩擦

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哈工大理论力学第四章

Fy 0 FND P FNC ' cos 60 FC ' sin 60 0
' FN C FNC 100N
FNC '
40N Fmin 26.6N FD FC
FND 184.6 N
FC '
当fs 0.3时，FD max fs FND 55.39N 当fs 0.15时，FD max fs FND 27.59N
F
o f 0.4 , P 5 kN , h 2 a 2 m , 均质木箱重 30 ；已知： s
解：（1）取木箱，设其处于平衡状态.
Fx 0 Fs F cos 0 Fs 866N
FN 4500N
Fy 0
FN P F sin 0
仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本相同．几个新特点 1 画受力图时，必须考虑摩擦力； 2 严格区分物体处于临界、非临界状态； 3 因 0 Fs Fmax，问题的解有时在一个范围内．
§4-4 滚动摩阻（擦）的概念
静滚动摩阻（擦）
Fx 0
MA 0
F Fs 0
用几何法求解
解: 物块有向上滑动趋势时
F1max P tan( )
物块有向下滑动趋势时
F1min P tan( )
P tan( ) F P tan( )
利用三角公式与
tan f s ,
sin f s cos sin f s cos P FP cos f s sin cos f s sin
Fy 0
又 Fs Fmax f s FN

第四章摩擦(赵) 理论力学课件

F max FN
2、FP = FPm，物体处于临界平衡状态。 Fmax ——极限摩擦力，也称最大静摩擦力
(maximum static friction
force)。
Fmax ≈ fs ·FN ——库仑静摩擦定律 (Coulomb law of friction)
FN ——法向压力， f s——fric静tion摩fa擦cto因r)。数(static
FPmax
FN2 - FPmax sin - FQ cos = 0
补充 FL2 = f ·FN2
sinα+ f cosα
FPmax = cosα- f sinα
FQ
= FQ tan(α+φm )
2020/10/3
FQ FL1
FN1
∵ F Pmin = FQ tan(α-φm )
FQ FP
F Pmax = FQ tan(α+φm )
∴ 圆柱绕B点处于只滚不滑状态。
2020/10/3
例4 讨论条件：FP = 20 kN ， fA = fB=0.3 ，FW = 10 kN ，
轮半径为R。求能使轮运动的拉力FR。
4m
FP
2m
O
R/2 R/2
A FW C
B
C
FR
2020/10/3
二、滚动摩擦
FQ
FT r mI
F FN
FN = -FQ， FT = -F
补充 FL1 = f ·FN1
sinα- f cosα
FPmin = cosα+f sinα FQ = FQ tan(α-φm )
2020/10/3
FQ FP
FPmin
FQ FL1

理论力学 --第4章摩擦

例4
图示为起重装置的制动器。已知重物重W，制动块与鼓
轮间的静摩擦系数为 fs，各部分尺寸如图示。问在手柄上作用的力P 至少应为多大才能保持鼓轮静止？ B P
R
o r
b W
a A
l
解：以鼓轮为研究对象
M
M
O
0 FR Wr 0
Pl F b N a 0
P
F R Yo r Xo o W B
湿摩擦(fluid friction)
§4-1
滑动摩擦
两个相互接触的物体存在相对滑动或相对滑动趋势时，接触面之间由于并非绝对光滑，而在接触面的公切线上存在阻碍两物体相对滑动的阻力，这种阻力称为滑动摩擦力。滑动摩擦力的方向与相对滑动或相对滑动趋势的方向相
反，大小根据主动力作用的不同，可分三种情况：静滑动摩
C
G
A

B
解：⑴ 以整体为对象，令等边三角形的边长为 b。 y FCB M A 0 : bFNB 0.25bG 0 C
F y 0 : FNA FNB G 0
G
解得：
FNB 0.25G 125 N
A

