(完整word版)(整理)数学分析教案(华东师大版)第十七章多元函数微分学

《数学分析》多元函数微分学数学分析是数学中的一个重要分支，它主要研究的是函数的变化规律。

在数学分析中，多元函数微分学是一个重要的内容，它研究的是多元函数在其中一点的微分性质。

本文将介绍多元函数微分学的基本概念和定理，以及一些相关的应用。

一、多元函数的定义在数学中，多元函数是指定义在多维空间中的函数。

通常情况下，多元函数可以用一个或多个自变量来描述，例如二元函数可以写成f(x,y)，三元函数可以写成f(x,y,z)等。

多元函数在数学分析中有着重要的应用，因此多元函数微分学也是数学分析的重要内容之一二、偏导数的定义在多元函数微分学中，偏导数是一个重要的概念。

偏导数表示函数在其中一个方向上的变化率，可以通过对函数的自变量进行偏微分来得到。

偏导数的定义如下：对于一个具有多个自变量的函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其在点(a₁,a₂, ..., an)处关于第i个自变量的偏导数定义为：∂f/∂xi = lim(h→0) [f(a₁, ..., ai+h, ..., an) - f(a₁, ...,ai, ..., an)] / h其中偏导数表示在变量xi方向上的变化率，可以通过对xi进行微小改变来计算函数f的变化量。

三、偏导数的性质偏导数具有一些性质，其中最重要的是混合偏导数的性质。

对于一个具有多个自变量的函数f，它的混合偏导数可以通过对其各个自变量的偏导数进行求导得到。

混合偏导数的性质如下：∂/∂x(∂f/∂y)=∂/∂y(∂f/∂x)这个性质表明对于一个函数f，其混合偏导数与求导的顺序无关，这为我们在实际应用中提供了便利。

四、多元函数的微分多元函数的微分是多元函数微分学中的一个重要内容。

对于一个具有多个自变量的函数f，其在其中一点处的微分可以表示为：df = ∂f/∂x₁dx₁ + ∂f/∂x₂dx₂ + ... + ∂f/∂xn dxn其中dx₁, dx₂, ..., dxn表示自变量的微小变化量。

数学分析课本（华师大三版）-习题集与答案解析第十七章第十七章多元函数微分学一、证明题 1. 证明函数=+≠++=0y x 0,0y x ,y x yx y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.2. 证明函数=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微.3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续.4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有x y1yx arctg++≈x+y.5. 试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和; (2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和. 6.设Z=()22yx f y-,其中f 为可微函数,验证x 1x Z ??+y 1y Z ??=2yZ. 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明:xZsec x + y Z ??secy=1.8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ 之下.()2x f +()2yf 是一个形式不变量,即若g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ). 则必有()2x f +()2yf =()2ug +()2vg .(其中旋转角θ是常数)9.设f(u)是可微函数, F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t), 试求:F x (0,0)与F g (0,0)10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式 F(tx,ty,tZ)=t k (x,y,z)(t>0)则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是:()z ,y ,x x F x +()z ,y ,x yF y +()z ,y ,x ZF x =KF(x,y,z).并证明:Z=xy yx xy 222-+为二次齐次函数.11..设f(x,y,z)具有性质f ()Z t ,y t ,tx mk =f t n(x,y,z)(t>0)证明:(1) f(x,y,z)=m k nx Z ,x y ,1f x ; (2) ()z ,y ,x x fx+()z ,y ,x kyf y +()z ,y ,x m zf z =nf(x,y,z).12.设由行列式表示的函数D(t)=()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n 2n 22211n 1211其中()t a ij (i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明()dt t dD =∑=n1k ()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n k n k 21k 1n 1211'???''?13.证明:(1) grad(u+c)=grad u(c 为常数);(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数); (3) grsdu v=u grad v+v grsd u; (4) grad f(u)=f '(u)grad u.14.设f(x,y)可微,L 1与L 2是R 2上的一组线性无关向量,试证明;若()0,≡y x f i λ(i=1,2)则f(x,y)≡常数.15.通过对F(x,y)=sin x cos y 施用中值定理,证明对某∈θ (0,1),有43=6cos 3cos 3πθπθπ6sin 3sin 6πθπθπ-.16.证明:函数u=()ta 4b x 22eta 21--π(a,b 为常数)满足热传导方程:tu ??=222x u a ??17.证明:函数u=()()22b y a x ln-+-(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程:22x u ??+22y u=0.18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程:22x u ??+22yu ??=0.则函数V=f(22y x x +,22y x y+)也满足此方程. 19.设函数u=()()y x φ+?,证明:x u y x u 2=y u 22x u. 20.设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0) 的某领域内存在,f yx 在点(x 0,y 0)连续,证明f xy (x 0,y 0)也存在,且f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0),21.设f x ,f y 在点(x 0,y 0)的某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微,则有 f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0)二、计算题1.求下列函数的偏导数:(1) Z=x 2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=22yx 1+;(4) Z=ln(x+y 2); (5) Z=e xy ; (6) Z=arctg xy ; (7) Z=xye sin(xy); (8) u=zx y Z x y -+; (9) u=(xy)z ; (10) u=zy x .2. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx; 求f x (x,1). 3. 设=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1ysin y)f(x,222222 考察函数f 在原点(0,0)的偏导数.4. 证明函数Z=22y x +在点(0,0)连续但偏导数不存在. 5. 考察函数=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1xysin y)f(x,222222在点(0,0)处的可微性.6. 求下列函数在给定点的全微分; (1) Z=x 4+y 4-4x 2y 2在点(0,0),(1,1);(2) Z=22yx x +在点(1,0),(0,1).7. 求下列函数的全微分; (1) Z=ysin(x+y); (2) u=xe yx +e -z +y8. 求曲面Z=arctgx y 在点4,1,1π处的切平面方程和法线方程.9. 求曲面3x 2+y 2-Z 2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10. 在曲面Z=xy 上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.11. 计算近似值:(1) 1.002×2.0032×3.0043; (2) sin29°×tg46°.12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm 高h=40cm. 若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.13. 设二元函数f 在区域D=[a,b]×[c,d]上连续 (1) 若在intD 内有f x ≡0,试问f 在D 上有何特性? (2) 若在intD 内有f x =f y ≡0,f 又怎样?(3) 在(1)的讨论中,关于f 在D 上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?14. 求曲面Z=4y x 22+与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ 轴的交角.15. 测得一物体的体积v=4.45cm 3,其绝对误差限为0.01cm 3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018,求由公式d= vw算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限. 16.求下列复合函数的偏导数或导数: (1) 设Z=arc tg(xy),y=e x ,求xdZ α; (2) 设Z=xyy x 2222e xyyx ++,求x Z ??,yZ ??; (3) 设Z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtZ ?; (4) 设Z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u Z ??，vZ；(5) 设u=f(x+y,xy),求x u ??,yu; (6) 设u=f ?Z y ,y x ,求x u ??,y u ??,Zu. 17.求函数u=xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.18.求函数u=xyz 在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数. 19.求函数u=x 2+2y 2+3z 2+xy-4x+2y-4z 在点A(0,0,0)及点B(5,-3,3z)处的梯度以及它们的模.20.设函数u=ln ??r 1,其中r=()()()222c z 0y a x -+-+- 求u 的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式gradu =1.21设函数u=222222by a x c z --,求它在点(a,b,c)的梯度.22.设r=222z y r ++,试求: (1)grad r; (2)gradr1. 23.设u=x 3+y 3+z 3－3xyz,试问在怎样的点集上grad u 分加满足:(1)垂直于Z 轴,(2)平行于Z 轴(3)恒为零向量.24.设f(x,y)可微,L 是R 2上的一个确定向量,倘若处处有f L (x,y)≡0,试问此函数f 有何特征? 25.求下列函数的高阶偏导数: (1) Z=x 4+y 4－4x 2y 2,所有二阶偏导数; (2) Z=e x (cos y+x sin y),所有二阶偏导数;(3) Z=xln(xy),y x z 23,23yx z; (4) u=xyze x+y+z ,r q p z q p zy x u++;(5) Z=f(xy 2,x 2y),所有二阶偏导数; (6) u=f(x 2+y 2+x 2),所有二阶偏导数； (7)Z=f(x+y,xy,yx),z x , z xx , Z xy . 26.求下列函数在指定点处的泰勒公式: (1) f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0)(到二阶为止); (2) f(x,y)=yx在点(1,1)(到三阶为止);(3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);(4) f(x,y)=2x 2―xy ―y 2―6x ―36+5在点(1,－2).27.求下列函数的极值点:(1) Z=3axy ―x 3―y 3 (a>0);(2) Z=x 2+5y 2―6x+10y+6;(3) Z=e 2x (x+y 2+2y).28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.(1) Z=22y x -,(){2x y ,x +}4y 2≤；(2) Z=22y x y x +-,(){}1y x y ,x ≤+;(3) Z=sinx+sing －sin(x+y),()(){}π≤+≥2y x ,0x y ,x y ,x29.在已知周长为2P 的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.30.在xy 平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y －16=0的距离平方和最小.31.已知平面上n 个点的坐标分别是()111y ,x A ,()222y ,x A ,…()n n n y ,x A .试求一点,使它与这n 个点距离的平方和最小.32.设 u=222z y x z y x1 1 1求(1)u x +u y +u z ; (2)xu x +yu x +zu z ; (3)u xx +u yy +u zz .33.设f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L 的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、三、考研复习题1. 设f(x,y,z)=x 2y+y 2z+z 2x,证明 f x +f y +f z =(x+y+z)2.2. 求函数=+≠++-=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,22222233在原点的偏导数f x (0,0)与f y (0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.3. 设 1n n 1n 21n 12n 2221n 21 x x x x x x xx x 1 1 1u ---=证明: (1)∑==??n1k k0;x u(2) ∑=-=??n1k k ku 21)n(n x u x . 4. 设函数f(x,y)具有连续的n 阶偏导数:试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n 阶导数kt)b ht,f(a y k x h dt g(t)d nn n +++??=. 5. 设 22x求x k z h y g y f x ez d zc y b x a z)y,(x,??+++++++++=?. 6. 设 (z )h (z )h (z )h (y )g (y )g (y )g (x )f (x )f (x )f z)y,Φ(x,321321321=求zy x Φ3. 7. 设函数u=f(x,y)在R 2上有u xy =0,试求u 关于x,y 的函数式.8. 设f 在点p 0(x 0,y 0)可微,且在p 0给定了n 个向量L i (i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为n2π，证明∑==n1i 0Li0)(p f.9. 设f(x,y)为n 次齐次函数,证明1)f m (n 1)n(n f y y x x m+--=???? ?+?? . 10. 对于函数f(x,y)=sinxy,试证my y x x ???? ?+??f=0.。