B
FNA G FNB 375 N
FsA FNA
G
FsA FsB 72.17 N
下面判断系统是否处于静平衡
A

B
FsA 脚端A 与B 的最大静摩擦力分别为：
o FNA
x FsB
FAmax f sA FNA 75 N
FBmax f sBFNB 75 N
因为
FNB
FsA FAmax
f sB FBmax

哈尔滨工业大学理论力学第七版第4章摩擦

F ϕ F
R1
Q
2
α
2
G
P
lj
F
F
N
m ax
ϕ
f
F
Rm
Q
α
G
P
lj
F
F
N
m ax
ϕ F
f
Rm
ϕ
—摩角擦
f
tgϕ = Fmax =
f
F
f
S
N
2、自锁现象
Q α
G
P
lj
F
F
N
m ax
F
N
ϕ
ϕ F
f
Rm
f
结论： 1.只要：α ≤
ϕ ,不论Q多大，必平衡 2.只： >ϕ ,不 Q多，不衡要 α 论小必平
第四摩
章擦
一、概述 * 摩擦的利弊弊 —— 发热、发光、磨损利 —— 制动、传动、抛光
摩擦传动车床三抓卡盘
*产生摩擦的原因
摩擦
{
滑动摩擦滚动摩擦
{ {
静滑动摩擦动滑动摩擦静滚动摩擦动滚动摩擦
摩擦
{ 湿摩擦
干摩擦
§4－1
滑动摩擦
1、静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力 W F = 0, =0 F
FT
30
o
A
B P
正确答案是：正确答案是：C
2、求平衡范围
图示系统仅在OA与小车接触的点处存在摩与小车接触的点A处存在摩图示系统仅在与小车接触的点在保持系统平衡的前提下，逐步增加拉力F，擦，在保持系统平衡的前提下，逐步增加拉力，则在此过程中，处的法向约束力将处的法向约束力将___________。则在此过程中，A处的法向约束力将。（A）越来越大；）越来越大；（B）越来越小；）越来越小；（C）保持不变；）保持不变；（D）不能确定。）不能确定。

理论力学第四章

同理求解得
F1min
G tan tanjf 1 tanjf tan
G tan(
jf
)
y
F1
x
Fmax
FN G
4、几何法求F1的最小值F1min，受力分析如图。
F1min
画力三角形如图。
由力三角形可得 F1min Gtan( jf )
物块平衡时，F1的大小应满足
FR2
-jf
jf
FR2
G
G F1min
对多数材料，通常情况下
f fs
理论力学
中南大学土木工程学院
3
第4页/共46页
§4-2 摩擦角与自锁现象
一、摩擦角 ①全约束力即FR= FN + FS ，它与接触面的公法线成一偏角j ，当物体处于临界平衡状态，即静摩擦力达到最大值 Fmax时,偏角j达到最大值jf，全约束力与法线夹角的最大值jf叫做摩擦角。
fs2P 1 fs2
代入（3）
得
tan min
1 fs2 2 fs
1 tan2jf 2tanjf
cot 2jf
tan(
2
2jf
)
理论力学
中南大学土木工程学院
18
第19页/共46页
FNB
B
FSB Pmin A FSA
几何法求解
当梯子处于向下滑动的临界平衡状态
时，受力如图，显然 FRA FRB ，于是
G tan jf F1 G tan jf
理论力学
中南大学土木工程学院
17
第18页/共46页
[例] 梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩擦因数均为 f s=0.5，
求多大时，梯子能处于平衡？

理论力学静力学部分第四章摩擦

FNB
FSB
F S A F S A m a S F x N A F S B F S B m a S F x N B
联立上面的平衡方程得到
d
l b/(2S) 经判断:
l b/(2S)
bHale Waihona Puke b b第4章摩擦
[解 – 方法 2]
利用摩擦角
临界状态的全反力
l
W
d
A FRA
l
jm
B FRB
jm
d
W
y
Fx 0 F S W s3 i n 0 F c3 o 0 s0
FN
F
FS A
W
x
Fy 0 F N W c3 o 0 s F s3 i n 0 0
FS
3F1W16N 7 22
FN
3W1F128N9 22
FSmax SFN 12809.2258FN S FSmax
摩擦力计算的结果是合理的，并且其方向与受力分析图上的方向相同。
须根据物体的运动趋势正确判断摩擦力的方向。
第4章摩擦
例题 1
W120N0 F500N a30
F
A
1.如果物体保持静，止平衡
计算摩擦力的大向小。和方
aW
μs 0.2 2.如果μS 0.1则 , 上面计算的结合果理是？否为什么？
第4章摩擦 [解]
F
A
aW
假设物体有向下运动的趋势，则画出其受力分析图:
第4章摩擦自锁
a jm
FR
FRy
a
FRxFRsina
aj F Sm F N aS x F R co ta s m n
aj aa F R c o ta m s n F R c o ta sn

摩擦哈尔滨工业大学理论力学

G
G
Fmin
F
α
α
FN
Ffmax
解：1、下滑的临界状态：对物块进行受力分析：
( 分析：F小，下滑； F大，上滑.)
12
建立图示坐标系：
列平衡方程：
Fx = 0
Ffmax + Fmin cos α - Gsin α =0 (1)
Fy= 0
FN - Fmin sin α - Gcos α =0 (2)
当f时，滑动.
则s=tanm
10
三.考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
考虑摩擦的平衡问题的解题原则与不考虑摩擦的平衡问题基本相似,但应注意以下几点:
(1)摩擦力的大小可由平衡条件确定,同时应与最大摩擦力比较.若F Fm ,则物体平衡;否则物体不平衡.
(2)在滑动临界状态下,最大静摩擦力 Fm = fs N
y x
αG
Fmin
α
FN Ffmax
平面汇交力系
联立以上四式，可得：
Ffmax = fs FN
(3)
Fmin=Gtg(α- m)
fs =tg m
(4)
13
2、上滑的临界状态：对物块进行受力分析：
建立图示坐标系, 列平衡方程：
y
x
Fx = 0
Fmax α G
-Ffmax + Fmax cos α - Gsin α =0 (1) α
(3)由于静止时:0 Fs Fm ,所求未知条件为一平衡范围.一般设物体处于滑动临界状态，Fm=SN,求出未知条件的极值，再分析定出所求的范围.
(4)当物体尚未达到临界状态时,摩擦力的方向可以假定.当物体达到临界状态时,摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反,而不能假定.

哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅰ》(第7版)课后习题(第4~7章)【圣才出品】

答：物块不动，主动力的合力与铅垂线间的夹角 a＝12.5o，在摩擦角之内，故物体产生自锁现象。
4-6 如图 4-5 所示，用钢楔劈物，接触面间的摩擦角为φf。劈入后欲使楔不滑出，问钢楔两个平面间的夹角θ应该多大？楔重不计。
图 4-5 答：处于临界状态时，受力分析如图所示，由几何关系可知，欲使楔形不滑出，须满足
动物体时，若 A、B 两处均未达临界状况，此时不能使用静摩擦定律
则
不能分别求出 A、B 两处的静滑动摩擦力。若 A 处已达临界状态，且力 F 为已知，则可以
分别求出 A、B 两处的静滑动摩擦力。
4-8 汽车匀速水平行驶时，地面对车轮有滑动摩擦也有滚动摩阻，而车轮只滚不滑。汽车前轮受车身施加的一个向前推力 F（图 4-7a），而后轮受一驱动力偶 M，并受车身向后的反力 F’（图 4-7b）。试画全前、后轮的受力图。在同样摩擦情况下，试画出自行车前、后轮的受力图。又如何求其滑动摩擦力？是否等于其动滑动摩擦力 FN？是否等于其最大静摩擦力？
答：前轮摩擦力
图 4-7
后轮摩擦力
均不等于滑动摩擦力或最大静摩擦力。
4-9 重为 P，半径为 R 的球放在水平面上，球对平面的滑动摩擦因数是 fs，而滚阻系数为δ，问：在什么情况下，作用于球心的水平力 F 能使球匀速转动？
答：使球匀速转动的条件是：当
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图 4-1
图 4-2
答：如图所示，由
，可得摩擦力 Fs＝100N。因为此时为静摩擦，故不可以用
公式
4-2 如图 4-2 所示，试比较用同样材料、在相同的光洁度和相同的胶带压力 F 作用下，乎胶带与三角胶带所能传递的最大拉力。