数学分析教案第一章 第一章 实数集与函数§1 实数(一) 教学目的：掌握实数的基本概念和最常见的不等式，以备以后各章应用． (二) 教学内容：实数的基本性质和绝对值的不等式． (1) 基本要求：实数的有序性，稠密性，阿基米德性． (2) 较高要求：实数的四则运算． (三) 教学建议：(1) 本节主要复习中学的有关实数的知识．(2) 讲清用无限小数统一表示实数的意义以及引入不足近似值与过剩近似值的作用．§2 数集.确界原理(一) 教学目的：掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念． (二) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上下界，上确界和下确界；确界原理．(1) 基本要求：掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；能用一种方式，证明集合 A 的上确界为 λ．即： ,,λ≤∈∀x A x 且 ,λ<∀a ∃0x 0,x A ∈a >；或 ,,λ≤∈∀x A x 且 ,,00A x ∈∃>∀ε ελ->0x ．(2) 较高要求：掌握确界原理的证明，并用确界原理认识实数的完备性． (三) 教学建议：(1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明具体集合的确界的习题．(2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题．§3 函数概念(一) 教学目的：掌握函数概念和不同的表示方法．(二) 教学内容：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数． (1) 基本要求：掌握函数的定义与表示法；理解复合函数与反函数；懂得初等函数的定义，认识狄利克莱函数和黎曼函数．(2) 较高要求：函数是一种关系或映射的进一步的认识． (三) 教学建议：通过狄利克莱函数和黎曼函数，使学生对函数的认识从具体上升到抽象．§4 具有某些特性的函数(一) 教学目的：掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性． (二) 教学内容：有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象函数性质的方法．(2) 本节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性．对较好学生可初步教会他们用分析语言表述否命题的方法．第二章 第二章 数列极限§1 数列极限概念(一) 教学目的：掌握数列极限概念，学会证明数列极限的基本方法． (二) 教学内容：数列极限．(1) 基本要求：理解数列极限的分析定义，学会证明数列极限的基本方法，懂得数列极限的分析定义中 ε与 N 的关系．(2) 较高要求：学会若干种用数列极限的分析定义证明极限的特殊技巧． (三)教学建议：(1) 本节的重点是数列极限的分析定义，要强调这一定义在分析中的重要性．具体教学中先教会他们证明 ∞→n lim 01=k n ； ∞→n lim n a 0=；( )1||<a ，然后教会他们用这些无穷小量来控制有关的变量（适当放大但仍小于这些无穷小量）． (2) 本节的难点仍是数列极限的分析定义．对较好学生可要求他们用数列极限的分析定义证明较复杂的数列极限，还可要求他们深入理解数列极限的分析定义．§2 数列极限的性质(一) 教学目的：掌握数列极限的主要性质，学会利用数列极限的性质求数列的极限． (二) 教学内容：数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则和数列的子列及有关子列的定理．(1) 基本要求：理解数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，并会用其中某些性质计算具体的数列的极限．(2) 较高要求：掌握这些性质的较难的证明方法，以及证明抽象形式的数列极限的方法． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是数列极限的性质的证明与运用．可对多数学生重点讲解其中几个性质的证明，多布置利用这些性质求具体数列极限的习题． (2) 本节的难点是数列极限性质的分析证明．对较好的学生，要求能够掌握这些性质的证明方法，并且会用这些性质计算较复杂的数列极限，例如： ∞→n limnn =1，等．§3 数列极限存在的条件(一) 教学目的：掌握单调有界定理，理解柯西收敛准则． (二) 教学内容：单调有界定理，柯西收敛准则．(1) 基本要求：掌握单调有界定理的证明，会用单调有界定理证明数列极限的存在性，其中包括 1lim(1)n n n →∞+存在的证明．理解柯西收敛准则的直观意义．(2) 较高要求：会用单调有界定理证明数列极限的存在性，会用柯西收敛准则判别抽象数列（极限）的敛散性．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是数列单调有界定理．对多数学生要求会用单调有界定理证明数列极限的存在性．(2) 本节的难点是柯西收敛准则．要求较好学生能够用柯西收敛准则判别数列的敛散性．第三章 函数极限 1 函数极限概念(一) 教学目的：掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限． (二) 教学内容：各种函数极限的分析定义．基本要求：掌握当 0x x →； ∞→x ； ∞+→x ； ∞-→x ； +→0x x ；-→0x x 时函数极限的分析定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限．(三) 教学建议：本节的重点是各种函数极限的分析定义．对多数学生要求主要掌握当 0x x →时函数极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函数的极限．§2 函数极限的性质(一) 教学目的：掌握函数极限的性质．(二) 教学内容：函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则．(1) 基本要求：掌握函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，并会用这些性质计算函数的极限．(2) 较高要求：理解函数极限的局部性质，并对这些局部性质作进一步的理论性的认识． (三) 教学建议：(1) (1) 本节的重点是函数极限的各种性质．由于这些性质类似于数列极限中相应的性质，可着重强调其中某些性质与数列极限的相应性质的区别和联系． (2) 本节的难点是函数极限的局部性质．对较好学生，要求懂得这些局部的 δ（的大小）不仅与 ε有关，而且与点 0x 有关，为以后讲解函数的一致连续性作准备．§3 函数极限存在的条件(一) 教学目的：掌握函数极限的归结原理和函数极限的单调有界定理，理解函数极限的柯西准则．(二) 教学内容：函数极限的归结；函数极限的单调有界定理；函数极限的柯西准则． (1) 基本要求：掌握函数极限的归结，理解函数极限的柯西准则． (2) 较高要求：能够写出各种函数极限的归结原理和柯西准则． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是函数极限的归结原理．要着重强调归结原理中数列的任意性． (2) 本节的难点是函数极限的柯西准则．要求较好学生能够熟练地写出和运用各种函数极限的归结原理和柯西准则．§4两个重要的极限(一) 教学目的：掌握两个重要极限： 0lim →x 1sin =x x ； ∞→x lim xx ⎪⎭⎫⎝⎛+11e =．(二) 教学内容：两个重要极限： 0lim →x 1sin =x x； ∞→x limxx ⎪⎭⎫⎝⎛+11e =．(1) 基本要求：掌握 0lim→x 1sin =xx的证明方法，利用两个重要极限计算函数极限与数列极限．(2) 较高要求：掌握 ∞→x lim xx ⎪⎭⎫⎝⎛+11e =证明方法．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是与两个重要的函数极限有关的计算与证明．可用方法：1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ； e x x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→)()()(11lim ψψψ，其中 )(x ϕ、 )(x ψ分别为任一趋于0或趋于∞的函数．(2) 本节的难点是利用迫敛性证明 ∞→x lim xx ⎪⎭⎫⎝⎛+11e =．§5 无穷小量与无穷大量(一) 教学目的：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．(二) 教学内容：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷大． (1) 基本要求：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． (2) 较高要求：能够写出无穷小量与无穷大量的分析定义，并用分析定义证明无穷小量与无穷大量．