第4章_摩擦

4.3.3 实例分析
解法一：解析法 ① 以物块为研究对象，当物块处于向上滑动的临界平衡状态时，受力如图， F1 建立图示坐标系，列平衡方程：
Fx 0，F1 cos P sin Fmax 0
O
Fy 0，FN F1 sin P cos 0
P
y
补充方程：
P tan( jf ) F1 P tan( jf )
FR
jf
FN
F1max P tan( jf )
F1max jf FR P
jf
FR
F1min P tan( jf )
F1min
F1min
Fmax
F1max
FR
（b）
P
（a）
P
jf
1、实验曲线
FN Fs P FN F
Fma
x
摩擦力
F
450
O
静摩擦临界动摩擦
P
2、静摩擦力

外力
定义两物体接触表面有相对滑动趋势时，沿接触表面产生的切向阻力称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力，常以 Fs 表示。
§4-1 滑动摩擦
4.1.1 静滑动摩擦力
2、静摩擦力(续)
静摩擦力的大小和方向与作用在物体上的主动力有关，可由平衡条件确定。

FN Fs
摩擦力
F
特点
(4-1)
Fma
x
P Fx 0，Fs F
F
450
静摩擦临界动摩擦
大小： 0 Fs Fmax
(式中 F 接触面切向方位： max表示最大静滑动摩擦力) O
外力
指向：与相对滑动趋势方向相反(具体指向由平衡条件确定) 由平衡方程求出的 Fs ，如果满足 Fs Fmax ，则平衡成立 (当

理论力学@05四摩擦

第四章摩擦
实验表明
Fmax fs FN
上式称为库仑摩擦定律，是计算最大静摩擦力的近似公式。式中 fs 称为静摩擦因数，它是一个无量纲的量。一般由实验来确定。
2. 动滑动摩擦力当接触处出现相对滑动时，接触物体之间仍有阻碍相对
滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以Fd 表示，大小可用下式计算。
15
静力学
例题4-4
a
F C
h
P
第四章摩擦
宽a，高b的矩形柜放
置在水平面上，柜重P，重
心C 在其几何中心，柜与
地面间的静摩擦因数是 fs，
b
在柜的侧面施加水平向右
的力F，求柜发生运动时
所需推力F 的最小值。
16
静力学
第四章摩擦
例题4-4
y
解: 取矩形柜为研究对象,受力分析如图。
1 .假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。列平衡方程
q 2jf 11.42
以上是考虑临界状态所得结果，稍作分析即可得
当 0 q 2jf 11.42 时能自锁
13
静力学
第四章摩擦
例题4-3
x
F
A
h
B
d y
FA
x
FNA A
h
FB FB
O
B FNB
一活动支架套在固定圆柱的外表面，且h = 20 cm。假设支架和圆柱之间的静摩擦因数 fs = 0.25。问作用于支架的主动力F 的作用线距圆柱中心线至少多远才能使支架
2.假设矩形柜不滑动但将绕 B 翻倒。
F
C
P
A
FA
FB
B
FNA