在计算及证明中，熟练使用“ o ”与“ O ”． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． (2) (2) 本节的难点是熟练使用“ o ”与“ O ”进行运算．第四章 第四章 函数的连续性§1 连续性概念(一) 教学目的：掌握函数连续性概念．(二) 教学内容：函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类．(1) 基本要求：掌握函数连续性概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点，区间上的连续函数的定义．(2) 较高要求：讨论黎曼函数的连续性． (三) 教学建议：(1) (1) 函数连续性概念是本节的重点．对学生要求懂得函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的 分类．(2) 本节的难点是用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性，可在此节中对较好学生布置有关习题．§2 连续函数的性质(一) 教学目的：掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质．(二) 教学内容：连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性．(1) 基本要求：掌握函数局部性质概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点；了解闭区间上连续函数的性质．(2) 较高要求：对一致连续性的深入理解．(三)教学建议：(1)函数连续性概念是本节的重点．要求学生掌握函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类，了解连续函数的整体性质．对一致连续性作出几何上的解释．(2)(2)本节的难点是连续函数的整体性质，尤其是一致连续性和非一致连续性的特征．可在此节中对较好学生布置判别函数一致连续性的习题．§3 初等函数的连续性(一) 教学目的：了解指数函数的定义，掌握初等函数的连续性．(二) 教学内容：指数函数的定义；初等函数的连续性．(1) 基本要求：掌握初等函数的连续性．(2) 较高要求：掌握指数函数的严格定义．(三)教学建议：(1) 本节的重点是初等函数的连续性．要求学生会用初等函数的连续性计算极限．(2) 本节的难点是理解和掌握指数函数的性质．第五章导数和微分§1 导数的概念(一) 教学目的：掌握导数的概念，了解费马定理、达布定理．(二) 教学内容：函数的导数，函数的左导数，右导数，有限增量公式，导函数．(1) 基本要求：掌握函数在一点处的导数是差商的极限．了解导数的几何意义，理解费马定理．(2) 较高要求：理解达布定理．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是导数的定义和导数的几何意义．会用定义计算函数在一点处的导数．(2) 本节的难点是达布定理．对较好学生可布置运用达布定理的习题．§2 求导法则(一) 教学目的：熟练掌握求导法则和熟记基本初等函数的求导公式．(二) 教学内容：导数的四则运算，反函数求导，复合函数的求导，基本初等函数的求导公式．基本要求：熟练掌握求导法则和熟记基本初等函数的求导公式．(三) 教学建议：求导法则的掌握和运用对以后的学习至关重要，要安排专门时间督促和检查学生学习情况．§3 参变量函数的导数(一) 教学目的：掌握参变量函数的导数的求导法则．(二) 教学内容：参变量函数的导数的求导法则．基本要求：熟练掌握参变量函数的导数的求导法则．(三) 教学建议：通过足量习题使学生掌握参变量函数的导数的求导法则．§4高阶导数(一) 教学目的：掌握高阶导数的概念，了解求高阶导数的莱布尼茨公式．(二) 教学内容：高阶导数；求高阶导数的莱布尼茨公式．(1)基本要求：掌握高阶导数的定义，能够计算给定函数的高阶导数．(2) 较高要求：掌握并理解参变量函数的二阶导数的求导公式．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是高阶导数的概念和计算．要求学生熟练掌握．(2) 本节的难点是高阶导数的莱布尼茨公式，特别是参变量函数的二阶导数．要强调对参变量求导与对自变量求导的区别．可要求较好学生掌握求参变量函数的二阶导数．§5 微分(一) 教学目的：掌握微分的概念和微分的运算方法，了解高阶微分和微分在近似计算中的应用．(二) 教学内容：微分的概念，微分的运算法则，高阶微分，微分在近似计算中的应用．(1) 基本要求：掌握微分的概念，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性．(2) 较高要求：掌握高阶微分的概念．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是掌握微分的概念，要讲清微分是全增量的线性主部．(2) 本节的难点是高阶微分，可要求较好学生掌握这些概念．第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性(一) 教学目的：掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．(二) 教学内容：罗尔中值定理；拉格朗日中值定理．(1) 基本要求：掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．(2) 较高要求：掌握导数极限定理．(三) 教学建议：(1)(1)本节的重点是掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，要求牢记定理的条件与结论，知道证明的方法．(2)(2)本节的难点是用拉格朗日中值定理证明有关定理与解答有关习题．可要求较好学生掌握通过设辅助函数来运用微分中值定理．§2 柯西中值定理和不定式极限(一) 教学目的：了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求不定式极限． (二) 教学内容：柯西中值定理；洛必达法则的使用．(1) 基本要求：了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求各种不定式极限．(2) 较高要求：掌握洛必达法则 0型定理的证明．(三) 教学建议：(1) (1) 本节的重点是掌握用洛必达法则求各种不定式极限．可强调洛必达法则的重要性，并总结求各 种不定式极限的方法． (2) 本节的难点是掌握洛必达法则定理的证明，特别是 ∞∞型的证明．§3 泰勒公式(一) 教学目的：理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式．(二) 教学内容：带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式及其在近似计算中的应用．(1) 基本要求：了解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式，熟记六个常见函数的麦克劳林公式． (2) 较高要求：用泰勒公式计算某些 0型极限．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式． (2) 本节的难点是掌握带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式的证明．对较好学生可要求掌握证明的方法． §4函数的极值与最大(小)值(一) 教学目的：掌握函数的极值与最大(小)值的概念． (二) 教学内容：函数的极值与最值．(1) 基本要求：掌握函数的极值的第一、二充分条件；学会求闭区间上连续函数的最值及其应用．(2) 较高要求：掌握函数的极值的第三充分条件． (三) 教学建议：教会学生以函数的不可导点和导函数（以及二阶导数）的零点（稳定点）分割函数定义域，作自变量、导函数（以及二阶导数）、函数的性态表，这个表给出函数的单调区间，凸区间，极值．这对后面的函数作图也有帮助．§5 函数的凸性与拐点(一) 教学目的：掌握函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式． (二) 教学内容：函数的凸性与拐点．(1) 基本要求：掌握函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式．(2) 较高要求：运用詹森不等式证明或构造不等式，左、右导数的存在与连续的关系． (三) 教学建议：(1) 教给学生判断凸性的充分条件即可，例如导函数单调． (2) 本节的难点是运用詹森不等式证明不等式．§6 函数图象的讨论(一) 教学目的：掌握函数图象的大致描绘．(二) 教学内容：作函数图象．(1) 基本要求：掌握直角坐标系下显式函数图象的大致描绘．(2) 较高要求：能描绘参数形式的函数图象．(三)教学建议：教会学生根据函数的性态表，以及函数的单调区间，凸区间，大致描绘函数图象．第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理(一)教学目的：掌握区间套定理和柯西判别准则的证明，了解有限覆盖定理和聚点定理(较熟练运用致密性定理)．(二)教学内容：区间套定理、柯西判别准则的证明；聚点定理；有限覆盖定理．(1) 基本要求：掌握和运用区间套定理、致密性定理．(2)较高要求：掌握聚点定理和有限覆盖定理的证明与运用．(三) 教学建议：(1)(1)本节的重点是区间套定理和致密性定理．教会学生在什么样情况下应用区间套定理和致密性定理以及如何应用区间套定理和致密性定理．(2) 本节的难点是掌握聚点定理和有限覆盖定理．教会较好学生如何应用聚点定理和有限覆盖定理．§2 闭区间上的连续函数性质的证明(一) 教学目的：证明闭区间上的连续函数性质．(二) 教学内容：闭区间上的连续函数有界性的证明；闭区间上的连续函数的最大(小)值定理的证明；闭区间上的连续函数介值定理的证明；闭区间上的连续函数一致连续性的证明．(1)(1)基本要求：掌握用有限覆盖定理或用致密性定理证明闭区间上连续函数的有界性；用确界原理证明闭区间上的连续函数的最大(小)值定理；用区间套定理证明闭区间上的连续函数介值定理．(2) 较高要求：掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的有界性和一致连续性．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是证明闭区间上的连续函数的性质．(2) 本节的难点是掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性以及实数完备性的六大定理的等价性证明，对较好学生可布置这方面的习题．第八章不定积分§1不定积分的概念与基本积分公式(一) 教学目的：掌握原函数的概念和基本积分公式(二) 教学内容：原函数的概念；基本积分公式；不定积分的几何意义．基本要求：熟练掌握原函数的概念和基本积分公式．(三) 教学建议：(1) 不定积分是以后各种积分计算的基础，要求熟记基本积分公式表．(2) 适当扩充基本积分公式表．§2 换元积分法与分部积分法(一) 教学目的：掌握第一、二换元积分法与分部积分法．(二) 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法．(三) 教学建议：(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题．(2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法．§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分(一) 教学目的：会计算有理函数和可化为有理函数的不定积分．(二) 教学内容：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．(1) 基本要求：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．(2) 较高要求：利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分．(三) 教学建议：(1) 适当布置有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的不定积分的习题．(2) 本节的难点是利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分，可要求较好学生掌握．第九章定积分§1 定积分的概念(一) 教学目的：引进定积分的概念．(二) 教学内容：定积分的定义．基本要求：掌握定积分的定义，了解定积分的几何意义和物理意义．(三) 教学建议：要求掌握定积分的定义，并了解定积分的几何意义．§2 牛顿-莱布尼茨公式(一) 教学目的：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式．(二) 教学内容：牛顿-莱布尼茨公式．(1) 基本要求：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式．(2) 较高要求：利用定积分的定义来处理一些特殊的极限．(三) 教学建议：(1) 要求能证明并应用牛顿-莱布尼茨公式．(2) 利用定积分的定义来处理一些特殊的极限是一个难点，对学习较好的学生可布置这种类型的题目．§3 可积条件(一) 教学目的：理解定积分的充分条件，必要条件和充要条件．(二) 教学内容：定积分的充分条件和必要条件；可积函数类(1) 基本要求：掌握定积分的第一、二充要条件．(2) 较高要求：掌握定积分的第三充要条件．(三) 教学建议：(1) 理解定积分的第一、二充要条件是本节的重点，要求学生必须掌握．(2) 证明定积分的第一、二、三充要条件是本节的难点．对较好学生可要求掌握这些定理的证明以及证明某些函数的不可积性．§4定积分的性质(一) 教学目的：掌握定积分的性质．(二) 教学内容：定积分的基本性质；积分第一中值定理．(1) 基本要求：掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理．(2) 较高要求：较难的积分不等式的证明．(三) 教学建议：(1) 定积分的基本性质和积分第一中值定理是本节的重点，要求学生必须掌握并灵活应用．(2) 较难的积分不等式的证明是本节的难点．对较好学生可布置这方面的习题．§5 微积分学基本定理(一) 教学目的：掌握微积分学基本定理．(二) 教学内容：变上限的定积分；变下限的定积分；微积分学基本定理；积分第二中值定理，换元积分法；分部积分法；泰勒公式的积分型余项．(1) 基本要求：掌握变限的定积分的概念；掌握微积分学基本定理和换元积分法及分部积分法．(2) 较高要求：掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项．(三)教学建议：(1) 微积分学基本定理是本节的重点，要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与结论．(2) 积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项是本节的难点．对较好学生要求他们了解这些内容．第十章定积分的应用§1平面图形的面积(一) 教学目的：掌握平面图形面积的计算公式．(二) 教学内容：平面图形面积的计算公式．(1) 基本要求：掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式．(2) 较高要求：提出微元法的要领．(三) 教学建议：(1)本节的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握．(二) 教学内容：无穷积分；瑕积分．基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义与计算方法．(三) 教学建议：讲清反常积分是变限积分的极限．(2) 领会微元法的要领．§2 由平行截面面积求体积(一) 教学目的：掌握由平行截面面积求体积的计算公式(二) 教学内容：由平行截面面积求体积的计算公式．基本要求：掌握由平行截面面积求体积的计算公式．(三) 教学建议：(1) 要求学生必须熟记由平行截面面积求体积的计算公式并在应用中熟练掌握．(2) 进一步领会微元法的要领．§3 平面曲线的弧长与曲率(一) 教学目的：掌握平面曲线的弧长与曲率(二) 教学内容：平面曲线的弧长与曲率的计算公式．(1) 基本要求：掌握平面曲线的弧长计算公式．(2) 较高要求：掌握平面曲线的曲率计算公式．(三) 教学建议：(1) 要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式．(2) 对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式．§4 旋转曲面的面积(一) 教学目的：掌握旋转曲面的面积计算公式．(二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式．基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式．(三) 教学建议：要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积．§5 定积分在物理中的某些应用(一) 教学目的：掌握定积分在物理中的应用的基本方法．(二) 教学内容：液体静压力；引力；功与平均功率．(1) 基本要求：要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(2) 较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(三) 教学建议：要求学生必须理解和会用求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．十一章反常积分§1反常积分的概念(一) 教学目的：掌握反常积分的定义与计算方法．。