理论力学-第四章摩擦

设力 F 大于 F2 时，楔块 A 向左运动取楔块 A 分析，画受力图分析，
F2 = FNA tan(θ + ϕ) = P tan(θ + ϕ)
P tan(θ − ϕ ) ≤ F ≤ P tan(θ + ϕ )
FR 2
ϕ
θ +ϕ
FNA
FR 2
FNA
斜面自锁条件
θ ≤ ϕf
§4-3 考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
仍为平衡问题，平衡方程照用，仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本相同．相同．几个新特点画受力图时，必须考虑摩擦力； 1 画受力图时，必须考虑摩擦力；严格区分物体处于临界、非临界状态； 2 严格区分物体处于临界、非临界状态； 3 因 0 ≤ Fs ≤ Fmax ，问题的解有时在一个范围内．问题的解有时在一个范围内．
动滑动摩擦力的特点沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；大小：大小：
Fd = f d FN
f d < f s （对多数材料，通常情况下）对多数材料，通常情况下）
§4 - 2
摩擦角和自锁现象
一.摩擦角
r FR A ---全约束力
物体处于临界平衡状态时，物体处于临界平衡状态时，全约束力和法线间的夹角-----摩擦角力和法线间的夹角---摩擦角
取整体分析，解：取整体分析，画受力图
P
FNB
F
ΣFy = 0 FNA − P = 0
FNA = P
设力 F 小于F1 时，楔块 A 向右运动取楔块 A 分析，画受力图
θ −ϕ
FNA
ϕ
FR1 F1
F1 = FNA tan(θ − ϕ ) = P tan

(完整版)理论力学---第四章摩擦

sin q cosq
fs cosq fs sinq
P
F
sin q cosq
fs cosq fs sinq
P
F1
22
第四章摩擦
用几何法求解解: 物块有向上滑动趋势时
F1max P tan(q )
23
第四章摩擦
物块有向下滑动趋势时
F1min P tan(q )
P tan(q ) F P tan(q )
力偶矩的大小
A
M O
B
P
25
第四章摩擦
已知：b , d , fs , 不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
求：挺杆不被卡住之值. a
26
第四章摩擦
解：取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置.
Fx 0 FAN FBN 0
Fy 0 FA FB F 0 M A 0
FN
(a
d 2
)
FBd
利用三角公式与 tan fs ,
P sinq fs cosq F P sinq fs cosq
cosq fs sinq
cosq fs sinq
24
第四章摩擦
无重杆OA AB.其中OA长度L与水平线的倾角
为q
AB 水平.将重为P的物块放在斜面上，斜面
倾角大于接触面的摩擦角 f
问若想在OA 杆上加一主动力偶使物块静止在斜面上,转向?
19
第四章摩擦
已知： P ,q , fs .
求：使物块静止，
水平推力
F的大小．
20
第四章摩擦
解：
使物块有上滑趋势时，推力为
F1
画物块受力图
F 0, x
F1 cosq P sinq Fs1 0

理论力学第四章ppt(哈工大版).

∴ 可使物块静止的水平力F 的范围：
P(sin cos
fs cos ) fs sin

F1

P(sin fs cos ) cos fs sin
若采用摩擦角： fs tanjf 上式可化简为：
P tan( jf ) F1 P tan( jf )
滑动摩擦
滑动摩擦
摩擦角
摩擦平衡
滚动摩阻
14
例4-1 已知：求：使物块静止，水平推力F 的范围。
P F

F 太小，物块有下滑趋势
——Fmin
F 太大，物块有上滑趋势
——Fmax
滑动摩擦
摩擦角
摩擦平衡
滚动摩阻
15
解：（1）F太大，物块即将上滑时的极限平衡：
P
Fx 0, F1cos Psin Fmax 0
Fx 0 FAN FBN 0
Fy 0 FA FB F 0
M A 0
F
(a

d) 2
FBdຫໍສະໝຸດ FBNb
0
FA fs FAN
FB fs FBN
解得：
a b 2 fs
则：挺杆不被卡住时， a b 2 fs 。
滑动摩擦
摩擦角
摩擦平衡
滚动摩阻
19
解二：用几何法求解：
滑动摩擦
摩擦角
摩擦平衡
滚动摩阻
24
又
Fmax fs FN
解得
F1