第十七章 多元函数微分学一、证明题1. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.2. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微.3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续.4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有x y1y x arctg ++≈x+y. 5. 试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.6.设Z=()22y x f y -,其中f 为可微函数,验证 x 1xZ ∂∂+y 1y Z ∂∂=2y Z . 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明:x Z ∂∂ sec x + y Z ∂∂secy=1. 8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ之下.()2x f +()2y f 是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ).则必有()2x f +()2y f =()2u g +()2vg .(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u)是可微函数,F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),试求:F x (0,0)与F g (0,0)10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tZ)=t k (x,y,z)(t>0)则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是:()z ,y ,x x F x +()z ,y ,x yF y +()z ,y ,x ZF x =KF(x,y,z).并证明:Z=xy y x xy 222-+为二次齐次函数.11..设f(x,y,z)具有性质f ()Z t ,y t ,tx m k =f t n (x,y,z)(t>0) 证明:(1) f(x,y,z)=⎪⎭⎫ ⎝⎛m k n x Z ,x y ,1f x ; (2) ()z ,y ,x x f x +()z ,y ,x kyf y +()z ,y ,x m zf z =nf(x,y,z).12.设由行列式表示的函数D(t)=()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n 2n 22211n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中()t a ij (i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明()dt t dD =∑=n 1k ()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n k n k 21k 1n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅''⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 13.证明:(1) grad(u+c)=grad u(c 为常数);(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数);(3) grsdu v=u grad v+v grsd u;(4) grad f(u)=f '(u)grad u.14.设f(x,y)可微,L 1与L 2是R 2上的一组线性无关向量,试证明;若()0,≡y x f i λ(i=1,2)则f(x,y)≡常数.15.通过对F(x,y)=sin x cos y 施用中值定理,证明对某∈θ (0,1),有43=6cos 3cos 3πθπθπ6sin 3sin 6πθπθπ-. 16.证明:函数 u=()t a 4b x 22e t a 21--π(a,b 为常数)满足热传导方程:tu ∂∂=222x u a ∂∂ 17.证明:函数u=()()22b y a x ln -+-(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程:22x u ∂∂+22yu ∂∂=0. 18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程: 22x u ∂∂+22yu ∂∂=0.则函数V=f(22y x x +,22y x y +)也满足此方程. 19.设函数u=()()y x φ+ϕ,证明:⋅∂∂x u y x u 2∂∂∂=⋅∂∂y u 22x u ∂∂. 20.设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0) 的某领域内存在,f yx 在点(x 0,y 0)连续,证明f xy (x 0,y 0)也存在,且f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0),21.设f x ,f y 在点(x 0,y 0)的某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微,则有f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0)二、计算题1.求下列函数的偏导数:(1) Z=x 2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=22y x 1+;(4) Z=ln(x+y 2); (5) Z=e xy ; (6) Z=arctgx y ; (7) Z=xye sin(xy); (8) u=zx y Z x y -+; (9) u=(xy)z ; (10) u=z y x.2. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx ; 求f x (x,1). 3. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1ysin y)f(x,222222考察函数f 在原点(0,0)的偏导数.4. 证明函数Z=22y x +在点(0,0)连续但偏导数不存在.5. 考察函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1xysin y)f(x,222222在点(0,0)处的可微性.6. 求下列函数在给定点的全微分;(1) Z=x 4+y 4-4x 2y 2在点(0,0),(1,1); (2) Z=22y x x+在点(1,0),(0,1).7. 求下列函数的全微分;(1) Z=ysin(x+y);(2) u=xe yx +e -z +y8. 求曲面Z=arctg x y 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1,1π处的切平面方程和法线方程. 9. 求曲面3x 2+y 2-Z 2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10. 在曲面Z=xy 上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.11. 计算近似值:(1) 1.002×2.0032×3.0043;(2) sin29°×tg46°.12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm 高h=40cm. 若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.13. 设二元函数f 在区域D=[a,b]×[c,d]上连续(1) 若在intD 内有f x ≡0,试问f 在D 上有何特性?(2) 若在intD 内有f x =f y ≡0,f 又怎样?(3) 在(1)的讨论中,关于f 在D 上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?14. 求曲面Z=4y x 22+与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ 轴的交角. 15. 测得一物体的体积v=4.45cm 3,其绝对误差限为0.01cm 3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018,求由公式d=vw 算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限. 16.求下列复合函数的偏导数或导数: (1) 设Z=arc tg(xy),y=e x ,求xdZ α; (2) 设Z=xy y x 2222e xy y x ++,求x Z ∂∂,y Z ∂∂; (3) 设Z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtZ ∂; (4) 设Z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u Z ∂∂，v Z ∂∂； (5) 设u=f(x+y,xy),求x u ∂∂,yu ∂∂; (6) 设u=f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z y ,y x ,求x u ∂∂,y u ∂∂,Z u ∂∂. 17.求函数u=xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.18.求函数u=xyz 在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数.19.求函数u=x 2+2y 2+3z 2+xy-4x+2y-4z 在点A(0,0,0)及点B(5,-3,3z )处的梯度以及它们的模. 20.设函数u=ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛r 1,其中r=()()()222c z 0y a x -+-+- 求u 的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式gradu =1.21设函数u=222222by a x c z --,求它在点(a,b,c)的梯度. 22.设r=222z y r ++,试求:(1)grad r; (2)grad r1. 23.设u=x 3+y 3+z 3－3xyz,试问在怎样的点集上grad u 分加满足:(1)垂直于Z 轴,(2)平行于Z 轴(3)恒为零向量.24.设f(x,y)可微,L 是R 2上的一个确定向量,倘若处处有f L (x,y)≡0,试问此函数f 有何特征?25.求下列函数的高阶偏导数:(1) Z=x 4+y 4－4x 2y 2,所有二阶偏导数;(2) Z=e x (cos y+x sin y),所有二阶偏导数; (3) Z=xln(xy),y x z 23∂∂∂,23yx z ∂∂∂; (4) u=xyze x+y+z ,r q p z q p zy x u ∂∂∂∂++; (5) Z=f(xy 2,x 2y),所有二阶偏导数;(6) u=f(x 2+y 2+x 2),所有二阶偏导数； (7)Z=f(x+y,xy,yx ),z x , z xx , Z xy . 26.求下列函数在指定点处的泰勒公式:(1) f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0)(到二阶为止); (2) f(x,y)=yx 在点(1,1)(到三阶为止); (3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);(4) f(x,y)=2x 2―xy ―y 2―6x ―36+5在点(1,－2).27.求下列函数的极值点:(1) Z=3axy ―x 3―y 3 (a>0);(2) Z=x 2+5y 2―6x+10y+6;(3) Z=e 2x (x+y 2+2y).28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.(1) Z=22y x -,(){2x y ,x +}4y 2≤； (2) Z=22y x y x +-,(){}1y x y ,x ≤+; (3) Z=sinx+sing －sin(x+y),()(){}π≤+≥2y x ,0x y ,x y ,x29.在已知周长为2P 的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.30.在xy 平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y －16=0的距离平方和最小.31.已知平面上n 个点的坐标分别是 ()111y ,x A ,()222y ,x A ,…()n n n y ,x A .试求一点,使它与这n 个点距离的平方和最小.32.设 u=222z y x z y x1 1 1求(1)u x +u y +u z ; (2)xu x +yu x +zu z ; (3)u xx +u yy +u zz .33.设f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L 的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、三、考研复习题1. 设f(x,y,z)=x 2y+y 2z+z 2x,证明f x +f y +f z =(x+y+z)2.2. 求函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,22222233在原点的偏导数f x (0,0)与f y (0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.3. 设 1nn1n 21n 12n 2221n21 x x x x x x x x x 11 1u ---=证明: (1)∑==∂∂n 1k k0;x u (2) ∑=-=∂∂n 1k k k u 21)n(n x u x . 4. 设函数f(x,y)具有连续的n 阶偏导数:试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n 阶导数 kt)b ht,f(a y k xh dt g(t)d n n n ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=. 5. 设 22x 求xk z h y g y f x e z d z c y b x a z)y,(x,∂∂+++++++++=ϕϕ. 6. 设 (z)h (z)h (z)h (y)g (y)g (y)g (x)f (x)f (x)f z)y,Φ(x,321321321=求z y x Φ3∂∂∂∂. 7. 设函数u=f(x,y)在R 2上有u xy =0,试求u 关于x,y 的函数式.8. 设f 在点p 0(x 0,y 0)可微,且在p 0给定了n 个向量L i (i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为n2π，证明 ∑==n 1i 0Li 0)(p f.9. 设f(x,y)为n 次齐次函数,证明 1)f m (n 1)n(n f y y x x m +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ . 10. 对于函数f(x,y)=sin xy ,试证 m y y x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂f=0.。

数学分析教案（华东师大版）导数和微分一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义；2. 掌握导数的计算法则；3. 学会应用导数解决实际问题，如求函数的极值、单调区间等；4. 理解微分的概念及其应用。

二、教学内容1. 导数的定义与几何意义引入极限的概念，说明导数是函数在某一点的切线斜率；解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率；借助几何图形，展示导数表示切线的斜率。

2. 导数的计算法则幂函数、指数函数、对数函数的导数；三角函数的导数；复合函数的导数（链式法则）；反函数的导数；高阶导数。

3. 应用导数解决实际问题求函数的极值；判断函数的单调性；求解曲线的切线方程；应用导数解决物理、经济等领域的实际问题。

4. 微分的概念与计算引入微分的概念，说明微分表示函数在某一点的增量；掌握微分的计算法则，如乘法法则、幂函数的微分等；应用微分求解函数的增量。

三、教学方法1. 采用讲授法，系统地介绍导数和微分的概念、计算法则及应用；2. 借助图形和实例，直观地展示导数和微分的几何意义；3. 引导学生通过练习，巩固所学知识，提高解题能力；4. 鼓励学生提问、讨论，提高课堂互动性。

四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源；2. 投影仪、黑板、粉笔等教学工具；3. 练习题及答案。

五、教学评价1. 课堂提问：检查学生对导数和微分概念、计算法则的理解；2. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握程度；3. 章节测试：检测学生对导数和微分知识的综合运用能力。

六、教学内容5. 利用导数研究函数的极值与单调性定义极值的概念，介绍第一类和第二类极值；利用导数判断函数的单调区间；求解函数的极值点和单调区间。

6. 洛必达法则与极限的计算引入洛必达法则，解释其在极限计算中的应用；演示洛必达法则的具体操作步骤；练习使用洛必达法则计算极限。

七、教学内容7. 高阶导数与隐函数求导定义高阶导数，介绍高阶导数的计算法则；引入隐函数的概念，讲解隐函数求导的方法；举例说明隐函数求导的应用。

第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时 )一、数学分析(mathematical analysis)简介:1.背景: 从切线、面积、计算sin、实数定义等问题引入.322.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算：3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程：1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点:逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.四、课堂讲授方法:1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；[2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；[3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；[5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。

数学分析第十七章多元函数微分学首先介绍多元函数的偏导数。

偏导数是指多元函数在其中一点处，沿着其中一坐标轴方向求导得到的导数。

对于函数$z=f(x, y)$，其偏导数可以表示为$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}$和$\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$。

求解偏导数的方法与一元函数的求导类似，将其它变量视为常数，对变量进行求导。

然后介绍全微分。

对于函数$z=f(x, y)$，它的全微分表示为$d z =\frac{{\partial z}}{{\partial x}}dx+\frac{{\partialz}}{{\partial y}}dy$。

全微分可以看作是函数在其中一点附近的变化率，可以用来近似表示函数的变化情况。

通过全微分可以推导出偏导数和方向导数的关系。

接下来介绍方向导数和梯度。

方向导数表示函数在其中一点沿着其中一方向的变化率，可以用来描述函数的变化速度和方向。

对于函数$z=f(x, y)$，它的方向导数可以表示为$\frac{{\partial z}}{{\partialx}}cos\alpha+\frac{{\partial z}}{{\partial y}}cos\beta$，其中$\alpha$和$\beta$是方向向量的夹角。

梯度是一个向量，它的方向与函数在其中一点的最大方向导数方向相同，大小为最大方向导数的值。

对于函数$z=f(x, y)$，它的梯度可以表示为$\nabla z = \frac{{\partial z}}{{\partialx}}\mathbf{i}+\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\mathbf{j}$。