cos
fsP
fs sin
1876N
（3）设木箱处于翻倒临界平衡状态时拉力为 F2：
M A 0
F cos h P a 0

理论力学4—摩擦

4.2.2 自锁现象物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可在零与最大值Fmax 之间变化，所以全约束反力与法线间的夹角j也在零与摩擦角jf之间变化，即
0 j jf
由于静摩擦力不可能超过最大值，因此全约束反力的作用线也不可能超出摩擦角以外，即全约束反力必在摩擦角之内。 FR
jf j
4.1.2 动滑动摩擦定律当滑动摩擦力已达到最大值时，若主动力F再继续加大，接触面之间将出现相对滑动。此时，接触物体之间仍作用有阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以Fd 表示。实验表明：动摩擦力的大小与接触体间的正压力成正比，即
Fd f FN
式中f是动摩擦系数，它与接触物体的材料和表面情况有关。动摩擦力与静摩擦力不同，没有变化范围。一般情况下，动摩擦系数小于静摩擦系数，即 f < fs。
Y 0 : N A FB P 0 ——（2） NA mA ( F ) 0 : Pa cos min FB 2a cos min N B 2a sin min 0 —（3）
FA
由摩擦定律：
FA fN A ——（4） FB fN B ——（5）
jm
RB
B
C
E
P
min
jm
A
min

2
j m CAE

2
j m ACE

2
RA
2j m
故应满足的条件是：

2

2
2j m
例3 在用铰链 O 固定的木板 AO和 BO间放一重 W的匀质圆柱, 并用大小等于P的两个水平力P1与 P2维 A 持平衡,如图所示。设圆柱与木板间的摩擦系数为 f , 不计铰链中的摩擦力以及木板的重量,求平衡时P 的范围。

理论力学：4-05摩擦

第一部分静力学第五章摩擦θ生活中的摩擦问题§5 -1摩擦现象相对运动趋势z摩擦的类型干摩擦湿摩擦流体摩擦内摩擦干摩擦z摩擦的类型干摩擦滚动摩擦滑动摩擦静动§5 -2 滑动摩擦1 静摩擦力F sFO45°FmaxF d运动状态静止状态临界状态F NF s 平衡方程确定2 最大静滑动摩擦力(库仑静摩擦定律)F max = f s F Nf s静摩擦系数⎯⎯3 动滑动摩擦力 F d = f F Nf动摩擦系数⎯⎯f f s ，sf f ≈0.07~0.150.2~0.50.100.4~0.6木-木0.07~0.10.20.10青铜-青铜0.50.8铸铁-橡胶0.150.60.150.3~0.5铸铁-皮革0.07~0.150.15~0.2铸铁-青铜0.07~0.120.150.18铸铁-铸铁0.6~0.80.9钢-橡胶0.1~0.150.150.1~0.150.15钢-青铜0.05~0.150.180.3钢-铸铁0.05~0.100.150.1~0.120.15钢-钢有润滑剂无润滑剂有润滑剂无润滑剂动摩擦系数(f )静摩擦系数(f s )摩擦系数材料名称常用材料的滑动摩擦系数机械设计手册4 摩擦角与自锁现象•摩擦角ϕF NRA F maxF RAF RA F s最大静摩擦力时，全反力F 与法线之间的夹角用⎯⎯摩擦角F RA ϕm关于摩擦角：0 U ϕU ϕmmax Ns 即：sm f =ϕtg F NF maxF RAϕmF RA ϕF NF max F RAϕm擦角成为摩擦锥。

ϕm F F R A•自锁现象z 自锁当全部主动力的合力作用线在摩擦角的范围内时物体必定保持平衡z不自锁当全部主动力的合力的作用线在摩擦角的范围以外时物体必定不能平衡z斜面自锁条件W yW xF F NW yW xF F N§5 -3 考虑摩擦时物体的平衡问题平衡范围两类摩擦平衡问题第一类问题确定平衡位置；第二类问题F ＝F max确定各主动力之间的关系。

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fs P F1 1876N cos fs sin 设木箱有翻动趋势时拉力为 F2
a M A 0 F2 cos h P 0 2
F2 Pa 1443 N 2h cos
最大拉力为 1443 N
例4-6
已知：M A 40N m , f s 0.3 , 各构件自重不计，
第四章摩
擦
摩擦

滑动摩擦滚动摩擦干摩擦湿摩擦

静滑动摩擦动滑动摩擦静滚动摩擦动滚动摩擦
摩擦
《摩擦学》
§4-1
Fx 0
滑动摩擦
FS FT
FN
FT FS 0
FS
FT
静滑动摩擦力的特点方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；大小： 0 Fs Fmax
Fs 403.6 N (向上)
FN 1499N
FS
FN
P
而
Fmax f s FN 299 .8N
物块处于非静止状态．
F
Fd f d FN 269.8N , 向上．
例4-2 已知： P , , f s . 求：使物块静止，水平推力 F 的大小．
F
P
解：使物块有上滑趋势时，推力为 F1
FD
O
D FND
Fmin
当f s 0.3时，FD 40N FD max , D 处无滑动
Fmin 26.6N
当f s 0.15时，FD 40N > FD max , D 处有滑动
(2)
D 处摩擦力达最大值，取杆与轮.
M A 0
l FNC FB l 0 2
FNC
FC
C
FB
FNC 100N 不变
FAy
A
但 FC FC max fC FNC
FAx
r FD r 0 对轮 M O 0 FC Fx 0
Fy 0 C sin 60o FC cos 60o Fmin FD 0 FN C cos60o FC sin 60o 0 FND P FN
F2 FNA tan( θ ) P tan( θ )
P tan( ) F P tan( )
FR 2

F1
FNA
F1
FR 2
FNA
例4-8
o 时， 60 已知：均质轮重 P 100N , 杆无重， r , l ,
l AC CB ; FB 50N , fC 0.4 （杆，轮间） 2
P sin θ R FT 2 R M max 0
仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本相同．几个新特点 1 画受力图时，必须考虑摩擦力； 2 严格区分物体处于临界、非临界状态； 3 因 0 Fs Fmax ，问题的解有时在一个范围内．
§4-4 滚动摩阻（擦）的概念
静滚动摩阻（擦）
Fx 0
MA 0
F Fs 0
求：若要维持系统平衡轮心 O 处水平推力 Fmin （1） f D 0.3 (轮，地面间），（2） f D 0.15 （轮，地面间），轮心O 处水平推力Fmin . B
FB
C
A
O
D
Fmin
解： F 小于某值，轮将向右滚动.
C , D 两处有一处摩擦力达最大值，系统即将运动 .
(1) 先设 C 处摩擦力达最大值，取杆与轮.
d 0.171m
而
Fmax f s FN 1800N
因 Fs Fmax , 木箱不会滑动；
又 d 0 , 木箱无翻倒趋势.
木箱平衡
（2）设木箱将要滑动时拉力为 F1
Fx 0 Fs F1 cos 0 FN P F1 sin 0
Fy 0
又 Fs Fmax f s FN
例4-1
已知：P 1500N , f s 0.2 , f d 0.18 , F 400N 。
求：物块是否静止，摩擦力的大小和方向．
F
P
解：取物块，画受力图，设物块平衡
Fx
0
F cos 30 P sin 30 Fs 0
Fy
0
F sin 30 P cos 30 FN 0
FD f D FND
FNC '
当 f D 0.15 时，解得 FND 172.4N
FD F C f D FND 25.86N
FC '
FD
O
D FND
Fmin
C 处无滑动
Fmin 47.81N .
例4-9
已知： P , R , , ；
（1）使系统平衡时，力偶矩 M B ；求：（2）圆柱 O 匀速纯滚动时，静滑动摩擦系数的最小值.
Fmax f s FN F2
F2 f s FN
一般情况下，