梯度可以用来判断函数在其中一点的变化速度最快的方向和大小。

最后介绍多元函数的极值。

对于函数$z=f(x, y)$，要求出它的极值，首先需要求出函数的偏导数，并解出偏导数为零的方程组。

第十七章多元函数微分学教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。

教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。

教学时数：18学时§1 可微性一．可微性与全微分：1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时.2．全微分:例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1二.偏导数:1.偏导数的定义、记法:2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.3.求偏导数:例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 .例5. 求偏导数.例6. 求偏导数.例7. 求偏导数, 并求.例8. 求和.解=,=.例9证明函数在点连续, 并求和.证. 在点连续 .,不存在 .三.可微条件:1.必要条件:Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微, 和存在, 且. ( 证) 由于, 微分记为.定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件, 但不充分.例10考查函数在原点的可微性 . [1]P110 例5 .2.充分条件:Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在,则函数在点可微 .证.即在点可微 .要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .例11验证函数在点可微, 但和在点处不连续 . (简证,留为作业)证因此, 即,在点可微, . 但时, 有,沿方向不存在, 沿方向极限不存在; 又时,,因此, 不存在, 在点处不连续. 由关于和对称,也在点处不连续 .四.中值定理:Th 4 设函数在点的某邻域内存在偏导数 . 若属于该邻域, 则存在和, , 使得. ( 证) 例12设在区域D内. 证明在D内.五.连续、偏导数存在及可微之间的关系：六.可微性的几何意义与应用：1．可微性的几何意义：切平面的定义. P113.Th 5 曲面在点存在不平行于轴的切平面的充要条件是函数在点可微 . ( 证略)2. 切平面的求法: 设函数在点可微，则曲面在点处的切平面方程为（其中），法线方向数为，法线方程为.例13试求抛物面在点处的切平面方程和法线方程 . P115例63. 作近似计算和误差估计: 与一元函数对照, 原理 .例14 求的近似值. P115例7例15 应用公式计算某三角形面积 . 现测得,. 若测量的误差为的误差为. 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. P116.§2 复合函数微分法简介二元复合函数: .以下列三种情况介绍复合线路图;, ;.一.链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数在点D可微, 函数在点可微, 则复合函数在点可微, 且,. ( 证) P118称这一公式为链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”或“并联加，串联乘”）来概括 .对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱.对外元, 内元, 有，.外元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数.例1. 求和. P120例1例2, . 求和.例3, 求和.例4设函数可微 ..求、和.例5用链导公式计算下列一元函数的导数:ⅰ> ; ⅱ> . P121例4例6设函数可微. 在极坐标变换下, 证明. P120例2 例7设函数可微, . 求证.二.复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 .例8. 利用全微分形式不变性求, 并由此导出和.P122 例5§3 方向导数和梯度一．方向导数：1．方向导数的定义：定义设三元函数在点的某邻域内有定义 .为从点出发的射线 . 为上且含于内的任一点, 以表示与两点间的距离 . 若极限存在, 则称此极限为函数在点沿方向的方向导数, 记为或、.对二元函数在点, 可仿此定义方向导数 .易见, 、和是三元函数在点分别沿轴正向、轴正向和轴正向的方向导数 .例1=. 求在点处沿方向的方向导数,其中ⅰ>为方向; ⅱ>为从点到点的方向.解ⅰ>为方向的射线为. 即. ,.因此,ⅱ>从点到点的方向的方向数为方向的射线为., ;.因此,2. 方向导数的计算:Th 若函数在点可微, 则在点处沿任一方向的方向导数都存在, 且++,其中、和为的方向余弦. ( 证) P125 对二元函数, +, 其中和是的方向角.註由++==, , , , , 可见, 为向量, , 在方向上的投影.例2 ( 上述例1 )解ⅰ>的方向余弦为=, =, =.=1 , =, =.因此, =++=.ⅱ>的方向余弦为=, =, =. 因此, =.可微是方向导数存在的充分条件, 但不必要 .例3 P126 .二. 梯度( 陡度):1. 梯度的定义: , , .|= .易见, 对可微函数, 方向导数是梯度在该方向上的投影.2. 梯度的几何意义: 对可微函数, 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为|.其中是与夹角. 可见时取最大值, 在的反方向取最小值 .3. 梯度的运算:ⅰ> .ⅱ>(+) = +.ⅲ> () = +.ⅳ> .ⅴ> () = .证ⅳ> , ..§4 Taylor公式和极值问题一、高阶偏导数:1.高阶偏导数的定义、记法：例9 求二阶偏导数和. P128例1 例10 . 求二阶偏导数. P128例2 2.关于混合偏导数: P129—131.3.求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式, P131-132例11 . 求和. P132例34. 验证或化简偏微分方程:例12 . 证明+ . ( Laplace方程) 例13 将方程变为极坐标形式.解., , , ., ;因此, .方程化简为.例14试确定和, 利用线性变换将方程化为.解, .=+++==+2+.=+++==++.=++.因此,+ (+ . 令, 或或……, 此时方程化简为.二．中值定理和泰肋公式：凸区域 .Th 1 设二元函数在凸区域D 上连续, 在D的所有内点处可微 . 则对D内任意两点 D , 存在, 使.证令.系若函数在区域D上存在偏导数, 且, 则是D上的常值函数.二. Taylor公式:Th 2 (Taylor公式) 若函数在点的某邻域内有直到阶连续偏导数, 则对内任一点,存在相应的, 使证P134例1 求函数在点的Taylor公式( 到二阶为止) . 并用它计算P135—136例4 .三. 极值问题:1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值.例2 P136例52．极值的必要条件：与一元函数比较 .Th 3 设为函数的极值点 . 则当和存在时, 有=. ( 证)函数的驻点、不可导点，函数的可疑点 .3. 极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实)二次型. 其矩阵为.ⅰ> 是正定的,顺序主子式全,是半正定的,顺序主子式全;ⅱ> 是负定的,, 其中为阶顺序主子式.是半负定的, .ⅲ> < 0时, 是不定的.充分条件的讨论: 设函数在点某邻域有二阶连续偏导数 . 由Taylor公式, 有++ .令, , , 则当为驻点时, 有.其中.可见式的符号由二次型完全决定.称该二次型的矩阵为函数的Hesse矩阵. 于是由上述代数准备, 有ⅰ> , 为( 严格) 极小值点;ⅱ> , 为( 严格) 极大值点;ⅲ> 时, 不是极值点;ⅳ> 时, 可能是极值点, 也可能不是极值点 .综上, 有以下定理 .Th 4 设函数在点的某邻域内有连续的二阶偏导数, 是驻点 . 则ⅰ> 时, 为极小值点;ⅱ> 时, 为极大值点;ⅲ> 时, 不是极值点;ⅳ> 时, 可能是极值点, 也可能不是极值点 .例3—7 P138—140 例6—10 .四．函数的最值：例8 求函数在域D = 上的最值 .解令解得驻点为. .在边界上, , 驻点为, ;在边界上, , 没有驻点;在边界上, , 驻点为, .又.于是,..[]。

数学分析教案（华东师大版）：导数和微分第一章：导数概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。

强调导数的重要性：导数可以描述函数在某一点的局部性质，如增减性、凹凸性等。

1.2 导数的计算讲解导数的计算方法：常数函数的导数为0；幂函数的导数为其指数乘以底数的指数减1；指数函数的导数为底数；对数函数的导数为1除以函数的底数；三角函数的导数分别为各自的导数公式。

1.3 导数的应用解释导数的应用：求函数的极值：导数为0的点可能是极值点，通过二阶导数判断；求函数的单调区间：导数大于0表示函数递增，导数小于0表示函数递减；求曲线的切线方程：利用导数求出切点坐标和切线斜率，写出切线方程。

第二章：微分2.1 微分的概念解释微分的定义：微分是导数的一个局部线性逼近，表示函数在某一点的增量与自变量的增量之比。

强调微分的重要性：微分可以用来近似计算函数在某一点的增量，简化计算。

2.2 微分的计算讲解微分的计算方法：利用导数计算微分：微分等于函数在该点的导数乘以自变量的增量；微分的性质：微分是无穷小量，具有线性、齐次性和对称性。

2.3 微分的应用解释微分的应用：近似计算函数在某一点的增量：利用微分公式，将自变量的增量代入计算；求曲线的切线：利用微分求出切点坐标和切线斜率，写出切线方程；微分方程的求解：通过微分方程描述物理、化学等现象的规律，求解未知函数。

第三章：导数和微分的进一步应用3.1 洛必达法则介绍洛必达法则：当函数在某一点的导数为0时，可以通过求导数的极限来判断该点是否为极值点。

3.2 罗尔定理介绍罗尔定理：如果函数在某一区间内有两个不同的点处的导数相等，则在这两点之间存在一个点，使得函数在该点处的导数为0。

3.3 泰勒公式介绍泰勒公式：将函数在某一点附近展开为多项式，可以用来近似计算函数在该点附近的值。

第四章：高阶导数4.1 高阶导数的定义解释高阶导数的定义：函数的n阶导数是其导数的导数，即导数的导数直到第n 次。

数学分析教案华东师大版一、教学目标通过本课程的学习，学生应该能够：1.熟悉数学分析的基本概念和基本原理；2.掌握数学分析中的常用方法和技巧；3.培养数学分析的思维方式和解决问题的能力；4.培养学生的数学思维和创造性思维。

二、教学内容本教案主要包括以下内容：1.函数、极限与连续性–函数的定义和性质–极限的定义和性质–连续函数的定义和性质–极限存在的判定方法–无穷小量与无穷大量2.一元函数的微分学–导数的定义和性质–导数的几何意义和物理意义–某类函数的导数–高阶导数与导数的运算法则–隐函数与参数方程的求导公式3.一元函数的积分学–积分的定义和性质–函数的原函数与不定积分–定积分的定义和性质–定积分的计算方法–积分中值定理4.多元函数的微分学–多元函数的定义和性质–多元函数的极限和连续性–偏导数和全微分–隐函数与参数方程的求导公式–多元函数的极值与最值问题5.多元函数的积分学–重积分的定义和性质–二重积分的计算方法–三重积分的计算方法–曲线与曲面的面积与弧长–应用于物理和几何的多重积分三、教学方法1.讲授法：通过讲解基本概念和原理，逐步引导学生掌握数学分析的基本知识；2.示例法：通过实际例子和问题，帮助学生理解和应用数学分析的方法和技巧；3.探究法：引导学生通过自主思考和探索，培养解决问题的能力和创造性思维；4.实践法：通过实际应用和实验，帮助学生将数学分析知识应用到实际问题中。