R R F1 F2 或 F1 F2 ．
fs 或

f s
R 450 mm 例：某型号车轮半径，混凝土路 f s 0.7 3.15 mm 面
fs R F2 0.7 350 100 F1 3.15
P
解：取整体分析，画受力图 Fy 0 FNA P 0
FNB
FNA P
设力 F 小于F1 时，楔块 A 向右运动
取楔块 A 分析，画受力图

F
FNA
FR1
F1
F1 FNA tan( ) P tan( )
FNA
FR1
F1
FNA
设力 F 大于 F2 时，楔块 A 向左运动取楔块 A 分析，画受力图
画物块受力图
F
x
y
0
0
F1 cos P sin Fmax 0
F
F1 sin P cos FN 0
Fmax fs FN
sin θ f s cos θ F1 P cos θ f s sin θ
设物块有下滑趋势时，推力为 F1
画物块受力图
Fx 0
2 Fs2 Fs 2 f s FN 2 f s FN
M C 2 49.61N m
FN 2 ' FS 2 '
系统平衡时
B
49.61N m M C 70.39N m
MC
C
例4-7
已知：力 P ，角，不计自重的 A , B 块间的静摩擦因数为 f s ，其它接触处光滑；求：使系统保持平衡的力 F 的值.
Fmax fs FN （库仑摩擦定律）
动滑动摩擦力的特点方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；
大小：
Fd f d FN
f d f s （对多数材料，通常情况下）
§4-2
摩擦角和自锁现象
一.摩擦角
FRA ---全约束力
物体处于临界平衡状态时，全约束力和法线间的夹角---摩擦角
又
Fs 1 Fs1 f s FN1 f s FN1
M C1 70.39N m
设 M C M C 2 时，系统有顺时针方向转动趋势
画两杆受力图.
M A 0
D
MA
A
B
FS 2
FN 2
FN 2 AB M A 0
M C 0
又
2 l sin 60o Fs2 l cos 60o 0 M C 2 FN
用几何法求解
解: 物块有向上滑动趋势时
F1max P tan( )
物块有向下滑动趋势时
F1min P tan( )
P tan( ) F P tan( )
利用三角公式与
tan f s ,
sin f s cos sin f s cos P FP cos f s sin cos f s sin
F
o f 0.4 , P 5 kN , h 2 a 2 m , 均质木箱重 30 ；已知： s
解：（1）取木箱，设其处于平衡状态.
Fx 0 Fs F cos 0 Fs 866N
FN 4500N
Fy 0
FN P F sin 0 a M A 0 hF cos P FN d 0 2
FA fs FNA
FB fs FNB
b a 2 fs
挺杆不被卡住时 a
b 2 fs
用几何法求解
解：
d d b (a极限 ) tan (a极限 ) tan 2 2
2a极限 tan 2a极限 fs
a极限 b 2 fs
b a 2 fs
例4-4 已知：物块重 P,鼓轮重心位于 O1处，闸杆重量不计，fs ，各尺寸如图所示. 求：制动鼓轮所需铅直力 F.
解：（1）设圆柱 O 有向下滚动趋势，取圆柱 O
M A 0 P sin θ R FT1 R M max 0
Fy 0 FN P cosθ 0
又
M max FN
FT1 P(sin θ cos θ ) R
设圆柱 O 有向上滚动趋势，取圆柱 O
M A 0
尺寸如图；
求：保持系统平衡的力偶矩 M C .
解：设 M C M C1 时，系统即将逆时针方向转动
画两杆受力图.
FN1 '
FS1 '
D
B
MA
A
FS 1
B
FN 1

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