四、教学工具在教学过程中，我们将使用以下工具：1.教材：华东师大版《数学分析》教材；2.黑板和白板：用于讲解和演示数学分析的概念和方法；3.计算器：用于计算和验证数学分析中的计算步骤；4.电脑和投影仪：用于展示教材、图片和视频资料；5.实验器材：用于进行一些实际应用和实验。

五、教学评价为了评价学生的学习效果和掌握程度，我们将采用以下方式进行评价：1.平时成绩：包括作业完成情况、课堂参与度等；2.期中考试：对学生的理论知识和基本应用进行考核；3.期末考试：对学生的综合应用和解决问题能力进行考核；4.实验报告和小组项目：对学生的实践能力和团队合作能力进行考核；5.学习笔记和讨论记录：对学生的学习态度和思维能力进行考核。

§3 方向导数与梯度教学目的 掌握方向导数与梯度的定义，学会计算方向导数与梯度．教学要求 掌握方向导数与梯度的定义，掌握方向导数与梯度的计算． 教学建议(1) 适当介绍引入方向导数和梯度的意义（物理意义和计算方法上的意义）．(2) 对学生强调方向导数存在性与偏导数存在性和可微性的区别与联系． 教学程序一、 方向导数：（一）、方向导数的定义：定义 设三元函数f 在点),,(0000z y x P 的某邻域)(0P ⊂3R 内有定义 . l 为从点0P 出发的射线 . ),,(z y x P 为l 上且含于)(0P 内的任一点 , 以ρ表示P 与0P 两点间的距离 . 若极限 ρρρρf P f P f l ∆=-++→→000lim )()(lim存在 , 则称此极限为函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数 , 记为0P l f ∂∂ 或)(0P f l 、),,(000z y x f l . 对二元函数),(y x f z =在点),(000y x P , 可仿此定义方向导数 .易见 x f ∂∂、y f ∂∂ 和 zf ∂∂是三元函数f 在点0P 分别沿X 轴正向、Y 轴正向和 Z 轴正向的方向导数 .例1 ),,(z y x f =32z y x ++. 求f 在点0P ) 1 , 1 , 1 (处沿l 方向的方向导数,其中 （1） l 为方向) 1 , 2 , 2 (-; （2） l 为从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向.解 （1） l 为方向的射线为令===-=--=-112121z y x )0 ( >t . 即 ) 0 ( , 1 , 12 , 12≥+=+-=+=t t z t y t x . 3) 1, 1 , 1 ()(0==f P f , 37) 1 () 12 () 12 ( ) 1 , 12 , 12 ()(2332+++=+++-++=++-+=t t t t t t t t t f P ft t t t z y x 3)2()2()1()1()1(222222=+-+=-+-+-=ρ.因此 , .3137lim )()(lim 230000=++=-=∂∂++→→t t t t P f P f l f t P ρρ （2） 从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向l 的方向数为), 0 , 3 , 1 (-l 方向的射线为 ) 0 ( , 1 , 13 , 1≥=+-=+=t z t y t x .359) 1 , 13 , 1()(2+-=+-+=t t t t f P f , 3) 1, 1 , 1 ()(0==f P f ;t t t z y x 10)3()1()1()1(22222=-+=-+-+-=ρ.因此 , .1051059lim )()(lim 20000-=-=-=∂∂++→→t t t P f P f l f t P ρρ（二）、 方向导数的计算:定理: 若函数f 在点),,(0000z y x P 可微 , 则f 在点0P 处沿任一方向l 的方向导数都存在 , 且=)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos ,其中αcos 、βcos 和γcos 为l 的方向余弦.( 证 ) 对二元函数),(y x f , =)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos , 其中α和β是l 的方向角.注: 由=)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos=()(0P f x ,)(0P f y ,)(0P f z (αcos ,βcos , γcos ),可见 , )(0P f l 为向量()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z )在方向l 上的投影. 例2 ( 上述例1 )解 （1） l 的方向余弦为αcos =321)2(22222=+-+, βcos =32-, γcos =31. )(0P f x =1 , )(0P f y =221==y y , )(0P f z =3312==z z . 因此 , l f ∂∂=)(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos =31313) 32(232=⋅+-⋅+.（2） l 的方向余弦为αcos =101)11()12()12(12222=-+--+--, βcos =103-, γcos =0 .因此 , l f ∂∂=10510321011-=⋅-⋅. 可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 .二、 梯度 ( 陡度 ):（一）、梯度的定义: =gradf ()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z ) .||gradf = ()()()202020)()()(P f P f P f z y x ++.易见 , 对可微函数f , 方向导数是梯度在该方向上的投影.（二）、 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为=)(0P f l =⋅l gradf ||)(0P gradf θcos .其中θ是l 与)(0P gradf 夹角. 可见0=θ时)(0P f l 取最大值 , 在l 的反方向取最小值 .（三）、梯度的运算:1 grad =+)(c u grad u .2 grad (αu +βv ) = αgrad u +βgrad v .3 grad (u v ) = u grad v +v grad u .4 grad 2u vgradu ugradv u v -=. 5 grad f (u ) = gradu u f )('.证: 4 2u v u uv u v x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛ , 2u v u uv u v y y y-=⎪⎭⎫ ⎝⎛. grad =--=) , (12v u uv v u uv uu v y y x x []=-=) , ( ) , (12v u v u v u uv u y x y x[]=-=) , () , (12y x y x u u v v v u u 2u vgradu ugradv -. 总结：gradf 的方向表示数量场f 在l 分三元沿此方向的方向导数达到最大；gradf 的根长就是这个最大的方向导数。

第四章多元函数微分学一、本章知识脉络框图厂重极限与累次极限厂极限叫极限存在的判别方法概念可微性X可微和连续可微的必要条件高阶导数与微分 T 泰勒公式切线、法线、法平面、切平面极限与连续基本概念基本性质偏导数多 元 函 数 微 分 学全微分（三元为→ df=f xdx+f ydy+f zdz例）厂复合函数微分计算V隐函数微分参数方程微分可微的充分条件二、本章重点及难点本章需要重点掌握以下几个方面内容：偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.三、本章的基本知识要点（一）平面点集与多元函数1. 任意一点A与任意点集E的关系•1）内点•若存在点A的某邻域U A ,使得U A］二E ,则称点A是点集E的内点。

2）外点•若存在点A的某邻域U A ,使得U A - E=N ,则称点A是点集E的外点。

3）界点（边界点）•若在点A的任何邻域内既含有属于E得的点，又含有不属于E的点，则称点A是点集E的界点。

4）聚点•若在点A的任何空心邻域U o A内部都含有E中的点，则称点A是点集E 的聚点。

5）孤立点.若点A E，但不是E的聚点，则称点A是点集E的孤立点。

2. 几种特殊的平面点集•1）开集•若平面点集E所属的每一点都是E的内点，则称E为开集。

2）闭集.若平面点集E的所有聚点都属于E，则称E为闭集。

3）开域.若非空开集E具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全含于E得有限折线相连接，则称E为开域。

4）闭域.开域连同其边界所成的点集称为闭域。

5）区域.开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。